1. ТЕМА 5
Теорія двоїстості та двоїсті оцінки
в аналізі розв'язків лінійних
оптимізаційних моделей
.

2. .
План
1. Поняття двоїстості. Правила побудови
двоїстих задач.
2. Теореми двоїстості.
3. Приклад побудови двоїстої задачі та
знаходження її оптимального плану.
4. Економічна інтерпретація двоїстої
задачі.
5. Приклад економічної інтерпретації
двоїстих задач.

3. 5.1. ПОНЯТТЯ ДВОЇСТОСТІ. ПРАВИЛА
ПОБУДОВИ ДВОЇСТИХ ЗАДАЧ
• Кожній задачі лінійного програмування
відповідає двоїста, що формується за
допомогою певних правил безпосередньо з
умови прямої задачі.
• Пряма задача Двоїста задача
Z = c x + c x + 
+ c x ®
max
1 1 2 2 n n
a x + a x + ... + a x £
b ,
11 1 12 2 1n n 1
a x + a x + ... + a x £
b ,
21 1 22 2 2n n 2

a x a x ... a x b ,
m1 1 m2 2 mn n m
.
x o, j 1,n,
j
³ =
ì
ï ï
í
ï ï
î
+ + + £
F = b y + b y + 
b y ®
min
1 1 2 2 m m
a y + a y + ... + a y ³
c ,
11 1 21 2 m1 m 1
a y + a y + ... + a y ³
c ,
12 1 22 2 m2 m 2

a y a y ... a y c ,
1n 1 2n 2 mn m n
y 0, i 1,m.
i
³ =
ì
ï ï
í
ï ï
î
+ + + ³

4. • Двоїста ЗЛП утворюється з прямої
ЗЛП за такими правилами.
• 1. Кожному обмеженню прямої задачі
відповідає змінна двоїстої задачі.
Кількість невідомих двоїстої задачі
дорівнює кількості обмежень прямої
задачі.
• 2. Кожній змінній прямої задачі
відповідає обмеження двоїстої задачі,
причому кількість обмежень дорівнює
кількості невідомих прямої задачі.
.

5. • 3. Якщо цільова функція прямої задачі
задається на пошук найбільшого
значення (max), то цільова функція
двоїстої задачі — на визначення
найменшого значення (min), і навпаки.
• 4. Коефіцієнтами при змінних в цільовій
функції двоїстої задачі є вільні члени
системи обмежень прямої задачі.
.

6. • 5. Правими частинами системи
обмежень двоїстої задачі є коефіцієнти
при змінних в цільовій функції прямої
задачі.
.

7. • 6. Матриця , що складається з
коефіцієнтів при змінних у системі
обмежень прямої задачі, і матриця
коефіцієнтів в системі обмежень
двоїстої задачі утворюються одна з
одної транспонуванням, тобто заміною
рядків стовпчиками, а стовпчиків —
рядками.
a a ... a
11 12 1n
a a ... a
21 22 2n
.............................
a a ... a
.
A
AT
ö
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç ç ç ç
è
=
m1 m2 mn
А
ö
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç ç ç ç
è
=
a a ... a
11 21 m1
a a ... a
12 22 m2
.............................
1n 2n mn
T
a a ... a
А

8. 7. Якщо змінна прямої задачі може
приймати тільки додатні значення, то
те обмеження в системі двоїстої задачі
є нерівність виду « ».
Якщо змінна може приймати як
додатні, так і від’ємне значення, то те
обмеження в системі двоїстої задачі є
рівняння.
Якщо те обмеження в системі прямої
задачі є нерівність, то змінна двоїстої
задачі . В противному випадку
змінна може приймати як додатні, так і
від’ємні значення.
.
x j
j -
³
x j
j -
i -
i -
yi ³ 0

9. • Двоїсті пари задач лінійного
програмування бувають симетричні та
несиметричні.
• У симетричних задачах обмеження
прямої та двоїстої задач є нерівностями,
а змінні обох задач можуть набувати
лише невід’ємних значень.
• У несиметричних задачах
обмеження прямої задачі можуть бути
записані як рівняння, а двоїстої—лише як
нерівності. У цьому разі відповідні змінні
двоїстої задачі набувають будь-якого
значення, не обмеженого знаком.
.

