FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA

EQUAÇÕES & FUNÇÕES
EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA

FUNÇÃO EXPONENCIAL & LOGARÍTMICA
Celso do Rozário Brasil
1
Equação Exponencial
Uma equação exponencial é aquela em que a variável a ser encontrada aparece como expoente de uma
base constante ou variável. Um método usado para resolução de equações exponenciais consiste em reduzir
ambos os membros da equação a potência de mesma base a (0 < a ≠1). Feito isso, igualamos os expoentes. Ou
seja:
ax
= ay
→ x = y
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. (ESPCEX) Marque a alternativa correta em relação a solução da equação: 𝟐
𝟒𝟖
𝒙 = 𝟖.
a) Múltiplo de 16
b) Múltiplo de 3
c) Número primo
d) Divisor de 8
e) Divisor de 9

2
Solução
02. O triplo do valor de x que verificam a igualdade abaixo é:
a) 6
b) 112
c) 15
d) 18
Solução
solução
A equação exponencial pode ser resolvida colocando em evidência a potência 2x
, após utilizarmos a
propriedade da multiplicação de potências de mesma base:
A questão pede o triplo de x. Logo:
3.x = 3.5 = 15
Resposta: C

3
03. (ESA) O conjunto solução da equação exponencial: 4x - 2x = 56 é:
a) { -7, 8}
b) {3,8}
c) {3}
d) {2,3}
e) {8}
Solução
04. (ESA) Se 5x+2 = 100, então 52x é igual a:
a) 4
b) 8
c) 10
d) 16
e) 100
Solução
5x+2
= 100

4
5x
. 52
= 4.25
5x
. 25 = 4.25
𝟓𝐱
= 𝟒
52𝑥
→ (5𝑥)2
→ 42
→ 16
Portanto:
𝟓𝟐𝒙
= 𝟏𝟔
Resposta: D
05. Determine o conjunto solução da seguinte equação exponencial:
Solução
2x−3
+ 2x−1
+ 2x
= 52
2x
. 2−3
+ 2x
. 2−1
+ 2x
= 52
Colocando em evidência o termo 2x
, temos:
2x(2−3
+ 2−1
+ 1) = 52
2x
(
1
8
+
1
2
+ 1) = 52
2𝑥
(
1 + 4 + 8
8
) = 52
2x
(
13
8
) = 52
2x
=
52
13
8
2x
= 4.8
2x
= 32
2x
= 25

5
𝐱 = 𝟓
S = {𝒙 ∈ ℝ / 𝒙 = 𝟓}
06. Resolva a equação exponencial: – 5x – 1 – 5x + 5x + 2 = 119.
Solução
– 5x – 1 – 5x + 5x + 2 = 119
– 5x · 5– 1 – 5x + 5x · 52 = 119
Colocando o termo 5x em evidência, temos:
5x(−5−1
− 1 + 52) = 119
5𝑥
(−
1
5
− 1 + 25) = 119
5𝑥
(
−1
5
+ 24) = 119
5𝑥
(
119
5
) = 119
5𝑥
=
119
119
5
5𝑥
= 51
𝒙 = 𝟏
S = {𝒙 ∈ ℝ / 𝒙 = 𝟏}
07. Qual o valor de x na equação exponencial:
Solução
25x
+ 125
6
= 5x+1

6
(52)x
+ 125
6
= 5x
. 51
(5x)2
+ 125 = 6.5.5x
(5x)2
+ 125 = 30.5x
Fazendo: 5x
= y, temos:
y2
+ 125 = 30y
y2
− 30y + 125 = 0
∆= b2
− 4ac
∆= (−30)2
− 4.1.125
∆= 900 − 500
∆= 𝟒𝟎𝟎
y =
−b ± √∆
2. a
y =
30 ± √400
2
y =
30 ± 20
2
y′
= 25
y" = 5
(i) Para y = 25, temos:
5x
= y
5x
= 25
5𝑥
= 52
𝐱 = 𝟐
(ii) Para y = 5, temos:
5𝑥
= 51
𝐱 = 𝟏

7
Resposta:
S = {1, 2}
08. Dada a equação 23x – 2 · 8x + 1 = 4x – 1, podemos afirmar que sua solução é um número:
a) natural.
b) maior do que 1.
c) de módulo maior do que 1.
d) par.
e) de módulo menor do que 1.
Solução
A fim de facilitar a resolução da equação exponencial 23x – 2 · 8x + 1 = 4x – 1, vamos reescrever todas as
potências na base 2. A saber, temos: 4 = 22 e 8 = 23. Substituindo na equação:
23x – 2 · 8x + 1 = 4x – 1
23x – 2 · (23)x + 1 = (22)x – 1
23x – 2 · 23(x + 1) = 22(x – 1)
23x – 2 · 23x + 3 = 22x – 2
2(3x – 2 ) + (3x + 3) = 22x – 2
Como temos uma equação exponencial que apresenta potências de mesma base nos dois lados da equação,
podemos igualar os expoentes:
(3x – 2) + (3x + 3) = 2x – 2
6x + 1 = 2x – 2
6x – 2x = – 2 – 1
4x = – 3
x = – 3/4
|x| = 3/4
Portanto, a alternativa que classifica corretamente o resultado da equação é a letra e, que afirma que x é um
número de módulo menor do que 1.
09. A soma das raízes da equação 22x + 1 – 2x + 4 = 2x + 2 – 32 é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 7

8
Solução
Para resolver a equação exponencial 22x + 1 – 2x + 4 = 2x + 2 – 32, começaremos separando as potências que
apresentam somas no expoente, escrevendo-as como produto de potências.
22x + 1
–2x + 4
= 2x + 2
– 32
2x
· 2x
· 21
– 2x
· 24
= 2x
· 22
– 32
Façamos 2x
= y:
y · y · 21
– y · 24
= y · 22
– 32
y2
· 21
–y · 16=y · 4– 32
2y2
–16y – 4y + 32 = 0
2y2
– 20y + 32 = 0 : (2)
y² - 10y + 16 = 0
Chegamos a uma equação do 2° grau, que pode ser resolvida fórmula de Bhaskara. A fim de trabalhar com
números menores, podemos dividir toda a equação por 2, sem prejuízo no resultado final.
∆= b2
− 4ac
∆= (−10)2
− 4.1.16
∆= 100 − 64
∆= 𝟑𝟔
y =
−b ± √∆
2. a
y =
10 ± √36
2
y =
10 ± 6
2
𝐲′
= 𝟖
𝐲" = 𝟐
2x
= y

9
2x
= 8
2𝑥
= 2³
𝐱 = 𝟑
2𝑥
= 21
𝐱 = 𝟏
O enunciado da questão pede a soma das raízes da equação exponencial. Como as raízes são x1 = 3 e x2 = 1,
então a soma é x1 + x2 = 3 + 1 = 4.
Resposta: C
10. Se f(x) = 4x +1 e g(x) = 4x, a solução da inequação f(x) > 𝒈𝟐−𝒙
é:
a) x > 0
b) x > 1
c) x > 2
d) x > 0,5
e) x < 1,5
Solução
f(x) > g2−x
4x+1
> 42−x
x + 1 > 2 − x
x + x > 2 − 1
2x > 1
x > 1/2
x > 0,5
Resposta: D
11. Calcule o conjunto solução do seguinte sistema de equações exponenciais:
{ 4𝑥
. 8𝑦
=
1
4
9𝑥
. 272𝑦
= 3

10
Solução
{ 4𝑥
. 8𝑦
=
1
4
9𝑥
. 272𝑦
= 3
{22𝑥
. 23𝑦
= 2−2
32𝑥
. 36𝑦
= 3
{
2𝑥 + 3𝑦 = −2. (−1)
2𝑥 + 6𝑦 = 3
{
−2𝑥 − 3𝑦 = 2
2𝑥 + 6𝑦 = 1
+
3𝑦 = 3
𝒚 = 𝟏
2x + 6y = 1
2x + 6.1 = 1
2x + 6 = 1
2x = −5
𝐱 = −
𝟓
𝟐
𝐂𝐨𝐧𝐣𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐬𝐨𝐥𝐮çã𝐨: 𝐱 = −
𝟓
𝟐
𝐞 𝐲 = 𝟏
12. A raiz da função: 𝒚 = 𝟒√𝒙+𝟏 − 𝟏𝟎𝟐𝟒. 𝟐√𝒙+𝟏 é:
a) 2
b) 4
c) 99
d) 101
e) 1024
Solução
A raiz da função é o valor de x para o qual y = 0, ou seja:
4√x+1 − 1024. 2√x+1 = 0
2 ²√x+1 − 1024. 2√x+1 = 0

11
[2(√x+1)
]² − 1024, (2√x+1 )= 0
Façamos:
2√x+1 = t
2t2
− 1024t = 0 ∶ (t)
t(t − 1024) = 0
t = 0 ou
t − 1024 = 0
t = 1024
Como:
2√x+1 = 𝑡
(i) Para t = 0
2√x+1 = 𝑡
2√x+1 = 0
2√x+1 = 20
√𝑥 + 1 = 0
(√𝑥 + 1)
2
= 02
𝑥 + 1 = 0
𝑥 = −1 (𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜)
(ii) Para t = 1024
2√x+1 = 𝑡
2√x+1 = 1024
2√x+1 = 210
√𝑥 + 1 = 10
(√𝑥 + 1)
2
= 102
𝑥 + 1 = 100
𝒙 = 𝟗𝟗
Resposta: C
13. (UFSCAR) Se a área do triângulo retângulo ABC,
indicado na figura, é igual a 3n, conclui-se que f(n) é igual a:

12
Solução
Sabemos que a área de um triângulo retângulo é o produto dos catetos dividido por 2. Logo, teremos:
S =
BC. AB
2
Note os pontos marcados no gráfico:
BC = n
S = 3n
AB = ?
S =
BC. AB
2
𝐵𝐶. AB
2
= 3n
𝐁𝐂. 𝐀𝐁 = 𝟔𝐧 (𝐢)
Devemos ter os seguintes pontos:
Pelo gráfico:
BC = n
AB = YA – YB
YA = f(2n) -----> f(2n) = 2𝑥
→ 𝑓(2𝑛) = 22𝑛
YB = f(n) -------> f(n) = 2𝑥
→ 𝑓(𝑛) = 2𝑛
AB = YA – YB
AB = 22𝑛
− 2𝑛
(ii)

13
Da equação (i) temos:
BC. AB = 6n n. AB = 6n AB = 6
Substituindo o valor de AB na equação (ii), temos:
AB = 22𝑛
− 2𝑛
(ii)
22𝑛
− 2𝑛
= 6
(2𝑛)2
− 2𝑛
− 6 = 0
Fazendo:
2𝑛
= 𝑦
y² - y – 6 = 0
Encontramos:
y = 3
y = -2 (Não serve)
A questão pede o valor de f(n). Logo:
2𝑛
= 𝑦 2𝑛
= 3
Logo, f(n) = 3
Resposta: C
14. (UFRN) A torre de Hanoy é um quebra-cabeça constituído por três pinos fixados numa base de
madeira e um certo número de discos de tamanhos diferentes. Uma torre é uma configuração de discos,
como ilustra a figura abaixo. O desafio consiste em transportar uma torre do primeiro pino para
qualquer um dos dois pinos livres observando a regra: os discos são transportados um a um, não sendo
permitido colocar um disco maior sobre um menor, em nenhum dos pinos. Sabe-se que, se n é o número
de discos encaixados num pino, o número mínimo de jogadas para se transportar essa torre para outro
pino é 2n -1.

