Transparansi Background with LaTeX beamer

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
BCH Codes
(Bose -Chaudhuri- Hocquenghem Codes)
Presentasi Paper Pengantar Teori Pengkodean, 2013
Hirwanto1 Lestin2
1Gadjah Mada University
2Polytecnic Torino
8 Juni 2013
Hirwanto, Lestin BCH Codes(Bose -Chaudhuri- Hocquenghem Codes)

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Daftar Isi
1 Pendahuluan
Motivasi
2 Dasar Teori
Finite Field
Ring Polynomial
Minimal Polynomial
Cyclotomic Coset
3 Pembahasan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
4 Kesimpulan

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Motivasi
BCH Codes
BCH codes merupakan salah satu kelas yang sangat penting dari
kode siklik yang mulai dikembangkan pada tahun 1960 oleh R.C.
Bose dan D.Ray-Cahudhuri kemudian dilanjutkan oleh A.
Hocquenghem sehingga biasa disebut BCH codes
(Bose-Chaudhuri-Hocquenghem codes) dan merupakan generalisasi
dari Hamming code untuk mengoreksi kesalahan ganda( multiple
error correction). BCH code dideﬁnisikan oleh kelipatan
persekutuan terkecil (f1(x), f2(x), ..., ft(x)) suku banyak yang
diberikan.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Motivasi
Motivasi
Secara khusus, kode siklik didapat dari generator suku banyaknya.
Bagaimanapun, umumnya kita kesulitan dalam mendapatkan
informasi pada jarak minimum(minimum distance) kode siklik dari
generator suku banyaknya, meskipun kita dapat melengkapi
hasilnya. Dengan kata lain, kita perlu memilih beberapa generator
khusus suku banyaknya sehingga kita bisa mendapatkan informasi
dengan algoritma yang lebih sederhana dan lebih eﬁsien. Kita
selanjutnya akan mendiskusikan salah satu generator khusus yang
kita pilih yaitu BCH-code, dan juga bagaimana kita membentuk
algoritma untuk BCH- codes. Untuk generator khusus yang lain
seperti Reed Solomon, Quadratic-Residus Code.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Finite Field
Ring Polynomial
Minimal Polynomial
Cyclotomic Coset
Definisi 2.1
Field dengan | F |< ∞ disebut lapangan hingga(finite field) dan F∗
sebagai himpunan F {0}.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Finite Field
Ring Polynomial
Minimal Polynomial
Cyclotomic Coset
Definisi 2.1
Field dengan | F |< ∞ disebut lapangan hingga(finite field) dan F∗
sebagai himpunan F {0}.
Definisi 2.2
Misalkan F lapangan. Karakteristik F adalah bilangan bulat positif
terkecil m dengan demikian bahwa
m
i=1
1 = 1 + 1 + . . . + 1 = 0
dimana 1 ∈ F. Jika m tidak ada maka karakteristiknya 0.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Finite Field
Ring Polynomial
Minimal Polynomial
Cyclotomic Coset
Lemma 3.3 dan Deﬁnisi 3.4
Lemma 2.3
Jika α, β ∈ F mempunyai karakteristik p, maka
(α + β)p
= αp
+ βp

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Finite Field
Ring Polynomial
Minimal Polynomial
Cyclotomic Coset
Lemma 3.3 dan Deﬁnisi 3.4
Lemma 2.3
Jika α, β ∈ F mempunyai karakteristik p, maka
(α + β)p
= αp
+ βp
Deﬁnisi 2.4
Anggota α ∈ F lapangan hingga dikatakan generator F∗ atau
elemen primitif jika
{αi
: i ≥ 0} = F∗

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Finite Field
Ring Polynomial
Minimal Polynomial
Cyclotomic Coset
Contoh 3.5
Contoh 2.5
Diberikan GF(9) yang dikontruksikan menggunakan polynomial
yang irreducible f (x) = x2 + 1 ∈ Z3[x]. Carilah elemen primitif.
Kita akan mencoba bahwa α = x + 1 merupakan elemen primitif
maka
(1 + x)0 = 1 (1 + x)4 = 2
(1 + x)1 = 1 + x (1 + x)5 = 2 + 2x
(1 + x)2 = 2x (1 + x)6 = x
(1 + x)3 = 1 + 2x (1 + x)7 = 2 + x
Jadi α = 1 + x merupakan elemen primitif untuk GF(9)