10. • Форми прямих ЗЛП та відповідні їм
варіанти моделей двоїстих задач
• Пряма задача Двоїста задача
å
Z = c x ®
max;
a x b ;
.
Симетричні
x 0 .
j
i
=
n
j 1
ij j
n
j 1
j j
³
£
å
=
å
F = b y ®
min;
a y c ;
y 0 .
i
j
m
i 1
ij i
m
i 1
i i
³
³
å
=
=

11. • Пряма задача Двоїста задача
å
Z = c x ®
min;
a x b ;
.
Симетричні
x 0 .
j
i
=
n
j 1
ij j
n
j 1
j j
³
³
å
=
å
F = b y ®
max ;
a y c ;
y 0 .
i
j
=
m
i 1
ij i
m
i 1
i i
³
£
å
=

12. • Пряма задача Двоїста задача
å
Z = c x ®
max;
a x b ;
.
Несиметричні
x 0 .
j
i
=
n
j 1
ij j
n
j 1
j j
³
=
å
=
å
F = b y ®
min;
a y ³
c ;
å
y [ ; ] .
i
j
m
i 1
ij i
m
j 1
i i
Î - ¥ ¥
=
=

13. • Пряма задача Двоїста задача
å
Z = c x ®
min;
a x b ;
.
Несиметричні
x 0 .
j
i
=
n
j 1
ij j
n
j 1
j j
³
=
å
=
å
F = b y ®
max ;
a y £
c ;
å
y ] ; [ .
i
j
m
i 1
ij i
m
j 1
i i
Î - ¥ ¥
=
=

14. 5.2. ТЕОРЕМИ ДВОЇСТОСТІ
• Між прямою та двоїстою задачами лінійного
програмування існує тісний взаємозв’язок, який
випливає з наведених далі теорем.
• Перша теорема двоїстості. Якщо
одна з пари двоїстих задач має
оптимальний план, то інша задача також
має розв’язок, причому значення цільових
функцій для оптимальних планів
дорівнюють одне одному, тобто
• m a x Z = m i n F , і навпаки.
.

15. • Якщо ж цільова функція однієї з пари
двоїстих задач не обмежена, то друга
задача взагалі не має розв’язків. Якщо
пряма задача лінійного програмування
має оптимальний план , визначений
симплекс-методом, то оптимальний
план двоїстої задачі визначається зі
співвідношення
• ,
.
X*
Y *

Y* = c D-1 баз

16. де — вектор-рядок, що складається
з коефіцієнтів цільової функції прямої
задачі при змінних, які є базисними в
оптимальному плані;
— матриця, обернена до матриці ,
складеної з базисних векторів
оптимального плану, компоненти яких
узято з початкового опорного плану
задачі.
.
cбаз 
D-1 D

17. • Обернена матриця завжди
міститься в останній симплекс-таблиці в
тих стовпчиках, де в першій таблиці
містилася одинична матриця.
• За допомогою зазначеного
співвідношення під час визначення
оптимального плану однієї з пари
двоїстих задач лінійного програмування
знаходять розв’язок іншої задачі.
.
D-1

18. • Друга теорема двоїстості.
• Якщо в результаті підстановки
оптимального плану прямої задачі в
систему обмежень цієї задачі i -
те
обмеження виконується як строга
нерівність, то відповідний i -
й
компонент оптимального плану двоїстої
задачі дорівнює нулю.
• Якщо i -
й компонент оптимального
плану двоїстої задачі додатний, то
відповідне i -
те обмеження прямої
задачі виконується для оптимального
плану як рівняння.
.

