Методична розробка

1. АНОТАЦІЯ
Об’єкт дослідження: методичні проблеми, які виникають при побудові
графіків функцій.
Мета роботи: розгляд використання комп’ютера при вивченні теми
побудови графіків функцій методом геометричних перетворень.
Одержані висновки та їх новизна: В роботі розглянуто теоретичні і
практичні основи методики викладання математики, зокрема методика
навчання учнів побудови графіків функцій за допомогою комп’ютерних
технологій.
Результати роботи можуть бути застосовані вчителями при вивчені даної
теми на уроках та факультативних заняттях.
Перелік ключових слів: ФУНКЦІЯ, ГРАФІК ФУНКЦІЇ, ЕЛЕМЕНТАРНІ
ПЕРЕТВОРЕННЯ, ПРОГРАМНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ, ПРЕЗЕНТАЦІЯ,
МОДУЛЬ, ЕЙДОГРАФІКА.

2. ЗМІСТ
ВСТУП.................................................................................................................3
Розділ І. Методичні аспекти вивчення теми «Перетворення графіків функції» .7
1.1. Загальна методична схема вивчення теми................................................7
1.2. Методика елементарних перетворень графіка функції, що стосується
функції. ........................................................................................................... 10
1.3.Методика елементарних перетворень графіка функції, що стосується
аргументу. ....................................................................................................... 16
Розділ ІІ. Використання комп’ютерапри вивченні теми «Перетворення
графіків функції»................................................................................................ 22
2.1. Математичний пакет Maple...................................................................... 23
2.2. Програма MS Power Point......................................................................... 34
РОЗДІЛ ІІІ. РОЗРОБКИ УРОКІВ З ВИКОРИСТАННЯМ КОМП’ЮТЕРА....... 45
10 клас Урок № 2............................................................................................ 45
9 клас Урок-семінар № 24............................................................................... 47
10 клас Урок № 10.......................................................................................... 50
Матеріали до факультативних занять у 10 класі з використанням програми
Edvance Grapher............................................................................................... 63
Задачі з ейдографіки ....................................................................................... 80
ВИСНОВКИ....................................................................................................... 85
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ...................................................... 87
ДОДАТКИ.......................................................................................................... 90

3. ВСТУП
У час становлення й розвитку системи національної освіти особливо
актуальними є питання вдосконалення форм, методів і технології навчання
математиці в навчальних закладах різних типів.
Чи готуємо ми своїх учнів до життя в XXI столітті? А чи готові ми самі
«пропускати через себе» нову інформацію, використовувати сучасні
комп’ютерні і телекомунікаційні технології навчання? Потік інформації, що
обрушується на наших учнів і нас самих, буде в тій мірі сприяти досягненню
сучасних освітніх цілей, у якій учні навчені сприйняттю інформації і її
використанню.
Педагогіка – наука соціальна, вона є гарантом розвитку суспільства, тому
що те, що закладається як соціально-економічні задачі розвитку держави
сьогодні, буде завтра реалізовуватися випускниками шкіл. Тому у всіх
розвинутих країнах світу зроблений поворот у розвитку педагогічних
технологій на навчання умінню самостійно добувати потрібну інформацію,
виділяти проблеми і шукати шляхи їх раціонального розв’язання. Використання
комп’ютерних технологій у навчальному процесі – один із способів включення
кожного учня в освітню систему в активній позиції.
Наша школа знаходиться у складному становищі. Якщо залишити
осторонь економічні проблеми, що непідвласні вчителю, то методика
використання програмних продуктів у навчальному процесі, інтеграція
традиційних і сучасних інформаційних технологій – це суто педагогічна
проблема, розв’язання якої залежить від нас.
При цьому персональний комп'ютер може бути використаний для:
· демонстрації нових понять, фактів,
· відпрацьовування алгоритмів розв’язання різних задач;
· тренінгу, що вимагає нових знань і придбання умінь;
· самоперевірки засвоєння понять, знань;
· контролю (перевірки) якості засвоєння знань і придбаних навичок;
· творчої навчальної діяльності учнів.

4. 4
Необхідний поворот від вербальних методів до інтеграції візуальних і
вербальних методів навчання. Адже давно відомо, що образна інформація
засвоюється краще, ніж текстова. Мудрість, сформульована древнім
китайським філософом, говорить:
«Скажи мені - і я забуду,
Покажи мені - і я запам'ятаю.
Дай мені діяти самому - і я навчуся…»
Залучення комп'ютерних технологій на різних етапах навчання допомагає
реалізувати основний принцип особистісно-орієнтованого підходу в освіті –
принцип діяльності. Сутність цього принципу полягає в стимуляції учнів до
освітньої діяльності, що забезпечує можливостісаморозвитку, самовираження і
самоосвіти.
Комплексне використання різних засобів навчання сприяє створенню
сприятливого пізнавального середовища. Поєднання традиційних форм і видів
роботи на уроці з комп’ютерною підтримкою дає можливість максимально
диференціювати та індивідуалізувати навчання, зробити процес навчання
творчим, дослідницьким. Застосування інформаційних технологій дає змогу
скоротити час на вивчення теми, підвищити рівень сприйняття і розуміння
учнями матеріалу. Позитивний результат гарантовано, бо молодь до
комп’ютерів ставиться дуже доброзичливо,вонаїх любить, їм довіряє, навіть їх
обожнює. І треба розумно використати це ставлення школярів до комп’ютера
при плануванні навчального процесу.
Важливі також деякі психологічні аспекти даної теми. Учні мають різний
психологічний статус і багато хто з них хворобливо ставиться до зауважень,
дуже боїться зазнати фіаско на очах у класу. У діалозі з комп'ютером нічого
подібного не відбувається: комп'ютер не рахує, скільки було невдалих спроб
розв’язання задачі, не робить ніяких зауважень. Він ще й підкаже, що і як
потрібно зробити. Таким чином формується ситуація психологічного комфорту,
яка створює можливість пізнавального та емоційного розкріпачення учнів.
У діючій програмі з математики рекомендоване використання
персонального комп'ютера як контролюючої машини, навчального тренажера,

5. 5
моделюючого стенда, інформаційно-довідникової системи, ігрового
навчального середовища, електронного конструктора, експертної системи.
Використання комп'ютера під час вивчення математики дає наочні уявлення
про досліджувані поняття, закономірності, функції, геометричні фігури, що
сприяє розвитку образного мислення учнів.
У вчителя з’явилася можливість за допомогою сучасних комп’ютерних
технологій удосконалювати навчально-виховний процес.
Все вище перераховане ще раз доводить актуальність обраної теми
методичної розробки. В ній присутні такі методичні складові:
ОБ’ЄКТ ДОСЛІДЖЕННЯ: методичні проблеми, які виникають при
побудові графіків функцій.
ПРЕДМЕТ ДОСЛІДЖЕННЯ: особливостіпобудови графіків функцій за
допомогою елементарних геометричних перетворень.
МЕТА: розгляд використання комп’ютера при вивченні теми побудови
графіків функцій методом геометричних перетворень.
Робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку
використаної літератури та додатків. Перший розділ під назвою «Методичні
аспекти вивчення теми «Перетворення графіків функції» являється початковим
етапом в забезпеченні фундаментальної підготовки учнів. Функціональні
поняття конкретизуються при розгляданні методики вивчення елементарних
функцій, лінійної функції і її частинного випадку – прямої пропорційності.
Перша частина дипломної роботи містить формулювання основних
фундаментальних понять, а вивчення конкретних функцій супроводжується
розглядом прикладів реальних залежностей між величинами, що сприяє
підсиленню прикладної направленості курсу алгебри.
Другий розділ «Використання комп’ютера при вивченні теми
«Перетворення графіків функції» складається з прикладів можливого
використання різноманітного програмного забезпечення на різних етапах
вивчення теми:
1. Математичний пакет Maple
2. Програма для створення мультимедійних презентацій MS Power Point.

