Makalah ini membahas dua teorema penting dalam teori bilangan yaitu Teorema Wilson dan Teorema Euler. Teorema Wilson menyatakan bahwa bilangan prima p dapat dihitung melalui (p-1)! ≡ -1 (mod p). Sedangkan Teorema Euler menyatakan bahwa untuk bilangan bulat positif a dan m dengan gcd(a,m)=1, maka aφ(m) ≡ 1 (mod m) dimana φ(m) adalah fungsi Euler. [/ringkasan]

1. i
TEOREMA WILSON
DAN
TEOREMA EULER
Disusun Oleh:
Program Studi Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Udayana
2020

2. ii
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Tuhan yang Maha Esa sebab atas segala rahmat dan
karunia-Nya, makalah mengenai “Teorema Wilson dan Teorema Euler” ini dapat
diselesaikan tepat waktu.
Kami ucapkan terima kasih kepada IbuKartika Sari S.Si., M.Sc. selaku dosen
pengampu mata kuliah Teori Bilangan yang telah membimbing kami dalam
menyusun makalah ini. Terima kasih juga kepada teman-teman yang telah
membantu memberikan semangat dan ide-idenya kepada kami.
Kami sangat berharap dengan adanya makalah ini dapat memberikan
manfaat dan mengedukasi bagi pembaca. Namun, tidak dapat dipungkiri bahwa
dalam pembuatan makalah ini masih terdapat banyak kesalahan dan kekurangan.
Oleh karena itu, kami mengharapkan kritik dan saran dari pembaca untuk kemudian
makalah kami ini dapat kami perbaiki dan menjadi lebih baik lagi.
Penulis

3. iii
DAFTAR ISI
Kata Pengantar ...................................................................................................i
Daftar Isi............................................................................................................ii
BAB I : PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang ............................................................................................1
1.2 Rumusan Masalah.......................................................................................1
1.3 Tujuan..........................................................................................................1
BAB II : PEMBAHASAN ...............................................................................2
2.1 Teorema Sisa Cina ......................................................................................2
2.2 Contoh Soal Teorema Sisa Cina..................................................................2
2.3 Latihan Soal Teorema Sisa Cina .................................................................5
2.4 Teorema Fermat ..........................................................................................9
2.5 Contoh Soal Teorema Fermat ...................................................................11
2.6 Latihan Soal Teorema Fermat ...................................................................12
BAB III : PENUTUP.......................................................................................14
3.1 Kesimpulan................................................................................................14
Daftar Pustaka .................................................................................................15

4. 1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Fermat Little Theorem ( FLT ) kadang tidak bekerja baik di bilangan Prima. Namun, hal
ini kurang memuaskan para matematikawan karena kurang praktis. Bersyukur pada tahun 1736
seorang matematikawan berhasil membuktikan FlT dan berhasil menggeneralisasi pada 24
tahun kedepan. Selanjutnya ini di sebut dengan teorema Euler.
Lalu bagaimana dengan teorema wilson dan euler ini, akan kita bahas pada makalah ini.
1.2 Rumusan Masalah
1.2.1 Bagaimana konsep dasar Teorema Wilson?
1.2.2 Bagaimana konsep dasar Teorema Euler?
1.3 Tujuan
1.3.1 Mengetahui konsep dasar Teorema Wilson
1.3.2 Mengetahui konsep dasar Teorema Euler
1.3.3 Memenuhi nilai tugas mata kuliah Teori Bilangan