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Finite Field
Ring Polynomial
Minimal Polynomial
Cyclotomic Coset
Ring Polynomial
Deﬁnisi 2.6
Misalkan F merupakan lapangan. Himpunan
F[x] = {
n
i=0
ai xi
: ai ∈ F, n ≥ 0}
disebut sebagai ring polynomial atas F.
Teorema 2.7
Misalkan f (x) suku banyak atas F dengan derajat(degree) ≥ 1.
Maka F[x]/(f (x)) bersama dengan operasi penjumlahan dan
perkalian berbentuk gelanggang. Lebih jauh, F[x]/(f (x)) adalah
lapangan jika dan hanya jika irreducible.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Finite Field
Ring Polynomial
Minimal Polynomial
Cyclotomic Coset
Lemma 3.8 dan Lemma 3.9
Lemma 2.8
Untuk setiap anggota tak nol α ∈ GF(q), αq−1 = 1. Selanjutnya,
α ∈ GF(qm) jika hanya jika αq = α.
Lemma 2.9
Untuk setiap elemen β dari ﬁnite ﬁeld F dengan q elemen, kita
mempunyai βq = β

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Finite Field
Ring Polynomial
Minimal Polynomial
Cyclotomic Coset
Minimal Polynomial
Deﬁnisi 2.10
Misalkan F lapangan dengan karakteristik p dan misalkan α ∈ F∗.
Suku banyak minimal α terhadap GF(p) merupakan suku banyak
monic m(x) derajat terkecil di GF(p)[x] dengan demikian
m(α) = 0.
Teorema 2.11
Suku banyak minimal anggota α tunggal.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Finite Field
Ring Polynomial
Minimal Polynomial
Cyclotomic Coset
1. Bukti Teorema 3.2

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Finite Field
Ring Polynomial
Minimal Polynomial
Cyclotomic Coset
1. Bukti Teorema 3.2
Andaikan F = GF(q) dan F mempunyai karakteristik p. Mengikuti
Lemma 2.8 bahwa α memenuhi suku banyak xq−1 − 1 ∈ GF(p)[x].
Ketika terdapat suatu suku banyak GF(p)[x] dengan α akarnya
maka ada salah satu dari akarnya dengan derajat terkecil. Ini
mengatakan bahwa ada suku banyak minimal yaitu m(x).
Andaikan ada dua suku banyak monic m1(x) dan m2(x) dengan
derajat terkecil mempunyai akar α.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Finite Field
Ring Polynomial
Minimal Polynomial
Cyclotomic Coset
2. Lanjutan Bukti Teorema 3.2

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Finite Field
Ring Polynomial
Minimal Polynomial
Cyclotomic Coset
Dengan menggunakan algoritma pembagian suku banyak didapat
m1(x) = l(x)m2(x) + r(x),
dimana deg r(x) < deg m2(x) atau r(x) = 0. Ketika m1(α) = 0
dan m2(α) = 0, kita mempunyai r(α) = 0, tetapi karena m2(x)
mempunyai derajat terkecil maka r(x) = 0, sehingga m2(x)
membagi m1(x). Dengan cara yang sama, m1(x) membagi m2(x)
dan ketika keduanya merupakan suku banyak monic, maka
m1(x) = m2(x) sehingga terbukti α tunggal.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Finite Field
Ring Polynomial
Minimal Polynomial
Cyclotomic Coset
Dengan menggunakan algoritma pembagian suku banyak didapat
m1(x) = l(x)m2(x) + r(x),
dimana deg r(x) < deg m2(x) atau r(x) = 0. Ketika m1(α) = 0
dan m2(α) = 0, kita mempunyai r(α) = 0, tetapi karena m2(x)
mempunyai derajat terkecil maka r(x) = 0, sehingga m2(x)
membagi m1(x). Dengan cara yang sama, m1(x) membagi m2(x)
dan ketika keduanya merupakan suku banyak monic, maka
m1(x) = m2(x) sehingga terbukti α tunggal.
Teorema 2.12
Untuk α ∈ F∗, suku banyak minimal α, maka m(α)(x) adalah
suku banyak yang irreducible.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Finite Field
Ring Polynomial
Minimal Polynomial
Cyclotomic Coset
Deﬁnisi 2.13
Untuk α ∈ F, misalkan t bilangan bulat positif terkecil dengan
demikian αpt
= α, maka himpunan conjugates dari α(terhadap
GF(p)) adalah
C(α) = {α, αp
, αp2
, αp3
, . . . , αpt−1
}
C(α) = C(αpi
), ∀i ∈ F lapangan dengan karakteristik p
Lemma 2.14
Misalkan F lapangan hingga dengan karakteristik p, misalkan
α ∈ F∗, dan C(α) himpunan konjugat α terhadap GF(q), maka
m(x) =
β∈C(α)
(x − β)

