3. Метою дисципліни є:
- забезпечення базової профілюючої підготовки за
спеціальністю,
- використання сучасних математичних методів та
програмних засобів розв’язання задач різної
практичної направленості в економіці, техніці,
управлінні, на виробництві та соціальній сфері.
Навчальна дисципліна “Математичні методи
оптимізації та дослідження операцій” є важливою
дисципліною у підготовці майбутніх фахівців в галузі
розробці та експлуатації інформаційних систем та
технологій.
3
4. 1. Задачі безумовної оптимізації
1.1. Методи одномірної оптимізації
1.1.1. Метод повного перебору
1.1.2. Метод рівномірного пошуку
1.1.3. Метод дихотомічного пошуку
1.1.4. Метод золотого січення
1.1.5. Метод Фібоначчі
1.1.6. Метод квадратичної апроксимації
1.1.7. Метод половинного ділення
1.1.8. Метод Ньютону
1.2. Методи багатомірної оптимізації
1.2.1. Методи покоординатного сходження
1.2.2. Градієнтні методи
1.2.3. Методи випадкового пошуку
Зміст дисципліни
4
ЛЕКЦІЙНІ ЗАНЯТТЯ
1 Вступ
2 Задачі безумовної оптимізації
2.1. Методи одномірної оптимізації
2.2. Методи багатомірної оптимізації
3. Задачі лінійного програмування
3.1. Загальна задача ЛП. Геометрич. зміст задачі ЛП.
3.2. Симплекс-метод розв’язання задач ЛП.
3.3. Модифікований симплекс-метод
3.4. Двоїста задача ЛП.
3.5. Транспортні задачі та методи їх розв’язання
4 Задачі дискретного програмування
4.1. Методи цілочислового програмування
4.2. Комбінаторні методи
5 Задачі нелінійного програмування
5.1. Загальна задача математичного
програмування
5.2. Метод множників Лагранжу
5.3. Методи випуклого програмування
5.4. Градієнтні методи
5.5. Методи квадратичного програмування
ЛАБОРАТОРНІ ЗАНЯТТЯ
2. Задачі умовної оптимізації
2.1. Методи лінійного програмування
2.1.1. Симплекс-метод. Симплекс-таблиці.
Модифікований симплекс-метод
2.1.2. Двоїстий симплекс-метод
2.1.3. Методи розв’язання транспортної задачі
2.1.4. Методи розв’язання задачі про
призначення
2.1.5. Методи цілочислового програмування
2.1.6. Методи параметричного програмування
2.2. Задачі нелінійного програмування
2.2.1. Метод множників Лагранжу
2.2.2. Методи опуклого програмування
2.2.3. Градієнтні методи
2.2.4. Методи сепарабельного програмування
2.2.5. Методи квадратичного програмування
5. Загальний вигляд задачі
оптимізації
Задача оптимізації (мінімізації) записується в вигляді
f (x) min, ∀x ∈ X , або min f (x) , (1.1)
де функція f (x) називається цільовою функцією,
Х – допустимою множиною рішень, а будь-який елемент x ∈ X ―
допустимою точкою цієї множини.
Точка x*∈ X називається рішенням задачі (1.1), або точкою глобального
мінімуму, якщо
f (x*) ≤ F(x), ∀x∈ X . (1.2)
Точка x*∈ X називається точкою локального мінімуму або локальним
рішенням задачі (1.1), якщо існує таке число 𝜀 ≥ 0, що
f (x*)≤ f (x), ∀x∈ X ∩ U𝜀 (x*), (1.3)
де U𝜀 (x*) - 𝜀 - окіл точки x* .
5
6. Основні типи задач оптимізації
Задачі безумовної
оптимізації або
задачі без
обмежень
Задачі умовної
оптимізації або
задачі з
обмеженнями
Задачі
оптимізації при
неповних даних.
1. Задачі лінійного програмування
2. Задачі опуклого програмування
3. Задачі не опуклого і багато
екстремального програмування
4. Задачі дискретної оптимізації
5. Задачі параметричного
програмування
6. Задачі стохастичної оптимізації
6
7. МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ ЛІНІЙНОГО
ПРОГРАМУВАННЯ (ЗЛП)
ЗЛП в канонічній формі має вигляд:
знайти максимальне значення функції
F= c1x1 + c2x2 + … + cnxn (3.1)
при обмеженнях
a11x1+a12x2 +… +a1nxn = b1
a21x1+a22x2 +… +a2nxn = b2 (3.1)
. . . . . . . .
am1x1+am2x2 +… +amnxn = bm
xj ≥ 0 (j=1, … , n)
Симплекс-метод рішення задачі лінійного програмування
7
8. Алгоритм симплекс-методу
Оптимальний план ЗЛП знаходять поетапно:
8
Знаходять опорний план задачі.
