Math

1. Limit Fungsi
Ketakhinggaan
(Limit Fungsi Aljabar)

2. Menghadiri semua
kegiatan belajar
mengajar kecuali ijin
dengan melampirkan
surat ijin dari sekolah
atau piket.
Kontrak Kegiatan Belajar Mengajar (KBM)
Tidak terlambat
masuk ke kelas
(paling lambat
10 menit)
Berpartisipasi dalam
semua kegiatan dan
diskusi kelas
Menyerahkan semua
tugas tepat waktu dan
secara keseluruhan
Tidak menggunakan
gadget (HP) saat
KBM berlangsung
kecuali atas seijin
guru yang
bersangkutan
Mengerjakan latihan
soal yang diberikan
saat KBM
berlangsung
Boleh mengkonsumsi
minuman, tetapi
tidak makan saat
KBM berlangsung
Terapkan 5S dan
Berpakaian Rapi sesuai
ketentuan sekolah
Berpakaian rapi
dan sopan
sesuai ketentuan
dari sekolah.
Peserta Didik yang
melanggar aturan,
dipersilakan
menunggu diluar
kelas selama KBM
berlangsung.

3. Materi Prasyarat dan Peta Konsep
limit fungsi aljabar yaitu suatu
limit fungsi f(x) dikatakan
mendekati a {f(x), a} sebagai suatu
limit. Bila x mendekati a,
dinotasikan limit F(x) = L. Cara
menyelesaikan limit fungsi aljabar,
terdapat 3 cara untuk
menyelesaikan limit fungsi aljabar
yaitu dengan metode : (1)
substitusi langsung; (2)
pemfaktoran; (3) merasionalkan
penyebut. Sedangkan limit fungsi
trigonometri terdapat tambahan
yaitu (4) rumus dasar limit fungsi
trigonometri

4. limit fungsi ketakhinggaan membahas mengenai limit fungsi yang memiliki nilai
tak hingga. Tak hingga disebut juga dengan infinity, sedangkan simbol dari tak
hingga adalah “ ∞ “. Tak hingga memiliki arti bahwa “sesuatu” yang lebih besar
dari bilangan manapun, tetapi BUKAN suatu Bilangan. Oleh karenanya dapat
dikatakan bahwa Tidak ada Bilangan yang lebih besar dari ∞.
a < ∞ ; ∀ a ∈ R dan ∞ ∉ R
Karena ∞ bukan sebuah bilangan, maka ∞ tidak ganjil, tidak genap dan tidak
prima. Dalam kamus matematika Carol Vorderman, definisi tak hingga adalah
tanpa batas- batas ukuran atau jumlah, tidak terbatas, tidak ada akhirnya.
Misalkan f adalah fungsi yang didefinisikan pada suatu interval (a, ∞). Maka :
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒇 𝒙 = 𝑳
Bermakna bahwa nilai f(x) dapat dibuat sebarang dekat ke L dengan cara
mengambil x cukup besar.
Konsep Limit Fungsi Ketakhinggaan

5. Contoh :
lim
𝑥→∞
𝑥 + 3 = ∞ + 3 = ∞
lim
𝑥→∞
𝑥2
+ 𝑥 − 4 = ∞ + ∞ − 4 = ∞
lim
𝑥→∞
1
𝑥
=
1
∞
; Dalam kasus pecahan ini, untuk mencari nilai jika penyebut memiliki nilai
tak hingga, maka dapat membagi bilangan dengan pangkat tertinggi. Misal :
1
10
= 0,1 ;
1
100
= 0,01 ;
1
1000
= 0,001 ;
1
10.000
= 0,0001 ; dst
Dari hasil pemisalan tersebut, Bagaimanakah kesimpulannya?
Jika x semakin besar, maka nilai limit akan semakin mendekati nilai 0. Oleh karenanya dapat
ditulis: 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟏
𝒙
= 0
Dari contoh ke-3 pada limit ketakhinggaan metode substitusi langsung, dapat dijadikan
teorema dalam mencari nilai limitnya. Berikut Teoremanya :
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟏
𝒙𝒓 = 0
Metode Substitusi Langsung

6. Tentukan Nilai Limit fungsi berikut ini :
1. lim
𝑥→∞
𝑥2−2𝑥+3
𝑥+3
2. lim
𝑥→∞
2𝑥+3
3𝑥2+5𝑥−2
3. lim
𝑥→∞
3𝑥4+2
3−5𝑥4
4. lim
𝑥→∞
3𝑥2+5𝑥−7
10𝑥3+5𝑥
5. lim
𝑥→∞
(2𝑥−1)4
(3𝑥−1)(5𝑥2+𝑥)
Latihan Soal

