1. ТЕМА 2
ЗАГАЛЬНА ЗАДАЧА ЛІНІЙНОГО
ПРОГРАМУВАННЯ ТА МЕТОДИ
ЇЇ РОЗВ’ЯЗАННЯ
.
2. .
План
• 1. Загальна математична модель
лінійного програмування.
• 2. Форми запису задач лінійного
програмування.
3. 2.1. Загальна математична модель
лінійного програмування
Лінійне програмування – це розділ
математичного програмування, в якому
розглядаються методи розв’язання
екстремальних задач з лінійною
цільовою функцією та лінійними
обмеженнями, яким повинні
задовольняти шукані змінні.
.
4. Загальна лінійна математична
модель економічних процесів і явищ – так
звана загальна задача лінійного
програмування (ЗЛП) подається у вигляді:
знайти максимум (мінімум) функції
Z c x c x ... c x max (min) (2.1) = 1 1 + 2 2 + + n n ®
за обмежень
a x + a x + .... + a x £ , ³ , =
b
11 1 12 2 1n n 1
a x + a x + .... + a x £ , ³ , =
b
21 1 22 2 2n n 2
...................................................
a x a x .... a x , , b
.
{ }
{ }
ì
ï ï
í
î
+ + + { £ ³ =
ï } ï
m1 1 m2 2 mn n m
x1 ³ 0, x2 ³ 0, ...., xn ³ 0
(2.2)
(2.3)
5. Потрібно тобто
знайти значення змінних
вектор
я к и й задовольняє обмеженням (2.2), (2.3),
тоді
як цільова функція (2.1) набуває
екстремального (максимального чи
мінімального) значення.
.
x1 , x2 ,, xn
( ) X = x1 , x2 ,, xn
6. 2.2. Форми запису задач ЛП
Задачі лінійного програмування
можуть бути записані в
• загальній,
• стандартній (симетричній)
• канонічній (основній) формі.
.
7. 2.2. Форми запису задач ЛП
В компактній формі загальна задача
лінійного програмування має вигляд:
j j ® =å=
Z с х max(min)
= = ³ £ å=
a x , , b ( i 1, 2, ,m );
.
n
j 1
за умов
{ }
n
j 1
x 0 ( j 1, 2, , n ).
j
ij j i
³ =
8. Стандартна (симетрична) форма
задачі лінійного програмування має вид:
j j ® =å= за умов
Z с х max
= £ å=
a x b ( i 1, 2, ,m );
.
n
j 1
n
j 1
x 0 ( j 1, 2, , n ).
j
ij j i
³ =
9. Канонічною (основною) формою
задачі лінійного програмування
називається задача (2.1)–(2.3), коли в
системі обмежень (2.2) всі значення
bj ³ 0 ( i = 1, 2,, m )
обмеження є рівностями, тобто
n
j j ® =å=
Z с х max(min)
j 1
= = å=
a x b ( i 1, 2, ,m );
.
за умов
n
j 1
x 0 ( j 1, 2, , n ).
j
ij j i
³ =
невід’ємні, а всі
10. Для цього якщо якесь значення bi
від’ємне, то помноживши і-обмеження на
(–1), дістанемо у правій частині
відповідної рівності додатне значення.
Коли і-те обмеження має вигляд
нерівності a x a x ... a b , i1 1 + i 2 2 + + in £ i
то останню завжди можна звести до
рівності, увівши допоміжну балансуючу
змінну xn+1 :
ai1x1 + ai 2 x2 + ....+ ain xn + xn+1 = bi
.
11. Аналогічно обмеження виду
ak1x1 + ak 2 x2 + ....+ akn xn ³ bk
зводимо до рівності, віднімаючи від лівої
частини допоміжну балансуючу змінну
n 2 ,, тобто x +
ak1x1 + ak 2 x2 + ....+ akn xn - xn+2 = bk .
.
12. Якщо в задачі деяка змінна
довільного знаку, то її заміняють як
.
, де
У випадку, коли деяка змінна , то
її заміняють на .
xk
xk = x¢k - x¢ kx¢k ³ 0, x¢ k³ 0
x p £ 0
x¢p = - x p
13. Якщо задача задана на знаходження
максимуму, то її можна розв’язати
також і на мінімум, якщо цільову
функцію помножити на (–1), тобто
max Z = -min(- Z) = -min(- c1x1 - c2 x2 -cn xn )
залишивши систему обмежень без зміни.
.
14. Канонічну форму задачі лінійного
програмування можна записати
компактніше у векторно-матричному
вигляді: = CX ® max(min)
за умов
a 11 , a 12 ,
, a
1n
де a 21 , a 22 ,
, a
2n
- матриця
.
AX A0 ,
³
X 0,
коефіцієнтів при
змінних;
Z ö
æ
ö
æ
=
1
х
х
• - вектор змінних;
• - вектор вільних членів;
=
{ }
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ø
ç ç ç ç ç
è
= =
m1 m2 mn
ij
a , a , , a
A a
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø
ç ç ç ç ç
è
2
n
х
X
ö
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ø
æ
=
ç ç ç ç ç
è
b
1
b
2
т
0
b
A
( ) C = c1 ,c2 ,,cn
15. Канонічну форму задачі лінійного
програмування часто записують у векторній
формі
за умов
Z = CX ® max(min)
A1х1 + A2 х2 ++ An хn = A0
12
22
a
a
.
,
,
де
ö
æ
=
ö
æ
=
1n
2n
a
a
, ,…, - вектори
коефіцієнтів
при змінних.
X ³ 0
ö
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ø
æ
=
ç ç ç ç ç
è
11
21
a
a
m1
1
a
A
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ø
ç ç ç ç ç
è
m2
2
a
A
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ø
ç ç ç ç ç
è
mn
n
a
A
16. Розглянуті форми задачі лінійного
програмування (загальна, стандартна та
канонічна) еквівалентні в тому значенні,
що кожна з них за допомогою нескладних
перетворень може бути приведена до
любої з двох інших.
.
