Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Rangkaian logika Teorema fungsi boole dan bentuk kanonik

949 views

Published on

Ranglog Teorema Fungsi boole dan bentuk kanonik

Published in: Education
  • Be the first to comment

Rangkaian logika Teorema fungsi boole dan bentuk kanonik

  1. 1. Aljabar Boole adalah suatu susunan aljabar yang terdefinisi pada suatu himpunan unsur B, bersama- sama dengan 2 operator biner + dan – jika dan hanya jika postulat berikut berlaku: Postulat 1: operasi + dan – itu, komutatif dan assosiatif Postulat 2: ada 2 unsur identitas yang unik dalam B yaitu 0 dan 1 berturut –turut untuk operasi + dan – Postulat 3: setiap operasi itu distributif antara satu dengan yang lain Postulat 4: untuk setiap x dan B terdapat unsur x’ (atau x) dalam B sedemikian sehingga X+x’ = 1 dan xx’ = 0 Atau x + 𝑥̅ = 1 dan x𝑥̅ = 0 Tanda aksen(‘) dan tanda garis diatas (¯) dipakai untuk menyatakan komplemen x, y, z є B Komutatif (pertukaran): a) x + y = y + x Assosiatif (pengelompokan): a) (x+y) + z = x + (y+z) b) (x.y) . z = x . (y.z) Identitas a) z + 0 = z b) z . 1 = z Distributif a) x(y+z) = (x.y)+(x.z) b) x+(y.z) = (x+y).(x+z) aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut: 1. Closure: (i) a + b Î B (ii) a × b Î B 2. Identitas: (i) a + 0 = a (ii) a × 1 = a 3. Komutatif: (i) a + b = b + a (ii) a × b = b . a 4. Distributif: (i) a × (b + c) = (a × b) + (a × c) (ii) a + (b × c) = (a + b) × (a + c) 5. Komplemen: (i) a + a’ = 1 (ii) a × a’ = 0  Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan: 1. Elemen-elemen himpunan B, 2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner, Teorema 1: Prinsip Kembaran (iduality principle)
  2. 2. Teorema 2: Disebut juga Teorema Idempoten untuk setiap unsur x dalam aljabar boole, berlaku: x . x = x dan x + x = x Teorema 3: Disebut juga Teorema Identitas untuk setiap unsur x dalam aljabar boole, berlaku: x + 1 = 1 dan x . 0 = 0 Teorema 4: Disebut juga Teorema untuk setiap unsur x dalam aljabar boole, berlaku: (x’)’ = x Teorema 5: Disebut juga Teorema Absorpsi (Penyerapan) untuk setiap pasang unsur x dalam aljabar boole, berlaku: x + xy = x dan x . (x+y) = x Teorema 6: Disebut juga Teorema de morgan untuk setiap unsur x dalam aljabar boole, berlaku: (x+y)’ = x’.y’ dan (x.y)’ = x’ + y’ Teorema 7: Jika suatu aljabar Boolean berisi paling sedikit dua elemen yang berbeda, maka 0 ≠ 1 Pembuktian: Teorema 2: Dari kiri kekanan: x + x = (x+x).1 postulat 2 = (x+x).(x+x’) Postulat 4 = x+(x.x’) Postulat 3 dan Postulat 4 = x+0 Postulat 2 = x Dari kiri ke kanan: x.x = xx + 0 Postulat 2 = (x.x) + (x.x’) Postulat 4 = x.(x+x’) Postulat 3 dan Postulat 4 = x.1 Postulat 2 = x Atau dari kanan ke kiri x = x.1 Postulat 2 = x(x+x’) postulat 4 = (x.x) + (x.x’) Postulat 3 = (x.x) + 0 postulat 4 = x.x Teorema 3: x + x = x X+1 = 1 x. x = x