7. Setelah mencoba mengerjakan latihan soal, dapat ditarik kesimpulan sebagai
berikut :
1. Apabila pangkat tertinggi berada di pembilang, maka hasil limitnya adalah ∞
2. Apabila pangkat tertinggi berada di penyebut, maka hasil limitnya adalah 0
3. Apabila pembilang dan penyebut memiliki pangkat yang sama, maka hasil
limitnya adalah a/b. Dimana a adalah koefisien dari pembilang dan b adalah
koefisien dari penyebut yang keduanya merupakan pangkat tertinggi.
Sehingga dapat ditulis sebagai berikut :
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒂𝟏𝒙𝒎
+ 𝒂𝟐𝒙𝒎−𝟏
+ 𝒂𝟑𝒙𝒎−𝟐
+ ⋯ + 𝒂𝒏𝒙𝒎−(𝒏−𝟏)
𝒃𝟏𝒙𝒑 + 𝒃𝟐𝒙𝒑−𝟏 + 𝒃𝟑𝒙𝒑−𝟐 + ⋯ + 𝒃𝒏𝒙𝒑−(𝒏−𝟏)
1. Jika m > p, maka 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
f(x) = ∞ ; 2. Jika m < p, maka 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
f(x) = 0 ;
3. Jika m = p, maka 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
f(x) =
𝒂𝟏
𝒃𝟏
Metode Substitusi Langsung

8. 1. lim
𝑥→∞
𝑥2−7𝑥+5
𝑥+3
; m > p, maka hasilnya adalah ∞
2. lim
𝑥→∞
2𝑥2−7𝑥+5
5𝑥−3𝑥2 ; m = p, maka hasilnya adalah −
2
3
3. lim
𝑥→∞
2𝑥2−7𝑥+5
4−5𝑥−3𝑥3 ; m < p, maka hasilnya adalah 0
Latihan Soal:
1. lim
𝑥→∞
(2𝑥−1)4
(3𝑥−1)(5𝑥2+𝑥)
4. lim
𝑥→∞
(3𝑥−6)2
(3𝑥−1)(5𝑥2+𝑥)
2. lim
𝑥→∞
(2𝑥−3)3
(2𝑥−3)(4𝑥2+6𝑥)
5. lim
𝑥→∞
(2𝑥−5)2
2(5𝑥2+𝑥)
3. lim
𝑥→∞
(3𝑥−4)(2𝑥+3)3
(2𝑥2−3)(4𝑥2+6𝑥)
6. lim
𝑥→∞
(3−2𝑥)3
2𝑥(3𝑥−5𝑥2)
ContohSoal

9. Merasionalkan suatu limit adalah suatu cara agar permasalahan tersebut dapat
diselesaikan secara menyeluruh. Pada limit fungsi ketakhinggaan metode ini
digunakan jika persoalan yang diberikan berbentuk irasional (Akar kuadrat).
Contoh 1 :
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 − 𝒙 + 𝟐
Penyelesaian :
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 − 𝒙 + 𝟐 x
𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟑+ 𝒙+𝟐
𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟑+ 𝒙+𝟐
(Gunakan perkalian sekawan)
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟑−(𝒙+𝟐)
𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟑+ 𝒙+𝟐
 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒙𝟐+𝒙−𝟓
𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟑+ 𝒙+𝟐
(Gunakan Teorema 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟏
𝒙𝒓 = 0 )
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒙𝟐
𝒙𝟐+
𝒙
𝒙𝟐−
𝟓
𝒙𝟐
𝒙𝟐
𝒙𝟒+
𝟐𝒙
𝒙𝟒−
𝟑
𝒙𝟒+
𝒙
𝒙𝟒+
𝟐
𝒙𝟒
 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟏+𝟎−𝟎
𝟎+𝟎−𝟎+ 𝟎+𝟎
=
𝟏
𝟎
= ∞
Metode Merasionalkan

10. Latihan Soal :
1. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟓𝒙 − 𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟕
2. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓 − (𝟐𝒙 + 𝟏)𝟐
Metode Merasionalkan
Dari Contoh Soal dan Latihan Soal Metode Merasionalkan dapat dibuat
kesimpulan sebagai berikut :
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 − 𝒑𝒙𝟐 + 𝒒𝒙 + 𝒓
Jika :
a = p, maka hasil atau jawabannya adalah
𝒃−𝒒
𝟐 𝒂
a > p, maka hasil atau jawabannya adalah ∞
a < p, maka hasil atau jawabannya adalah −∞