6. 6
3. Використання програми My Test для контролю знань, вмінь та
навичок, отриманих учнями під час вивчення теми.
У третьому розділі наведені розробки уроків у 9-10 класах з
комп’ютерною підтримкою, матеріали для факультативних занять з
використанням програми Edvance Grapher та задач з ейдографіки.
Список використаної літератури налічує 35 джерел, серед яких присутні
як методична, так і наукова література, джерела Інтернет - видань а також
статті вчителів - предметників.
Методична розробка доповнена додатком, що містить структуру
навчальних програм класів основної школи, в яких розпочинається вивчення
функціональної залежності.

7. 7
Розділ І. Методичні аспекти вивчення теми «Перетворення
графіків функції»
1.1. Загальна методична схема вивчення теми
На основі функціональної пропедевтики, яка проводилась в 1-6 класах,
явне введення функції, її загального поняття відбувалося за програмою в 7
класі. Проте досвід викладання алгебри останніми десятиріччями свідчить про
те, що програма 7 класу виявляється перевантаженою новим для учнів
навчальним матеріалом, який закладає основи алгебри. Тому за новою
програмою самостійна тема «Елементарні функції» передбачена у 8 класі. Тут
учні повинні дістати уявлення про функції як математичні моделі залежності
між величинами та об’єктами будь-якої природи. На прикладах прямої і
оберненої пропорційності передбачається ввести поняття про основні способи
задавання функції. Передбачено також вивчати властивості функцій y=kx,
k
y
x
 , y kx b  , 2
y x , 3
y x , y x їх графіки, табличні способи задання. У
зв’язку з останнім питанням передбачено знайомити учнів з використанням і
аналізом різних дослідних даних, поданих у таблицях, з метою розвитку і
наступного формування статистичних уявлень.
Матеріал, розглянутий у цьому розділі, має на меті показати розвиток
функціональної лінії протягом трьох років навчання алгебри. Увага
зосереджена на виділенні головного в навчальному матеріалі кожної теми,
насамперед у частині формування нових функціональних понять. Виклад
орієнтовано на забезпечення обов’язкових результатів навчання, визначених
програмою. Цей матеріал може бути використаний як один з варіантів
методики вивчення функцій.
Вивченню поняття функції передує пропедевтична робота, що
проводиться в 5-6 класах під час розгляду числового значення буквеного
виразу, обчислень за формулами (площа прямокутника, довжина кола і площа
круга і ін.), введення координатної площини, ознайомлення з прямою і
оберненою пропорційністю величин. Основна мета функціональної

8. 8
пропедевтики – формування в учнів поняття змінної величини і уявлень про
залежність між величинами.
У 7-9 класах передбачено вивчення функцій y kx b  ; 2
y x ; n
y x , де n
– натуральне число; 2
y ax bx c   ;
k
y
x
 ; y x ; y x . Місце кожної з цих
функцій у програмі і основний зміст навчального матеріалу з кожної теми
відображено у Додатку 1 .
Функціональна лінія пронизує весь курс алгебри і дістає певне
завершення в 9 класі, де систематизуються і узагальнюються всі раніше вивчені
властивості функції.
Програмою задано такий обов’язковий мінімум умінь, пов'язаний з
вивченням функції:
– виражати на простих прикладах функціональні залежності між
величинами;
– знаходити значення функції, заданих формулою, таблицею, графіком;
– будувати і читати графіки функцій, поданих у програмі.
Доцільно виділити загальну методичну схему вивчення окремих видів
функції як у курсі алгебри, так і в курсі алгебри і почату аналізу.
1. Етап мотивації:розглядається приклади залежностей, які приводять
до даного виду функції.
2. Формулювання означення функції, що вводиться. Залежно від виду
функції і підготовленості учнів означення можна ввести конкретно-
індуктивним методом (коли учні підводяться до самостійного виділення
суттєвих властивостей і формування означення) або абстрактно-дедуктивним
методом (коли вчитель сам формулює означення і наводить приклади
введеного виду функції). Розв’язання усних вправ та підведення під поняття
функції, що вивчається. Серед пропонованих функцій мають бути й такі, що не
належать до розглядуваного виду.
3. Побудова по точках заздалегідь заготовленою таблицею графіка
функції і «читання» по ньому властивостей функції. На наступних етапах
навчання, зокрема в 9-10 класах, коли систематизуються відомості про

9. 9
функцію, вводиться означення зростаючої, спадної, парної, непарної,
періодичної функції, буде нагода довести властивості окремих видів функції
аналітично.
4. Застосування властивостей вивченої функції, зокрема, до розв’язання
рівнянь, нерівностей та інших задач.
Навчальний матеріал, що стосується побудови графіків і вивчення
властивостей окремих видів квадратичної функції і загального її виду, дає
змогув класах з поглибленим вивченням або на заняттях математичного гуртка
розглянути на рівні узагальнення побудову графіків складніших функцій
шляхом геометричних перетворень графіків відомих функцій. При цьому
доцільно звести в систему основні вісім перетворень, які дають змогу
урізноманітнити систему вправ на побудову графіків функцій. Це підготує
учнів, які навчаються на підвищеному рівні, будувати графіки складніших
тригонометричних, степеневих, показникових і логарифмічних функцій в курсі
алгебри і початків аналізу.
Можна заздалегідь підготувати таблицю, в якій показано послідовність
розгляду кожного перетворення і наведено шуканий графік. Разом з тим
потрібні теоретичні обґрунтування окремих перетворень з метою запобігання
формалізму у сприйманні готового алгоритму.
Досвід свідчить про те, що узагальнення щодо побудови графіків
функцій шляхом геометричних перетворень треба виконувати паралельно з
розглядом побудови графіків конкретних функцій.
Використаємо дещо новий підхід у викладенні даного матеріалу, а саме
всі елементарні перетворення графіків функцій методично розділимо на дві
логічні частини: перша частина розглядає методику елементарних перетворень
графіка функції, що стосується функції, а друга частина – методику
елементарних перетворень графіка функції, що стосується аргументу. Розгляду
методики перетворень графіків функцій у кожній частині буде передувати
викладення теоретичного матеріалу, що стосується деяких видів елементарних
функцій.

10. 10
1.2. Методика елементарних перетворень графіка функції, що
стосується функції.
Застосуємо вище зазначену методичну схему до вивчення лінійної
функції.
На першому етапі, етапі мотивації, наведемо приклад різних
залежностей, які задаються тією самою формулою.
1) Залежність шляху S при рівномірному прямолінійному русі від часі t,
коли відомий початковийшлях S0, якийпройшло тіло: S= S0+Vt, де t і S – змінні,
V і S0 – сталі.
2) Видовження металевого стержня при нагріванні відбувається за
формулою l=kt+l0, де температура нагрівання t і довжина стержня l – змінні, l0
– довжина стержня за температури 0 градусів, k – коефіцієнт лінійного розтягу
– сталі.
3) Вартість телеграми можна визначити формулою T=k+nx, де k –
кур’єрний збір, х – кількість слів, n – вартість слова.
Якщо вводити означення лінійної функції конкретно-індуктивним
методом, то можна запропонувати учням записати у загальному вигляді
залежності між змінними у розглянутих трьох прикладах у вигляді однієї
формули, використавши позначення незалежної змінної буквою х, залежної –
буквою у, коефіцієнт при змінній –буквою k, а вільний сталий член – буквою b.
Учні прийдуть до формули y=kx+b. Вчитель зауважує, що всі функції, які
можна задати такою формулою, називають лінійними. Учням пропонується,
скориставшись одержаною формулою, сформулювати означення лінійної
функції. Доцільно в цьому разі звернути увагу учнів на суттєві властивості
лінійної функції, які легко помітити зі структури формули, що задає цю
функцію: це двочлен, у якого один член є добутком числа на перший степінь
незалежної змінної, а другий член – число. У загальному вигляді між членами
стоїть знак плюс, якщо між членами є знак мінус, то він стосується вільного
члена b. Несуттєвими ознаками є значення коефіцієнта k і вільного члена b.
Вони можуть бути будь-якими числами, несуттєвим є порядок розташування
членів двочлена.

