1. Dokumen ini membahas tentang definisi integral ganda dan penerapannya dalam menghitung momen inersia. 2. Integral ganda adalah integral dari fungsi dua variabel yang terdefinisi pada daerah tertutup. Rumus momen inersia lamina terhadap sumbu-sumbu x, y, dan z dituliskan menggunakan integral ganda. 3. Momen inersia adalah ukuran kekakuan benda pada gerakan rotasi, seperti halnya massa pada gerakan

1. INTEGRAL LIPAT DUA DAN PENERAPAN FISISNYA
PADA PERHITUNGAN MOMEN INERSIA
Rachmawati1)
1) Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika
Fakultas Matematika dan IPA
Universitas Negeri Gorontalo
ABSTRAK
In this papers, generally of speaking will discussion about definition of double integrals
and form the application as used in of the physical property in case of moment of inertia
and as well as the some examples.. This papers will discussion and showing how to make
arrangements for integrals in calculation the moment of inertia, in particular of double
integrals.
Keyword : integral, integral lipat dua, moment of inertia.
1. PENDAHULUAN
Usaha pemecahan tentang luas telah menuju ke pendefinisian integral tentu. Dalam
berbagai cara yang sama, sekarang kita mencoba mencari volume benda pejal dan dalam
prosesnya kita sampai pada definisi integral lipat dua.
Telaah kembali tentang materi dasar yang berkenaan dengan integral tentu dari fungsi
peubah tunggal. Jika f(x) didefinisikan sebagai a , artinya kita membagi selang
menjadi menjadi n selang bagian berlebar sama x = (b - a)/n dan kita
pilih titik-titik sampel x, dalam selang bagian ini. Kemudian kita bentuk jumlah Riemann:
Dan mengambil limit jumlah tersebut seraya n untuk mendapatkan integral tentu f
dari a ke b :

2. Dalam kasus khusus dengan 0, jumlah Riemann dapat ditafsirkan sebagai jumlah
luas segiempat penghampir dalam gambar di bawah dan menyatakan luas
daerah di bawah kurva y = f(x) dari a ke b.
2. INTEGRAL LIPAT DUA
Dalam cara yang serupa, kita tinjau fungsi dua peubah f yang didefinisikan pada
segiempat tertutup. Untuk integral lipat dua dari fungsi dengan dua peubah
pembatasannya adalah bahwa fungsi dua peubah tersebut terdefinisi pada suatu daerah
tertutup di R2. Yang dimaksud daerah tertutup disini adalah daerah beserta dengan batas-
batasnya. Apabila dikatakan daerah, maka yang dimaksud adalah daerah tertutup.
Kita tinjau fungsi dua peubah f yang didefinisikan pada segiempat tertutup. Misalkan
fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang xoy.
Dan mula-mula kita misalkan f(x, y) 0. Grafik f adalah permukaan dengan persamaan
. Misalkan S adalah benda pejal yang terletak di atas R dan di bawah grafik f,
yakni:
(Lihat gambar di samping) tujuan kita adalah mencari
volume S. Langkah pertama adalah membagi segiempat R
menjadi beberapa bagian. Kita lakukan ini dengan membagi
selang menjadi m selang bagian berlebar
sama dan dengan membagi menjadi n
selang bagian berlebar sama .

3. Dengan menarik garis-garis sejajar terhadap sumbu koordinat melalui titik ujung selang
bagian dalam bentuk segiempat bagian.
=
masing- masing dengan luas
Jika kita pilih salah satu titik sampel
dalam masing- masing maka kita dapat
menghampiri bagian S yang terletak di atas
masing- masing menggunakan kotak
segiempat tipis (atau kolom) dengan alas
dan tinggi .
Maka voleme kotak adalah tinggi kotak
kali luas segiempat alas :
=
Dapat dilihat maka untuk semua segiempat jika ditambahkan volume kotak yang
berkaitan , maka volume total S hampir diperoleh.
Intuisi kita memberitahu bahwa hampiran yang diberikan
menjadi lebih baik begitu m dan n menjadi lebih besar,
sehingga diharapkan menjadi :
Jika maka volume V dari benda pejal yang
terletak di atas segiempat R dan di bawah permukaan
adalah