14
Se um jogador faz uma jogada a cada 10 segundos e transporta a torre de um pino a outro em 10
minutos e 30 segundos, utilizando o menor número de jogadas possíveis, podemos afirmar que a
quantidade de discos na torre era:
a) 6
b) 5
c) 7
d) 8
e) 9
Solução
Veja, em 10 minutos e 30 segundos nós temos 630 segundos.
Se o jogador realiza 1 o movimento a cada 10 segundos, a quantidade de movimentos executados em 630
segundos é 63.
O número mínimo de movimentos para mover a torre de um pino a outro é 2n
-1.
Portanto:
63 = 2n
-1
2n
= 63 + 1
2n
= 64
2n
= 26
𝐧 = 𝟔
Logo, a quantidade de discos na torre era 6 discos.
Resposta: A
15. (UEL) O processo de decomposição do corpo começa alguns minutos depois da morte. Quando o
coração para, ocorre o algor mortis ou o frio da morte, quando a temperatura do corpo diminui até
atingir a temperatura ambiente.
(Adaptado de: http://diariodebiologia. com/2015/09/o-que-acontece-como-corpo-logo-apos-a-morte/>.
Acesso em: 29 maio 2017.)
Suponha que um cadáver é analisado por um investigador de polícia às 5 horas da manhã do dia 28,
que detalha as seguintes informações em seu bloco de anotações:

15
Imediatamente após escrever, o investigador utiliza a Lei de Resfriamento:
Para revelar a todos os presentes que faz t horas que a morte ocorreu. Assinale a alternativa que
apresenta, corretamente, a hora e o dia da morte, segundo o investigador:
a) 11 horas da noite do dia 27
b) 8 horas da noite do dia 27
c) 2 horas da manhã do dia 28
d) 4 horas da manhã do dia 28
e) 10 horas da manhã do dia 27
Solução
Nós só precisamos substituir os valores dados na função.
T = 31,
Tn = 37
Ts = 25
31 − 25 = 12(√2
6
)
−𝑡
6 = 12(√2
6
)
−𝑡
: (6)
1 = 2(√2
6
)
−𝑡
1 = 2 [2
1
6]
−𝑡

16
1 = 2[2]
−𝑡
6
1 = 2
1
[2]
𝑡
6
[2]
𝑡
6 = 2
[2]
𝑡
6 = 2
𝑡
6
= 1
𝒕 = 𝟔 𝒉
Este resultado indica que a pessoa morreu há 6 horas.
Assim, se faz 6 horas que a morte ocorreu, isso significa que esta ocorreu às 11 horas da noite do dia 27.
Resposta: A
16. (UECE) Um empregado está executando a sua tarefa com mais eficiência, a cada dia. Suponha que:
N = 640(1 –2–0,5t) seja o número de unidades fabricadas por dia por esse empregado, após t dias do início
do processo de fabricação. Em que dia ele fabricou 635 unidades?
Solução
O que a questão quer é o valor de t quando N = 635:
Resposta: C

17
17. Identifique os valores de k que fazem a função abaixo decrescente:
a) k > 1
b) 1/5 < k < 2/5
c) 0 < k < 1/5
d) 1 < k < 5
e) k = 0
Solução
Para que uma função exponencial seja decrescente, devemos ter 0<a<1.
Na questão temos que a = 5k – 1.
Devemos ter então 0 < 5k-1 < 1
Primeiramente vamos verificar os valores de k que fazem a>0.
5k – 1 > 0
5k > 1
k > 1/5
Vamos agora verificar os valores de k que fazem a<1.
5k – 1 < 1
5k < 1 + 1
5k < 2
k < 2/5
Daí, devemos ter 1/5 < k < 2/5
Resposta: B
18. (UNIT-SE). Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos
após a sua compra, é dado pela lei abaixo, onde k é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina
estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
a) 48000
b) 48500
c) 64000
d) 45900
e) 84000
Solução
Pela lei da função v(t), é fácil perceber que v(0) = k, ou seja, o valor de compra da máquina é justamente k.
Nosso objetivo será descobrir o valor dessa constante.
Pelo enunciado, temos que v(10) = 12 000. Temos então:

18
Resposta: A
19. (UESPI 2007) Um botânico, após registrar o crescimento diário de uma planta, verificou que o
mesmo se dava de acordo com a função abaixo, com t representando o número de dias contados a partir
do primeiro registro e f(t) a altura (em cm) da planta no dia t. Nessas condições, é correto afirmar que
o tempo necessário para que essa planta atinja a altura de 88,18 centímetros é:
a) 30 dias.
b) 40 dias.
c) 46 dias.
d) 50 dias.
e) 55 dias.
Solução
Como desejamos saber quando a planta atinge 88,18 centímetros, basta fazermos f(t) = 88,18.
Resposta: D
20. (ENEM) Enquanto um ser está vivo, a quantidade de carbono 14 nele existente não se altera. Quando
ele morre, essa quantidade vai diminuindo. Sabe-se que a meia-vida do carbono 14 é de 5 730 anos, ou
seja, num fóssil de um organismo que morreu há 5 730 anos haverá metade do carbono 14 que existia
quando ele estava vivo. Assim, cientistas e arqueólogos usam a seguinte fórmula para saber a idade de
um fóssil encontrado:

19
em que t é o tempo, medido em ano, Q(t) é a quantidade de carbono 14 medida no instante t e Q0 é a
quantidade de carbono 14 no ser vivo correspondente. Um grupo de arqueólogos, numa de suas
expedições, encontrou 5 fósseis de espécies conhecidas e mediram a quantidade de carbono 14 neles
existente. Na tabela temos esses valores juntamente com a quantidade de carbono 14 nas referidas
espécies vivas.
O fóssil mais antigo encontrado nessa expedição foi:
A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) 4.
E) 5.
Solução
Observe que Q(t) é uma função exponencial.
Facilitaremos a análise fazendo uma pequena alteração na função, considerando que temos uma potência de
expoente negativo, ou seja, o sinal ficará positivo assim que invertermos a base:
Temos agora uma função exponencial cuja base é menor que 1. Neste caso, teremos uma função
decrescente, cujo gráfico será parecido com o da figura abaixo:
Sabendo que a função é decrescente, basta que calculemos o fóssil que apresentou a maior queda percentual
de carbono 14.
• Fóssil 1
32/128 = 0,25 = 25%
• Fóssil 2
8/256 = 0,03125 = 3,125%

20
• Fóssil 3
64/512 = 0,125 = 12,5%
• Fóssil 4
512/1024 = 0,5 = 50%
• Fóssil 5
128/2048 = 0,0625 = 6,25%
Observe que a maior queda percentual de carbono 14 ocorreu no fóssil 2, que possui apenas 3,125% do
carbono 14 inicial.
Resposta: B
21. Um administrador resolve estudar o lucro de sua empresa e, para isso, traça o gráfico da receita e
do custo de produção de seus itens, em real, em função da quantidade de itens produzidos.
O lucro é determinado pela diferença: Receita – Custo.
O gráfico que representa o lucro dessa empresa, em função da quantidade de itens produzidos, é:

21
Solução
Observe que a figura apresenta os gráficos da receita e do custo em função da quantidade de itens (x)
produzidos.
• Quando x = 5, a receita é igual ao custo, ou seja, o lucro é igual a zero;
O único gráfico que possui essas características, apresentando lucro igual a zero para x = 5 e x = 15, lucro
negativo para 5<x<15, e lucro positivo para 15<x<30 é o gráfico apresentado na letra A.
Resposta: A
22. (UNEMAT) Certa substância se desintegra obedecendo à seguinte expressão: Q(t) = k.2-0,5t , em que
t é o tempo (em horas), k é uma constante real e Q(t) é a quantidade da substância (em gramas), no
tempo t.
Considerando que no instante inicial, t = 0, a quantidade de substância é de 800g, assinale a alternativa
que corresponde ao tempo necessário para que a quantidade dessa substância esteja reduzida a 25%
do seu valor: inicial.
a) 2 h
b) 4 h

22
c) 6 h
d) 8 h
e) 10 h
Solução
Nós sabemos que Q(0) = 800, portanto
800 = k.2-0,5.0
800 = k.20
, qualquer número diferente de 0 elevado a 0 é 1 ⇨ a0
= 1
800 = k.1
A questão quer saber quanto tempo leva para a substância atingir 25% de 800 g.
25% de 800 é 200, logo:
Resposta: B
23. (ENEM) O governo de uma cidade está preocupado com a possível epidemia de uma doença
infectocontagiosa causada por bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de
reprodução da bactéria. Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, inicialmente com 40
mil unidades, obteve-se a fórmula para a população:
p(t) = 40.23t
Em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em milhares de bactérias.
Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 min, a população será
a) reduzida a um terço.
b) reduzida à metade.

23
c) reduzida a dois terços.
d) duplicada.
e) triplicada.
Solução
Vamos descobrir a população de bactérias 20 min após o início do experimento.
20 min equivale a 1/3 de 1 hora, logo:
Resposta: D
24. (UFF) A automedicação é considerada um risco, pois, a utilização desnecessária ou equivocada de
um medicamento pode comprometer a saúde do usuário, a saber, substâncias ingeridas difundem-se
pelos líquidos e tecidos do corpo, exercendo efeito benéfico ou maléfico. Depois de se administrar
determinado medicamento a um grupo de indivíduos, verificou-se que a concentração (y) de certa
substância em seus organismos alterava-se em função do tempo decorrido (t), de acordo com a
expressão:
y = y02-0,5t
Em que y0 é a concentração inicial e t é o tempo em hora. Nessas circunstâncias, pode-se afirmar que a
concentração da substância se tornou a quarta parte da concentração inicial após:
a) 1/4 de hora
b) meia hora
c) 1 hora
d) 2 horas
e) 4 horas
Solução
y0 é a concentração inicial da substância.
Após um certo tempo t, a concentração da substância atinge 1/4 da concentração inicial, ou seja:

24
Resposta: E
25. (ENEM) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos
e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8.000 unidades
de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e
aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos,
garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no
ano t de funcionamento da indústria.
Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P
em função de t, para t ≥ 1
a) P(t) = 0,5t-1 +8000
b) P(t) = 50t-1 +8000
c) P(t) = 4000t-1 +8000
d) P(t) = 8000(0,5)t -1
e) P(t) = 8000(1,5)t -1
Solução
No 1º ano foram fabricadas 8.000 unidades, ou seja, P = 8000
No 2º ano a quantidade de unidades fabricadas aumentou em 50%, assim
P = 8000 +0,5.8000
P = 8000(1 +0,5)
P = 8000(1,5)
No 3º ano a quantidade de unidades fabricadas aumentou em 50% em comparação ao 2º ano, portanto
P = 8000(1,5) +0,5(8000(1,5) )
P = 8000(1,5)(1 +0,5)

25
P = 8000(1,5)(1,5)
P = 8000(1,5)2
No 4º ano a quantidade de unidades fabricadas aumentou em 50% em comparação ao 3º ano
P = 8000(1,5)2
+0,5(8000(1,5)2
)
P = 8000(1,5)2
(1 +0,5)
P = 8000(1,5)2
(1,5)
P = 8000(1,5)3
E assim por diante.
Acredito que já deu para observar o padrão de crescimento das unidades fabricadas.
Resposta: E
26. (ESPCEX) A figura mostra um esboço do gráfico da função f(x) = ax +b, com a e b reais, a > 0, a ≠
1 e b ≠ 0. Então, o valor de f(2) -f(-2) é igual a:

26
Solução
Olhando no gráfico nós vemos que f(0) = 3
assim sendo
3 = a0
+b, qualquer número diferente de 0 elevado a 0 é 1
3 = 1 +b
b = 2
Ademais f(-2) = 6
Portanto:
Logo:
Então:

27
Resposta: B
27. (FATEC) Na figura abaixo, os pontos A e B são as intersecções dos gráficos das funções f e g.
Solução
Uma função afim tem o seguinte formato f(x) = ax +b.
Para determinarmos a função f(x), nós só precisamos de dois pontos por onde a reta f(x) passa.
Olhando no gráfico nós vemos que as funções se interceptam em x = 0
Logo:

28
Elas também se encontram em x = 2
Assim sendo:
Já temos os pontos que precisamos. Vamos substituí-los na função
f(0) = a.0 +b
Nós descobrimos também que
f(2) = a.2 +1

29
2 = 2a +1
Finalmente:
Resposta: C
28. (OSEC) Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura, em função do tempo t,
medido em horas, é dado por:
Isso significa que 5 dias após a hora zero, o número de bactérias é:
Solução
Se 1 dia tem 24 horas, 5 dias têm 120 horas.
Então, 5 dias após a hora zero, passaram-se 120 horas, e a quantidade de bactérias é:

30
Resposta: A
29. (FATEC) Qualquer quantidade de massa do chumbo 210 diminui em função do tempo devido à
desintegração radioativa. Essa variação pode ser descrita pela função exponencial dada por:
mt = m0.2-kt. Nessa sentença, mt é a massa (em gramas) no tempo t (em anos), m0 é a massa inicial e k é
uma constante real.
Sabendo-se que, após 66 anos, tem-se apenas 1/8 da massa inicial, o valor k é?
Solução
Logo:
Resposta: D

31
30. (FGV) Um computador desvaloriza-se exponencialmente em função do tempo, de modo que seu
valor y, daqui a x anos, será y = a.kx, em que a e k são constantes positivas.
Se hoje o computador vale R$ 5.000,00 e valerá a metade desse valor daqui a 2 anos, seu valor daqui a
6 anos será:
a) R$ 625,00
b) R$ 550,00
c) R$ 575,00
d) R$ 600,00
e) R$ 650,00
Solução
Hoje o computador vale R$ 5.000,00, portanto
5000 = a.k0
, qualquer número diferente de 0 elevado a 0 é 1
a = 5000
Daqui a 2 anos, o computador valerá R$ 2.500,00.
Daqui a 6 anos, o computador valerá:
Resposta: A
31. (PUC) Pesquisadores da Fundação Osvaldo Cruz desenvolveram um sensor a laser capaz de detectar
bactérias no ar em até 5 horas, ou seja, 14 vezes mais rápido do que o método tradicional. O
equipamento, que aponta a presença de micro-organismos por meio de uma ficha óptica, pode se tornar
um grande aliado no combate às infecções hospitalares.