11. 11
Система вправ на підведення під поняття лінійної функції доцільно
побудувати, варіюючи несуттєві ознаки – значення k і b. Вона може бути такою.
Які формули з наведених нижче задають лінійну функцію? Вказати для
них k і b:
2
1) 5 2;
4) 8;
7) 2 1;
10) 10;
13) 2 1;
2
y x
y
y x
y
y
x
 

 

 
2) 7,3 6;
5
5) 1;
8) 0;
11) 2 8;
3 2
14) ;
5
y x
y
x
y
y x
y
x
 
 

  
 
2
2
3) 2;
3
6) ;
2 2
9) 8 3,7 ;
12) 5,9;
15) .
y x
x
y
y x
y
y a x
 
 
 
 

де а – стала.
В останньому прикладі не всі учні розпізнають лінійну функцію за
певної сталої а. Важливо, щоб учні усвідомили, що формула y=kx+b є
узагальненням всіх можливих лінійних функцій і вона задає множину лінійних
функцій за різних значень k і b, порядок членів.
Після заповнення таблиці значені y і x для певної лінійної функції і
побудови відповідних точок на координатній площині учням пропонується
поки що прийняти на віру (цей факт буде доведено у старших класах), що
графіком лінійної функції є суцільна пряма. Доцільно після побудови графіків
кількох лінійних функцій звернути увагу учнів на те, що для побудови прямої,
як відомо з курсу геометрії, досить знайти дві точки. Коли значення b невеликі
за модулем, одна точка (0; b) завжди відома безпосередньо з формули. Другою
точкою може бути будь-яка, координати якої можна обчислити з формули
y=kx+b при будь-якому заданому х. Інколи зручно обчислити точку перетину
графіка з віссю х, беручи у=0 і обчислюючи відповідне значення х.
Бажано, щоб учні самі помітили, як впливають на розташування графіка
знаки k і b: при k>0 пряма утворює з додатнім напрямом осі х гострий кут, а
при k<0, тупий. Залежна змінні у зростає при зростанні х у першому випадку і
зменшується у другому. Цим самим реалізується перспективні зв’язки
навчального матеріалу доведенням монотонності лінійної функції в 10 класі.

12. 12
Лінійна функція застосовується вже при вивченні систем двох лінійних
рівнянь з двома невідомими, зокрема при введенні графічного способу
розв’язування таких систем і навіть раніше, коли учні вивчають графік
лінійного рівняння з двома невідомими.
Окремим випадком лінійної функції є пряма пропорційність, оскільки
формула y=kx одержується з формули y=kx+b при b=0. Тому вивчення прямої
пропорційності можна почати саме з таких міркувань. Після цього учні самі
можуть сформулювати означення прямої пропорційності і навести приклади
залежностей, які задаються формулами y=kx. Як окремий випадок лінійної
функції пряма пропорційність має графіком пряму. Можна запитати учнів, яка
специфічна властивість цієї прямої. Хто із них скаже, що графіком прямої
пропорційності є пряма, яка проходить через початок координат оскільки при
х=0 у=0. Тому для побудови досить знайти координати ще однієї точки,
задавши х, зручне для обчислення, і обчислити за формулою відповідне у.
При розв’язуванні вправ що стосуються лінійної функції і прямої
пропорційності, треба не тільки будувати графіки відповідних функцій за
заданою формулою, а й розв’язувати обернені вправи: за відомим графіком
знайти формулу, що задає функцію.
Вивчення оберненої пропорційності
k
y
x
 у 8 класі природно пов’язати
з різноманітними прикладами залежностей між змінними, які відомі учням з
життєвого досвіду або з суміжних предметів, зокрема геометрії, фізики та ін.
Наприклад, за наявності певної суми грошей Р кількість куплених зошитів у
оберненій пропорційності їхній ціні х (
P
y
x
 ); при площі прямокутника, яка
дорівнює 20 см2, ширина його b обернено пропорційна довжині а (
20
b
a
 ); за
силою напруги U сила струму I обернено пропорційна опору R провідника
(
U
I
R
 ). Для учнів може виявитися цікавим такий факт: формула
U
I
R
 за
сталою U одержана з формули, яка виражає закон Ома. Проте, якщо з цієї
формули виразити R, то формула
U
R
I
 не задає обернену пропорційність, бо за

13. 13
зміни U кілька разів сила струму І не залишається сталою, а змінюється стільки
само разів. Обернено пропорційна залежність опору провідника від його площі
перерізу задається формулою
l
R
S
 , де ,l – сталі.
У наведених прикладах маємо справу з додатними величинами,
означення ж функції
k
y
x
 передбачає значення змінних х і у як додатні, так і
від’ємні. Важливо при цьому наголосити, що 0k  . На відміну від вивчених
раніше функцій областю визначення оберненої пропорційності не є множина
всіх чисел, оскільки х має бути відмінним від нуля.
Після побудови графіків кількох функцій
k
y
x
 при додатних і
від’ємних х учні повинні зробити висновок щодо розташування графіку
оберненої пропорційності (гіперболи) у відповідних координатних чвертях
залежно від знака k, характеру зміни значень функції із зростанням значення
аргументу. На цей час учні вже мають з курсу геометрії поняття про осьову і
центральну симетрію. Доцільно звернути увагу на те, що за певного значення k
графік (гіпербола) симетричний щодо початку координат. У 10 класі після
введення означення зростаючої,спадної, парної і непарної функцій треба знову
звернутися до властивостей функції
k
y
x
 , довести їх аналітично,
користуючись відповідними означеннями.
При вивченні квадратичної функції 2
y ax bx c   , де 0a  , в 9 класі на
етапі мотивації неважко навести приклади залежностей, які задаються
функцією 2
y ax , котра є окремим випадком квадратичної, і важче підібрати
аналогічні приклади для загального вигляду функції. Проте такий приклад є. У
курсі фізики учні вивчають формулу положення тіла відносно системи
координату будь-який момент часу t: за прискореного руху
2
0 0
2
x
x
a t
x x v t   , де
0x – початкова координата тіла;
0xv – початкова швидкість (проекція вектора швидкості на вісь х);
xa – прискорення (проекція вектора прискорення на вісь х).

14. 14
Найскладнішим для сприймання учнів є навчальний матеріал, що
стосується побудови графіка квадратичної функції загального вигляду
2
y ax bx c   . Тому не випадково учнів готують до цього шляхом послідовного
розгляду питань побудови графіків функцій 2 2 2
, ; ( )y ax y ax n y a x m     ,
спираючись на побудову відомого графіка функції 2
y x . З метою актуалізації
опорних знань і вмінь треба повторити розв’язування вправ на виділення
квадратного двочленаз тричлена 2
ax bx c  за певних числових значень a, b, c і
лише після цього перейти до розв’язування задачі в загальному вигляді.
y= –f(x)
Дано: y=f(x).
Побудувати: y= –f(x).
Наприклад:
Дано: 2
y x .
Побудувати: 2
y x  .
Алгоритм:
1) Побудувати графік y=f(x).
2) Відобразити його симетрично осі х.
Дістанемо графік функції y= –f(x).
y= f(x)  a, а>0.
Дано: y=f(x)
Побудувати:
y= f(x) а
Наприклад:
Дано:
2
,
1
.
y x
y
x


Рис. 1
Рис. 2

15. 15
Побудувати:
2
1,
1
2.
y x
y
x
 
 
Алгоритм:
1) Побудувати графік y=f(x).
2) Паралельно перенести його вгору на відстань а в напрямку осі у для
y=f(x)+а, на відстань а вниз для y=f(x) – а.
y= аf(x), a>0.
Дано: y=f(x)
Побудувати: y= af(x)
Наприклад:
Дано: 2 2
,y x y x  
Побудувати:
2 2
2 , 2
1 1
, .
6 6
y x y x
y x y x
  