4.  Sifat - sifat Int egralLipat Dua :
1. f ( x, y ) g ( x, y ) dA f ( x, y )dA g ( x, y )dA
R R R
2. cf ( x, y )dA c f ( x, y )dA , dengan c konst ant a.
R R
3. Jika f ( x, y ) g ( x, y ) unt uk ( x, y ) R, maka
f ( x,y)dA g ( x, y )dA
R R
Untuk menghitung integral lipat dua dapat digunakan integral berulang yang ditulis
dalam bentuk :
b y f2 ( y)
f ( x, y )dA f ( x, y )dxdy f ( x, y ) dx dy
a.
R R a y f1 ( y )
dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan
menganggap variable y konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap y.
b y f 2 ( y)
f ( x, y ) dA f ( x, y ) dydx f ( x, y ) dy dx
b.
R R a y f1 ( y )
dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan
menganggap variable x konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap x.
Jika integral lipat dua di atas ada, maka (a) dan (b) secara umum akan memberikan hasil
yang sama.
Contoh :
1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x + y = 2 dan 2y = x + y
Penyelesaian :
2 2- y 2 2- y
A dA dxdy x dt
R 0 2y - 4 0 2y - 4
2 2
(2 y 2y 4) dy (6 3 y ) dy
0 0
2
3 2
(6y - y ) (12 6) 6
2 0

5. 2. Tentukan volume V suatu benda padat di bawah permukaan dan di
atas persegi panjang
Penyelesaian :
3. Carilah volume benda pejal yang terletak di bawah paraboloid dan di atas
daerah D di bidang –xy yang dibatasi oleh garis y = 2x serta parabola y = x2.
Penyelesaian :
Karena itu, volume di bawah dan di atas D adalah
4. PENERAPAN INTEGRAL LIPAT DUA PADA MOMEN INERSIA
Pada saat mempelajari hukum Newton, diketahui bahwa ukuran kelembaban benda pada
gerak translasi adalah massa. Perhatikan pergerakan planet pada porosnya. Planet-planet
terus berputar pada sumbunya tanpa berhenti akan selalu mempertahankan keadaan
untuk terus berotasi. Dengan demikian, pada gerak rotasi dikenal istilah kelembaban.

6. Besaran pada gerak rotasi yang analog dengan massa pada gerak translasi dikenal
dengan momen inersia(I). Perbedaan nilai antara massa dan momen inersia adalah besar
massa suatu benda hanya bergantung pada kandungan zat dalam benda tersebut,
sedangkan besar momen inersia tidak hanya bergantung pada jumlah zat tetapi juga
dipengaruhi oleh bagaimana zat tersebut terdistribusi pada benda tersebut. Materi
tentang energi kinetik (kinetic energy), dari sebuah partikel dengan massa m dan
kecepatan v yang bergerak dalam sebuah garis lurus dirumuskan dengan :
Jika sebagai pengganti bergerak sepanjang suatu garis lurus,partikel berputar terhadap
suatu sumbu dengan suatu kecepatan sudut (angular velocity) sebesar , maka kecepatan
liniernya adalah v = r , dengan r merupakan radius lintasan yang berbentuk lingkaran.
Ketika disubtitusikan ke persamaan energi kinetik, maka:
Maka, dari sebuah pertikel yang berputar dapat dituliskan:
Momen inersia (moment of inertia) dari partikel bermassa m terhadap sumbu
didefinisikan sebagai mr2 , dengan r adalah jarak deri partikel ke sumbu. Dari persamaan
tersebut dapat disimpulkan bahwa momen inersia dari benda dalam gerak berputar
memiliki peranan yang serupa dengan massa benda dalam gerak linear.
Kita perluas konsep ini terhadap lamina dengan fungsi kerapatan dan menempati
daerah D denagn cara melanjutkan prosesnya seperti yang kita lakukan pada mmomen
biasa. Kita membagi D menjadi segiempat-segiempat kecil, menghampiri momen inersia
masing-masing segiempat bagian terhadap sumbu –x dan mengambil limit jumlah pada
saat banyaknya segiempat bagian menjadi besar. Hasilnya adalah momen inersia lamina
terhadap sumbu –x :
Secara serupa, momen inersia terhadap sumbu –y adalah