19. Третя теорема двоїстості.
• Двоїста оцінка характеризує приріст
цільової функції, який зумовлений
малими змінами вільного члена
відповідного обмеження.
• Економічний зміст третьої теореми
двоїстості полягає в тому, що
відповідна додатна оцінка показує
зростання значення цільової функції
прямої задачі, якщо запас відповідного
дефіцитного ресурсу збільшується на
одну одиницю.
.

20. • Розв’язавши пряму ЗЛП симплекс-
методом, можна побачити, що
оптимальне значення двоїстої
змінної дорівнює сумі оптимальної
оцінки вектора, який входить в
початковий базис і взятого з цільової
функції прямої задачі коефіцієнтів біля
невідомих з тим же індексом, що і у
вектора.
.
i -

21. • Наприклад, якщо змінні входять в
початковий базис то
y1 opt
= D + c y1 opt
= D + c
opt
• Отже, компоненти оптимального плану
двоїстої задачі співпадають з елементами
• рядка стовпців одиничних векторів,
якщо даний коефіцієнт , і дорівнюють
сумі відповідного елементу цього рядка і
, якщо .
.
•
x3 і x5
opt
3
opt
3
5
opt
5
(m + 1)
c j = 0
c j c j ¹ 0

22. 5.3. Задача 1.4. Побудова двоїстої задачі
• Пряма задача Двоїста задача
Z 30 x 40 x max .
.
= + ®
1 2
12x + 4 x £
300,
1 2
4 x + 4 x £
120,
1 2
3x 12x 252.
ì
x 0, j 1,2.
j
1 2
³ =
ïî
ïí
+ £
F = 300 y + 120 y + 252 y ®
min
12 y + 4 y + 3 y ³
30,
1 2 3
4 y 4 y 12 y 40.
1 2 3
y 0, i 1,3.
i
1 2 3
³ =
î í ì
+ + ³

23. N і Базис Cбаз План
.
30 40 0 0 0 ОП
2
x1 x2 x3 x4 x5
1 0 84 0 0 1 -11/3 8/9
2 30 12 1 0 0 1/3 -1/9
3 40 18 0 1 0 -1/12 1/9
4 1080 0 0 0 20/3 10/9
q
x3
x1
x2
Z ,D j
X2

24. • Визначимо оптимальний план
двоїстої ЗЛП за першою теоремою
двоїстості:
= æ
ö
æ
10
0 20
8
1
1 11
0 1
( ) ÷ø
F 300 0 120 20 min = × + × + × =
.
ö çè
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ø
ç ç ç ç ç ç
è
0 -
1
-
-
* = - = ×
9
3
1
9
12
9
3
9
3
Y C D 1 0 30 40
баз

1080
252 10
9
3

25. • Визначимо оптимальний план двоїстої
ЗЛП за другою теоремою двоїстості:
• Підставимо компоненти оптимального
плану прямої ЗЛП в
систему її обмежень:
12 × 12 + 4 × 18 £
300, 1
4 12 4 18 120,
x 1 = 12 > 0 Þ 12 y 1 + 4 y 2 + 3 y 3
=
30,
2 = > Þ + + =
.
1 2 3
ì
× + × £
• Оскільки
Xmax = (12;18;84;0;0)
ì
ïî
ïí
216 < 300 Þ y =
0,
120 =
120,
=
Þ
ïî
ïí
× + × £
252 252.
3 12 12 18 252.
x 18 0 4 y 4 y 12 y 40.