  
Алгоритм:
1) Побудувати графік
y=f(x).
2) Розтягнути цей графік від осі х у напрямку осі у в а разів при a>1 і
стиснути до осі x за 0<a<1.
y= |f(x)|
Дано: y=f(x)
Побудувати: y= |f(x)|
Наприклад:
Дано: y= x–1
Побудувати: y=| x–1|
Алгоритм:
1) Побудувати графік y=f(x).
2) Відобразити симетрично осі х
Рис. 3
Рис. 4

16. 16
ту частину побудованого графіка, яка міститься нижче осі х. Об’єднання
графіків, розташованих не нижче осі х, є графіком функції y= |f(x)|.
1.3.Методика елементарних перетворень графіка функції, що
стосується аргументу.
Функція y x та її графік.
У підручнику функція y x
розглядається у зв’язку з вивченням
квадратних коренів. Співставляються дві
задачі: знайти площу S квадрата за його
стороною а і відповідно знайти сторону а
квадрата, якщо відома його площа S.
Підкреслюється, що формулами 2
S a , де
0a  і a S задаються функціональні
залежності між одними і тими самими
змінними, протеу першому випадку незалежною змінною є сторона квадрата, а
в другому – площа.
Далі здійснюється перехід до стандартних позначень функції буквою у і
аргументу – буквою х. Цей перехід треба пояснити учням.
Отже, маємо 2
y x , де 0x  і y x . Переходячи до побудови графіка
функції y x , треба пригадати з учнями означення арифметичного
квадратного кореня з числа х. Це невід’ємне число, квадрат якого дорівнює х.
Отже, формулою y x задається функція, визначена при всіх невід’ємних
значеннях змінної х. Визначається розміщення графіка функції y x на
координатній площині.
Для складання таблиці значень аргументу і функції треба використати
калькулятор. Побудувавши за цими даними графік, порівнюємо його з графіком
функції 2
y x , де 0x  .
В обох випадках цими
графіками є частина параболи. Графік
Рис. 5
Рис. 6

17. 17
y x розміщений відносно осі х так само, як і графік функції 2
y x при 0x 
відносно осі у.
Зобразивши обидва графіки на одному малюнку, наочно показуємо
учням, що вони симетричні відносно прямої у=х (бісектриси першого
координатного кута). За допомогою графіка учні переконуються також, що
більшому числу відповідає більше значення квадратного кореня. Переважна
більшість вправ за цим матеріалом – на обчислення за допомогою графіка
значень аргументу і функції.
Проте треба приділити і достатню увагу і розв’язанню вправ такого
змісту:
1. Чи належить графіку y x :
а) точка А(–16; 4); б) точка В(49; –7)?
2. Чи перетинає графік функції y x пряма:
а) у= 5; б) у= –5?
3. Чи існує значення змінної х, при якому:
а) 3 0x  ; б) 3x   ; в) 5 0x  ?
Відповідаючи на ці питання, учні посилаються на умову 0x  і
означення арифметичного кореня.
Під час вивчення функції y x доцільно повторити поняття «область
значень функції».
Функція
n
y x та її графік (n – натуральне число).
В основній школі розглядається степенева функція лише з натуральним
показником. Головна мета вивчення її – узагальнити вивчені відомості про
функції та їх графіки, розглянути деякі нові властивості функцій. Зважаючи на
те, що учні вже мають достатній досвід оперування поняттям функції і
відповідною термінологією, треба почати безпосередньо з означення.
Функція n
y x , де n – сталий натуральний показник, а х – будь-яке
дійсне число, називається степеневою функцією з натуральним показником.
Далі розглядаються окремі випадки.

18. 18
1. При n=1 функція y=x є окремим випадком лінійної функції
,( 1, 0).y kx b k b   
Учні пригадують, що графіком цієї функції є бісектриса першого і
третього координатних кутів. Функція зростає на всій області визначення. Це
означає, що коли вибрано два довільних значення 1x і 2x такі, що 2 1x x , тоді
відповідно значення функції 2 1y y .
При x<0 і y<0; при x=0 і y=0; при x>0 і y>0.
Новим для учнів є висновок про те, що графік функції y=x симетричний
відносно початку координат (повторюється поняття центральної симетрії).
Треба підкреслити також, що функція y=x – непарна.
2. При n=2 степенева функція має вигляд 2
y x , тобто є окремим
випадком уже відомої учням квадратичної функції 2
y ax bx c   . Учні знають
властивості цієї функції з попереднього. Доцільно доповнити деякі з них. При
x=0 і y=0, тобто графік функції проходить через початок координат. При всіх
інших значеннях х – додатних і від’ємних – значення у додатні: графік
проходить через першу і другу чверті.
При зміні значення аргументу х на протилежне значення функції не
змінюється: 22
)( xx  . Це означає, що функція 2
y x – парна. Графік функції
симетричний відносно осі ординат (осьова симетрія). Функція 2
y x має
найменше значення, що дорівнює 0 (при х=0). Тут доцільно повторити поняття
про область значень функції. Це додатні числа і число нуль.
3. При n=3 маємо степеневу функцію 3
y x . Областю її визначення і
областю значень є множина дійсних чисел. При x=0 і y=0, графік функції
проходить через початоккоординат. З того, що 3 3
( )x x   випливає, що функція
3
y x непарна. Точки графіка, які мають протилежні
абсциси, лежать симетрично відносно початку координат
(центральна симетрія).
Якщо x>0, то y>0; якщо x<0, то y<0, бо куб
додатного числа – число додатне, а куб від’ємного –
від’ємне.
Рис. 7

19. 19
Далі учні складають таблицю і будують графік функції за точками,
координати яких подано у таблиці (обчислення виконують за допомогою
калькулятора). Графік цієї функції зображено на малюнку. Він називається
кубічною параболою. Властивості, які було встановлено аналітично,
простежуються за графіком. Функція 3
y x зростаюча на всій області
визначення.
4. При n=4 степенева функція задається формулою 4
y x . ЇЇ властивості
аналогічні до властивостей функції 2
y x , а графік при однакових значеннях
аргументу при x>1 крутіше піднімається вгору.
Властивості степеневих функцій, встановлені для окремих значень
показника n, можна узагальнити. Так, наприклад, графік функції n
y x при
будь-якому натуральному n проходить через початок координат і при x>0
розміщений над віссю абсцис. При x>0 функція зростає: якщо 1 20 x x  , то
1 2
n n
x x . Функції 2 4 6
, , ...y x y x y x   ( парні степені аргументу х) мають ту
властивість, що зміна знаку аргументу на протилежний не змінює значення
самих цих функцій: 2 2 4 4 6 6
( ) ,( ) ,( )x x x x x x      . Ці функції – парні.
Якщо n – непарне, наприклад дорівнює 3, 5, 7, то ( )n n
x x   , тобто
функція непарна.
Графіки непарних функцій симетричні відносно початку координат
(центральна симетрія), а графіки парних функцій симетричні відносно осі у
(осьова симетрія).
При непарному n функція n
y x зростає, при парному n функція
спадає на множині від’ємних чисел і зростає на множині додатних чисел.
Областю значень функції n
y x при непарному n є множина всіх
чисел.
Областю значень функції n
y x при парному n є множина невід’ємних
чисел.
Властивості степеневої функції доцільно систематизувати в таблиці, де
обов’язково вміщені графіки видозмін цієї функції.