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Finite Field
Ring Polynomial
Minimal Polynomial
Cyclotomic Coset
Bukti Lemma 3.14
Misalkan m(x) = t
i=0 mi xi dengan koeﬁsien mi ∈ F, kita catatan
bahwa
m(x)p = β∈C(α)(xβ)p = β∈C(α)(xp − βp)
= β∈C(α)(xp − β) = m(xp)
= t
i=1 xip
Dengan mengikuti Lemma 2.3 didapat bahwa
{β : β ∈ C(α)} = {βp
: β ∈ C(α)}
Dilain pihak, kita dapatkan bahwa
m(x)p
=
t
i=1
(mi xi
)p
=
t
i=1
mp
i xip
Jadi, mi = mp
i dan dengan menggunakan Lemma 2.8 sehingga
terbukti bahwa mi ∈ GF(p), 0 ≤ i ≤ t.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Finite Field
Ring Polynomial
Minimal Polynomial
Cyclotomic Coset
Teorema 2.15
Untuk α ∈ F, suku banyak minimal α diberikan oleh
mα(x) =
β∈C(α)
(x − β)
Contoh 2.16
Kontruksikan lapangan F = GF(23). Hal pertama yang diperlukan
adalah suku banyak pangkat tiga atas Z2. Misalkan kita
mengambil f (x) = x3 + x + 1 dan anggota-anggota F adalah
{0, 1, x, x + 1, x + x2
, x2
, 1 + x2
, 1 + x + x2
}.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Finite Field
Ring Polynomial
Minimal Polynomial
Cyclotomic Coset
1. Penyelesaian Contoh 3.7
Ketika x3 + x + 1 = 0 mod f (x), maka kita mempunyai
x3 ≡ −x − 1 = x + 1(mod(f (x))), dan 1 = −1 ∈ Z2. Selanjutnya
kita tuliskan anggota lapangan dengan a0 + a1x + a2x2, maka
didapatkan
0 = (000) x2 = (001)
1 = (100) 1 + x2 = (101)
x = (010) x + x2 = (011)
1 + x = (110) 1 + x + x2 = (111)
Jika kita mengambil α, maka dengan mudah kita dapatkan bahwa
α merupakan generator F. Andaikan kita mengambil β = (101)
dan kita akan dicari mβ(x).

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Finite Field
Ring Polynomial
Minimal Polynomial
Cyclotomic Coset
2. Lanjutan Penyelesaian Contoh 3.7
Dengan menggunakan Teorema 2.15 diatas
mβ(y) = (y − β)(y − β2
)(y − β4
)
dan ketika β8 = β dan kita akan menghitung
(y − β)(y − β2)(y − β4)=
y3 + (β + β2 + β4)y2 + (ββ2 + ββ4 + β2β4)y + ββ2β4
Dengan menggunakan representasi setiap anggota tak nol sebagai
akar dari generator α, dengan mengambil α = x, kita dapatkan
α0 = (100) α4 = (011)
α1 = (010) α5 = (111)
α2 = (001) α6 = (101)
α3 = (110) α7 = (100)

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Finite Field
Ring Polynomial
Minimal Polynomial
Cyclotomic Coset
Ketika β = α6, maka β2 = α12 = α5 = dan β4 = α24 = α3,
diperoleh
β + β2 + β4 = α6 + α5 + α3
= (101) + (111) + (110)
= 100
ββ2 + ββ4 + β2β4 = β3 + β5 + β6
= α18 + α30 + α36
= α4 + α2 + α
= 0
ββ2β4 = β7
= α42
= 1

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Finite Field
Ring Polynomial
Minimal Polynomial
Cyclotomic Coset
Jadi, didapat suku banyak minimal β2 dan β4 yaitu
mβ(y) = y3
+ y2
+ 1
Sedangkan suku banyak minimal α juga merupakan suku banyak
minimal α2 dan α4 yaitu
mα(y) = y3
+ y + 1

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Finite Field
Ring Polynomial
Minimal Polynomial
Cyclotomic Coset
Definisi Cyclotomic Coset
Definisi 2.17
Diberikan q dan n dan bilangan bulat i, 0 ≤ i ≤ n − 1, cyclotomic
coset (q modulo n) memuat i didefinisikan oleh
Ci = {i, iq, iq2
, . . . , iqn−1
}
dimana anggota-anggota himpuna mengambil modulo n, dan s
bilangan bulat terkecil dengan demikian iqs ≡ i(modn).
C = {Ci : 0 ≤ i ≤ n − 1} disebut himpunan cyclotomic coset q
modulo n