7. Untuk suatu sistem n partikel pada suatu bidang
yangbermassa m1, m2,…..,mn dan yang berjarak r1, r2,….,rn
dari garis L, makamomen inersia sistem itu terhadap L
didefinisikan sebagai:
Dengan kata lain kita tambahkan momen – momen inersia dari setiap partikel. Sekarang
kita perhatikan lamina dengan kerapatan yang mencakup suatu daerah S dari
bidang xy. Jika kita partisikan S, aproksimasi momen inersia tiap keping Rk, tambahkan
dan ambil limit maka rumus momen inersia lamina terhadap sumbu – sumbu x,y dan z
dinyatakan dengan:
Perhatikan masalah penggantian suatu sistem massa umum yang massa totalnya m oleh
sebuah titik tunggal bermassa m dengan momen inersia I yang sama terhadap suatu garis
L, sehingga didapat rumus sebagai berikut :

8. Sebuah jari-jari perputaran (radius of gyration) dari suatu sistem. Jadi energi kinetik dari
sistem yang berputar mengelilingi L dengan kecepatan sudut adalah :
Contoh :
1. Tentukan momen inersia terhadap sumbu x, y dan z untuk lamina dengan kerapatan
yang dibatasi oleh sumbu x, garis x = 8 dan kurva
Penyelesaian
S
Material tak homogen
Penyelesaian :
2. Diketahui kurva dari x = 0 sampai x = 1, hitunglah momen inersia terhadap
sumbu x, y dan z dengan kerapatan = xy.
Penyelesaian :
Kita peroleh dM = xy dydx. Jarak dari dM ke sumbu x adalah y (Lihat gambar).
Demikian pula, jarak dM ke sumbu y adalah x. Jarak dM ke sumbu -z (sumbu z tegak
lurus kertas pada gambar) adalah

9. Elemen dari suatu luasan, seperti metode integral lipat dA = dy dx. Karena kerapatan = xy,
massa elemen adalah dM = xy dy dx. Maka ketiga momen inersia terhadap ketiga sumbu
koordinat :
5. KESIMPULAN
 Integral lipat dua merupakan integral dari fungsi dengan dua peubah , dengan batasan
bahwa fungsi dua peubah tersebut terdefinisi pada suatu daerah tertutup di R2.
 Untuk menghitung integral lipat dua dapat digunakan integral berulang yang ditulis
dalam bentuk :
b y f2 ( y)
f ( x, y )dA f ( x, y )dxdy f ( x, y ) dx dy
R R a y f1 ( y )
f ( x, y ) dA f ( x, y ) dydx b y f 2 ( y)
R R f ( x, y ) dy dx
a y f1 ( y )

10.  Besaran pada gerak rotasi yang analog dengan massa pada gerak translasi dikenal dengan
momen inersia(I). Momen inersia (moment of inertia) dari partikel bermassa m terhadap
sumbu yang diberikan didefinisikan sebagai mr2 , dengan r adalah jarak deri partikel ke
sumbu.
 Rumus momen inersia lamina terhadap sumbu – sumbu x, y dan z dinyatakan dengan:
6. DAFTAR PUSTAKA
http://ocw.mit.edu/terms. MIT18_02SC notes_23. Diakses tanggal
01/29/2011 : 03.37 pm
http://id.wikipedia.wiki/org/integral-lipat-dua Diakses tanggal 01/29/2011
Purcell, Verberg, Rigdon. 2004. Kalkulus Edisi Kedelapan Jilid 2.
Jakarta : Erlangga
Stewart, James. 2003. Kalkulus Edisi Keempat Jilid 2. Jakarta : Erlangga
Umar, Efrizon. 2007. Fisika dan Kecakapan Hidup. Jakarta : Ganeca