20. 20
y= f(–x)
Дано: y=f(x)
Побудувати: y=f(–x)
Наприклад:
Дано: y x
Побудувати: y x 
Алгоритм:
1) Побудувати
графік y=f(x).
2) Відобразити
його симетрично осі у. Дістанемо графік функції y= f(–x).
y= f(x  а), де а>0.
Дано: y=f(x)
Побудувати:
y= f(x  а)
Наприклад:
Дано:
2
,y x
y x


Побудувати:
2
( 1) ,
2
y x
y x
 
 
Алгоритм:
1) Побудувати графік y=f(x).
2) Паралельно перенести його на відстань а ліворуч в напрямку осі х для
y=f(x+а), на відстань а праворуч для y=f(x – а).
Рис. 8
Рис. 9

21. 21
y= f(ax),a>0.
Дано: y=f(x)
Побудувати:
y= f(аx)
Наприклад:
Дано:
2
,y x
y x


Побудувати:
2
(2 ) ,
1
2
y x
y x


Алгоритм:
1) Побудувати графік y=f(x).
2) Розтягнутицей графік від осі у у напрямку осі х в а разів при 0<a<1 і
стиснути до осі у при a>1.
y= f(|x|)
Дано: y=f(x)
Побудувати: y= f(|x|)
Наприклад:
Дано: y= 2x+5
Побудувати: y=2| x|+5
Алгоритм:
1) Побудувати графік
y=f(x).
2) Відобразити симетрично осі х ту частину побудованого графіка, яка
міститься нижче осі х. Об’єднання графіків, розташованих не нижче осі х, є
графіком функції y= f(|x|).
Рис. 10
Рис. 11

22. 22
Розділ ІІ. Використання комп’ютера при вивченні теми «Перетворення
графіків функції»
Вивчення питання про геометричні перетворення графіків функцій є
досить складним через певну невідповідність програм вивчення геометрії та
алгебри у 9 класі. Ця невідповідність існувала у попередньо діючій програмі і,
на жаль, збереглася в існуючій програмідля 11-річної школи. Томуформування
уявлення про геометричні перетворення графіків функцій проводиться на
інтуїтивному рівні, і вчитель не має змоги акцентувати увагу на строгих
означеннях виділених ним видів перетворень. Основна увага приділяється,
встановленню і засвоєнню учнями зв'язку між рівнянням функції та певним
видом перетворення графіка функції. Вивчення зв'язкуміж видом перетворення
та рівнянням функції, як це відбувалось останні роки, проводиться через
обчислення значень функції в окремих точках і спостереження за зміною
значень функції в цих точках залежно від зміни виду функції. Використання ж
наочності, в даному випадку графічного зображення за допомогою комп’ютера
спрощує засвоєння учнями матеріалу.
Формуванню сталих умінь виконувати побудову графіків функцій шляхом
перетворень графіків елементарних функцій має передувати робота з
повторення питань про види та особливості графіків елементарних функцій яка
проводиться на попередніх уроках. Формування вмінь виконувати побудову
графіка функції шляхом геометричних перетворень ведеться паралельно із
закріпленням знань учнів про формули, що відповідають цим перетворенням.
Тому при виконанні як усних, так і письмових вправ вчителеві слід вимагати
від учнів в першу чергу аналізу формули даної функції, а потім вже вибору
відповідно до неї геометричного перетворення, для побудови графіка функції.
Такий підхід, по-перше, сприяє швидшому засвоєнню учнями змісту
навчального матеріалу уроку, а по-друге, допомагає попередити помилки, які
часто виникають в учнів, особливо, коли мова йде про паралельне перенесення
вздовж різних координатних осей.

23. 23
Таблиця 1. – Геометричні перетворення графіків функцій
2.1. Математичний пакет Maple
Розглянемо на прикладах послідовний аналіз формули та побудову
графіків з підтримкою математичного пакета Maple.
Приклад 1. Побудувати графік функції .
Розв’язання
Основним графіком для даного є графік . Потім будуємо графік
функції , для цього зсуваємо графік на 1 одиницю праворуч

24. 24
вздовж осі . Далі будуємо , зсуваючи графік на 3
одиниці вгору вздовж осі .
Побудуємо графік функції в Maple:
> y=x^2;
> smartplot[x,y](y = x^2);
> y=(x-1)^2;
> y=(x-1)^2+3;
Приклад 2. Побудувати графік функції .
Розв’язання
Послідовно виконуємо такі побудови:
1) .
2) (стискаємо вдвічі до осі графік функції ).
3) (перевертаємо графік функції відносно осі ).
Рис. 12

25. 25
4) (зсуваємо графік вздовж осі на 2 одиниці
вгору).
Побудуємо даний графік в системі Maple:
>plot([x^2,1/2*x^2,-1/2*x^2,-1/2*x^2+2],x=-10..10,-
10..10,thickness=[1,2,2,3],linestyle=[3,2,1,0]);
Тут можна прослідкувати, як перетворюється графік. Крім того, за
допомогою вказання типу лінії та її товщини ми встановлюємо відповідність
між функціями та їх графіками.
Окремим випадком є побудова квадратичної функції загального виду
cbxaxy  2
.
1-й спосіб. Знаходження координат вершини параболи за формулами:
a
bac
y
a
b
x
4
4
;
2
2
00

 ; та знаходження точок перетину параболи з осями
координат.
Приклад 3. Побудувати графік функції 383 2
 xxy .
Розв’язання
Тут 3:8;3  cba , тоді
3
1
1
)3(2
8
2
0 


a
b
x ,
3
1
8
)3(4
83)3(4
4
4 22
0 





a
bac
y
Рис. 13

26. 26
Отже, точка )
3
1
8;
3
1
1( – вершина параболи. Знаходимо точки перетину
параболи з осями координат:
з віссю 0х: , тобто . Отже точка
і точка – точки перетину параболи з віссю 0х;
з віссю 0y: , тобто . Це точка .
Крім того, відмітимо, що коефіцієнт – від’ємний, отже, парабола
нахилена вітками донизу.
Відмічаємо на координатній площині знайдені точки і будуємо по них
параболу (при потребі знаходимо додаткові точки).
2-й спосіб. Виділення повного квадрата квадратного тричлена.
В системі Maple будуємо графік функції :
> y=-3*x^2+8*x+3;
> smartplot[x,y](y = -3*x^2+8*x+3);
Рис. 14

27. 27
Приклад 4. Побудувати графік функції 206
3
1 2
 xxy
Розв’язання
Для побудови даного графіка функції виконаємо такі перетворення
квадратного тричлена:  20)18(
3
1
206
3
1 22
xxxx
7)9(
3
1
2027)9(
3
1
20)81)8118((
3
1 222
 xxxx
Тобто, потрібно побудувати графік функції .
Для цього шляхом елементарних перетворень
графік функції 2
3
1
xy  зсуваємо вздовж осі 0х ліворуч на 9 одиниць і вниз на 7
одиниць вздовж осі 0y.
Побудуємо даний графік із заданням діапазону і опцій:
>plot(1/3*x^2+6*x+20,x=-20..2,-10..10, thickness=3,title=`Графік функції
y=1/3*x^2+6*x+20`);
Як бачимо, виконання таких дій потребує від учнів розумової діяльності,
проте не вимагає однотипних дій.
На початку року в 10 класі декілька годин відводиться на узагальнення і
систематизацію знань учнів про функції, здобуті в попередніх класах. На
даному етапі учні вміють виконувати перетворення лише для квадратичної
функції, тому повторити їх необхідно для того, щоб учні могли
використовувати ці знання для перетворення будь-яких функцій.
Рис. 15

28. 28
Під час вивчення в курсі алгебри властивостей функцій та їх графіків з
успіхом можна використовувати програму «Графіки 3.0.3»
Розглянемо, наприклад, як змінюється графік функції y=ax2
+ bx + c при
зміні коефіцієнтів a, b і с. Для цього в меню просто вибираємо потрібну
функцію. Зміни розташування графіка в залежності від зміни коефіцієнтів
простежуються дуже добре (рис.17 – рис.22).
Управління програмою надзвичайно просте і не вимагає суттєвих витрат
часу для того, щоб навчити учнів працювати з нею.
Рис. 16