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Finite Field
Ring Polynomial
Minimal Polynomial
Cyclotomic Coset
Contoh 2.18
Untuk n = 9 dan q = 2, didapat
C1 = [1, 2, 4, 8, 7, 5] = C2 = C4 = C8 = C7 = C5
C − 3 = [3, 6] = C6
C − 0 = [0]
Teorema 2.19
Misalkan f (x) = xn − 1 suku banyak atas GF(q). Banyaknya
faktor irreducible dari f (x) adalah sama dengan banyak cyclotomic
coset q modulo n.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Pengantar
Suku banyak monic g(x) ∈ GF(q)[x] dikatakan sebagai split
didalam perluasan field GF(qm) dari GF(q) jika g(x) bisa
difaktorkan sebagai hasil kali suku banyak linear di GF(qm), kita
bisa menuliskannya ;
g(x) = (x − α1)(x − α2) . . . (x − αn)
dimana αi ∈ GF(qm) dan GF(qm) disebut sebagai splitting field
dari g(x). Secara umum, dapat didefinisikan bahwa splitting field
dari g(x) ∈ GF(qm) sebagai lapangan terkecil GF(qm), dengan
kata lain lapangan terkecil yang memuat semua akar -akar dari
g(x).

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Splitting ﬁeld g(x) bisa didapatkan dari derajat faktor irreducible
atas GF(q). Catatan bahwa g(x) boleh irreducible atas GF(q),
tetapi selalu faktor- faktornya sebagai hasil kali suku banyak linear
yang berbeda di splitting ﬁeld. Untuk contoh, g(x) = x2 + x + 1
adalah merupakan irreducible atas GF(2) dan tidak mempunyai
akar di GF(2), tetapi atas GF(4),
g(x) = (x + α)(x + α2
)
dan mempunyai akar-akarnya adalah α dan α2, dimana
GF(4) = {0, 1, α, α2} dengan α2 + α + 1 = 0

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Contoh
Contoh 3.1
Diberikan suku banyak dibawah ini
g(x) = 1 + x3
+ x5
+ x6
+ x8
+ x9
+ x1
0
atas GF(2), dapat dicek bahwa g(x) tidak mempunyai akar di
GF(2), ataupun GF(22), GF(23), dan GF(24), tetapi
menggunakan GF(5) didapat akar -akar α dari h(x) = 1 + x2 + x5
yaitu α, α3, dan anggota kojugatenya adalah
α, α2, α4, α8, α16 dan α3, α6, α12, α24, α17 adalah
merupakan akar -akar dari g(x), dan semua akar dari g(x) di
GF(25)

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Contoh
Contoh 3.2
Diberikan suku banyak dibawah ini :
g(x) = 2 + 2x + x4
+ 2x5
+ x6
+ x7
atas GF(3) dan hanya memiliki satu akar dengan yaitu 1, dan
tidak ada akar dari persamaan tersebut di GF(32), sedangkan
dengan mengggunakan GF(33) didapat akar α dari
h(x) = 1 + 2x2 + x3 yaitu;
1, α2
, α6
, α18
, α4
, α12
, α10
Akar -akar diatas merupakan akar α dari g(x).

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Deﬁnisi 4.4
Deﬁnisi 3.3
Misalkan kita mempunyai sebanyak t suku banyak
f1(x), f2(x), . . . , ft(x) ∈ F[x], maka kelipatan persekutuan terkecil
dari f1(x), f2(x), . . . , ft(x) adalah suku banyak monic dengan
derajat terkecil dan merupakan perkalian dari semua suku banyak
f1(x), f2(x), . . . , ft(x). Selanjutnya, dinotasikan sebagai
lcm(f1(x), f2(x), . . . , ft(x)).

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Penjeleasan lebih lanjut
Jika f1(x), f2(x), ..., ft(x) ∈ Fq[x] dapat difaktorisasi menjadi
f1(x) = a1.p1(x)e1,1 . . . pn(x)e1,n
f2(x) = a2.p1(x)e2,1 . . . pn(x)e2,n
...
...
ft(x) = at.p1(x)et,1 . . . pn(x)et,n
dimana pi (x) merupakan suku banyak monic yang irreducible atas
Fq maka
lcm(f1(x), f2(x), ..., ft(x)) = p1(x)max{e1,1,...,et,1}
...pn(x)max{e1,n,...,et,n}

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Contoh 4.5 dan Lemma 4.6
Contoh 3.4
Diberikan polinomial biner,
f1(x) = (1 + x)2(1 + x + x4)3
f2(x) = (1 + x)(1 + x + x2)2
f3(x) = x2(1 + x + x4)
sehingga,
lcm(f1(x), f2(x), f3(x)) = x2(1 + x)2(1 + x + x2)2(1 + x + x4)3
Lemma 3.5
Diberikan f1(x),f2(x), . . ., ft(x) suku banyak atas Fq. Jika f (x)
habis dibagi oleh semua suku banyak fi (x), ∀i = 1, 2, . . . , t maka
f (x) habis dibagi oleh lcm(f1(x), f2(x), . . . , ft(x))