32
Suponha que o crescimento de uma cultura de bactérias obedece à lei:
na qual N representa o número de bactérias no momento t, medido em horas. Se no momento inicial,
essa cultura tinha 200 bactérias, ao fim de 8 horas o número delas era?
a) 3.600
b) 3.200
c) 3.000
d) 2.700
e) 1.800
Solução
No momento inicial, ou seja, quando t = 0, haviam 200 bactérias, assim sendo:
Após 8 horas, a quantidade de bactérias será:
Resposta: B
32. (UPE) Em uma colônia, o número de formigas prolifera de acordo com a função f(p) = 500.(2)0,75p,
onde p é o período em dias. Qual o valor de p quando o número de formigas chegar a 256.000?
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13
Solução

33
256000 = 500.20,75p
512 = 20,75p
29
= 20,75p
, bases iguais nós podemos eliminá-las
9 = 0,75p
p = 12
Resposta: D
33. (UPE) Devido a desintegração radioativa, uma massa m0 de carbono 14 é reduzida a uma massa m
em t anos. As duas massas estão relacionadas pela fórmula:
Nessas condições, em quanto tempo 5g de carbono 14 serão reduzidos a 1,25 g?
a) 10.000 anos
b) 18.800 anos
c) 10.800 anos
d) 8.100 anos
e) 18.100 anos
Solução
A massa inicial é 5 g.
A massa final é 1,25 g.
Assim sendo:

34
Resposta: C
34. (FGV) A posição de um objeto A num eixo numerado é descrita pela lei:
Onde t é o tempo em segundos. No mesmo eixo, move-se o objeto B, de acordo com a lei 2-t.
Os objetos A e B se encontrarão num certo instante tAB. O valor de tAB, em segundos, é um divisor de:
a) 28
b) 26
c) 24
d) 22
e) 20
Solução
Se em um dado instante A e B se encontram, então:
Resolvendo, temos:

35
Ou:
Nós fizemos 2-t
= x2
, portanto:
0 não é divisor de nenhum número. Portanto, este resultado não nos interessa.
Resposta: C
35. (UNIFOR) A trajetória de um salto de um golfinho nas proximidades de uma praia, do instante
em que ele sai da água (t = 0) até o instante em que ele mergulhou (t = T), é descrita através da
equação: h(t) = 4t -t.20,2t, onde o tempo t é medido em segundos e a altura h é medida em metros. O
tempo, em segundos, em que o golfinho esteve fora d’água durante o salto é de:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 8
e) 10
Solução
Qual era a altura do golfinho assim que ele saiu da água ?
h(0) = 4.0 -0.20,2.0
h(0) = 0
Então, em t = 0, a altura dele quando ele está saindo da água é zero:
quando ele estiver voltando para a água, a altura também é zero.

36
Assim sendo
0 = 4t -t.20,2t
-4t = -t.20,2t
4t = t.20,2t
4 = 20,2t
22
= 20,2t
, bases iguais nós podemos eliminá-las
2 = 0,2t
t = 10
Resposta: E
36. (FEPECS) Com base em uma pesquisa, obteve-se o gráfico abaixo, que indica o crescimento de
uma cultura de bactérias ao longo de 12 meses pela lei de formação representada pela função N(t) =
k.pt, onde k e p são constantes reais.
Nas condições dadas, o número de bactérias, após 4 meses, é:
a) 1.800
b) 2.400
c) 3.000
d) 3.200
e) 3.600
Solução
Olhando no gráfico nós vemos que N(0) = 1.200

37
Portanto:
1200 = k.p0
, qualquer número diferente de 0 elevado a 0 é 1
k = 1200
Voltando ao gráfico, nós vemos que N(12) = 9.600
assim sendo
9600 = 1200.p12
8 = p12
(p4
)3
= 8
p4 = 2
A quantidade de bactérias após 4 meses é:
N(4) = 1200.p4
N(4) = 2.400
Resposta: B
37. (UEPA) Os dados estatísticos sobre violência no trânsito nos mostram que é a segunda maior causa
de mortes no Brasil, sendo que 98% dos acidentes de trânsito são causados por erro ou negligência
humana e a principal falha cometida pelos brasileiros nas ruas e estradas é usar o celular ao volante.
Considere que em 2012 foram registrados 60.000 mortes decorrentes de acidentes de trânsito e destes,
40% das vítimas estavam em motos. (Texto adaptado: revista Veja, 19/08/2013)
A função N(t) = N0(1,2)t fornece o número de vítimas que estavam de moto a partir de 2012, sendo t o
número de anos e N0 o número de vítimas que estavam em moto em 2012. Nessas condições, o número
previsto de vítimas em moto para 2015 será de:

38
a) 41.472
b) 51.840
c) 62.208
d) 82.944
e) 103.680
Solução
Em 2012 foram registradas 60.000 mortes no trânsito, sendo que destas, 40% estavam em motos, logo:
N(t) = N0(1,2)t
é a função que dá a quantidade de motociclistas vitimados a partir de 2012.
Sendo t o tempo medido em anos, tal que t = 0 corresponde a 2012, t = 1 corresponde a 2013, t = 2 seria
2014 e assim por diante.
A questão quer a quantidade de vítimas em 2015 (t = 3)
N(3) = 24000(1,2)3
N(3) = 41.472
Resposta: A
38. (CESMAC) Um biomédico está pesquisando uma espécie de bactéria descoberta recentemente. Ele
assume que o crescimento da colônia de bactérias ocorre exponencialmente, ou seja, que o número de
bactérias na colônia será de N0.ert, passadas t horas do instante inicial (t = 0), com N0 sendo o número
de bactérias no instante inicial e r a taxa de crescimento, dada em bactérias por hora.
Se, no instante inicial, temos 100 bactérias e, passada meia hora, o número de bactérias era 450, qual o
valor de r? Dado: use a aproximação ln (4,5) ≈ 1,50.
a) 3 bactérias por hora
b) 2 bactérias por hora
c) 1 bactéria por hora
d) 5 bactérias por hora
e) 4 bactérias por hora
Solução
A função f(t) = N0ert
nos dá a quantidade de bactérias t horas após o início do experimento.
Segundo a questão N0 = 100.

39
Ainda segundo ela “passada meia hora, o número de bactérias era 450”, ou seja:
Assim sendo:
Resposta: A
39. (FPS) Um médico, ao estudar o crescimento de crianças de um a doze anos, obteve a fórmula:
i = 100h-0,7 , onde a altura h é dada em metros, e a idade i, em anos. A seguir, temos o esboço de parte do
gráfico de i em termos de h.
Segundo a fórmula, qual a idade de uma criança com altura de 120 cm ?
a) 11 anos
b) 10 anos
c) 9 anos
d) 8 anos
e) 7 anos
Solução

40
A idade de uma criança como 120 cm ou 1,2 metros é:
Resposta: B
40. (ENEM) Um modelo de automóvel tem seu valor depreciado em função do tempo de uso segundo a
função f(t) = b.at, com t (em anos). Essa função está representada no gráfico.
Qual será o valor desse automóvel, em real, ao completar dois anos de uso ?
a) 48.000,00
b) 48.114,00
c) 48.600,00
d) 48.870,00
e) 49.683,00
Solução
Olhando no gráfico nós vemos que o valor inicial do carro é R$ 60.000,00.
f(0) = 60000
Portanto:

41
f(t) = b.at
f(0) = 60000.a0
, qualquer número diferente de 0 elevado a 0 é 1.
f(0) = 60000.1
Nós vemos também que com 1 ano de uso o valor cai para R$ 54.000,00.
ou seja:
f(t) = b.at
54000 = 60000.a¹
a = 54000/60000
Após 2 anos de uso, o valor será:
f(t) = b.at
f(2) = 600. 81
Resposta: C

42
41. (ACAFE) Quando um paciente ingere um medicamento, a droga entra na corrente sanguínea e, ao
passar pelo fígado e pelos rins, é metabolizada e eliminada. A quantidade de medicamentos, em
miligramas, presente no organismo de um paciente é calculada pela função:
onde t é o tempo dado em horas.
O tempo necessário para que a quantidade de medicamento em um paciente se reduza a 40% da
quantidade inicial, é:
Dado: log 2 = 0,3
a) 13 horas e 33 minutos
b) 6 horas e 6 minutos
c) 13 horas e 20 minutos
d) 6 horas e 40 minutos
e) 7 horas e 12 minutos
Solução
Qual é a quantidade inicial de medicamento?
Vamos calcular Q(0):
Q(0) = 30.21
Q(0) = 30.2
Quanto tempo leva para que a quantidade de medicamento se reduza a 40% de 60?
Ou seja, quanto tempo leva para que Q(t) = 0,4.60

43
0,4.60
30
= 21−
𝑡
10
0,8 = 21−
𝑡
10
Mas nós não conhecemos log210.
Vamos mudar a base.
Pela propriedade da mudança de base, loga b em uma nova base c é:
Assim sendo log210 na base 10 é:
Substituindo em eq1:
3 −
1
0,3
= 1 −
𝑡
10

44
0,9 − 1
0,3
=
10 − 𝑡
10
−0,1
0,3
=
10 − 𝑡
10
3 − 0,3𝑡 = −1
−0,3𝑡 = −1 − 3
−0,3𝑡 = −4
t =
−4
−0,3
. (
−10
−10
)
t =
40
3
t = 13
1
3
1
3
de hora =
1
3
. 60 = 𝟐𝟎 𝐦𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨𝐬
Logo:
𝐭 = 𝟏𝟑 𝐡𝐨𝐫𝐚𝐬 𝐞 𝟐𝟎 𝐦𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨𝐬
Resposta: C
42. (USF) Em um experimento, o número de bactérias presentes nas culturas A e B, no instante t, em
horas, é dado, respectivamente, por: A(t) = 10·2t -1 + 238 e B(t) = 2t +2 + 750. De acordo com essas
informações, o tempo decorrido, desde o início desse experimento, necessário para que o número de
bactérias presentes na cultura A seja igual ao da cultura B é:
a) 5 horas
b) 6 horas
c) 7 horas
d) 9 horas
e) 12 horas
Solução
O número de bactérias presentes na cultura A será igual ao da cultura B quando:
A(t) = B(t)

45
10. 2t−1
− 2t+2
= 750 − 238
10. 2t−1
− 2t+2
= 512
10. 2t
. 2−1
− 2t
. 22
= 512
Façamos:
2t
= x
10. x.
1
2
− 4𝑥 = 512
5𝑥 − 4𝑥 = 512
𝑥 = 512
𝐱 = 𝟐𝟗
Como:
2t
= x
2t
= 29
𝐭 = 𝟗 𝐡𝐨𝐫𝐚𝐬
Resposta: D
43. (UFJF) Durante o início de um experimento um pesquisador analisou uma população com 101
indivíduos. Após t anos a população passou a ser de 181 indivíduos, e depois de t2 anos da análise inicial
a população passou para 6.661 indivíduos. A função y = bx + c com b > 1, determina o crescimento da
população após x anos.
Qual o valor da soma b + c?
a) 103
b) 104
c) 109
d) 1110
e) 111
Solução

46
No início do experimento, ou seja, quando x = 0, a população era de 101, portanto
101 = b0
+c, qualquer número diferente de 0 elevado a 0 é 1
101 = 1 +c
c = 100
Após t anos, a população era 181
181 = bt
+100
bt = 81
E depois de t2
anos, a população era 6661, assim sendo
6661 = bt²
+100
bt²
= 6561
(bt
)t
= 6561
81t
= 6561
81t
= 812
t = 2
Nós sabemos que bt
= 81, logo
b2
= 81
b = √81
b = 9
Finalmente:
Resposta: C
44. (UEL) A espessura da camada de creme formada sobre um café expresso na xícara, servido na
cafeteria A, no decorrer do tempo, é descrita pela função E(t) = a,2bt, onde t ≥ 0 é o tempo (em
segundos) e a e b são números reais. Sabendo que inicialmente a espessura do creme é de 6 milímetros
e que, depois de 5 segundos, se reduziu em 50%, qual a espessura depois de 10 segundos?
Solução

47
E(0) = 6
6 = a ⋅2b ⋅0 ⇔ 6 = a ⋅1 ⇔ a = 6
E(5) = 0,5 ⋅ 6 = 3
Portanto, E(t) = 6. 2−
1
5
.𝑡
Calculando E(10), tem-se:
E(10) = 6. 2−
1
5
.10
E(10) = 6. 2−
10
5
E(10) = 6. 2− 2
E(10) = 6.
1
2²
E(10) =
6
4
∶
2
2
E(10) =
3
2
E(10) = 1,5
Resposta: 1,5 mm
45. Observe o gráfico da função f, dado por: 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙+𝒂
+ 𝒃, e determine os valores de “a” e “b”,
sabendo que a = -b.
Solução
De acordo com o enunciado da questão:

48
a = - b
Pelo gráfico, temos os seguintes pontos definidos:
(1, 2) e (2, 3)
(i) Para o ponto (1, 2), temos:
f(x) = 2x+a
+ b
f(1) = 21−𝑏
+ b
2 = 2. 2−b
+ b (i)
(ii) Para o ponto (2, 3), temos:
f(x) = 2x+a
+ b
f(2) = 22−b
+ b
3 = 22
. 2−b
+ b (ii)
Fazendo:
(ii) – (i), resulta em:
3 = 22
. 2−b
+ b
−2 = −2. 2−b
− b
----------------------
1 = 2. 2−𝑏
2−𝑏
=
1
2
2−𝑏
= 2−1
−𝑏 = −1
𝐛 = 𝟏
Como:
a = -b
a = -1

49
46. Determine o ponto de intersecção dos gráficos das funções: 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝟗𝒙−𝟏 𝒆 𝒈(𝒙) = 𝟑𝒙+𝟏
.
Solução
Devemos ter:
f(x) = g(x)
1
9x−1
= 3𝑥+1
1
(32)𝑥−1
= 3𝑥+1
1
32x−2
= 3x+1
3−2x+2
= 3x+1
−2x + 2 = x + 1 −
2x − x = 1 − 2
−3x = −1
𝐱 =
𝟏
𝟑
Substituindo o valor de x na função f(x), temos:
f(x) =
1
9x−1
f (
1
3
) =
1
9
1
3
−1
f (
1
3
) =
1
9−
2
3
f (
1
3
) = 9
2
3
f (
1
3
) = √92
3
f (
1
3
) = √81
3

50
f (
1
3
) = √33. 3
3
𝐟 (
𝟏
𝟑
) = 𝟑√𝟑
𝟑
Logo, o ponto de intersecção entre f(x) e g(x) é: (1/3, 𝟑√𝟑
𝟑
)
47. Em uma cidade, o número de habitantes é dado pela função: 𝑯(𝒓) = 𝒌. 𝟐𝟑𝒓
, em que k é constante e
r, que é o raio de distância a partir do centro dessa cidade, é positivo e dado em quilômetro. Sabendo
que existem 20.480 habitantes num raio de 4 km contados desde o centro, quantos habitantes há num
raio de 6 km?
Solução
Empregando a função dada, podemos descobrir o valor da constante k:
H(r) = k. 23r
20480 = k. 23.4
20480 = k. 212
k =
20480
212
k =
20480
4096
𝐤 = 𝟓
Para calcular o número de habitantes para um raio de 6 km, devemos substituir a constante k por 5 e o raio r
por 6.
H(r) = k. 23r
(H(6) = 5.23.6
H(6) = 5.218
H(6) = 5 x 262144
H(6) = 1.310.720
Portanto, haverá 1.310.720 habitantes num raio de 6 km.
48. A função 𝒏(𝒕) = 𝟏𝟎𝟎𝟎. 𝟐𝟎,𝟐𝒕
indica o número de bactérias existentes em um recipiente, em que t é o
número de horas decorridas.
(a) Quantas bactérias haverá no recipiente após 10 horas no início do experimento?