11. Asimtot adalah suatu garis lurus yang didekati oleh lengkung dengan jarak
semakin lama semakin kecil mendekati nol di tak hingga. Asimtot juga
diartikan sebagai garis batas atau garis arah kelengkungan kurva dan ada pada
domain tertentu. Asimtot datar adalah suatu garis yang mendekati nilai y
tertentu tidak melewati atau menyinggungnya. Berikut Contohnya :
Asimtot Datar
Tentukan asimtot datar
untuk fungsi berikut :
f(x) =
2𝑥+2
𝑥−4
; maka :
lim
𝑥→∞
2𝑥+2
𝑥−4
= 2
Jadi, Asimtot datarnya
adalah 2
Kurva semakin lama
semakin mendekati
nilai y = 2,
Tetapi tidak pernah
menyentuh nilai y = 2

12. Beberapa ilmuwan sedang meneliti suatu senyawa. Senyawa ini merupakan
hasil reaksi kimia dari beberapa senyawa. Setelah diteliti ternyata jumlah
senyawa baru yang terbentuk mengikuti fungsi f(t) =
2𝑡2+3𝑡+4
(3+2𝑡)(𝑡−1)
dengan f(t)
menyatakan jumlah senyawa dalam milligram dan t waktu dalam detik.
Tentukan jumlah senyawa yang terbentuk untuk jangka waktu yang sangat
lama adalah . . .
Penyelesaian :
Waktu yang sangat lama artinya t → ∞
f(t) =
2𝑡2+3𝑡+4
(3+2𝑡)(𝑡−1)
 f(t) =
2𝑡2+3𝑡+4
2𝑡2+𝑡−3
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
2𝑡2+3𝑡+4
2𝑡2+𝑡−3
= 1
Aplikasi Limit fungsi Ketakhinggaan
Jadi, senyawa yang
terbentuk dalam
waktu yang sangat
lama adalah 1
miligram

13. Jawaban Latihan Soal :
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟓𝒙 − 𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟕
Penyelesaian 1 :
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟓𝒙 − 𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟕 x
𝟓𝒙−𝟑+ 𝒙𝟐+𝟕
𝟓𝒙−𝟑+ 𝒙𝟐+𝟕
(Gunakan perkalian sekawan)
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟓𝒙−𝟑−(𝒙𝟐+𝟕)
𝟓𝒙−𝟑+ 𝒙𝟐+𝟕
 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
−𝒙𝟐+𝟓𝒙−𝟏𝟎
𝟓𝒙−𝟑+ 𝒙𝟐+𝟕
(Gunakan Teorema 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟏
𝒙𝒓
= 0 )
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
−𝒙𝟐
𝒙𝟐 +
𝟓𝒙
𝒙𝟐−
𝟏𝟎
𝒙𝟐
𝟓𝒙
𝒙𝟒−
𝟑
𝒙𝟒+
𝒙𝟐
𝒙𝟒+
𝟕
𝒙𝟒
 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
−𝟏+𝟎−𝟎
𝟎−𝟎+ 𝟎+𝟎
=
−𝟏
𝟎
= −∞
Metode Merasionalkan

14. Jawaban Latihan Soal :
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓 − (𝟐𝒙 + 𝟏)𝟐
Penyelesaian 2 :
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏 x
𝟒𝒙𝟐−𝟒𝒙+𝟓+ 𝟒𝒙𝟐+𝟒𝒙+𝟏
𝟒𝒙𝟐−𝟒𝒙+𝟓+ 𝟒𝒙𝟐+𝟒𝒙+𝟏
(perkalian sekawan)
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟒𝒙𝟐−𝟒𝒙+𝟓−(𝟒𝒙𝟐+𝟒𝒙+𝟏)
𝟒𝒙𝟐−𝟒𝒙+𝟓+ 𝟒𝒙𝟐+𝟒𝒙+𝟏
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
−𝟖𝒙+𝟒
𝟒𝒙𝟐−𝟒𝒙+𝟓+ 𝟒𝒙𝟐+𝟒𝒙+𝟏
(Gunakan Teorema 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟏
𝒙𝒓
= 0 )
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
−
𝟖𝒙
𝒙
+
𝟒
𝒙
𝟒𝒙𝟐
𝒙𝟐 −
𝟒𝒙
𝒙𝟐+
𝟓
𝒙𝟐+
𝟒𝒙𝟐
𝒙𝟐 +
𝟒𝒙
𝒙𝟐+
𝟏
𝒙𝟐
 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
−𝟖+𝟎
𝟒−𝟎+𝟎+ 𝟒+𝟎+𝟎
=
−𝟖
𝟒
= −𝟐
Metode Merasionalkan

15. Rumus Identitas danTabelTrigonometri

16. Thank you
Wisnu.pramadya@gmail.com
Youtube.com/el-math