Складають симплекс-таблицю
перевіряють
план на
оптимальність
Знаходять
розв'язувальний
елемент і складають
нову симплекс-
таблицю
Отримали
оптимальне
рішення
Знаходять новий опорний план
ТАК НІ
10. Завдання для лабораторної роботи 1
Тема :Класичні методи дослідження функцій на оптимум.
Мета : навчитися знаходити оптимум нелінійної функції методами
класичної математики за допомогою першої та другої похідної.
Варіанти завдань
10
№
варіанта
Функція №
варіанта
функція
1 2
3 4
5 6
7 8
121
2
2
2
1 3)( xxxxxxf 221
2
2
2
1 455)( xxxxxxf
;3232)( 221
2
2
2
1 xxxxxxf ;2)( 21
2
2
2
1
3
2
3
1 xxxxxxxf
;5)( 21
3
2
3
1 xxxxxf 33121
2
2
2
1 22)( xxxxxxxxf
2
21
2
1 2
4)(6()( xxxxxf
;
1
421
)(
2
2
2
1
21
xx
xx
xf
11. Практичне заняття 1 на тему :
класичний метод визначення екстремуму функції.
Приклад 1:
Розв’язок: цей метод може бути використаний для пошуку екстремуму
функції оскільки функція має першу і другу похідні відносно змінних і
немає обмежень.
1. Знайдемо стаціонарні точки: Рішенням системи рівнянь є точка з
координатами (-4; 14).
2. Матриця других похідних має вигляд:
11
optyxyxyxyxF 12162425),(
;01224
;016410
yx
y
F
yx
x
F
24
410
2
22
2
2
2
y
F
yx
F
yx
F
x
F
F
12. Практичне заняття 1 на тему :
класичний метод визначення екстремуму функції
(продовження)
3. Перевіримо кутові мінори: М1=10 >0, M2 = 10*2-4*4 >0.
4. За критерієм Сильвестра: якщо М1 >0, а M2 є додатною, то точка є
точкою строгого локального мінімуму.
В даному випадку вона буде також точкою строгого глобального
мінімуму, оскільки функція F(x,y) нескінченно зростаюча на R2.
Висновки: в точці Х (-4;14) функція має
глобальний оптимум-мінімум , F =-52.
12
13. Практичне заняття 2 на тему:
побудова математичних моделей.
Задача планування випуску продукції
Для виготовлення виробів X, Y, Z використовують 3 види сировини: I, II, III. У таблиці
задано: норми витрат сировини на 1 виріб продукції кожного виду, ціна одного виробу, а
також кількість сировини кожного виду, які можна використати. Скільки виробів кожного
виду потрібно виготовити, щоб прибуток був максимальний?
Математична модель задачі. Треба позначити через X, Y, Z шукані кількості виробів
трьох видів. Знайти X, Y, Z, для яких досягається максимум функції прибутку
F=9X+10Y+16Z за таких обмежень:
18X + 15Y + 12Z 360
6X + 4Y + 8Z 192
5X + 3Y + 3Z 180
X 0, Y 0, Z 0, і також X , Y , Z - цілі.
13
Вироби Х У Z Загальна кількість сировини
Сировина 1 18 15 12 360
Сировина 2 6 4 8 192
Сировина 3 5 3 3 180
Вартість виробів 9 10 16
14. Практичне заняття 2 на тему:
побудова математичних моделей (продовження)
Це - ЗЛП і розв’язується в EXCEL за допомогою команди меню Сервис-
Поиск решения (рис. 1).
Пошук рішення – це засіб,
що дозволяє в загальному випадку
розв’язувати задачі як лінійного
так і нелінійного програмування.
Рис. 1.
Розв’язок:
• Треба клітинам A1, B1, C1, D1 присвоїти імена X, Y, Z, F за
допомогою команди меню Вставка- Имя-Присвоить.
• У клітину D1 ввести формулу =9*X+10*Y+16*Z.