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Bukti Lemma 3.5
Proof.
Ambil g(x) = lcm(f1(x), f2(x), . . . , ft(x)). Menggunakan algoritma
pembagian maka ada dua suku banyak u(x) dan r(x) atas Fq
dengan demikian deg(r(x)) < deg(g(x)) dan
f (x) = u(x)g(x) + r(x). Jadi, r(x) = f (x) − u(x)g(x), dan
selanjutnya r(x) juga habis dibagi oleh semua fi (x). Ketika g(x)
mempunyai derajat terkecil,dengan jelas bahwa r(x) = 0.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Contoh 4.7
Contoh 3.6
Suku banyak f (x) = x15 − 1 ∈ F2[x] dibagi oleh
f1(x) = 1 + x + x2 ∈ F2[x] habis dibagi oleh
f1(x) = 1 + x + x2 ∈ F2[x], f2(x) = 1 + x + x4 ∈ F2[x], dan
f3(x) = (1 + x + x2)(1 + x3 + x4) ∈ F2[x]. Maka f (x) habis dibagi
oleh
lcm(f1(x), f2(x), f3(x)) = (1 + x + x2)(1 + x + x4)(1 + x3 + x4).

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Deﬁnisi 4.8
Deﬁnisi 3.7
Misalkan α elemen primitif dari Fqm dan dinotasikan oleh Mi (x)
merupakan polynomial minimal dari αi terhadap Fq. Sebuah
primitif BCH code atas Fq dengan panjang n = qm − 1 didesain
dengan distance δ adalah q-ary cyclic code yang dibangun oleh
g(x) :=lcm(M(a)(x), M(a+1)(x), . . . , M(a+δ−2)(x)) untuk suatu
bilangan bulat a. Lebih jauh, code ini disebut sebagai narrow
sense jika a = 1.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Contoh 4.9
Contoh 3.8
Misalkan β merupakan akar dari 1 + x + x2 ∈ F2[x], maka
F4 = F2[β]. Misalkan α menjadi akar dari β + x + x2 ∈ F4[x].
Maka α elemen primitif dari F16. Diberikan narrow-sense 4−ary
BCH code dengan panjang 15 didesain dengan distance 4, maka
generator polynomialnya adalah
g(x) = lcm(M(1)(x), M(2)(x), M(3)(x))

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Contoh 4.9
Contoh 3.8
Misalkan β merupakan akar dari 1 + x + x2 ∈ F2[x], maka
F4 = F2[β]. Misalkan α menjadi akar dari β + x + x2 ∈ F4[x].
Maka α elemen primitif dari F16. Diberikan narrow-sense 4−ary
BCH code dengan panjang 15 didesain dengan distance 4, maka
generator polynomialnya adalah
g(x) = lcm(M(1)(x), M(2)(x), M(3)(x)) =
1 + βx + βx2 + x3 + x4 + β2x5 + x6.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Parameter BCH Code
Teorema 3.9
Diketahui panjang dari BCH code adalah qm − 1.
Dimensi dari q − ary BCH code dengan panjang qm − 1 yang
dibangun oleh
g(x) := lcm(M(α)
(x), M(α+1)
(x), ..., M(α+δ−2)
(x)
tidak tergantung dari pemilihan elemen primitif α

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Parameter BCH Code
Teorema 3.9
Diketahui panjang dari BCH code adalah qm − 1.
Dimensi dari q − ary BCH code dengan panjang qm − 1 yang
dibangun oleh
g(x) := lcm(M(α)
(x), M(α+1)
(x), ..., M(α+δ−2)
(x)
tidak tergantung dari pemilihan elemen primitif α
q − ary BCH code dengan panjang qm − 1 yang didesain
dengan distance δ memiliki dimensi setidaknya
qm − 1 − m(δ − 1)

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Contoh dari Teorema 3.9
Contoh 3.10
(i) Diberikan cyclotomic cosets 2 modulo 15 dibawah ini :
C2 = {1, 2, 4, 8} C3 = {3, 6, 12, 9}.
Maka dimensi dari binary BCH Codes dengan panjang 15 dan
didesign dengan distance 3 yang dibangun oleh
g(x) :=lcm(M(2), M(3)(x)) adalah
15− | C2 ∪ C3 |= 15 − 8 = 7
(ii) Cyclotomic cosets dari 3 modulo 26 yaitu,
C1 = C3 = {1, 3, 9}
C2 = {2, 6, 18}
C4 = {4, 10, 12}

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Lanjutan Contoh 4.11 dan Proposisi 3.11