29. 29
Рис. 17
Рис. 18
Рис. 19

30. 30
Рис. 20
Рис. 21
Рис. 22

31. 31
Зручною у використанні і з цілою низкою корисних властивостей є
програма Advanced Grapher. За допомогою цієї програми можна будувати
графіки функцій, обчислювати значення функцій, проводити дослідження
функцій. Вдалим є те, що можна будувати графіки кількох функцій в одній
системі координат, змінюючи при цьому колір лінії графіка та її товщину.
Розглянемо, наприклад, процес побудови графіків функцій y=x2, y=sin x
та y=2x в одній системі координат. Для цього досить виконати набір
нескладних дій (рис. 23-25):
В результаті одержимо (рис. 26):
Рис. 23 Рис. 24 Рис. 25
Рис. 26

32. 32
Завдяки під’єднанню до світової мережі Інтернет та знайомством з
пошуковими системами Yandex, Google, Rambler, Meta та іншими, надавати
учням можливість знаходити інформацію, опрацьовувати її або знайти вказівки
на друковані джерела (рис.27)
Рис. 27

33. 33
Проводити тестуванняза допомогою спеціальних тестових програм,
що значно економить час на уроці та оперативно інформує про його результати.
Існує багато тестерів – програм, які дозволяють вводити в тест певну кількість
питань, варіювати складність завдань, створювати тести з однозначним
результатом або з декількома відповідями.
Наприклад, тестова програма «MyTestX» (рис.28)
Рис. 28

34. 34
Спрямовувати роботу в класі за допомогою електронних підручників на
електронних носіях (ППЗ) та в мережі Інтернет on-line. Є безліч сайтів, на яких
учень може пройти тестування (є зразки незалежного тестування з математики
за минулі роки) в системі on-line (безпосередньо в Інтернеті), повторити
основні положення з будь-якої теми, самостійно опрацювати додатковий
матеріал.
При позакласній роботі з предмета учні мають змогу створювати
публікації (Publisher) за допомогою мультимедійних засобів. Це може бути
стіннівка, інформаційний вісник, буклет, газета з різною кількістю сторінок,
брошура, стендовий матеріал, роздаткові картки.
2.2. Програма MS Power Point
Але в своїйпрактичній роботідля створення і використання презентацій я
користуюсь програмою Power Point з пакета Microsoft Office. Цей вибір
пояснюється, перш за все, розповсюдженістю даного пакета та його
уніфікованістю, доступністю та універсальністю.
Комп'ютерна презентація удосконалює та оптимізує працю вчителя,
впорядковує і зберігає наочний матеріал, необхідний для конкретного заняття.
Комп'ютерна презентація не зможе цілком замінити собою роботу вчителя з
класною дошкою та спілкування з учнями. Але…
Презентація:
 значно спростить роботу щодо реалізації принципу наочності на
уроках;
 дозволить здійснювати самостійну навчально-дослідницьку діяльність
учнів, розвиваючи тим самим їх творчу активність;
 формує інформаційну компетенцію учнів;
 індивідуалізує навчальний процес за рахунок засвоєння навчального
матеріалу в певному темпі, з використанням зручних способів
засвоєння знань, що викликає в учнів позитивні емоції і формує
позитивні навчальні мотиви;
 відкриє можливість свободи творчості вчителя.

35. 35
Методика використання презентацій на різних етапах уроку
Перевірка домашнього завдання.
На екрані монітора відображено слайд із розв’язанням домашньої задачі.
Особливо доречно використовувати на уроках геометрії при перевірці
правильності розв’язання задач на побудову, демонструючи послідовність
побудови за допомогою анімаційних ефектів (7–9 клас); при побудові перерізів
призм, пірамід, при розв’язанні задач на комбінацію тіл; при покроковій
побудові графіків функцій.
Актуалізація опорних знань і їх корекція
Кожен учень в своєму швидкісному режимі повторює опорні факти,
усвідомлює їх; відбувається самокорекція.
Презентація на цьому етапі уроку може бути складена у вигляді
довідника з теми, що вивчається, у виглядіалгоритму виконання певних дій або
містити інформацію, яка висвітлює наперед задане запитання.
Мотивація навчальної діяльності
Постановка проблеми, усна вправа, що спонукає на пошукову діяльність,
цікавий факт з теми уроку, задача практичного змісту, ігрова ситуація, діаграма
розподілу годин, що відводиться на вивчення теми, чи одне-єдине інтригуюче
запитання – це може бути зображено навіть на одному слайді з використанням
анімації та звукового супроводу (або без них) – допомагає учням мотивувати
позитивне відношення до вивчення математики.
При цьому особливо яскраво виглядає презентація, яка створена самими
учнями, підкреслює їх індивідуальність, підвищує інтерес до вивчення
предмета, особливо, якщо у автора є певні труднощі з математикою.
Історична довідка
Елементи історії математики в навчально-виховний процес вводяться з
метою:
 підвищення інтересу учнів до вивчення математики;
 поглиблення розуміння учнями математичного матеріалу, що
вивчається;

36. 36
 розширення розумового кругозору учнів і підвищення їх загальної
культури;
 створення в учнів правильного погляду на математику в цілому.
Достатньо кількох слайдів для відтворення історичних подій, історії
виникнення символів чи подорожі до Піфагорової школи, щоб учень знайшов
ключ для розуміння логіки побудови наукових теорій. «Історичні» слайди не
переобтяжую анімацією чи спецефектами, тут головне – текст, але він повинен
бути структурований, зручно розташований для читання.
Вивчення нового матеріалу
Незвичний вигляд подачі навчального матеріалу, стислість записів
дозволяє учням краще сприймати навчальний матеріал. Особливо ретельно
продумую презентації при вивченні тем, пов’язаних з графіками функцій
(тригонометричні функції, аркфункції, квадратична функція, перетворення
графіків, графічний спосіб розв’язування рівнянь, нерівностей та їх систем).
При переході від слайду до слайду учні стежать за етапами побудови графіка.
Можливість повернення слайдів дозволяє повторити процес побудови.
Актуально використання презентації при необхідності демонстрації динаміки
деякого процесу, при доведенні теорем, коли факти доведення з’являються
поступово.
Наведемо приклад презентації, використаної на уроці в 9 класі з теми
«Перетворення графіків функції виду y=f(x - m) + п »

37. 37
Слайд 2
Слайд 1

38. 38
Слайд 3
Приклад 1.
Побудуємо графік функції y=(x - 2)2, спираючись на графік функції y=x2 (щелчок мышкой).
Графік функції y=x2 є деякою множиною точок координатної площини, координати яких
перетворюють рівняння y=x2 у вірну числову рівність. Позначимо цю множину точок,
тобто графік функции y=x2, літерою F, а невідомий нам поки що графік функції y=(x - 2)2
позначимо літерою G. Порівняємо координати тих точок графіків F и G, у яких однакові
ординаты. Для цього складемо таблицю:
х -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
х2 4 1 0 1 4 9 16 25 36
(х – 2)2 16 9 4 1 0 1 4 9 16
Розглядаючи таблицю, яку можна продовжувати необмежено вліво і вправо,
помічаємо,що однакові ординати мають
точки (х0; у0) графіка F
і (х0 + 2; у0) графіка G, де х0, у0 –
деякі конкретно визначені числа
На основі цього спостереження
можемо зробити висновок, що графік
Функції y=(x - 2)2 можна отримати з
графіка функціїy=x2 шляхом здвигу
усіх його точок вправо на
2 одиниці
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8
у = х2
2
у = (х - 2)2
Слайд 4
Таким чином, графік функції y=(x - 2)2 може бути отриманим з графіка функції y=x2
зсувом вправо на 2 одиниці. Розмірковуючи аналогічно, можна довести, що графік функції
y=(x + 3)2 також може бути отриманий з графіка функції y=x2, але зсувом не вправо, а
вліво на 3 одиниці.
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8
х = 2х = - 3
у = (х + 3)2 у = (х - 2)2
у = х2
Добре видно, що осями симетрії графиків функций y=(x - 2)2 та y=(x - 3)2 являються
відповідно прямі х = 2 и х = - 3.
Чтобы увидеть графики, щелкни мышкой