5. 2
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Teorema Euler
Fermat Littel Theoreme ( FLT ) bekerja baik jika bilangannya adalah bilangan
prima. Namun, hal ini kurang memuaskan para matematikawan karena kurang praktis.
Bagaimana dengan bilangan komposit.
Tahun 1736, Leonhard Euler berhasil membuktikan FLT. Kemudian, 24 Tahun
kemudian, FLT digeneralisasi oleh Euler. Hasil ini di sebut dengan Teorema Euler.
Teorema Euler :
Untuk 𝑚 positif integer dan 𝑎 adalah integer dimana gcd( 𝑎. 𝑚) = 1, maka :
𝑎 𝜑( 𝑚)
≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑚)
Perhatikan bahwa apabila 𝑚 adalah bilangan prima 𝑝, maka FLT berlaku
𝑎 𝑝−1
≡ 1( 𝑚𝑜𝑑 𝑝)
Bukti :
Konsep yang melandasi bukti teorema euler adalah Sistem residu yang tereduksi.
Berikut penjelasannya
Sistem Residu yang tereduksi adalah modulo 𝑛 adalah kumpulan 𝜑(𝑛) bilagan
integer yang totatif (koprima) dengan 𝑛 dan tidak ada 2 integer yang mempunyai kelas sisa
yang sama.
Teorema
Jika 𝑟1, 𝑟2,… , 𝑟𝜑(𝑛) adalah sistem residu yang tereduksi moduli 𝑛, dan a adalah integer
positif di mana gcd( 𝑎, 𝑛) = 1, maka : 𝑎𝑟1, 𝑎𝑟2,… , 𝑎𝑟𝜑(𝑛) juga merupakan sistem residu
yang tereduksi modulo 𝑛.
Bukti teorema :
i. Bukti bahwa tiap elemen 𝑎𝑟𝑗 koprima dengan 𝑛.
Karena gcd( 𝑎, 𝑛) = 1 dan gcd( 𝑟𝑗, 𝑛) = 1, maka 𝑏𝑔𝑐𝑑( 𝑎𝑟𝑗, 𝑛) = 1.
ii. Bukti bahwa tiap dua elemen memiliki kelas sisa yang berbeda
Asumsikan bahwa ada dua elemen. Misalkan 𝑎𝑟𝑗 dan 𝑎𝑟𝑘 yang kongruen modulo
𝑛.
𝑎𝑟𝑗 ≡ 𝑎𝑟𝑘( 𝑚𝑜𝑑 𝑛)
Karena gcd( 𝑎, 𝑛) = 1, maka :
𝑟𝑗 ≡ 𝑟𝑘(𝑚𝑜𝑑 𝑛)
Namun, kita ketahui bahwa 𝑟𝑗 dan 𝑟𝑘 inkongruen ( karena keduanya berasal dari
sistem residu tereduksi ). Oleh karenanya, kontradiksi dengan asumsi awal.
Jadi, 𝑎𝑟𝑗 dan 𝑎𝑟𝑘 yang inkongruen dengan modulo 𝑛

6. 3
Bukti Teorema Euler :
Di dasarkan pada teorema sebelumnya pada kotak di atas.
Karena 𝑎𝑟1, 𝑎𝑟2, …, 𝑎𝑟𝜑(𝑛) juga merupakkan sistem residu tereduksi modulo 𝑛, maka tentunya
sisa residu positif dari 𝑎𝑟1, 𝑎𝑟2,… , 𝑎𝑟𝜑(𝑛) adalah 𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝜑(𝑛) dalam urutan tertentu
(acak). Dengen mengalikan elemen-elemen tersebut, kita dapatkan
𝑎𝑟1𝑎𝑟2… 𝑎𝑟𝜑( 𝑛) ≡ 𝑟1𝑟2… 𝑟𝜑( 𝑛)( 𝑚𝑜𝑑 𝑛)
𝑎 𝜑( 𝑛)
𝑟1𝑟2.. 𝑟𝜑( 𝑛) ≡ 𝑟1𝑟2… 𝑟𝜑( 𝑛)( 𝑚𝑜𝑑 𝑛)
Karena gcd( 𝑟1𝑟2… 𝑟𝜑( 𝑛), 𝑛) = 1 , maka
𝑎 𝜑( 𝑛)
≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑛)
2.2 Contoh Soal Penerapan Teorema Euler
1. Carilah digit teakhir dari 31000
Jawab :
Mencari digit terakhir sama seperti mencari sisanya juga di bagi 10.
Sesuai dengan teorema Euler, maka:
3 𝜑(10)
= 34
≡ 1(𝑚𝑜𝑑 10 )
Jadi, kita kelompokkan berdasarkan 4.
31000
= (34)250
≡ 1250 ( 𝑚𝑜𝑑 10 ) ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 10)
Digit terakhirnya adalah 1.
2. Berapakah sisa pembagian jika 31000
dibagi 35
Jawab :
Sesuai teorema Euler
3 𝜑(35)
≡ 1( 𝑚𝑜𝑑 35)
324
≡ 1( 𝑚𝑜𝑑 35 )
Maka, kita kelompokkan berdasarkan 24.
324.4166 +16
= 324.4166
316
≡ 316( 𝑚𝑜𝑑 35 )
Selanjunya gunakan cara biasa
316( 𝑚𝑜𝑑 35 ) ≡ 814( 𝑚𝑜𝑑 35) ≡ 114( 𝑚𝑜𝑑 35) ≡ 1212( 𝑚𝑜𝑑 35 )
≡ 162( 𝑚𝑜𝑑 35) ≡ 256( 𝑚𝑜𝑑 35) ≡ 11( 𝑚𝑜𝑑 35)
Jadi sisanya adalah 11
3. Tentukan soluis kongruensi dari 3𝑥 ≡ 5( 𝑚𝑜𝑑 16)
Jawab :
Teorema euler berguna untuk mencari invers modulo :
𝑎. 𝑎 𝜑( 𝑛)−1
= 𝑎 𝜑( 𝑛)
≡ 1( 𝑚𝑜𝑑 𝑛)
Berarti, 𝑎 𝜑 ( 𝑛)−1
adalah invers dari 𝑎 modulo 𝑛
3.3 𝜑(16)−1
≡ 1( 𝑚𝑜𝑑 16)
3.37
≡ 1( 𝑚𝑜𝑑 16)
Dengan demikian
3.37
𝑥 ≡ 5.37( 𝑚𝑜𝑑 16 )
𝑥 = 5.37( 𝑚𝑜𝑑 16 )
𝑥 ≡ 7( 𝑚𝑜𝑑 16 )