51
(b) Em quanto tempo após o início do experimento haverá 64.000 bactérias?
Solução
(a)
Para t = 10, temos:
n(t) = 1000. 20,2t
n(10) = 1000. 20,2.10
n(10) = 1000. 22
n(10) = 1000.4
𝐧(𝟏𝟎) = 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝐛𝐚𝐜𝐭é𝐫𝐢𝐚𝐬
(b)
n(t) indica o número de bactérias no instante t, portanto:
n(t) = 64000
n(t) = 1000. 20,2t
1000. 20,2t
= 64000
20,2t
=
64000
1000
20,2t
= 64
20,2t
= 26
0,2t = 6
t =
6
0,2
𝐭 = 𝟑𝟎
Logo, haverá 64000 bactérias após 30 horas desde o início do experimento.
49. Certa substância se decompõe segundo a lei: 𝒎(𝒕) = 𝒌. 𝟐−𝟎,𝟓𝒕
, em que k é uma constante, t indica o
tempo em minuto, e m(t), a massa da substância em grama. No instante inicial há 2048 gramas. Essa
quantidade decai para 512 gramas após t minutos. Com base nessas informações, determine os valores
de k e de t.
Solução

52
No instante inicial t = 0 temo, m(0) = 2048
Assim:
m(t) = k. 2−0,5t
m(0) = k. 2−0,5.0
2048 = k. 20
2048 = k. 1
𝐤 = 𝟐𝟎𝟒𝟖
Como a massa da substância decai para 512 gramas após t minutos, temos:
m(t) = 512
m(t) = k. 2−0,5t
512 = 2048. 2−0,5t
2−0,5t
=
512
2048
2−0,5t
=
1
4
2−0,5t
=
1
22
2−0,5t
= 2−2
− 0,5𝑡 = −2 𝑡 =
−2
−0,5
𝑡 = 4
Resposta: k = 2048 gramas; t = 4 minutos
50. Certo montante pode ser calculado pela fórmula: 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒊)𝒕
, em que C é o capital, “i” é taxa
corrente e “t” é o tempo. Com um capital de R$ 20.000,00, a uma taxa anual de 12% (i = 0,12) qual será
o montante após 3 anos?
Solução
M = C(1 + i)t
M = 20000(1 + 0,12)3
M = 20000(1,12)3
M = 20000. (1,404928)
𝐌 = 𝐑$ 𝟐𝟖. 𝟎𝟗𝟖, 𝟓𝟔

53
51. Com base em uma pesquisa, obteve-se o gráfico abaixo que indica o crescimento de uma cultura de
bactérias ao longo de 6 meses.
a) Com quantas bactérias se iniciou a pesquisa?
b) Após 6 meses, qual a quantidade total de bactérias?
c) Admitindo a lei de formação da função que representa essa situação como: 𝒇(𝒕) = 𝒌. 𝒂𝒕
, determine
os valores de “a” e de “k”.
d) Qual é o número de bactérias após 3 meses?
Considere: √𝟑 = 𝟏, 𝟕
Solução
(a)
Pelo gráfico, vemos que a pesquisa se iniciou com 5.000 bactérias.
(b)
Pelo gráfico: f(6) = 15000, logo, a quantidade após 6 meses foi de 15.000 bactérias.
(c)
f(t) = k. at
f(0) = 5000
k. a0
= 5000
k. 1 = 5000
𝐤 = 𝟓𝟎𝟎𝟎
f(6) = 15000
f(t) = k. at
15000 = 5000. a6

54
a6
=
15000
5000
a6
= 3
𝐚 = √𝟑
𝟔
(d)
f(t) = k. at
para t = 3, temos:
f(t) = k. at
f(3) = 5000. (√3
6
)
3
f(3) = 5000. ( √3
6:3
)
3:3
f(3) = 5000. √3
f(3) = 5000.1,7
f(3) = 8500
Logo, após 3 meses, o número de bactérias será, aproximadamente, 8500.
52. Uma pessoa depositou R$ 1.687,50 em uma aplicação financeira. Calcule em quantos meses o valor
aplicado dobrará sabendo que a função que representa o valor de resgate após x meses é dada por:
𝐑(𝐱) = 𝟏𝟎𝟎𝟎. (𝟏, 𝟓)𝒙
.
Solução
A questão afirma que o valor inicial aplicado dobrará. Logo:
1.687,50 x 2 = R$ 3.375,00
R(x) = 1000. (1,5)𝑥
3375 = 1000. (1,5)𝑥
(1,5)𝑥
=
3375
1000
(1,5)x
= (
3
2
)
3

55
(1,5)x
= (1,5)3
𝐱 = 𝟑
Resposta: O valor aplicado dobrará em 3 meses.
53. Considere as funções: 𝐟(𝐱) = 𝟓. 𝟒−𝐱
𝐞 𝐠(𝐱) = (𝟎, 𝟐𝟓)𝟐𝐱
+ 𝟒. Para que valores de “x” essas funções
assumem valores iguais:
Solução
Devemos ter:
f(x) = g(x)
5.4−x
= (0,25)2x
+ 4
5.4−x
= (
25
100
:
25
25
)
2𝑥
+ 4
5.4−x
= [
1
4
]
2𝑥
+ 4
5.4−x
= (
1
4
)
2𝑥
+ 4
5. 4−x
= (4)−2x
5.4−x
= (4−x)2
+ 4
𝐅𝐚ç𝐚: 𝟒−𝐱
= 𝒚
5y = y2
+ 4
y2
− 5y + 4 = 0
∆= b2
− 4ac
∆= (−5)2
− 4.1.4
∆= 25 − 16
∆= 𝟗
y =
−b ± √∆
2. a
y =
5 ± √9
2

56
y′
=
5 + 3
2
𝐲′
= 𝟒
y" =
5 − 3
2
𝐲" = 𝟏
4−x
= y
4−x
= 41
−x = 1
𝒙 = −𝟏
4−x
= y
4−x
= 1
4−x
= 40
−x = 0
𝐱 = 𝟎
Resposta: Os valores de “x” para os quais as funções f(x) e g(x) assumem valores iguais são: -1 e 0.
54. (UFPR) – Um grupo de cientistas decidiu utilizar o seguinte modelo logístico, bastante conhecido
por matemáticos e biólogos, para estimar o número de pássaros, P(t), de determinada espécie numa
área de proteção ambiental. Sendo t o tempo em anos e t = 0 o momento em que o estudo foi iniciado.
a) Em quanto tempo a população chegará a 400 indivíduos?
Solução:
b) À medida que o tempo t aumenta, o número de pássaros dessa espécie se aproxima de qual valor?
Justifique sua resposta.

57
Para t muito grande, o valor 22-t
tende a ser 0; logo, P(t) será dado por:
Portanto, o número de pássaros dessa espécie se aproxima a 500.
55. Uma determinada máquina adquirida por R$ 20.000,00 deprecia 10% ao ano. Qual será o valor
desta máquina 5 anos após sua compra?
Solução
Para esse exercício podemos usar a equação exponencial de um crescimento (ou decrescimento) dada uma
situação inicial, uma taxa e um período de tempo.
Valor Futuro = Valor Inicial (1+ i)t
Valor Futuro = é o que desejamos calcular
Valor Inicial = R$ 20.000,00
t = 5
i = -10% (valor negativo já que representa um decrescimento)
VF = 20.000 ( 1 - 0,10)5
VF = 20.000 ( 0,90)5
VF = 20.000 (0,59) = R$ 11.809,80
A fórmula utilizada é a mesma fórmula do montante de um capital nos juros compostos. Essa fórmula
representa uma equação exponencial.
56. A população de uma determina cidade no ano 2000 era de 100.000 habitantes, desde então passou a
crescer 10% ao ano. Qual será a população desta cidade no ano 2030?
Solução
Considerando o ano 2.000 como sendo (t = 0), 2001 como (t = 1), e assim sucessivamente, em 2030 (t = 30).
VF = objetivo a ser calcular
VI = 100.000
t = 30
i = +10% =
10
100
=
1
10
= 0,10 (valor positivo já que representa um crescimento)
VF = Vi (1 + 𝑖)30
VF = 100.000 (1 + 0,10)30
VF = 100.000 (1,10)30
VF = 100.000 (17,4494)
VF = 1.744.940 habitantes

58
57. (CESGRANRIO) Para x > 0, seja Sx a soma:
O número real x para o qual se tem Sx = 1/4 é:
(A) 4
(B) log2 5
(C) 3/2
(D) 5/2
(E) log2 3
Solução
Utilizaremos a soma da PG infinita, equações exponenciais e logaritmos.
Sx representa a soma de uma PG infinita, cuja fórmula é:
Sx = a1 / ( 1-q )
onde a1 é o primeiro termo e q é a razão da PG infinita
a1 = 2-x
q = ?
Não sabemos, ainda, a razão q, mas sabemos o valor de a2 e a1, então podemos achar q por meio da divisão
de a2 por a1.
q = a2/a1
q = 4-x
/ 2-x
q = 2-2x
/ 2-x
q = 2-2x - (-x)
q = 2(-2x + x)
q = 2-x
Agora basta aplicar na fórmula:
Sx = a1 / ( 1-q ) = 1/4
2-x
/ (1 - 2-x
) = 1/4
4 . 2-x
= (1 - 2-x
)
4 . 2-x
+ 2-x
= 1
5. 2-x
= 1
2 -x
= 1/5
2 -x
= 5 -1
Podemos aplicar log dos dois lados:
log 2-x
= log 5 -1

59
-x . log 2 = -1 . log 5
x . log2 = log 5
x = log5 / log2
x = log25
Resposta: B.
58. (ENEM) Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor
de R$ 5.000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor
de empréstimo, o valor da prestação (P) é calculado em função do número de prestações (n) segundo a
fórmula
Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013; 2,602 como aproximação para log
400; 2,525 como aproximação para log 335.
De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite
definido pela pessoa é:
a) 12
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17
Solução
Essa é uma questão de Sistema Price, onde as prestações de um empréstimo são pagas com valores sempre
iguais, Exatamente como naqueles anúncios: "televisão em 24 x de R$ 80,00", ou "automóvel em 60 vezes
fixas de 799,00".
A questão, na minha opinião, é difícil, mas a banca facilitou bastante ao informar no enunciado a fórmula
do Sistema Price e nos oferecer os resultados dos logaritmos que precisaremos para efetuar os cálculos.
P = 5000.0,013 ( 1,013)n
/ (1,013)n
- 1 [Vamos adotar P = 400]
400 = 65 ( 1,013)n
/ (1,013)n
- 1
400 [ (1,013)n
- 1] = 65 ( 1,013)n
400 (1,013)n
- 400 = 65 ( 1,013)n
400 (1,013)n
- 65 ( 1,013)n
= 400
335 (1,013)n
= 400 [vamos agora aplicar log dos dois lados]
log 335 (1,013)n
= log 400
log 335 + log (1,013)n
= log 400
log 335 + n log (1,103) = log 400
A partir de agora, aplicaremos os logaritmos informados no enunciado da questão.