26. 12 y + 4 y + 3 y =
30,
4 y + 4 y + 12 y =
40,
10
Y 0 20
ö çè
.
• Отже,
ì
ï ï ï
í
ï ï ï
î
y =
10
,
9
3
y =
20
=
Þ
ì
ïî
ïí
4 y 3 y 30,
2 3
4 y 12 y 40,
=
+ =
+ =
Þ
2
1 2 3
• Оптимальний план двоїстої задачі
ì
ïî
ïí
=
,
3
y 0.
y 0.
y 0.
1
1
2 3
1
1 2 3
÷ø
* = æ
9
3

27. 5.4. ЕКОНОМІЧНА ІНТЕРПРЕТАЦІЯ ДВОЇСТОЇ
ЗАДАЧІ • Економічну інтерпретацію двоїстої
задачі розглянемо на прикладі задачі
оптимального використання обмежених
ресурсів.
• Для виробництва n
видів продукції
використовується m
видів ресурсів, запаси
яких обмежені значеннями bi (i =1, m)
.
Норма витрат кожного ресурсу на
одиницю продукції становить
• aij ( j =1, n; .
i = 1, m)
• Ціна одиниці продукції j -
го виду
• дорівнює
c ( j =1, n)
.
j • .

28. å=
• Математична модель задачі має такий
вигляд:
•
•
max Z max c j x •
ij = £ å= x j ³ 0 ( j = 1, n)
.
j
n
j 1
=
a x j bi (i 1, m)
n
j 1

29. • Пряма задача полягає у визначенні
такого оптимального плану виробництва
продукції X * = x , x , ..., x
, який дає
найбільший дохід.
• Двоїста задача до поставленої прямої
буде така:
ij ³ = yi ³ 0 (i = 1, m)
.
å=
=å=
i ® .
a yi c ( )
j j 1, n( *
*
* )
1
2
n
m
F b yi min ;
i 1
m
i 1

30. • Економічний зміст двоїстої задачі.
• Визначити таку оптимальну систему
двоїстих оцінок ресурсів ,
використовуваних для виробництва
продукції, для якої загальна вартість
усіх ресурсів буде найменшою.
• Оскільки змінні двоїстої задачі
означають цінність одиниці го
ресурсу, їх інколи ще називають
тіньовою ціною відповідного ресурсу.
• За допомогою двоїстих оцінок
можна визначити статус кожного
ресурсу прямої задачі та
рентабельність продукції, що
виготовляється.
.
yi
i -

31. • Ресурси, що використовуються для
виробництва продукції, можна умовно
поділити на дефіцитні та
недефіцитні залежно від того, повне
чи часткове їх використання
передбачене оптимальним планом
прямої задачі.
• Якщо двоїста оцінка в
оптимальному плані двоїстої задачі
дорівнює нулю, то відповідний й
ресурс використовується у виробництві
продукції не повністю і є
недефіцитним.
.
yi
i -

32. • Якщо ж двоїста оцінка , то й
ресурс використовується для
оптимального плану виробництва
продукції повністю і називається
дефіцитним. У цьому разі величина
двоїстої оцінки показує, на скільки
збільшиться значення цільової функції
, якщо запас відповідного ресурсу
збільшити на одну умовну одиницю.
.
Z
yi > 0 i -

33. • Аналіз рентабельності продукції, що
виготовляється, виконується за
допомогою двоїстих оцінок і обмежень
двоїстої задачі.
• Ліва частина кожного обмеження
двоїстої задачі є вартістю всіх ресурсів,
які використовують для виробництва
одиниці продукції.
.
j -

34. • Якщо ця величина перевищує ціну
одиниці продукції , то виготовляти
продукцію не вигідно, вона
нерентабельна і в оптимальному
плані прямої задачі відповідна .
• Якщо ж загальна оцінка всіх ресурсів
дорівнює ціні одиниці продукції, то
виготовляти таку продукцію доцільно,
вона рентабельна і в оптимальному
плані прямої задачі відповідна змінна
• .
.
(c j )
x j = 0
x j > 0

35. • Економічна інтерпретація двоїстих
задач та аналіз економіко-
математичних моделей на чутливість за
допомогою теорії двоїстості дають
змогу модифікувати оптимальний план
задачі лінійного програмування
відповідно до змін умов прямої задачі й
дістати при цьому такі результати.
.