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Lanjutan Contoh 4.11 dan Proposisi 3.11
Kemudian dimensi dari ternary BCH codes dengan panjang 26 dan
didesain dengan distance 5 yang dibangun oleh
g(x) := lcm(M(1)(x), M(2)(x), M(3)(x), M(4)(x)) adalah
26 − |C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4| = 26 − 9 = 17
Proposisi 3.11
Narrow sense binary BCH code dengan panjang n = 2m − 1 dan
didesain dengan distance δ = 2t + 1 mempunyai dimensi sedikitnya
n − m(δ − 1)/2.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Bukti Proposisi 3.11
Proof.
Sebagaimana cyclotomic cosets Ci dan C2i adalah sama, maka
dimensi k memenuhi
k = 2m − 1− | 2t
i=1 Ci | = 2m − 1− | t
i=1 C2i−1 |
≤ 2m − 1 − t
i=t | C2i−1 | ≤ 2m − 1 − tm
= 2m − 1 − m(δ − 1)/2

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Contoh 3.12
Narrow sense binary BCH code dengan panjang 63 didesain dengan
distance δ = 5 mempunyai dimensi 51 = 63 − 6(5 − 1)/2.
Bagiamanapun, narrow sense binary BCH code dengan panjang 31
didesain dengan distance δ = 11 mempunyai dimensi 11 yang lebih
besar daripada 31 − 5(11 − 2)/2.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Lemma 3.13
Misalkan C q-ary cyclic code dengan panjang n dan generator
polynomial g(x). Andaikan α1, . . . , αr akar -akar dari g(x) dan
polynomial g(x) tidak mempunyai akar ganda. Maka elemen
c(x) ∈ Fq[x]/(xn − 1) adalah codeword C jika hanya jika
c(αi ) = 0, untuk setiap i = 1, . . . , r.
Proof.
Jika c(x) codeword C, maka ada polynomial f (x) dengan demikian
c(x) = g(x)f (x). Jadi kita mempunyai c(αi ) = g(αi )f (αi ) = 0
untuk semua i = 1, . . . , r. Secara konvers, jika c(αi ) = 0 untuk
i = 1, . . . , r maka c(x) habis dibagi oleh g(x) ketika g(x) tidak
mempunyai akar ganda. Ini mengartikan bahwa c(x) adalah
codeword C.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Contoh 3.14
Diberikan binary [7, 4]−Hamming code dengan generator
polynomial g(x) = 1 + +x + x3. Semua elemen dari F8{0, 1}
adalah akar-akar
c(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = (x7 − 1)/(x − 1), semua
akar dari g(x) adalah akar-akar c(x). Jadi, 1111111 adalah
codeword.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Contoh 3.14
Diberikan binary [7, 4]−Hamming code dengan generator
polynomial g(x) = 1 + +x + x3. Semua elemen dari F8{0, 1}
adalah akar-akar
c(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = (x7 − 1)/(x − 1), semua
akar dari g(x) adalah akar-akar c(x). Jadi, 1111111 adalah
codeword.
Teorema 3.15
BCH code didesain dengan distance(designed distance) δ
mempunyai minimum distance sedikitnya δ.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Bukti Teorema 3.15
Misalkan α merupakan elemen primitif dari Fqm dan misalkan C
adalah BCH code yang dibangun oleh
g(x) :=lcm(M(a)(x), M(a+1)(x), . . . , M(a+δ−2)(x)). Dengan jelas
bahwa elemen αa, . . . , αa+δ−2 adalah akar-akarnya g(x).
Andaikan bahwa minimum distance d dari C lebih kecil daripada δ.
Maka ada codeword tak nol c(x) = c0 + c1x + · · · + cn−1xn−1
dengan demikian wt(c(x)) = d < δ. Menggunakan Lemma 3.13,
kita mempunyai c(αi ) = 0 untuk semua i = a, . . . , a + δ − 2;

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Lanjutan Bukti Teorema 3.15

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code







1 αa (αa)2 . . . (αa)n−1
1 αa+1 (αa+1)2 . . . (αa+1)n−1
1 αa+2 (αa+2)2 . . . (αa+2)n−1
...
...
... . . .
...
1 αa+δ−2 (αa+δ−2)2 . . . (αa+δ−2)n−1














c0
c1
c2
...
cn−1







= 0. (1)

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Asumsikan bahwa c(x) adalah R = {i1, . . . , id }, cj = 0 jika hanya
jika j ∈ R. Maka persamaan (1) menjadi

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Asumsikan bahwa c(x) adalah R = {i1, . . . , id }, cj = 0 jika hanya
jika j ∈ R. Maka persamaan (1) menjadi