60
2,525 + n. 0,005 = 2,602
0,005 n = 2,602 - 2,525 = 0,077
n = 0,077/0,005 = 15,4 parcelas.
Agora precisamos julgar esse 15,4, pois n é o número de parcelas, que deve ser um valor inteiro.
Se n = 15 irá aumentar o valor prestação, para algo um pouco superior a R$ 400,00, inviabilizando a viagem.
Se n = 16 irá reduzir o valor da prestação, para algo um pouco inferior a R$ 400,00, tornando viável a
viagem na menor parcela possível abaixo de 400,00.
Sendo assim a alternativa correta é letra D.
Curiosidade: O Excel contém a função PGTO que calcula o valor das parcelas no sistema Price. A taxa
deste empréstimo, embora não tenha sido informada, está na própria fórmula dada pelo enunciado da
questão do ENEM e possui valor de 1,3% ao mês. O empréstimo é de 5.000 e os valores foram simulados
para parcelas de 13, 14, 15 e 16 vezes, confira a seguir os resultados.
Por que os valores não batem com o resultado do ENEM? Simplesmente porque os logaritmos que foram
informados no enunciado são valores aproximados. O Excel fornece um valor de maior precisão e por isso
essa diferença.
Função Exponencial
Definição
Função Exponencial é aquela que a variável está no expoente e cuja base é sempre maior que zero e diferente
de um.
Essas restrições são necessárias, pois 1 elevado a qualquer número resulta em 1. Assim, em vez de
exponencial, estaríamos diante de uma função constante.
Além disso, a base não pode ser negativa, nem igual a zero, pois para alguns expoentes a função não estaria
definida.
Por exemplo, a base igual a - 3 e o expoente igual a 1/2. Como no conjunto dos números reais não existe raiz
quadrada de número negativo, não existiria imagem da função para esse valor.
Exemplos:
f(x) = 4x
f(x) = (0,1)x
f(x) = (⅔)x
Nos exemplos acima 4, 0,1 e 2/3 são as bases, enquanto x é o expoente.

61
Gráfico da função exponencial
O gráfico desta função passa pelo ponto (0,1), pois todo número elevado a zero é igual a 1. Além disso, a
curva exponencial não toca no eixo x.
Na função exponencial a base é sempre maior que zero, portanto a função terá sempre imagem positiva. Assim
sendo, não apresenta pontos nos quadrantes III e IV (imagem negativa).
Função Crescente ou Decrescente
A função exponencial pode ser crescente ou decrescente.
Será crescente quando a base for maior que 1. Por exemplo, a função y = 2x
é uma função crescente.
Para constatar que essa função é crescente, atribuímos valores para x no expoente da função e encontramos a
sua imagem. Os valores encontrados estão na tabela abaixo.
Observando a tabela, notamos que quando aumentamos o valor de x, a sua imagem também aumenta.
Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que zero e menores que 1, são decrescentes. Por
exemplo, f(x) = (1/2)x
é uma função decrescente.
Calculamos a imagem de alguns valores de x e o resultado encontra-se na tabela abaixo.
Notamos que para esta função, enquanto os valores de x aumentam, os valores das respectivas imagens
diminuem. Desta forma, constatamos que a função f(x) = (1/2)x

62
Com os valores encontrados na tabela, traçamos o gráfico dessa função. Note que quanto maior o x, mais perto
do zero a curva exponencial fica.
LOGARITMOS
Logaritmo é um número "x", expoente de um valor fixo "a" que resulta em um valor "b".
Vamos por partes.
1º) Logaritmo é um número.
É um número tal que "a" elevado a "x" (ax
) é igual a "b" (ax
= b).
O logaritmo é utilizado para responder a pergunta "Qual o expoente de “a” que resulta em “b” ?" (a qual
número “a” deve ser elevado para obtermos “b”, ax
= b).
Para calcularmos o log de um número utilizamos a função log
logab = x (lê-se logaritmo de b na base a)
a: base, a ∊ R, a > 0 e a ≠ 1
b: logaritmando, b > 0
x: logaritmo
Se logab = x quer dizer que ax
= b
A base de um log pode ser omitida, neste caso considera-se a base igual à 10, ou seja, log b = log10b.
Logs notáveis
Colog
Oposto de um log, cologab = -logab.
Logaritmo natural
Log cuja base é o número de Euler (e), logeb.
Podemos escrever também ln b.
Logaritmo neperiano
Log cuja base é 1/e, log1/eb.
"e" é o número de Euler.

63
Agora considere a, b e c números reais positivos, a ≠ 1 e n um número real qualquer.
Log de 1
Log do número 1 em uma base qualquer é 0, loga1 = 0
a = b
Se a base for igual ao logaritmando então x = 1, logaa = 1
a = bn
Se a base for igual ao logaritmando e este estiver elevado à "n" então x = n, loga bn
= n
alog
a
b
Se "a" estiver elevado ao log de b na base "a" então x = b, alog
a
b
= b
logab = logac
Se dois logs com mesma base são iguais então os logaritmandos também são iguais.
logab = logac então b = c.
PROPRIEDADES
Logaritmo do produto
loga(bc) = logab +logac (log de “b” multiplicado por “c” na base “a” é igual a soma dos logs de “b” e “c” na
base “a”).
Podemos estender a propriedade para loga(b1.b2.b3...bn) = logab1 +logab2 +logab3 + ... +logabn.
Logaritmo da divisão
loga(b/c) = logab -logac (log de “b” dividido por “c” na base “a” é igual ao log de “b” menos o log de “c”,
ambos na base “a”).
Logaritmo da potência
logabn
= n.logab (log de “b” elevado a “n” é igual a “n” vezes log de “b”).
Mudança de base
Mudar a base de um log de "a" para "c", logab = logcb / logca (log de “b” na base “a” é igual ao log de “b” na
base “c” dividido pelo log de “a” na base “c”, esta fórmula pode ser utilizada para mudar a base de um log)
Expoente na base
loga
n
b = logab/n (log de “b” na base “a” elevada a “n” é igual ao log de “b” na base “a” dividido por “n”)
Com estas propriedades podemos resolver a maioria (se não todos) dos problemas de log.

64
Determine os valores de x para os quais existe:
(a) log 2 (x – 2)
Solução
Devemos ter:
x – 2 > 0
x > 2
Qualquer valor maior que 2 que substitua o lugar de x no logaritmo, faz com que o mesmo exista. Por isso o
conjunto solução para o caso é o seguinte:
S = { x ∈ ℝ | x > 2}
(b) 𝒍𝒐𝒈𝟏
𝟐
(−𝒙𝟐+𝟓𝒙−𝟒)
Solução
Devemos ter o seguinte:
-x² + 5x – 4 > 0
a = – 1
b = 5
c = – 4
Δ = b2
– 4ac
Δ = 52
– 4 ∙ (– 1) ∙ (– 4)
Δ = 25 – 16
Δ = 9 → Δ > 0
x =
−5 ± √9
2(−1)
𝑥 =
−5 ± 3
−2
𝑥′
= 1 𝑥" = 4
Estudo do sinal da função:
Queremos apenas os valores maiores que zero. Logo:
S = {x ∈ ℝ | 1 < x < 4}

65
(c) log x – 3 (x + 5)
Solução
x -3 > 0
x > 3
x – 3 ≠ 1
x ≠ 1 + 3
𝐱 ≠ 𝟒
x + 5 > 0
x > - 5
Já que os únicos valores de x que satisfazem tanto a base, quanto o logaritmando do logaritmo são aqueles
maiores do que 3 e diferentes de 4, o conjunto solução para o caso pode ser dado da seguinte maneira:
S = {x ∈ ℝ | x > 3 e x ≠ 4}
d) log x – 2 ( x2
– 4x – 5)
Solução
x2 – 4x – 5 > 0
f(x) = x2 – 4x – 5
a = 1

66
b = – 4
c = – 5
Neste caso, a concavidade da parábola formada será voltada para cima, afinal, o valor do coeficiente a da
função f(x) é maior do que zero (1 > 0). Na sequência, vamos ao cálculo do discriminante (∆) da função.
Δ = b2
– 4ac
Δ = (– 4)2
– 4 ∙ 1 ∙ (– 5)
Δ = 16 + 20
Δ = 36 → Δ > 0
vamos ao esboço do gráfico da função f(x) = x2
– 4x – 5:
Observando o esboço acima, é possível perceber que para valores de x menores do que – 1 e maiores do que
5, a parábola se encontra acima do eixo x, o que nos permite concluir que nesse caso a função é positiva, ou
maior do que zero, do jeito que queríamos (x2
– 4x – 5 > 0). Portanto, esses valores de x fazem parte da solução
da inequação do 2º grau:
S = { x ∈ ℝ | x < –1 e x > 5}
Mas, calma! Não podemos esquecer que essa solução satisfaz apenas o logaritmando do logaritmo.
Precisaremos realizar novamente a intersecção das duas soluções que encontramos, a fim de determinarmos
uma única solução que satisfaça o logaritmo como um todo.
Vejam na imagem acima, que apenas valores maiores do que 5 são comuns a ambas as soluções, e portanto,
satisfazem o logaritmo como um todo. Por isso, o conjunto solução final, é dado a seguir:
S = {x ∈ ℝ | x > 5}

67
1. (CETREDE). Pode-se afirmar que o conjunto verdade da equação logarítmica log x + log (x+1) –
log 6 = 0 é:
A) {3}.
B) {2, –3}.
C) {2}.
D) {–2, 3}.
E) {2, 3}.
Solução
Aplicando as propriedades de adição e subtração de logaritmos, temos:
log x + log (x+1) – log 6 = 0
log[ x.(x + 1) / 6 ] = 0
Pela definição de logaritmos:
x.(x + 1) / 6 = 100
= 1
x.(x + 1) / 6 = 1
x.(x + 1) = 6
x² + x – 6 = 0
Temos uma equação do segundo grau que pode ser resolvida através do método da soma e do produto:
S = -b/a = -1/1 = -1
P = c/a = -6/1 = -6
Os dois números cuja soma é igual a -1 e o produto é igual a -6 são -3 e 2. Como o logaritmando deve ser
maior que zero, descartamos o -3.
Resposta: C
2. Resolva a equação logarítmica abaixo, determinando o valor de x:
log10 (4x – 2) = log10 2 – log10 (2x – 1)
Solução
Verificando as condições de existência dos logaritmos, temos:
4x – 2 > 0
4x > 2
x > 2/4
x > 1/2
2x – 1 > 0
2x > 1
x > 1/2
A subtração de logaritmos de mesma base pode ser expressa como um quociente. Sendo assim, vamos
reescrever a equação:

68
log10 (4x – 2) = log10 2 – log10 (2x – 1)
Como temos uma igualdade de logaritmos de mesma base, podemos desconsiderar os logaritmos e igualar os
logaritmandos:
4x – 2 = 2/ 2x – 1
(4x – 2)(2x – 1) = 2
8x² – 8x + 2 = 2
8x² – 8x = 0
8(x² – x) = 0
x² – x = 0
x1 = 0
x2 = 1
Podemos desconsiderar o x1 = 0, pois a condição de existência dos logaritmos dessa expressão mostra-nos
que x > ½. Portanto, o único valor de x para o qual a igualdade log10 (4x – 2) = log10 2 – log10 (2x – 1) é
válida é x = 1.
3. Resolva a equação logarítmica log2x + 1 (10x – 3) = 1.
Solução
Vamos verificar as condições de existência do logaritmo:
2x + 1 > 0
2x > – 1
x > – 1
/2
10x – 3 > 0
10x > 3
x >3/10
Aplicando a propriedade básica do logaritmo, temos:
log2x + 1 (10x – 3) = 1
(2x + 1)1
= 10x – 3
2x + 1 = 10x – 3
2x – 10x = – 3 – 1
– 8x = – 4 (– 1)
8x = 4

69
x = 4/8
x = 1/2
Portanto, a única solução possível para log2x + 1 (10x – 3) = 1 é x = 1/2.
4. (VUNESP) O valor de x na equação: 𝒍𝒐𝒈𝟑√𝟑
𝒙
=
𝟏
𝟑
é:
𝐚) (
𝟏
𝟑
)
𝟑√𝟑
𝐛)
√𝟑
𝟑
𝟑
𝐜)
√𝟑
𝟑
𝐝) √𝟑
𝟑
𝐞) √𝟑
Solução
Para resolver a equação logarítmica em questão, aplicaremos o princípio básico dos logaritmos:
Sabendo que 3√3 = √3³, temos:
x = √3
Portanto, a solução da equação logarítmica:
É:
x = √3.
Resposta: E
5. (FURG-RS) Sendo x a solução da equação:
,

70
o valor de x3 é:
a) 1/2
b) 1
c) 2
d) 4
e) 8
Solução
A fração ½ pode ser escrita como 2 – 1:
Como as bases estão iguais, podemos estabelecer uma igualdade entre os expoentes:
log3 log2 x = – 1
Resolvendo o primeiro logaritmo, cuja base é 3, temos:
log3 (log2 x) = – 1
3 – 1 = log2 x
log2 x = 1
3
Aplicando novamente o logaritmo, podemos determinar o valor de x:
Conforme foi pedido no enunciado, vamos calcular o valor de x³:
Resposta: C
6. Resolva a inequação logarítmica log10 (x² + 2) > log10 (2x – 1).
Vamos, inicialmente, verificar as condições de existência dos logaritmos:

71
Como os logaritmos possuem a mesma base, podemos desconsiderá-los e estabelecer a inequação apenas
com os logaritmandos:
log10 (x² + 2) > log10 (2x – 1)
x² + 2 > 2x – 1
x² – 2x + 2 + 1 > 0
x² – 2x + 3 > 0
Através da fórmula de Bhaskara, podemos determinar as raízes de x² – 2x + 3 = 0:
Δ = (– 2)² – 4∙1∙3
Δ = 4 – 12
Δ = – 8
Como Δ < 0, a equação não possui raízes reais. Portanto, a inequação x² – 2x + 3 > 0 também não possui um
intervalo real. Pelas condições de existência, podemos concluir que a única solução possível para log10 (x² +
2) > log10 (2x – 1) é x > ½.
7. Determine o conjunto solução da inequação logarítmica:
log0,5 (x – 5) – log0,5 (x) > log0,5 (x + 3)
Vamos verificar as condições de existência dos logaritmos:
A subtração de logaritmos de mesma base equivale a um único logaritmo cujo logaritmando é o quociente
dos logaritmandos anteriores e cuja base é preservada.
log0,5 (x – 5) – log0,5 (x) > log0,5 (x + 3)
Como os logaritmos possuem a mesma base, podemos estabelecer uma desigualdade apenas entre os
logaritmandos. Nesse caso, como a base é menor que 1, inverte-se o sinal da desigualdade:
x – 5 < x + 3
x
x – 5 < x ∙ (x + 3)
x – 5 < x² + 3x
– x² + x – 3x – 5 < 0