14
15. Практичне заняття 2 на тему:
побудова математичних моделей (продовження)
• Викликати команду меню Сервис-Поиск решения.
• У діалоговому вікні Поиск решений:
а) в полі Установить целевую ячейку задати адресу цільової клітини $D$1.
б) встановити перемикач Равной максимальному значению;
в) в полі Изменяя ячейки вказати імена змінних X;Y;Z;
г) за допомогою кнопки Добавить у діалоговому вікні Параметры поиска
решения ввести обмеження у вигляді нерівностей:
X<=(360-15*y-12*z)/18,
Y<=(192-6*x-8*z)/4,
Z<=(180-5*x-3*y)/5,
x>=0 , y>=0, z>=0 і х,у,z – цілі.
Рис.2
• Після введення кожної нерівності – клацнути на кнопці Добавить
(рис. 2, 3) а потім – на кнопці ОК.
15
16. .д) натиснути на кнопку Параметр і у
діалоговому вікні Параметры поиска
решения вказати, що модель є Линейною,
після чого клацнути на кнопці ОК.
Рис. 3.
є) у діалоговому вікні Поиск решений натиснути на кнопку
Выполнить, після чого у клітинах A1:D1 висвічуються результати:
X=0; Y=8; Z=20; F=400
У діалоговому вікні Результаты поиска решения треба вибрати
параметр Сохранить найденное решение.
Висновок: Для отримання максимального прибутку необхідно
виготовити тільки вироби другого виду в кількості 8 одиниць і третього
виду в кількості 20 одиниць. При цьому прибуток буде дорівнювати 400
умовних одиниці.
16
17. Контроль знань
Тести
1. Що називається екстремумом функції?
2. Що таке стаціонарні
точки?
3. Чим відрізняються задачі
умовної та безумовної
оптимізації?
17
1 - Максимум функції
2 - Мінімум функції
3 - Перше і друге
4 - Інше
1 -Точки, в яких не існує похідних
2 - Точки, в яких перша похідна дорівнює 0
3 - Точки, в яких друга похідна змінює знак
4 - Точки, в яких не існує похідної або перша
похідна дорівнює 0
1 - Наявністю або відсутністю обмежень
2 - Виглядом цільової функції
3 - Видом обмежень
4 - Іншими факторами
18. Контроль знань
Тести (продовження)
4. Що таке ЗЛП ?
5. Яка задача може бути розв’язана
графічним методом ?
6. Де знаходиться оптимальне
рішення ЗЛП ?
Оцінювання: 6 питань.
3 бал- 3 вірних відповіді; 4 бал - 4 вірних відповіді; 5 бал – 5-6
вірних відповідей.
18
1 - цільова функція та обмеження є лінійними;
2 - задача, яка може бути розв’язана з
використанням симплекс-методу;
3 - задача, яка має цільову функцію та обмеження
1 - з двома змінними
2 - будь-яка
3 - з чотирма змінними
4 - з трьома змінними-
1 - у вершині багатокутника рішень
2 - в будь-якій точці багатокутника
рішень
3- поза багатокутника рішень
19. Література
1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб.
пособие для студ. эконом. спец. вузов. —М.: Высш. шк., 1996. ─319 с.
2. Банди Б. Основы линейного программирования. —М.: Радио и связь, 1999.
─176 с.
3. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. —М.: Радио и связь, 2009. ─128
с.
4. Бєліков М.І., Гуржій А.М., Кігель В.Р., Самсонов В.В. Розв’язання оптимізаційних
задач за допомогою методів лінійного програмування: Навч. посібник. —К.: ІСДО,
1994. ─132 с.
5. Бойко И.В., Бублик Б.Н., Зинько П.Н. Методы и алгоритмы решения задач
оптимизации. —К.: Вища шк., 1983. ─511 с.
6. Вагнер Г. Основы исследования операций.—М.: Мир, 1972. ─ т.1., ─335 с.
7. Ляшенко И.Н. и др. Линейное и нелинейное программирование. —К.: Вища
шк., 1975. ─372 с.
8. Сакович В.А. Исследование операций: Справ. пособие. —Мн.: Высш. шк., 1984.
─256 с.
9. Самсонов В.В., Гуржій А.М. Задачі оптимізації в практичної діяльності фахівця:
Навч. посібник. —К.: ІЗМН, 1997. ─176 с.
19