  3. 3. Dari kiri kekanan: x + 1 = x + (x+x’) Postulat 4 = (x+x) + x’ Postulat 1 = x + x’ Teorema 2 dan Postulat 4 = 1 atau Dari kiri ke kanan x + 1 = (x+1).1 Postulat 2 = (x+1).(x+x’) Postulat 4 = x + (1.x’) Postulat 3 dan Postulat 2 = x + x’ = 1 Dari kanan kekiri 1 = x+1 = x + x’ = x + (1.x’) Postulat 2 = (x+1)(x+x’) Postulat 3 dan Postulat 4 = (x+1).1 Postulat 2 = x + 1 Dari kiri kekanan: x.0 = (x.0) + 0 Postulat 2 = (x.0) + (x+x’) Postulat 4 = x.(0+x’) Postulat 3 dan Postulat 2 = x.x’ Postulat 4 = 0 Atau Dari kiri kekanan: x.0 = x(x.x’) Postulat 4 = (x.x).x’ Postulat 1 = x.x’ Teorema 2 dan Postulat 4 = 0 Teorema 4: Teorema 5: Dari kanan ke kiri: x = x + 0 Postulat 2 = x + (y.0) Teorema 3 = (x+y) . (x+0) Postulat 3 = (x+y) . x Postulat 2 X . 0 = 0 (x’)’= x X + xy= x
  4. 4. = (x.x) + (x.y) Teorema 2 = x + xy Atau dari kanan kekiri x = x.1 Postulat 2 = x.(y+1) Teorema 3 = (x+y) + (x.1) Postulat 3 dan Postulat 2 = x.y + x Dari kanan ke kiri x = x + 0 Postulat 2 = x + (y.0) Teorema 3 = (x+y) . (x+0) Postulat 3 = (x+y).x Postulat 2 Dari kiri ke kanan x.(x + y) = x.x + x.y (distributif) = x + x.y (idempoten) = x.1 + x.y (identitas) = x.(1 + y) (distributif) = x.1 (teorema 3a) = x (identitas) Bentuk Kanonik x dan y Minterm Sum Of Product (SOP) dan Maxterm Product Of Sum (POS) x y Minterm (suku Min) Maxterm (suku Maks) suku lambang suku Lambang 0 0 x’y’ M0 x+y M0 0 1 x’.y M1 x+y’ M1 1 0 xy’ M2 x’+y M2 1 1 xy M3 x’+y’ M3 Contoh: ubahlah ke bentuk kanonik F = a’ + ab’ bentuk jumlah dari hasil kali Minterm (1) bentuk jumlah dari hasil penjumlahan Maxterm (0) a b a’ b’ a.b’ a’+ab’ 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 F kanonik = a’.b’ + a’b + ab’ Minterm = m0 + m1 + m2 = Σ(0, 1, 2) x (x+y) = x
  5. 5. F kanonik Maxterm = (a’+b’) = M3 = Π (3) Bentuk Kanonik x, y,dan z x Y z Minterm Maxterm suku lambang Suku lambang 0 0 0 x’y’z’ m0 x+y+z M0 0 0 1 x’y’z m1 x+y+z’ M1 0 1 0 x’yz’ m2 x+y’+z M2 0 1 1 x’yz m3 x+y’+z’ M3 1 0 0 xy’z’ m4 x’+y+z M4 1 0 1 xy’z m5 x’+y+z’ M5 1 1 0 xyz’ m6 x’+y’+z M6 1 1 1 xyz m7 x’+y’+z’ M7 Contoh ubahlah kebentuk kanonik F = xy’ + yz x y z y’ xy’ yz xy’+yz 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 Minterm (SOP) = 011, 100, 101, 111 = x’yz + xy’z’ + xy’z + xyz = m3 + m4 + m5 + m7 = Σ (3, 4, 5, 7) Maxterm (POS) = 000, 001, 010, 110 = (x+y+z) . (x+y+z’) . (x+y’+z) . (x’+y’+z) = M0 . M1 . M2 . M6 = Π (0, 1, 2, 6)

×