Questões de matemática da prova da ESCOLA NAVAL.

1. ESCOLA NAVAL 2017
1
01. (Esc. Naval 2017) A é um conjunto com n elementos e B é seu subconjunto com p elementos, com n p
> e 𝑛𝑛, 𝑝𝑝 ∈
ℕ. Determine o número de conjuntos X tais que B X A
⊂ ⊂ e assinale a opção correta.
a) n p
2 −
b) n p 1
2 − +
c) n p
2 +
d) n p 1
2 + −
e) n p 1
2 − −
02. (Esc. Naval 2017) Sejam g e f funções reais, determine a área da região limitada pelo eixo y, por g(x) | x 3 | 4
=
− − +
e pela assíntota de
3 3 2
f(x) x x
= − e assinale a opção correta.
a)
13
4
b)
40
9
c) 7
d)
81
16
e) 9
03. (Esc. Naval 2017) Seja f(x) x n(x),
= +  x 0.
> Sabendo que f admite função inversa g, calcule g''(1) e assinale a opção
correta.
a)
1
2
b)
1
4
c)
1
6
d)
1
8
e)
1
10
04. (Esc. Naval 2017) Calcule o número de soluções inteiras não negativas de 1 2 3 4 5 6
x x x x x x 20,
+ + + + + = nas quais
pelo menos 3 incógnitas são nulas, e assinale a opção correta.
a) 3.332
b) 3.420
c) 3.543
d) 3.678
e) 3.711

2. ESCOLA NAVAL 2017
2
05. (Esc. Naval 2017) Um exame de laboratório tem eficiência de 90% para detectar uma doença quando essa doença
existe de fato. Entretanto, o teste aponta um resultado “falso positivo” (o resultado indica doença, mas ela não existe)
para 1% das pessoas sadias testadas. Se 1,5% da população tem a doenças, qual a probabilidade de uma pessoa ter a
doença dado que seu exame foi positivo?
a)
95
294
b)
160
433
c)
270
467
d)
75
204
e)
73
255
06. (Esc. Naval 2017) Sejam A, B, C, D e X pontos do ℝ3
. Considere o tetraedro ABCD e a função real f, dada por
3
x 1
f(x) .
x 4
−
=
−
Sabendo que o número real m é o valor para que
AB AD
X A m AC
3 2
 
= + − +
 
 
 

 

pertença ao plano BCD,
calcule f '( m)
− e assinale a opção correta.
a)
1
2
b)
1
3
c)
1
4
d)
1
5
e)
1
6
07. (Esc. Naval 2017) Uma pirâmide triangular tem como base um triângulo de lados 13 cm,14 cm e 15 cm; as outras
arestas medem .
 Sabendo que o volume da pirâmide é de 3
105 22 cm , o valor de ,
 em cm, é igual a
a)
155
8
b)
335
11
c)
275
9
d)
205
8
e)
95
8

3. ESCOLA NAVAL 2017
3
08. (Esc. Naval 2017) Seja P(x, y) um ponto da elipse
2 2
2 2
x y
1,
a b
+ =
de focos 1
F e 2
F e excentricidade e. Calcule 1 2
PF PF
⋅
 

e assinale a opção correta.
a) 2 2
ex a(1 2e )
+ +
b) 2 2
e x a (1 e)
− +
c) 2 2 2
e x a (1 2e)
+ −
d) 2 2
e x a(1 e )
− +
e) 2 2 2 2
e x a (1 2e )
+ −
09. (Esc. Naval 2017) Seja 6 5 4 3 2
P(x) x bx cx dx ex fx g
= + + + + + + um polinômio de coeficientes inteiros e que
3
P( 2 3) 0.
+ =
O polinômio R(x) é o resto da divisão de P(x) por 3
x 3x 1.
− − Determine a soma dos coeficientes de
R(x) e assinale a opção correta.
a) 51
−
b) 52
−
c) 53
−
d) 54
−
e) 55
−
10. (Esc. Naval 2017) Se a 3 2
= + e b 3 2,
= − seja k o determinante da matriz
1 a 1 1 1
1 1 a 1 1
,
1 1 1 b 1
1 1 1 1 b
+
 
 
−
 
 
+
 
−
 
sendo
assim, é correto afirmar que o coeficiente de k 1
x −
no desenvolvimento
3 3
2
2
1 1
2x x
2x
x
   
+ ⋅ +
   
 
 
é
a) 21
b) 22
c) 23
d) 24
e) 25

4. ESCOLA NAVAL 2017
4
11. (Esc. Naval 2017) Se
2
3 3
x 0
(x 3) 9
A lim ,
x
→
+ −
=
2
x 0
| x 2 | | x 2 |
B lim
x
→
− − −
= e 9
x 1 3
1
C lim (x 1) sen ,
(x 1)
→
 
= −  
 
−
 
então
o valor de 3B
A C
− é igual a
a) 4
8
3
b)
3 4
2 1
3
3
−
c) 8
64
3
d) 8
64
1
3
−
e) 4
8 1
3
3
−
12. (Esc. Naval 2017) Sejam f e g funções reais dadas por
1
f(x)
1 cos (x) sen (x)
=
− +
e
1 tg (x)
g(x) .
1 tg (x)
+
=
−
Calcule o valor
da integral
b
a
f(x)dx,
∫ em que
P
a ,
4
=
P
b ,
2
= e P é o período da função g e marque a opção correta.
a)
4 2 2
n
3
 