36. • 1. Зміна різних коефіцієнтів у прямій
математичній моделі може вплинути на
оптимальність і допустимість
отриманого плану та привести до однієї
з таких ситуацій:
а) склад змінних та їх значення в
оптимальному плані не змінюються;
б) склад змінних залишається
попереднім, але їх оптимальні значення
змінюються;
в) змінюються склад змінних та їх
значення в оптимальному плані задачі.
.

37. • 2. Уведення додаткового обмеження в
математичну модель задачі впливає на
допустимість розв’язку і не може
вплинути на поліпшення значення
цільової функції.
• 3. Уведення нової змінної в
математичну модель задачі впливає на
оптимальність попереднього плану і не
погіршує значення цільової функції.
.

38. 5.5. Задача 1.5. Економічна інтерпретація двоїстих задач
• Економічний аналіз на основі оптимального
• плану двоїстої задачі
• План двоїстої задачі дає оптимальну
систему оцінок ресурсів, що використовуються у
виробництві.
y 20 2 = 9
• Оскільки, та відмінні
від нуля, то ресурси 2 та 3
використовуються повністю. Двоїста
оцінка , тому відповідний 1 вид
ресурсу не повністю використовується
при оптимальному плані виробництва
продукції.
.
3
y 10 3 =
y1 = 0

39. • Це підтверджується також попереднім
аналізом додаткових змінних оптимального
плану прямої задачі.
• Така оптимальна система оцінок дає
найменшу загальну вартість усіх ресурсів,
що використовуються на підприємстві:
ум. од. Fmin = 1080
.

40. • Статус ресурсів прямої задачі
можна визначити трьома способами.
• Перший — підстановкою у систему
обмежень прямої задачі. Якщо
обмеження виконується як рівняння, то
відповідний ресурс дефіцитний, у
противному разі — недефіцитний.
.
X*
ì
ïî
ïí
ресурс1 -
недефіцитний,
ресурс2 -
дефіцитний ,
-
ì
ïî
ïí
216 <
300,
120 120,
= Þ
=
Þ
ì
ïî
ïí
12 × 12 + 4 × 18 £
300,
4 × 12 + 4 × 18 £
120,
× + × £
ресурс3 дефіцитний.
252 252.
3 12 12 18 252.

41. • Другий спосіб — за допомогою
додаткових змінних прямої задачі.
• Якщо додаткова змінна в
оптимальному плані дорівнює нулю, то
відповідний ресурс дефіцитний, а
якщо відмінна від нуля — ресурс
недефіцитний.
x =
84,
3
x 0,
= Þ
.
ì
ïî
ïí
ресурс1 -
недефіцитний,
ресурс2 -
дефіцитний,
-
ì
ïî
ïí
=
ресурс3 дефіцитний.
4
x 0.
5

42. • Третій спосіб — за допомогою двоїстих
оцінок. Якщо , то зміна (збільшення
або зменшення) обсягів го ресурсу
приводить до відповідної зміни доходу
підприємства, і тому такий ресурс є
дефіцитним.
Якщо , то й ресурс недефіцитний.
y =
0,
1
y 20
,
3
= Þ
2
y 10
.
yi ¹ 0
i -
yi = 0 i -
ì
ï ï ï
í
ï ï ï
î
ресурс1 -
недефіцитний,
ресурс2 -
дефіцитний,
-
ì
ï ï ï
í
ï ï ï
î
=
ресурс3 дефіцитний.
.
9
3

43. • Інтервали стійкості двоїстих оцінок відносно
• зміни запасів дефіцитних ресурсів
• Отже, якщо запас дефіцитного
ресурсу 2 збільшити на одну умовну
одиницю (b2 = 120 + 1 = 121)
, то цільова
функція збільшиться за інших однакових
умов на ум. од. і
становитиме
• ум. од.
Z 1080 6 2 max = + =
.
6 2
3
y 20 2 = =
3
1086 2
3
3

44. Але за рахунок яких змін в
оптимальному плані виробництва
продукції збільшиться дохід
підприємства?
Інформацію про це дають елементи
стовпчика останньої симплекс-таблиці,
який відповідає двоїстій оцінці
.
" x4"
y 20 2 =
3