(αa)i1 (αa)i2 (αa)i3 . . . (αa)id
(αa+1)i1 (αa+1)i2 (αa+1)i3 . . . (αa+1)id
(αa+2)i1 (αa+2)i2 (αa+2)i3 . . . (αa+2)id
...
...
...
...
...
(αa+δ−2)i1 (αa+δ−2)i2 (αa+δ−2)i3 . . . (αa+δ−2)id














ci1
ci2
ci3
...
cid







= 0.
(2)

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Ketika d ≤ δ − 1, kita mendapatkan sistem persamaan dibawah ini
dengan memilih persamaan d yang pertama sistem persamaan
diatas sehingga didapatkan :

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Ketika d ≤ δ − 1, kita mendapatkan sistem persamaan dibawah ini
dengan memilih persamaan d yang pertama sistem persamaan
diatas sehingga didapatkan :







(αa)i1 (αa)i2 (αa)i3 . . . (αa)id
(αa+1)i1 (αa+1)i2 (αa+1)i3 . . . (αa+1)id
(αa+2)i1 (αa+2)i2 (αa+2)i3 . . . (αa+2)id
...
...
... . . .
...
(αa+d−1)i1 (αa+d−1)i2 (αa+d−1)i3 . . . (αa+d−1)id














ci1
ci2
ci3
...
cid







= 0.
(3)

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Determinan D koeﬁsien matriks persamaan diatas adalah sama
dengan
D =
d
j=1
(αa
)ij
det







1 1 1 . . . 1
αi1 αi2 αi3 . . . αid
(α2)i1 (α2)i2 (α2)i3 . . . (α2)id
...
...
... . . .
...
(αd−1)i1 (αd−1)i2 (αd−1)i3 . . . (αd−1)id







(4)
=
d
j=1
(αa
)ij
k>l
(αik
− αil
) = 0.
Dengan mengkombinasikan persamaan (43) dan (4), kita
mendapatkan (ci1 , . . . , cid
) = 0 sehingga kontradiksi. Jadi terbukti

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Contoh
Contoh 3.16
Misalkan α akar dari 1 + x + x3 ∈ F2[x], dan misalkan C binary
BCH code dengan panjang 7 didesain dengan distance 4 yang
dibangun oleh
g(x) = lcm(M(0)
(x), M(1)
(x), M(2)
(x)) = 1 + x2
+ x3
+ x4
Maka d(C) ≤ wt(g(x)) = 4. Disisi lain dengan menggunakan
teorema 3.15 didapat d(C) ≥ 4. Jadi, d(C) = 4.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Decoding BCH Codes
Pada bagian akan diberikan algoritma dalam decoding BCH code
yang dibagi menjadi 3 yaitu :
Menghitung syndrome
Untuk menyederhanakannya, kita hanya akan mendiskusikan
decoding narrow sense binary BCH codes.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Decoding BCH Codes
Menghitung syndrome
Menemukan error locator polynomial

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Decoding BCH Codes
Menghitung syndrome
Menemukan error locator polynomial
Menemukan semua akar dari error locator polynomial

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Decoding BCH Codes
Misalkan C narrow sense binary BCH codes dengan panjang
n = 2m − 1 dan design distance δ = 2t + 1 yang dibangun oleh
g(x) := lcm(M(1)(x), M(2)(x), . . . , M(δ−1)(x)), dimana M(i)(x)
adalah polynomial minimal dari αi terhadap F2 untuk elemen
primitif α ∈ F2m . Ambil
H =







1 α (α)2 . . . (α)n−1
1 α2 (α2)2 . . . (α2)n−1
1 α3 (α3)2 . . . (α3)n−1
...
...
... . . .
...
1 αδ−1 (αδ−1)2 . . . (αδ−1)n−1







(5)

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Lanjutan Decoding BCH codes
Maka bisa ditunjukkan bahwa word c ∈ Fn
2 adalah codeword C jika
hanya jika cHT = 0. Selanjutnya, kita bisa mendeﬁnisikan
sindrome SH(w) dari w ∈ Fn
2 terhadap H adalah wHT .

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Lanjutan Decoding BCH codes
Maka bisa ditunjukkan bahwa word c ∈ Fn
2 adalah codeword C jika
hanya jika cHT = 0. Selanjutnya, kita bisa mendeﬁnisikan
sindrome SH(w) dari w ∈ Fn
2 terhadap H adalah wHT .
Andaikan bahwa w(x) = w0 + w1x + . . . + wn−1xn−1 word yang
diterima dengan error polynomial e(x) memenuhi wt(e(x)) ≤ t.
Ambil c(x) = w(x) − e(x) maka c(x) adalah codeword.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Tahap 1. Menghitung Sindrome
Sindrome w(x) adalah
(s0, s1, . . . , sδ−2) := (w0, w1, . . . , wn−1)HT
sehingga si = w(αi+1) = e(αi+1) untuk setiap i = 0, 1, . . . , δ − 2,
ketika αi+1 adalah akar-akar dari g(x). Asumsikan bahwa error
diambil di posisi i0, i1, . . . , il−1 dengan l ≤ t didapat
e(x) = xi0
+ xi1
+ · · · + xil−1
(6)