−
 
 
 

b)
2 2
n
2
 
+
 
 
 

c) n( 5 3)
−

d)
2 3
n
4
 
−
 
 
 

e) n(2 3 2)
+


5. ESCOLA NAVAL 2017
5
13. (Esc. Naval 2017) Analise as afirmativas abaixo.
I. Seja f derivável no intervalo I, f é estritamente crescente em I se, e somente se f '(x) 0
> em I.
II. Se f : A B
→ é periódica de período T, então qualquer número da forma kT, com k inteiro positivo, também é um
período de f.
III. Toda função contínua é derivável.
IV. Se uma função f : A B
→ é estritamente crescente ou decrescente em um conjunto X A,
⊂ então ela é sobrejetiva em
tal conjunto.
V. Sejam f e g duas funções continuamente deriváveis que satisfazem as relações f '(x) g(x)
= e f ''(x) f(x).
= − Seja
2 2
h(x) f (x) g (x),
= + se h(0) 5,
= então h(10) 5.
=
Assinale a opção correta.
a) Apenas as afirmativas I, II e IV são verdadeiras.
b) Apenas as afirmativas II, III, IV e V são verdadeiras.
c) Apenas as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
d) Apenas as afirmativas III e V são verdadeiras.
e) Apenas as afirmativas II e V são verdadeiras.
14. (Esc. Naval 2017) Determine o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os
pontos (x, y), tais que 0 x 2,
≤ ≤ y x 1
≥ − e 2
0 y x .
≤ ≤ A seguir, assinale a opção correta.
a)
28
15
π
b)
88
15
π
c)
108
15
π
d)
118
15
π
e)
188
15
π

6. ESCOLA NAVAL 2017
6
15. (Esc. Naval 2017) Uma partícula se desloca da direita para a esquerda ao longo de uma parábola y x,
= − de modo
que a sua coordenada x (medida em metros) diminua a uma velocidade de 8 m s. É correto afirmar que a taxa de variação
do ângulo de inclinação ,
θ em rad s, da reta que liga a partícula à origem, quando x 4,
= − vale
a)
3
2
b)
2
5
c)
3
4
d)
1
5
e)
4
3
16. (Esc. Naval 2017) Nas proposições abaixo, coloque V (verdadeiro) ou F (Falso) e assinale a opção que apresenta a
sequência correta.
( ) Existe pelo menos um a ∈  e a 0,
≠ para que as curvas 2
y ax
= e 2 2
x 2y 1
+ =
não se interceptem ortogonalmente.
( ) A negação da proposição ( x A)(p(x)) ( x A)(~ q(x))
∃ ∈ → ∀ ∈ é ( x A)(p(x)) ( x A)(q(x)).
∃ ∈ ∧ ∃ ∈
( ) Se 2
0
1
dx M,
1 sen (x)
π
=
+
∫ então 2
M 2.
=
( ) Seja z um número complexo e i a unidade imaginária. Se i
z | z | e ,
θ
= então iz |z|sen ( )
| e | e .
θ
=
a) (F) (V) (F) (F)
b) (F) (F) (V) (V)
c) (V) (F) (F) (V)
d) (V) (V) (V) (F)
e) (F) (V) (V) (F)

7. ESCOLA NAVAL 2017
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17. (Esc. Naval 2017) A figura abaixo mostra o esboço do gráfico que representa a função real f x ]a, b[
∀ ∈
Assinale a opção que melhor representa o esboço do gráfico de f ', x ]a, b[
∀ ∈
a) b) c) d) e)
18. (Esc. Naval 2017) Chama-se conjunto-verdade de uma sentença aberta p(x) em um conjunto A o conjunto de todos
os elementos a A,
∈ tais que p(a) é uma proposição verdadeira (V). Sejam p(x), q(x) e r(x) sentenças abertas em um
mesmo conjunto A. Encontre o conjunto-verdade da sentença aberta composta (p(x) q(x)) ~ r(x),
→ ∨ em função de
p q
V , V e r
V , assinale a opção correta.
a) A p q A r
C V (V C V )
∪ ∪
b) r A q A p
V (C V C V )
∩ ∪
c) A q p A r
C V (V C V )
∪ ∩
d) A r q A p
C V (V C V )
∪ ∩
e) p A q A r
V (C V C V )
∩ ∪

8. ESCOLA NAVAL 2017
8
19. (Esc. Naval 2017) A Imagem de 𝑓𝑓: ℝ → ℝ, dada por 2
f(x) 2cos (x) sen (2x) 1,
= + − é [a, b]. Seja π o plano que passa
pelo ponto A(9, 1, 0)
− e é paralelo aos vetores u (0,1, 0)
=

e v (1,1,1).
=

Calcule a menor distância do ponto
b
P , a,1
a
 
 
 
ao
plano π e assinale a opção correta.
a) 7 2
b) 5 2
c)
9 3
4
d)
11 2
2
e) 4 3
20. (Esc. Naval 2017) Seja z um número complexo e i a unidade imaginária. Determine z de forma que o triângulo de
vértices i, z e iz seja equilátero e assinale a opção correta.
a)
5 i
4
( 3 2)e
z
2
π
−
−
= ou
i
4
( 3 2)e
z
2
π
+
= −
b)
i
6
( 5 3)e
z
2
π
+
= ou
i
6
( 5 3)e
z
2
π
−
−
= −
c)
3 i
4
( 6 3)e
z
2
π
−
+
= ou
i
4
( 6 3)e
z
2
π
−
=
d)
i
4
( 6 2)e
z
2
π
−
= ou
5 i
4
( 6 2)e
z
2
π
+
=
e)
11 i
6
( 3 2)e
z
2
π
+
= ou
i
6
( 3 2)e
z
2
π
−
= −

9. ESCOLA NAVAL 2017
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GABARITO
1 - A 2 - B 3 - D 4 - E 5 - C
6 - C 7 - A 8 - E 9 - E 10 - D
11 - A 12 - B 13 - E 14 - B 15 - B
16 - A 17 - E 18 - A 19 - D 20 - D