45. • У новому оптимальному плані значення
базисної змінної зменшиться на ,
• змінної — збільшиться на , а –
зменшиться на .
При цьому структура плану не
зміниться, а нові оптимальні значення
змінних будуть такими:
;80 1
12
X 12 1
ö çè
.
*
x3
11
3
1
*
x1 3
x2 *
1
12
÷ø
* = æ ;0;0
3
;17 11
3

46. Z = 30 × 12 1 + 40 × 17 11
max = × + × = = =
.
Отже, збільшення запасу
дефіцитного ресурсу 2 за інших
однакових умов приводить до
зростання випуску A
продукції та
падіння виробництва продукції B
, а обсяг
використання ресурсу 1 зменшується.
За такого плану виробництва
максимальний дохід підприємства буде
13040
40 215
30 37
• , тобто зросте на .
1086 2
3
3260
3
12
12
3
12
3
y 6 2 2 =
3

47. • Проаналізуємо, як зміниться
оптимальний план виробництва
продукції, якщо запас дефіцитного
третього ресурсу за інших однакових
умов збільшити на одну умовну одиницю
(b3 = 252 + 1 = 253)
.
.
• Аналогічно попереднім міркуванням,
скориставшись елементами стовпчика
• останньої симплекс-таблиці, що
відповідає двоїстій оцінці ,
" x5"
1 1
9
y 10 3 = =
9
можна записати новий оптимальний план.

48. • У новому оптимальному плані значення
базисної змінної збільшиться на 8
,
• 1 змінної — зменшиться на , а *
–
збільшиться на 1
.
При цьому структура плану не
зміниться, а нові оптимальні значення
змінних будуть такими:
,84 8
9
X 118
ö çè
Z = 30 × 11 8 + 40 × 18 1
max = × + × = =
.
*
x3
9
*
x1 9
x2
9
÷ø
* = æ ,0,0
9
,18 1
9
1081 1
9
9730
9
40 163
9
30 107
9
9
9

49. • Отже, дохід підприємства збільшиться
на y 3 =
1 1 у.о. за рахунок зменшення
випуску продукції , але збільшення
виробництва продукції .
При цьому обсяг використання ресурсу
1 збільшується.
.
9
A
B

50. • Оцінка рентабельності продукції, що
• виготовляється на підприємстві.
• Виконується за допомогою двоїстих оцінок та
обмежень двоїстої задачі, які характеризують кожний
вид продукції.
Y * = æ
20
• Підставимо 0 у систему обмежень
двоїстої задачі.
• Якщо вартість ресурсів на одиницю продукції
(ліва частина) перевищує ціну цієї продукції
(права частина), то виробництво такої продукції
для підприємства недоцільне. Якщо ж
співвідношення виконується як рівняння, то
продукція рентабельна.
3 10
12 0 4 20
× + × + × ³
.
10
÷øö çè
9
3
î í ì
продукція A -
рентабельна
-
Þ
ì
ï ïî
ïïí
=
=
Þ
ì
ï ïî
ïïí
12 10
4 0 4 20
× + × + × ³
продукція B рентабельна
40.
270
360
9
30,
9
40.
9
3
30,
9
3

51. • Аналогічні результати можна дістати,
проаналізувавши двоїсті оцінки
додаткових змінних, значення яких
показують, на скільки вартість ресурсів
перевищує ціну одиниці відповідної
продукції. Тому, якщо додаткова змінна
двоїстої задачі дорівнює нулю, то
продукція рентабельна. І, навпаки,
якщо , то відповідна продукція
нерентабельна.
.
yi ¹ 0

52. • Додаткові змінні двоїстої задачі
розміщуються в оцінковому рядку
останньої симплекс-таблиці у
стовпчиках " x1"-" x2"
.
• Їх оптимальні значення ,
тому продукція – рентабельна.
.
y3 = 0; y4 = 0
А і B

53. Дякую за
увагу!
.