7. 4

8. 5
2.3 Latihan Soal Penerapan Teorema Euler
1. Jika 𝑎 koprima dengan 32760, buktikan bahwa :
𝑎12 ≡ 1( 𝑚𝑜𝑑 32760)
Jawab :
Perhatikan bahwa 32760 = 2332.5.7.13
Teorema euler menyatakan bahwa :
𝑎 𝜑(8)
= 𝑎4 ≡ 1( 𝑚𝑜𝑑 8) maka 𝑎12 ≡ 1 ( 𝑚𝑜𝑑 8)
𝑎 𝜑(9)
= 𝑎6 ≡ 1( 𝑚𝑜𝑑 9) maka 𝑎12 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 9 )
𝑎 𝜑(5)
= 𝑎4 ≡ 1( 𝑚𝑜𝑑 5) maka 𝑎12 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 5 )
𝑎 𝜑(7)
= 𝑎6 ≡ 1( 𝑚𝑜𝑑 7) maka 𝑎12 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 7 )
𝑎 𝜑(13)
= 𝑎12 ≡ 1( 𝑚𝑜𝑑 13)
Karena 8,9,5,7 dan 13 semuanya koprima, maka
𝑎12 ≡ 1 ( 𝑚𝑜𝑑 32760 )
𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖
2. Jika 𝑎 dan 𝑏 koprima, buktikan bahwa :
𝑎 𝜑( 𝑏)
+ 𝑏 𝜑( 𝑎)
≡ 1( 𝑚𝑜𝑑 𝑎𝑏 )
Jawab :
Menurut teorema Euler
i. 𝑎 𝜑( 𝑏)
≡ 1( 𝑚𝑜𝑑 𝑏), maka 𝑏|(𝑎 𝜑( 𝑏)
− 1)
ii. 𝑏 𝜑( 𝑎)
≡ 1( 𝑚𝑜𝑑 𝑎), maka 𝑎|(𝑏 𝜑( 𝑎)
− 1)
Sesuai dengan sifat keterbagian
𝑎𝑏|(𝑎 𝜑( 𝑏)
− 1)(𝑏 𝜑( 𝑎)
− 1)
𝑎𝑏|(𝑎(( 𝜑)( 𝑏))
𝑏 𝜑( 𝑏)
− 𝑎 𝜑( 𝑏)
− 𝑏 𝜑( 𝑎)
+ 1
𝑎𝑏|(−𝑎 𝜑( 𝑏)
− 𝑏( 𝜑( 𝑎))
+ 1)
𝑎𝑏|(𝑎 𝜑( 𝑏)
+ 𝑏 𝜑( 𝑎)
− 1)
𝑎 𝜑( 𝑏)
+ 𝑏 𝜑( 𝑎)
− 1 ≡ 0( 𝑚𝑜𝑑 𝑎𝑏)
𝑎 𝜑( 𝑏)
+ 𝑏( 𝜑( 𝑎))
≡ 1( 𝑚𝑜𝑑 𝑎𝑏)
Terbukti

9. 6
3.