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Lanjutan Tahap 1.Menghitung Sindrome
Maka kita mendapatkan sistem persamaan
αi0 + αi1 + · · · + αil−1 = s0=w(α),
(αi0 )2 + (αi1 )2 + · · · + (αil−1 )2 = s1 =w(α2),
...
...
...
(αi0 )δ−1 + (αi1 )δ−1 + · · · + (αil−1 )δ−1 = sδ−2=w(αδ−1)
(7)
sebarang metode diatas untuk menyelesaikan sistem persamaan
diatas merupakan algoritma decoding untuk BCH codes.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Tahap 2. Menemukan error locator polynomial
Untuk e(x) = xi0 + xi1 + · · · + xil−1 , dideﬁnisikan error locator
polynomial oleh
σ(z) :=
l−1
j=0
(1 − αij
z).
Ini dapat ditemukan bahwa posisi error ij sejauh semua akar-akar
σ(z) yang diketahui. Untuk tahap ini, kita harus menentukan error
locator polynomial σ(z).

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Teorema
Teorema 3.17
Andaikan polynomial sindrome s(z) = δ−2
j=0 sj zj adalah bukan
polynomial nol. Maka terdapat polynomial tak nol r(z) ∈ F2m [z]
dengan demikian deg(r(z)) ≤ t − 1, gcd(r(z), σ(z)) = 1 dan
r(z) ≡ s(z)σ(z) (mod zδ−1
) (8)

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Lanjutan Teorema 3.17
Lebih jauh, untuk sebarang pasangan (u(z), v(z)) polynomial tak
nol atas F2m memenuhi deg(u(z)) ≤ t − 1, deg(v(z)) ≤ t dan
u(z) ≡ s(z)v(z) (mod zδ−1
) (9)
Kita mempunyai
σ(z) = βv(z), r(z) = βu(z), (10)
untuk elemen tak nol β ∈ F2m .

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Tahap 3. Menemukan akar -akar error locator polynomial
Untuk melakukannya, kita bisa mencari semua kemungkinan akar
-akar dengan menggunakan σ(z) di αi , untuk semua i = 1, 2, . . . . .
Setelah semua akar -akarnya αi1 , . . . , αil dari σ(z) ditemukan, kita
mendapatkan error polynomial persamaan

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Contoh 4.18
Contoh 3.18
Misalkan α akar dari g(x) = 1 + x + x3 ∈ F2[x]. Maka Hamming
code yang dibangun oleh g(x) =lcm(M(1)(x), M(2)(x)) mempunyai
design distance δ = 3. Andaikan bahwa w(x) = 1 + x + x2 + x3
word yang diterima.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Contoh 4.18
Menghitung sindrome :
(s0, s1) = (w(α), w(α2
)) = (α2
, α4
)

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Contoh 4.18
(s0, s1) = (w(α), w(α2
)) = (α2
, α4
)
Menemukan error locator polynomial :
Selesaikan kongruensi polynomial

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
Contoh 4.18
(s0, s1) = (w(α), w(α2
)) = (α2
, α4
)
Menemukan error locator polynomial :
Selesaikan kongruensi polynomial
r(z) ≡ s(z)σ(z) (mod z2
)
dengan deg(r(z)) = 0 dan deg(σ(z)) ≤ 1, dan
s(z) = α2
+ α4
z.
Kita mempunyai σ(z) = 1 + α2z dan r(z) = α2. Selanjutnya
didapat error di tempat ketiga. Jadi, kita bisa
memperbaiki(decode) w(x) ke
w(x) − x2 = 1 + x + x3 = 1101000.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Kesimpulan
BCH Code merupakan generalisasi dari Hamming code dan
dideﬁnisikan dari kelipatan persekutuaan terkecil dari suku banyak
monic dengan derajat terkecil atau
lcm(f1(x), f2(x), . . . , ft(x))
Didalam pembahasan paper ini hanya dibahas BCH code sebagai
suku banyak. Adapun penerapan dari BCH codes sendiri adalah
sistem komunikasi via satelit, pemutar CD(compact disk), DVD,
disk drivers, dan barcode dua dimensi.

Pendahuluan
Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Thank you for your
attention

Transparansi Background with LaTeX beamer

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (17)

Similar to Transparansi Background with LaTeX beamer

Similar to Transparansi Background with LaTeX beamer (20)

More from Hirwanto Iwan

More from Hirwanto Iwan (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Transparansi Background with LaTeX beamer