39. 39
Слайд 5
Якщо замість графіка y=(x - 2)2 або y=(x + 3)2 розглядати графік
функції y=(x - m)2, де m – довільне число, то в наведених
раніше міркуваннях нічого принципово не зміниться.
Таким чином, з графіка функції у = х2 можна отримати графік
функції y=(x - m)2 за допомогою зсува вправо на m одиниць в
напрямку осі Ох, якщо m > 0, або вліво, якщо m<0. Графік
функції y=(x - m)2 є параболою з вершиною в точці (m; 0).
Цей висновок допускає ще більше узагальнення:
графік функції y=f(x - m) можна отримати з графіка
функції y=f(x) шляхом зсува графіка функції y=f(x)
вправо на m одиниць в напрямку осі Ох, якщо m > 0,
або вліво, якщо m<0.
Слайд 6
Приклад 2.
Побудуємо графік функції y = x2 + 1, спираючись на графік функції y=x2 (щелчок мышкой).
Порівняємо координати точок цих графіків, у яких однкові абсциси. Для цього складемо
таблицю:
х -3 -2 -1 0 1 2 3
х2 9 4 1 0 1 4 9
x2 + 1 10 5 2 1 2 5 10
Розглядаючи таблицю, помічаємо, що
однакові абсциси мають точки виду
(х0; у0) для графіка функції
y=x2 и (х0; у0 + 1) для графіка
функції y = x2 + 1.
На основі цих спостережень дістаємо
висновку, що графік функції y=x2 + 1
Можна отримати з графіка функції y=x2
шляхом зсуву усіх його точок вгору
(вздовж осі Оу) на 1 одиницю
(щелчок).
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8
у = х2
1
у = х2+ 1

40. 40
Слайд 7
Отже, знаючи графік функції y=x2, можна побудувати графік
функції y=x2 + п за допомогою зсуву першого графіка вгору на
п одиниць, якщо п>0, або вниз на | п | одиниць, якщо п<0.
Графіком функції y=x2 + п є парабола з вершиною в
точці (0; п).
Страница отображается по щелчку
ВВисновокисновок:: графік функції y=f(x - m) + п може бути отриманий з
графіка функції y=f(x) за допомогою послідовного викнання двох
паралельних перенесень: зсува вздовж осі Ох на m одиниць и зсува
графіка y=f(x - m) вздовж осі Оу на п одиниць.
Узагальнення:
графік функції y=f(x) + п можна отримати з графіка
функції y=f(x) шляхом зсува графіка функції y=f(x)
вгору на п одиниць в напрямку осі Оу, якщо п > 0,
або вниз, якщо п<0.
Слайд 8
Із вище сказаного випливає , що графіком функції y=(x - m)2 + п є парабола
з вершиною в точці (m; п). Її можна отримати з параболи y=x2 за допомогою
двох послідовних зсувів
Приклад 3.
Доведемо, что графіком функції у = х2 + 6х + 8 є парабола, и побудуємо її графік.
Розв’язання. Представимо тричлен
х2 + 6х + 8 у вигляді (x - m)2 + п.
Маємо
х2 + 6х + 8 = х2 + 2х*3 + 32 – 1 =
(x + 3)2 – 1.
Звідси у = (x + 3)2 – 1. Отже, графіком
функції у = х2 + 6х + 8 є парабола
з вершиною в точці (- 3; - 1). Враховуючи,
що вісь симетрії параболи – пряма
х = - 3, при складанні таблиці
значення аргумента функції варто
брати симетрично відносно
прямої х = - 3 :
х -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
у 8 3 0 -1 0 3 8
Відмічаємо на координатній площині точки,
занесені в таблицю (щелчок мышкой),
і будуємо параболу(по щелчку).
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6
-1
- 3
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6
-1
- 3
у = х2 + 6х + 8
у = х2

41. 41
Слайд 9
ПоПобудуйтебудуйте самостсамостійійноно графграфіікики функцфункціійй::
1) у = х2 + 2;
2) у = х2 – 3;
3) у = (х – 1)2;
4) у = (х + 2)2;
5) у = (х + 1)2 – 2;
6) у = (х – 2)2 + 1;
7) у = (х + 3)*(х – 3);
8) у = х2 + 4х – 4;
9) у = х2 – 6х + 11.
При побудові графіка функції виду y=(x - m)2 + п зручно
користуватися раніше виготовленим шаблоном параболи у = х2 .
шаблон
параболы
у = х2
Далі можна перевірити свої результати з тими,
що повинні бути в дійсності
Слайд 10
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
у = (х + 2) 2
у = (х - 1) 2
у = х 2 - 3
у = х 2 + 2

42. 42
Слайд 11
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-15 -10 -5 5 10 15
у = х2 - 6х + 11
у = х2 + 4х - 4 у = (х + 3)*(х - 3)
у = (х - 2)2 + 1
у = (х + 1)2 - 2
Ейдографіка – особливий різновид комп’ютерного моделювання за
допомогою графіків рівнянь. Це своєрідний симбіоз математики,
комп’ютера і мистецтва. Як зазначає С.П. Параскевич самостійне створення
образів у техніці ейдографіки є продуктивною діяльністю і сприяє розвитку
креативності учнів чи студентів завдяки інтегрованому поєднанню
математичних та художньо-естетичних знань при посередництві
комп’ютерного забезпечення; реальній можливості самовиразитися, створити
щось нове, особистісно значуще; збагаченню навчального процесу
позитивними емоціями; активізації навчально-пізнавальної діяльності.
Значно підвищує інтерес школярів до вивчення математики дидактична
гра. Вплив її на школярів проявляється в тому, що гра вносить деякий елемент
невизначеності, що збуджує, активізує розум, налаштовує на пошук
оптимальних рішень. Використовуючи у навчанні дидактичну гру, вчитель
може розвивати у школярів такі компоненти творчих якостей як фантазія,
творча уява, образність мислення. Л.В. Тополя, М.Е. Марко виокремлюють

43. 43
наступні притаманні педагогічній грі риси: вільна розвиваюча діяльність, що
починається за бажанням учня, заради задоволення від самого процесу
діяльності, а не тільки від результату (процедурне задоволення); творчий, в
певній мірі імпровізаційний, активний характер діяльності(поле творчості);
емоційна піднесеність діяльності (емоційна напруга), що передбачає як
суперництво, так і співпрацю в команді; змагання та ін.; наявність прямих чи
непрямих правил, що відображають зміст гри, логічну і часову послідовність її
розвитку. За характером педагогічного процесу виділяють такі групи гри:
а) навчальні, тренувальні, контролюючі, узагальнюючі;
б) пізнавальні, виховні, розвиваючі;
в) репродуктивні, продуктивні, творчі та інші.
Дидактична гра, що використовується як засіб розвитку пізнавальної
активності школярів, є грою за готовими правилами. У формі конкурсу
художників-математиків рекомендують провести заняття побудови графіків
функцій і автори електронного посібника «Інноваційні інформаційно-
комунікаційні технології навчання математики» (за ред. М.І. Жалдака), [12]. На
уроці чи спецкурсі бажано об’єднати учнів у групи і кожній з них
запропонувати системи рівнянь чи нерівностей, якими зашифровано малюнок.
Переможе та команда, яка краще справиться з побудовою графіків, записаних
на аркушах. Побудову можна здійснити як вручну, так і з використанням ПЗНП
GRAN1. Виконуючи завдання, учні оперують поняттями області визначення і
області значень функції. При
розшифровці рис. 29 у школярів
можуть виникнути проблеми
при побудові залежностей з
модулями, а саме – «руки»
222  xy та «рукавів»
5.3)2(2 2
 xy
Завдання з тренувального
перейде в розряд розвиваючого, якщо запропонувати учням описати
Рис. 29