72
– x² – 2x – 5 < 0
x² + 2x + 5 < 0
Através da fórmula de Bhaskara, podemos determinar as raízes de x² + 2x + 5 = 0:
Δ = 2² – 4∙1∙5
Δ = 4 – 20
Δ = – 16
Como Δ < 0, a equação não possui raízes reais. Logo, x² + 2x + 5 < 0 também não possui um intervalo real.
Para determinar o conjunto solução, partiremos então das condições de existência, que fornecem as
seguintes soluções para comparação:
Solução da questão
Portanto, o conjunto solução de log0,5 (x – 5) – log0,5 (x) > log0,5 (x + 3) é dado por S = {x | x > 5}.
8. (FUVEST) O conjunto dos números reais x que satisfazem a inequação log2 (2x + 5) – log2 (3x – 1) >
1 é o intervalo:
a) ]–∞, – 5/2[
b) ]7/4, ∞[
c) ]–5/2, 0[
d) ]1/3, 7/4[
e) ]0, 1/3[
Solução
Primeiramente vamos verificar as condições de existência dos logaritmos:
Vamos agora substituir o 1 por log2 2, que são equivalentes. Teremos então a seguinte inequação:

73
log2 (2x + 5) – log2 (3x – 1) > log2 2.
Sabendo que a subtração de logaritmos de mesma base pode ser expressa com um logaritmo cujo
logaritmando é o quociente dos logaritmandos anteriores, temos:
Podemos agora desconsiderar os logaritmos e estabelecer a desigualdade apenas entre os logaritmandos:
2x + 5 > 2
3x – 1
2x + 5 > 2 ∙ (3x – 1)
2x + 5 > 6x – 2
2x – 6x > – 2 – 5
– 4x > – 7
4x < 7
x < 7
4
Comparando as soluções:
Portanto, a alternativa que compreende o intervalo correto é a letra d, que indica ]1
/3, 7
/4[.
9. (UFOP – MG) Resolva a inequação log2 (x – 3) + log2 (x – 2) < 1.
Solução
Analisando as condições de existência dos logaritmos, temos:
Como log2 2 = 1, podemos reescrever a inequação da seguinte forma:
log2 (x – 3) + log2 (x – 2) < log2 2
Se a soma de logaritmos de mesma base equivale ao logaritmo cujo logaritmando é o produto dos
logaritmandos anteriores, temos:

74
log2 [(x – 3) ∙ (x – 2)] < log2 2
Desconsiderando os logaritmos, podemos manter a desigualdade apenas entre os logaritmandos:
(x – 3) ∙ (x – 2) < 2
x² – 3x – 2x + 6 < 2
x² – 5x + 4 < 0
Podemos utilizar a fórmula de Bhaskara para determinar as raízes de x² – 5x + 4 = 0:
Δ = (– 5)² – 4∙1∙4
Δ = 25 – 16
Δ = 9
x = – (– 5) ± √9
2∙1
x = 5 ± 3
3
x' = 5 + 3 = 8 = 4
2 2
x'' = 5 – 3 = 2 = 1
2 2
Análise do sinal de x² – 5x + 4 < 0ões, chegamos ao seguinte quadro:
Portanto, o conjunto solução de log2 (x – 3) + log2 (x – 2) < 1 é S = ]3, 4[
Função Logarítmica
A inversa da função exponencial é a função logarítmica. A função logarítmica é definida como f(x) = logax,
com a real positivo e a ≠ 1.
Sendo, o logaritmo de um número definido como o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o
número x, ou seja, y = logax ⇔ ay
= x.
Uma relação importante é que o gráfico de duas funções inversas são simétricos em relação a bissetriz dos
quadrantes I e III.

75
Desta maneira, conhecendo o gráfico da função exponencial de mesma base, por simetria podemos construir
o gráfico da função logarítmica.
No gráfico acima, observamos que enquanto a função exponencial cresce rapidamente, a função logarítmica
cresce lentamente.
Função Logarítmica
A função logarítmica de base a é definida como f (x) = loga x, com a real, positivo e a ≠ 1. A função inversa
da função logarítmica é a função exponencial.
O logaritmo de um número é definido como o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número x,
ou seja:

76
Exemplos:
• f (x) = log3 x
• g (x) =
• h (x) = log10 x = log x
Domínio da função logarítmica
O domínio de uma função representa os valores de x onde a função é definida. No caso da função logarítmica,
devemos levar em consideração as condições de existência do logaritmo.
Portanto, o logaritmando deve ser positivo e a base também deve ser positiva e diferente de 1.
Exemplo
Determine o domínio da função f (x) = log2 (x + 3).
Solução
Para encontrar o domínio, devemos considerar que (x + 3) > 0, pela condição de existência do logaritmo.
Resolvendo essa inequação, temos:
x + 3 > 0 ⇒ x > - 3
Assim, o domínio da função pode ser representado por:
Gráfico da função logarítmica
De uma forma geral, o gráfico da função y = loga x está localizado no I e IV quadrantes, pois a função só é
definida para x > 0.
Além disso, a curva da função logarítmica não toca o eixo y e corta o eixo x no ponto de abscissa igual a 1,
pois y = loga1 = 0, para qualquer valor de a.
Abaixo, apresentamos o esboço do gráfico da função logarítmica.
Função crescente e decrescente
Uma função logarítmica será crescente quando a base a for maior que 1, ou seja, x1 < x2 ⇔ loga x1 < loga x2.
Por exemplo, a função f (x) = log2 x é uma função crescente, pois a base é igual a 2.

77
Para verificar que essa função é crescente, atribuímos valores para x na função e calculamos a sua imagem.
Os valores encontrados estão na tabela abaixo.
Observando a tabela, notamos que quando o valor de x aumenta, a sua imagem também aumenta. Abaixo,
representamos o gráfico desta função.
Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que zero e menores que 1 são decrescentes, ou seja,
x1 < x2 ⇔ loga x1 > loga x2. Por exemplo, é uma função decrescente, pois a base é igual a .
Calculamos a imagem de alguns valores de x desta função e o resultado encontra-se na tabela abaixo:
Notamos que, enquanto os valores de x aumentam, os valores das respectivas imagens diminuem. Desta forma,
constatamos que a função: 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥
Com os valores encontrados na tabela, traçamos o gráfico dessa função. Note que quanto menor o valor de x,
mais perto do zero a curva logarítmica fica, sem contudo, cortar o eixo y.

78
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. (UEPB) Na figura abaixo tem-se os gráficos da função exponencial f(x) = ax e da sua inversa:
Se g(P) = –2, então P é:
a) 4
b) 3
c) 1/2
d) -2
e) 1/3
Solução
Olhando o gráfico, o ponto (-1, 2) pertence à função, portanto:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
2 = 𝑎−1
1
𝑎
= 2
2𝑎 = 1

79
𝒂 =
𝟏
𝟐
Como:
g(x) = 𝑙𝑜𝑔𝑎
𝑥
P = 2²
Resposta: A
2. (UFPR) Para se calcular a intensidade luminosa L, medida em lumens, a uma profundidade de x
centímetros num determinado lago, utiliza-se a lei de Beer-Lambert, dada pela seguinte fórmula:
Qual a intensidade luminosa L a uma profundidade de 12,5 cm?
a) 150 lumens
b) 15 lumens
c) 10 lumens
d) 1,5 lumens
e) 1 lúmen
Solução
Faça x = 12,5
log (
𝐿
15
) = −0,08𝑥

80
𝑙𝑜𝑔10
𝐿
15
= −1
1
10
=
𝐿
15
10L = 15
L =
15
10
Resposta: D
3. (ENEM) Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3 000℃ e diminui 1% de sua
temperatura a cada 30 min. Use 0,477 como aproximação para log 3 e 1,041 como aproximação para
log 11. O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30℃ é mais próximo de:
a) 22
b) 50
c) 100
d) 200
e) 400
Solução
A temperatura da liga 30 min depois dela sair do forno é t = 0,99.3000.
Após 1 hora é t = 0,99.0,99.3000
Após 1 h e 30 min é t = 0,99.0,99.0,99.3000
Então, após x intervalos de 30 min a temperatura da liga é:

81
Se t = 30 então x igual à ...
Nós não sabemos o valor deste log, a base tá estranha, vamos mudá-la, isso poderá nos ajudar.
Nós temos que:

82
Substituindo em eq1
1x equivale a 30 min, portanto 400x = 200 horas.
Resposta: D
4. (ENEM) Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami
no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de
magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e
milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por:
sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e E0 uma constante real positiva. Considere que
E1 e E2 representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China,
respectivamente.
Qual a relação entre E1 e E2?
Solução
No terremoto ocorrido no Japão nós temos:

83
Resposta: C
5. (Unesp) A expectativa de vida em anos em uma região, de uma pessoa que nasceu a partir de 1900 no
ano x (x ≥ 1900), é dada por L(x) = 12(199.log x– 651). Considerando: log 2 = 0,3, uma pessoa dessa
região que nasceu no ano 2000 tem expectativa de viver:
a) 48,7 anos
b) 54,6 anos
c) 64,5 anos
d) 68,4 anos
e) 72,3 anos
Solução
Se x = 2000, então

84
L(2000) = 12(199log(2000) -651)
L(2000) = 12(199log(2.103
) -651), pela propriedade do logaritmo do produto loga (bc) = loga b +loga c
L(2000) = 12(199(log 2 +log 103
) -651), pela propriedade do logaritmo da potência loga bn
= nloga b
L(2000) = 12(199(log 2 +3log 10) -651), sabendo que logaa = 1 e log 2 = 0,3
L(2000) = 12(199(0,3 +3.1) -651)
L(2000) = 12(199.3,3 -651)
L(2000) = 68,4
Resposta: D
6. (ENEM) Com o avanço em ciência da computação, estamos próximos do momento em que o número
de transistores no processador de um computador pessoal será da mesma ordem de grandeza que o
número de neurônios em um cérebro humano, que é da ordem de 100 bilhões.
Uma das grandezas determinantes para o desempenho de um processador é a densidade de transistores,
que é o número de transistores por centímetro quadrado. Em 1986, uma empresa fabricava um
processador contendo 100.000 transistores distribuídos em 0,25 cm² de área. Desde então, o número de
transistores por centímetro quadrado que se pode colocar em um processador dobra a cada dois anos
(Lei de Moore).
Considere 0,30 como aproximação para log 2. Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade
de 100 bilhões de transistores?
a) 1999
b) 2002
c) 2022
d) 2026
e) 2146
Solução
A quantidade de transistores em 1986 era de 100.000 em 0,25 cm2
, portanto em 1 cm2
nós tínhamos:
400.000, ou seja:
t = 4.105
O número de transistores por centímetro quadrado que se pode colocar em um processador dobra a cada dois
anos, assim sendo, função que descreve a quantidade de transistores por cm2
x anos após 1986 é:

85
t = 4.105
.2x/2
Em qual ano a quantidade de transistores alcançará a ordem de 100 bilhões ? Em qual ano t = 1011
?
Então:

86
Resposta: C
7. (ENEM) A Hydrangea macrophylla é uma planta com flor azul ou cor-de-rosa, dependendo do pH
do solo no qual está plantada. Em solo ácido (ou seja, com o pH < 7) a flor é azul, enquanto que em solo
alcalino (ou seja, com pH > 7) a flor é rosa. Considere que a Hydrangea cor-de-rosa mais valorizada
comercialmente numa determinada região seja aquela produzido em solo com pH inferior a 8. Sabe-se
que pH= - log x, em que x é a concentração de íon hidrogênio (H+).
Para produzir a Hydrangea cor-de-rosa de maior valor comercial, deve-se preparar o solo de modo que
x assuma:
a) qualquer valor acima de 10-8
b) qualquer valor positivo inferior a 10-7
c) valores maiores que 7 e menores que 8
d) valores maiores que 70 e menores que 80
e) valores maiores que 10-8 e menores que 10-7
Solução
Para a flor ser rosa o pH deve ser maior que 7, a que possui o maior valor comercial é produzida no pH
menor que 8, portanto o pH deve estar entre 7 e 8, 7 < pH < 8.
7 < -log x < 8, multiplicar por -1 os 3 termos das desigualdades.
-7 > log x > 8, pela definição de logaritmo loga b = x ⇔ ax
= b
10-7
> x > 10-8
Resposta: E
8. (ESPCEX) A curva do gráfico abaixo representa a função y = log4x

87
A área do retângulo ABCD é
a) 12
b) 6
c) 3
d) 6log4(3/2)
e) log46
Solução
A área do retângulo ABCD é ...
A área de um retângulo é base multiplicada pela altura, A = a x b
A base nós já temos, são 6 unidades.
Nós só precisamos da altura, esta é calculada por y2 -y1.
O ponto C pertence ao gráfico da função e vale (8, y2), portanto
y2 = log4 8, pela definição de logaritmo loga b = x ⬄ ax
= b
4y2
= 8
(22
)y2
= 23
, nós sabemos que (ax
)y
= axy
22y2
= 23
, bases iguais, podemos eliminá-las
2y2 = 3
y2 = 3/2
Descobrimos o y2, agora precisamos do y1.
O ponto A pertence ao gráfico da função e vale (2, y1), portanto
y1 = log4 2
4y1
= 2
22y1
= 2

88
2y1 = 1, (1 é o expoente de 2)
y1 = 1/2
Altura do retângulo é:
Resposta: B
9.
Solução
Dos 3 termos da equação 2 estão na base 3, vamos converter o único que não está base 3 para que todos
fiquem com a mesma base, isso deve facilitar o trabalho.