44. 44
рівняннями малюнок, виконаний в координатній площині. При вивченні теми
«Побудови графіків функцій за допомогою елементарних перетворень»
актуальним буде творчий проект «Малюємо графіками функцій». Кінцевим
продуктом в проекті стане колекція малюнків. Завдання для школярів будуть
корисними у тому смислі, що закладають базу для усвідомлення практичного
застосування матеріалу – опису графічних зображень за методом
функціонального подання. Учням доступно вивчати предмет в ігровій формі.
При цьому наявний елемент заохочення, ігровий ефект. Школярі мають
можливість проявити нестандартний підхід, творчість, розкрити прихований
потенціал дослідника.
В окремих учнів можуть виникнути проблемипри створенні малюнка для
описування, а не лише при добиранні функцій. Простіше побудувати графік
функції за готовою формулою. Інша справа, коли потрібно проаналізувати –
графіки яких функцій(чи частини графіків) нагадують ті чи інші криві, дібрати
формулу, з’ясувати вплив коефіцієнтів, можливо, зробити корекцію малюнка
тощо. Тобто, виконання малюнків створює передумови формування не лише
творчої уяви і фантазії, але й таких пізнавальних якостей, як уміння
аналізувати, синтезувати, креативної якості – здібності до формування
залежності.
Рис. 30

45. 45
РОЗДІЛ ІІІ. РОЗРОБКИ УРОКІВ З ВИКОРИСТАННЯМ
КОМП’ЮТЕРА
10 клас Урок № 2
Тема: Побудова графіків функцій за допомогою геометричних
перетворень відомих графіків функцій.
Мета: Формувати уміння будувати графіки функцій за допомогою
восьми базових перетворень графіка функції
.)(
);();();();(;)();();();(
xfy
xfyaxfyxafyaxfybxfyxfyxfyxfy


Комп’ютернапідтримка: Програми GRAN або CHART 2002.
Хід уроку
І. Перевірка домашнього завдання
Розв’язування вправ, аналогічних до домашніх.
1. Знайдіть область визначення функції:
а) 1272
 xxy ; б)
xx
y




1
1
2
3
.
Розв’язання:
а) Через те, що арифметичний квадратний корінь існує лише з
невід’ємних чисел, х2+7х+12≥0. Розв’яжемо нерівність методом інтервалів(
знайдемо нулі функції g= х2+7х+12, нанесемо їх на координатну пряму і
визначимо знак функції на кожному проміжку. Отже, D(y)=(-∞;-4]U[-3;+∞).
б) D(y) знаходимо розв’язавши систему:








;01
,01
,02
x
x
x





.1
,2
x
x
Отже, D(y)=(-∞;-2)U(-2;1).
2. Дослідіть на парність і непарність функцію:
а) );3()( 34
xxxxf  б) .
35
)( 2


x
x
xf
Розв’язання:
а) Через те, що D(f)=R i
)3()(),()3()3())(3()()( 34343434
xxxxfxfxxxxxxxxxxf  -
непарна.

46. 46
б) Через те, що D(f)=R i
),(
353)(5
)( 22
xf
x
x
x
x
xf 




 то .
35
)( 2


x
x
xf парна.
ІІ Повторення і систематизація знань учнів про геометричні
перетворення графіків.
Із курсів геометрії-8 і алгебри-9 нам відомо про перетворення фігур на
площині. Згадаємо їх. За допомогою програми GRAN(CHART) на одній
координатній площині учні будують графіки функцій: y=x2 і y=-x2 , потім
роблять висновки: перетворення графіків функцій )()( xfyxfy  це
симетрія відносно осі OX.
Аналогічно, на одній координатній площині будуються графіки
функцій і робляться висновки:
а) xy  і xy  ,висновок: перетворення графіків функцій
)()( xfyxfy  це симетрія відносно осі OY.
б ,)2(;)3(; 222
 xyxyxy висновок: перетворення графіків функцій
)()( axfyxfy  це паралельне перенесення вдовж осі OХ на -а одиниць.
в) ,2;2; 333
 xyxyxy висновок: перетворення графіків функцій
bxfyxfy  )()( це паралельне перенесення вдовж осі OY на b одиниць.
г) ,3;3 22
 xyxy висновок: перетворення графіків функцій
)()( xfyxfy  є таким - частина графіка у верхній півплощині і на осі
абсцис без змін, а замість частини графіка в нижній півплощині будуємо
симетричну їй відносно осі ОХ.
д) ,3;3 22
xxyxxy  висновок: перетворення графіків функцій
)()( xfyxfy  є таким – частину графіка для х≥0 симетрично відображаємо
відносно осі ОY.
е) ,
3
1
;3; 222
xyxyxy  висновок: перетворення графіків функцій
,0),()(  kxkfyxfy є таким – при k>1 розтяг від точки(0;0) вздовж осі
ординат в k раз; при 0<k<1 стиск до точки (0;0) вздовж осі ординат в 1/k раз.

47. 47
ж) ,
3
1
;3; xyxyxy  висновок: перетворення графіків функцій
,0),()(  kkxfyxfy є таким – при k>0 стиск до точки (0;0) вздовж осі
абсцис в k раз; при 0<k<1 розтяг від точки (0;0) в 1/k раз.
ІІІ. Формування умінь будувати графіки за допомогою геометричних
перетворень
Виконання вправ за підручником [5] №№ 311(1, 3, 5), 313 (1, 2)
ІV. Підсумок уроку
V. Домашнє завдання. [5]§ 2 пп.9 -10 №№ 311(2,4,6);313 (3)
9 клас Урок-семінар № 24
Тема:Розв’язування вправ з теми „Властивості елементарних функцій.
Геометричніперетворення графіків функцій ”
Мета:Формування умінь :
А) розв’язування вправ на визначення властивостей заданих функцій;
Б) будувати графіки функцій за допомогою геометричнихперетворень.
Комп’ютерна підтримка: Програми GRAN , програма тестів My Test .
Хід уроку
І. Перевірка домашнього завдання.
10-12 учнів отримують тестові завдання і виконують їх на ПК, решта
учнів відповідає на запитання для повторення, пояснює розв’язання домашніх
вправ.
Приклад тестовихзавдань
В – 1
Якоюформулою записується функція, графік якої одержано в результаті:
1.Паралельного перенесення графіка функції
x
y
2
 на 4 одиниці вздовж
осіОХ
а)
x
y
4
 ;б)
4
4


x
y ; в)
4
2


x
y ; г)
2
2


x
y .

48. 48
2. Паралельного перенесення графіка функції xy  на -4 одиницівздовж
осіОХ
а) 4 xy ; б) ;4 xy в) ;4 xy г) .4 xy
3. Паралельного перенесення графіка функції 2
2xy  на 3 одиниці вздовж
осіОY
а) ;32 2
 xy б) ;32 2
 xy в) ;)3(2 2
 xy г) .)3(2 2
 xy
4. Паралельного перенесення графіка функції 3
xy  на -3 одиниці вздовж
осіОY
а) ;)3( 3
 xy б) ;)3( 3
 xy в) ;33
 xy г) .33
 xy
5. Розтягуграфіка функції
x
y
1
 від точки(0;0) вздовж осіординат у 4
рази.
а) ;
4
x
y  б) ;
4
1
x
y  в) ;
4
1
x
y  г) .
4
x
y 
6. Cтиску графіка функції xy  до точки(0;0) вздовж осіабсцис у 2
рази.
а) ;2 xy  б) ;
2
1
xy  в) ;2 xy  г) .2 xy
В – 2
Якоюформулою записується функція, графік якої одержано в результаті:
1.Паралельного перенесення графіка функції
x
y
3
 на 2 одиницівздовж
осіОХ
а)
x
y
6
 ;б)
2
3


x
y ; в)
2
3


x
y ; г)
2
3


x
y .
2. Паралельного перенесення графіка функції xy  на -2 одиницівздовж
осіОХ
а) 2 xy ; б) ;2 xy в) ;2 xy г) .2 xy
3. Паралельного перенесення графіка функції 2
2xy  на -3 одиниці
вздовж осіОY
а) ;32 2
 xy б) ;32 2
 xy в) ;)3(2 2
 xy г) .)3(2 2
 xy