89
Portanto:
Logo:
Resposta: D
10.

90
Solução
Quantas pessoas conhecem o produto hoje? Faça t = 0
Qualquer número elevado a 0 é igual a 1:
Daqui a quantas semanas o número de pessoas que ficam conhecendo o produto quintuplica, ou seja,
N = 5000:

91
Resposta: E
11. (IFPE) Biólogos estimam que a população P de certa espécie de aves é dada em função do tempo t,
em anos, de acordo com a relação:
Sendo t = 0 o momento em que o estudo foi iniciado.
Em quantos anos a população dessa espécie de aves irá triplicar? (dados: log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48.)

92
Solução
Qual a população de aves hoje? Faça t = 0
A questão deu o log 3, mas qual o log 1,2?
Vamos reescrevê-lo:

93
Resposta: E
12. (ENEM) A Escala e Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como MW),
introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a
magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no
entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim
como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. MW e M0 se relacionam pela fórmula:

94
Onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície,
através dos sismogramas), cuja unidade é o dina⋅cm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de
janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade
científica internacional. Teve magnitude MW = 7,3.
Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o
momento sísmico M0?
a) 10-5,10
b) 10-0,73
c) 1012,00
d) 1021,65
e) 1027,00
Solução
Como Mw = 7,3, substituindo na lei de formação, temos que:
Resposta: E
13. Uma pessoa deposita uma quantia em caderneta de poupança à taxa de 2% ao mês. Em quantos
meses a quantia depositada triplica?
Solução

95
M = C(1 + i)t
3𝑥 = 𝑥(1 + 0,02)𝑡
1,02𝑡
= 3
𝑙𝑜𝑔𝑜1,02
𝑡
= 𝑙𝑜𝑔3
𝑡. 𝑙𝑜𝑔𝑜1,02 = log 3
t =
log 3
log 1,02
t =
0,4771212547
0,0086001718
t = 55,4781076365
𝐭 ≅ 𝟓𝟓 𝐦𝐞𝐬𝐞𝐬
14. Analisando o gráfico da função:
Podemos afirmar que a sua lei de formação é:
a) f(x) = 2x
b) f(x) = logx + 2
c) f(x) = log2x
d) f(x) = – 2x
e) f(x) = log x²
Solução
Analisando o comportamento da função, ela é uma função logarítmica.
Note que o ponto (2,1) pertence ao gráfico, então:
f(x) = logax
f(2) = loga2
1 = loga2

96
Aplicando a definição de logaritmo, temos que:
a1
= 2
a = 2
Como a base é 2, então a função é:
f(x) = log2x
Resposta: C
15. Podemos ver a seguir a representação de uma função logarítmica:
Com base em seu gráfico, sabendo que essa função é uma função do tipo f(x) = logb x, então o valor da
base b é:
𝐚) 𝟏
𝐛) 𝟐
𝐜) 𝟒
𝐝) − 𝟐
𝐞)
𝟏
𝟐
Solução
Analisando o gráfico, sabemos que f(4) = – 2. Então, temos que:
f(4) = logb 4
– 2 = logb 4
Aplicando a definição de logaritmo:

97
Resposta: E
16. (UERJ) O número, em centenas de indivíduos, de um determinado grupo de animais, x dias após a
liberação de um predador no seu ambiente, é expresso pela seguinte função:
Após cinco dias da liberação do predador, o número de indivíduos desse grupo presentes no ambiente
será igual a:
a) 3.
b) 4.
c) 300.
d) 400.
Solução
Calculando f(5), temos que:
Agora resolvendo o logaritmo, temos que:
O valor encontrado está em centenas de pessoas, logo há 3 centenas, ou seja, 300.
Resposta: C

98
17. (UFSM) A partir de dados do Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio
Teixeira (Inep), o índice de Desenvolvimento da Educação Básica (Idep) para as séries iniciais do Ensino
Fundamental da escola Estadual Básica Professora Margarida Lopes (Santa Maria, RS) pode ser
representada pela expressão:
Considere que f(t) representa o Ideb em função do ano t em que o dado foi coletado. Diante dessas
informações, pode-se afirmar que o acréscimo do Ideb previsto para essa escola, de 2005 a 2013, é de:
a) 5
b) 1
c) 1/2
d) 1/4
e) 0
Solução
Queremos encontrar a diferença:
f(2013) – f(2005)
Resposta: B
18. Em uma determinada cidade, o número de nascimentos, no decorrer dos anos, está sempre
crescendo. Para compreender melhor essa relação, os matemáticos modelaram uma função que dá a
expectativa da quantidade que crianças que vão nascer para um determinado ano.
N(t) = 900 ·log2 (t – 1999)3, em que t > 1999. De acordo com essa função, supondo que o comportamento
seja exatamente o previsto, nascerão 5.400 crianças no ano de:
a) 2002.
b) 2003.
c) 2004.
d) 2005.
e) 2006.
Solução
Dada a função:
N(t) = 900 ·log2 (t – 1999)3

99
Queremos que:
900 ·log2 (t – 1999)3
= 5400
Utilizando a propriedade do logaritmo:
900 ·3 log2 (t – 1999) = 5400
2700 log2 (t – 1999) = 5400
log2(t – 1999) = 5400 : 2700
log2 (t – 1999) = 2
Utilizando a definição de logaritmo:
2² = t – 1999
4 = t – 1999
4 + 1999 = t
2003 = t
Resposta: B
19. O tempo, em minutos, que um medicamento leva para fazer efeito em uma pessoa é dado pela
função:
Considere que x é a idade e f(x) é o tempo em minutos.
Em um paciente que possui 30 anos, o tempo necessário para que esse remédio faça efeito é de:
(Use log 2 = 0,3.)
a) 2 minutos e 70 segundos.
b) 2 minutos e 42 segundos.
c) 3 minutos e 26 segundos.
d) 5 minutos.
e) 7 minutos e 30 segundos.
Solução
Calculando f(30):
Agora vamos converter a parte decimal em segundos. Sabemos que 0,7 · 60 = 42, ou seja, 2 minutos e 42
segundos.

100
Resposta: B
20. (ESPCEX - SP) Na figura abaixo, dois vértices
do trapézio sombreado estão no eixo x e os outros
dois vértices estão sobre o gráfico da função real:
𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝒌
𝒙
, com k > 0 e 𝒌 ≠ 𝟏. Sabe-se que o
trapézio sombreado tem 30 unidades de área;
assim, o valor de k + p - q é:
a) -20
b) -15
c) 10
d) 15
e) 20
Solução
21. (ESPM - SP) Em 1997 iniciou-se a ocupação de uma fazenda improdutiva no interior do país, dando
origem a uma pequena cidade. Estima-se que a população dessa cidade tenha crescido segundo a função
P 5 0,1 1 log 2 ( x 2 1996 ) , na qual P é a população no ano x, em milhares de habitantes.

101
Considerando √2 Σ 1,4, podemos concluir que a população dessa cidade atingiu a marca dos 3.600
habitantes em meados do ano:
a) 2005
b) 2002
c) 2011
d) 2007
e) 2004
Solução
Basicamente, vamos substituir o P na função por 3600. Na verdade, como P é dado em milhares,
escreveremos 3,6.
Logo, a cidade atingiu a marca de 3600 habitantes no ano de 2007.
Resposta: D.
22. A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número real tal que 0 ≤ I ≤ 8,9
sendo 8,9 a intensidade do maior terremoto já conhecido. Nessa escala, a intensidade é dada pela
expressão:
Representando E a energia liberada pelo terremoto, medida em quilowatt-hora, E0 = 7 X 10-3 kwh.
Nessas condições, É CORRETO afirmar que a energia liberada em um terremoto de intensidade igual
a 8 na escala Richter, em KWh, corresponde a:

102
Sendo: 𝐸0 = 7𝑥10−3
23. (PUC/SP) As funções: 𝒇(𝒙) =
𝟑
𝟐
+ 𝑳𝒐𝒈𝟏𝟎
(𝒙−𝟏)
𝒆 𝒈(𝒙) = 𝒌. 𝟐(−𝒙+𝟏)
, com k um número real, se
intersectam no ponto: 𝑷 = (𝟐,
𝟑
𝟐
)
O valor de g(f(11)) é:
Solução
Como as funções f(x) e g(x) se interceptam no ponto: 𝑷 = (𝟐,
𝟑
𝟐
), então para encontrar o valor da
constante k, podemos substituir esses valores na função g(x). Assim, temos:

103
Agora, vamos encontrar o valor da f(11), para isso iremos substituir o valor da x na função:
Para encontrar o valor da função composta g(f(11)), basta substituir o valor encontrado da f(11) no x
da função g(x). Assim, temos:
Resposta: A
24. (ENEM) A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como Mw),
introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a
magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no
entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim
como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. Mw e Mo se relacionam pela fórmula:
𝑴𝒘 = −𝟏𝟎, 𝟕 +
𝟐
𝟑
𝑳𝒐𝒈𝟏𝟎
(𝑴𝟎)
Onde Mo é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície,
através dos sismogramas), cuja unidade é o dina·cm.
O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram
maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude Mw = 7,3.
Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o
momento sísmico Mo do terremoto de Kobe (em dina.cm)

104
Solução
Substituindo o valor da magnitude Mw na fórmula, temos:
Resposta: E, 1027,00
25. Certa população de bactérias se desenvolve, de modo aproximado, de acordo com a função
B:ℕ ⟶ ℝ+
∗
dada por: 𝑩(𝒕) = 𝑩𝟎. 𝟐, 𝟕𝟎,𝟏𝒕
com a quantidade inicial 𝑩𝟎 de bactérias da amostra e o tempo
t, em dias. Sabendo que, após 20 dias do início do desenvolvimento da população de bactérias, ela
contém 500.000 indivíduos, determine a população inicial dessa amostra.
Solução
De acordo com o enunciado:
Para t = 20 dias
B(20) = 500.000
Como:
B(t) = B0. 2,70,1t
𝐵(20) = B0. 2,70,1.20
500.000 = B0. 2,72
B0 =
500.000
7,29
B0 = 68.587
Portanto, a população inicial era de aproximadamente 68.587 bactérias.
26. O urânio 238 é um elemento radioativo cuja meia-vida é de 4,5 bilhões de anos, ou seja, são
necessários 4,5 bilhões de anos para que a massa de certa amostra de urânio 238 se reduza pela
metade.
--------------------------------------
Podemos escrever uma função 𝒇: ℝ+ → ℝ+ dada por 𝒇(𝒕) = 𝒃𝒂𝒄𝒕
, com “a” um número real positivo
diferente de 1 e “b” e “c” números reais positivos que expressam a massa f de uma amostra de urânio
238, em função do tempo t. Observe a seguir o gráfico que indica a redução da massa de uma amostra
de 1 g de urânio 238.
Meia-vida: tempo necessário para
reduzir a metade da quantidade de
átomos em uma amostra de um
elemento radioativo.

105
a) Qual a quantidade inicial da massa da amostra cujos dados estão representados no gráfico?
b) a função f é crescente ou decrescente?
Solução
a) A massa inicial da amostra é dada em t = 0. Observando o gráfico podemos perceber que para:
t = 0,
f(0) = 1.
Portanto, a massa inicial da amostra é 1 grama.
b) Observando o gráfico percebemos que, à medida que os valores de t aumentam, os valores de f diminuem.
Assim, a função é decrescente.
27. A função 𝒇: ℝ → ℝ definida por 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙
− 𝟐 intersecta o eixo Ox no ponto de abscissa:
𝒂) −
𝟏
𝟐
𝒃)
𝟏
𝟐
𝒄) − 𝟐
𝒅) 𝟏
𝑒) − 4
Solução

106
Para que a função: f(x) = 2𝑥
− 2 intercepte o ponto no eixo x, devemos ter: f(x) = 0. Logo:
2x
− 2 =0
2x
= 21
𝐱 = 𝟏
Resposta: D
28. (UFSM – RS) As matas ciliares desempenham importante
papel na manutenção das nascentes e estabilidade dos solos
nas áreas marginais. Com o desenvolvimento do agronegócio
e o crescimento das cidades, as matas ciliares vêm sendo
destruídas. Um dos métodos usados para a sua recuperação
é o plantio de mudas. O gráfico mostra o número de mudas:
𝑵(𝒕) = 𝒃𝒂𝒕 (𝟎 < 𝒂 ≠ 𝟏 𝒆 𝒃 > 𝟎) a serem plantadas no
tempo t (em anos), numa determinada região. De acordo com
os dados, o número de mudas plantadas, quando t = 2 anos,
é igual a:
a) 2137
b) 2150
c) 2250
d) 2437
e) 2500
Solução
Precisamos, primeiramente, determinar os valores de “a” e “b”.
Sendo:
Pelo gráfico, quando t = 1, N(t) = 1500, logo:
N(t) = bat
1500 = b. 𝑎¹
b =
1500
a
(i)
Pelo gráfico:
Quando t = 3 anos, N(3) = 3375. Logo:
N(t) = bat
. Substituindo (i) e t = 3, na função, temos:

107
3375 =
1500
a
. a3
3375 = 1500. a2
a2
=
3375
1500
a2
= 2,25
a = √2,25
𝐚 = 𝟏, 𝟓
Substituindo o valor de “a” em (i), temos:
b =
1500
a
b =
1500
1,5
𝐛 = 𝟏𝟎𝟎𝟎
Logo, a função é:
N(t) =1000.1,5𝑡
A questão pede o número de mudas plantadas, quando t = 2 anos: Logo:
N(2) = 1000.1,52
N(2) = 1000.2,25
𝐍(𝟐) = 𝟐𝟐𝟓𝟎 𝐦𝐮𝐝𝐚𝐬
Resposta: C
29. (UFJF) Seja f: R → R uma função definida por f (x) = 𝟐𝒙
. Na
figura abaixo está representado, no plano cartesiano, o gráfico de f
e um trapézio ABCD, retângulo nos vértices A e D e cujos vértices
B e C estão sobre o gráfico de f. A medida da área do trapézio ABCD
é igual a:
a) 2
b) 8/3
c) 3
d) 4
e) 6

108
Solução
Da figura, temos que a altura do trapézio (no eixo x) é igual a 2 - 1 = 1.
Precisamos calcular as medidas dos segmentos AB e CD.
Observe que A é o ponto (1,0) e que B possui a mesma abscissa de A.
Sendo assim, a ordenada do ponto B é igual a:
f (x) = 2𝑥
f(1) = 2¹
f(1) = 2.
Logo, B = (1,2) e o segmento AB mede 2.
O ponto D é igual a (2,0). A abscissa do ponto C é igual a 2.
O valor da ordenada é:
f (x) = 2𝑥
f(2) = 2²
f(2) = 4.
Portanto, o ponto C é (2,4) e o segmento CD mede 4.
Assim, temos que a área do trapézio ABCD é igual a:
S =
(B + b). h
2
S =
(4 + 2). 1
2
S =
6
2
𝐒 = 𝟑
Resposta: C
30. Uma rampa para manobras de skate de campeonato mundial é representada pelo esquema abaixo.

109
Solução

110
Resposta: C
31. (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, está representado o
gráfico de 𝐟(𝐱) = 𝐤𝐚𝐱
, sendo k e a constantes positivas. O valor de
f(2) é:
a) 3/8
b) 1/2
c) 3/4
d) 1
Solução
Observando o gráfico, temos os seguintes pontos definidos:
(i) Para o ponto A(0; 3/2), temos:
f(x) = kax
3
2
= k. a0
3
2
= k. 1
𝐤 =
𝟑
𝟐
Para o ponto B(-3; 12), temos:
f(x) = kax
12 =
3
2
. a−3
24 = 3. a−3
a−3
=
24
3
a−3
= 8
1
a3
= 8

111
8a3
= 1
a3
=
1
8
a = √
1
8
3
𝐚 =
𝟏
𝟐
(ii) Substituindo os valores de “k” e “a” encontrados, na função dada, temos:
f(x) = kax
f(x) =
3
2
(
1
2
)
x
(iii) A questão pede o valor de f(2), logo:
f(x) =
3
2
(
1
2
)
x
f(2) =
3
2
(
1
2
)
2
f(2) =
3
2
.
1
4
𝐟(𝟐) =
𝟑
𝟖
Resposta: A
32. (ENEM) Admita que um tipo de eucalipto tenha expectativa de crescimento exponencial, nos
primeiros anos após seu plantio, modelado pela função y(t) = at – 1, na qual y representa a altura da
planta em metro, t é considerado em ano, e a é uma constante maior que 1. O gráfico representa a
função y.
Admita ainda que y(0) fornece a altura da muda quando
plantada, e deseja-se cortar os eucaliptos quando as
mudas crescerem 7,5 m após o plantio. O tempo entre a
plantação e o corte, em ano, é igual a:
a) 3
b) 4
c) 6
d) 𝒍𝒐𝒈𝟐𝟕
e) 𝒍𝒐𝒈𝟐𝟏𝟓

112
Solução
Devemos ter:
Note que em t = 6; y = 32.
Substuindo estes valores, na função, temos:
y(t) = at – 1
32 = a6−1
32 = a5
a5
= 25
𝐚 = 𝟐
Substituindo o valor de “a” na função, temos:
y(t) = 2t−1
Para altura igual a 8 metros, temos:
8 = 2t−1
23
=
2t
2
2t
= 2.23
2t
= 24
𝐭 = 𝟒 𝐚𝐧𝐨𝐬
Resposta: B
33. (UNESP) A figura descreve o gráfico de uma função exponencial do tipo: 𝒚 = 𝒂𝒙
, 𝒅𝒆 ℝ 𝒆𝒎 ℝ.
Nessa função, o valor de y para x = – 0,5 é igual a:
𝐚) 𝐥𝐨𝐠 𝟓
𝐛) 𝐥𝐨𝐠𝟓𝟐
𝒄) √𝟓
𝒅) 𝒍𝒐𝒈𝟐𝟓

113
𝒆) 𝟐, 𝟓
Solução
Pelo gráfico, percebemos que o ponto (1; 0,2) pertence à função, logo quando x = 1, y = 0,2.
Vamos substituir esses valores de x e y na equação:
y = ax
0,2 = a1
a = 0,2
a =
2
10
∶
2
2
𝐚 =
𝟏
𝟓
Logo, a função é:
y = ax
y = (
1
5
)
x
Para descobrir y quando x = −0,5, devemos substituir na função o valor de x:
y = (
1
5
)
x
y = (
1
5
)
x
y = (
1
5
)
−0,5
y = (5)0,5
y = (5)
5
10
y = (5)
1
2
𝐲 = √𝟓
Resposta: C
34. (UFPR) Uma pizza a 185°C foi retirada de um forno quente. Entretanto, somente quando a
temperatura atingir 65°C será possível segurar um de seus pedaços com as mãos nuas, sem se queimar.
Suponha que a temperatura T da pizza, em graus Celsius, possa ser descrita em função do tempo t, em
pela expressão:
𝑻(𝒕) = 𝟏𝟔𝟎. 𝟐−𝟎,𝟖𝒕
+ 𝟐𝟓. Qual o tempo necessário para que se possa segurar um pedaço dessa pizza com
as mãos nuas, sem se queimar?
a) 0,25 minutos.
b) 0,68 minutos.
c) 2,5 minutos.
d) 6,63 minutos.
e) 10,0 minutos.

114
Solução
(i) Com os dados da questão, podemos esboçar o gráfico da função:
A equação dada é:
T(t) = 160. 2−0,8t
+ 25
T(t) = 160. (
1
2
)
0,8t
+ 25
(0 < a < 1 = Função decrescente)
Note que quando t = 0, T = 185°
(ii) Queremos saber o valor de t, quando T = 65°C. Logo:
T(t) = 160. (
1
2
)
0,8t
+ 25
65 = 160. (
1
2
)
0,8t
+ 25
160. (
1
2
)
0,8t
= 65 − 25
160. (
1
2
)
0,8t
= 40
160. (
1
2
)
0,8t
(
1
2
)
0,8t
=
40
160
(
1
2
)
0,8t
=
4
16
:
4
4
(
1
2
)
0,8t
=
1
4
(
1
2
)
0,8t
=
1
22
(
1
2
)
0,8t
= (
1
2
)
2
0,8t = 2
8
10
t = 2
8t = 20
t =
20
8
𝐭 = 𝟐, 𝟓 𝐦𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨𝐬
𝐑𝐞𝐬𝐩𝐨𝐬𝐭𝐚: 𝐂

115
35. (UEPB) Biólogos e matemáticos acompanharam em laboratório o crescimento de uma cultura de
bactérias e concluíram que esta população crescia com o tempot ≥ 0, ao dia, conforme a lei:
𝐏(𝐭) = 𝐏𝟎. 𝟓𝛌𝐭
, onde Po, é a população inicial da cultura (t = 0) e 𝝀 é uma constante real positiva. Se,
após dois dias, o número inicial de bactérias duplica, então, após seis dias, esse número é:
a) 10𝐏𝟎
b) 6𝐏𝟎
c) 3𝐏𝟎
d) 8𝐏𝟎
e) 4𝐏𝟎
Solução
Temos, pelo enunciado da questão:
T = 2 dias
P(2) = 2. P0
P(t) = P0. 5λt
P(2) = P0. 5λ.2
2. P0 = P0. 5λ.2
5λ.2
= 2 (i)
Quando t = 6 dias, temos:
P(t) = P0. 5λt
P(6) = P0. 5λ6
P(6) = P0. (52λ
)³.
Note que:
52λ
= 2 (i)
Logo:
P(6) = P0. 23
𝐏(𝟔) = 𝟖. 𝐏𝟎
Resposta: D
36 (UFRN) A pedido do seu orientador, um bolsista de um
laboratório de biologia construiu o gráfico ao lado a partir dos
dados obtidos no monitoramento do crescimento de uma
cultura de micro
organismos.

116
Analisando o gráfico, o bolsista informou ao orientador que a cultura crescia segundo o modelo matemático,
N(t) = k. 2at
, com t em horas e N em milhares de micro-organismos.
Para constatar que o modelo matemático apresentado pelo bolsista estava correto, o orientador coletou novos
dados com t = 4 horas e t = 8 horas.
Para que o modelo construído pelo bolsista esteja correto, nesse período, o orientador deve ter obtido um
aumento na quantidade de micro-organismos de:
Solução
A função é dada por:
N(t) = k. 2at
Para t = 0, temos: N(0) = 10
k. 2a.0
= 10
10 = k. 20
10 = k. 1
𝐤 = 𝟏𝟎
Observe, que pelo gráfico:
Para t = 2, temos: N(2) = 20, logo:
N(t) = k. 2at
N(2) = 10. 2a.2
20 = 10. 2a.2
2a.2
= 21
2a = 1
𝐚 =
𝟏
𝟐
A função fica assim:
N(t) = k. 2at
N(t) = 10. (2)
1
2
𝑡
N(t) = 10. (2)
𝑡
2
Para t = 4, temos:
N(t) = 10. (2)
𝑡
2

117
N(4) = 10. (2)
4
2
N(4) = 10. (2)2
N(t) = 10.4
𝐍(𝐭) = 𝟒𝟎
Para t = 8, temos: N(t) = 10. (2)
𝑡
2 N(8) = 10. (2)
8
2 N(8) = 10. (2)4
N(8) = 10.16 N(8) = 160
Logo, de 40 para 160, temos um aumento de:
160 − 40 = 𝟏𝟐𝟎𝐦𝐢𝐥𝐡𝐚𝐫𝐞𝐬
Resposta: D
37. Suponha que determinada colônia de bactérias tenha sua população duplicada a cada período de
uma hora. Se no início existiam 8 dessas bactérias nessa colônia, ao fim de 10 horas qual será a
quantidade de bactérias?
𝐚) 𝟐𝟏𝟎
𝐛) 𝟐𝟏𝟏
𝐜) 𝟐𝟏𝟐
𝐝) 𝟐𝟏𝟑
𝐞) 𝟐𝟏𝟒
Solução
Pelo enunciado, é possível deduzir a seguinte equação:
y = 𝒙𝟎. 𝟐𝒏
(onde: y = número de bactérias em função do tempo; 𝑥0 = Número inicial de bactérias; n = tempo
em horas).
De acordo com o enunciado da questão:
𝑥0 = 8
𝑛 = 10
Substituindo os valores, temos:
y = 8.2𝑛
Logo:
𝑦 = 23
. 210
𝑦 = 23+10
𝒚 = 𝟐𝟏𝟑
Resposta: Ao fim de 10 horas a quantidade de bacterias será de 213
.
Letra: D

118
38. A Mitose é uma divisão celular,na qual uma célula duplica o seu conteúdo,dividindo-se em duas,ditas
células-filhas. Cada uma destas células-filhas se divide em dando origem a outras duas totalizando
quatro células-filhas e assim o processo continua se repetindo sucessivamente. Assinale a Alternativa
que corresponde,corretamente a função que representa o processo da mitose.
Solução
Para 1 célula, temos: 2¹ = 2 filhas
Para 2 células, temos: 2² = 4 filhas
.
.
.
Para x células, temos: 2x
Logo, temos a seguinte função:
𝐟(𝐱) = 𝟐𝐱
(com ℕ∗
→ ℕ; x ∈ ℕ∗
e x ≠ 0. ℕ∗
é o conjunto dos números naturais não − nulos)
Resposta: C
39. (ENEM) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos
e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades
de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e
aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos,
garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no
ano t de funcionamento da indústria.
Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em
função de t, para t ≥ 1?:
a) P(t) = 0,5 · t -1 + 8 000
b)P(t) = 50 · t -1 + 8000
c)P(t) = 4 000 · t-1 + 8 000
d)P(t) = 8 000 · (0,5)t-1
e)P(t) = 8 000 · (1,5)t-1
Solução

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