Математична модель

1. Квадратне рівняння як
математична модель
прикладної задачі
8 клас
Підготувала:
учитель вищої категорії
Богодухівського НВК
Чорнобаївського району
Черкаської області
Бець Лідія Миколаївна

2. Розв'язування задач є
найхарактернішим і специфічним
різновидом вільного мислення.
В. Джеймс

3. Продовж речення
Квадратним називається рівняння
виду…
Кількість коренів квадратного рівняння
залежить від …
Дискримінант квадратного рівняння
знаходиться за формулою…
D>0, то рівняння…
D=0, то рівняння …
D<0, то рівняння …
Теорема Вієта звучить так…

4. Прикладними задачами в математиці
називають задачі, які містять
нематематичні поняття.

5. Розв'язування прикладної задачі
математичними методами
здійснюється в три етапи:
створення математичної моделі
задачі;
розв'язування відповідної
математичної задачі;
аналіз відповіді.

6. Моделлю називають спеціально
створений об'єкт, який відображає
властивості досліджуваного об'єкта.
Математичні моделі:
Функції,
Рівняння,
Нерівності,
Системи рівнянь,
Системи нерівностей, та інші.

7. Математичною моделлю прикладних
задач часто є квадратні рівняння, або
рівняння що зводяться до них.
Одне і те ж рівняння може бути
математичною моделлю зовсім різних
прикладних задач

8. х (21 – х) = 108
2. Знайти два
натуральні числа
сума яких дорівнює
21, а добуток 108.
4. Знайти довжини
сторін поля
прямокутної форми,
півпериметр якого
дорівнює 21 км, а
площа 108 кв. км.
1. Знайти довжини
сторін прямокутника,
периметр якого 42 см,
а площа 108 кв. см.
3. Від квадрата з
стороною 21 дм, з однієї
сторони відрізали смужку
завширшки х см. Які
початкові розміри аркуша,
якщо площа частини
аркуша, що залишилась
108 кв.дм?

9. Задачі, математичними моделями
яких є квадратні рівняння
Задачі на спільну роботу
Геометричні
задачі

10. Чи може одна задача мати різні
математичні моделі?

11. Укажіть два рівняння, які є
математичною моделлю задачі
Мотоцикліст запланував
відстань у 240 км подолати за
деякий час. Однак, збільшивши
швидкість на 12 км/год, він
подолав її на 1 год швидше.
Знайдіть швидкість з якою мав
їхати мотоцикліст.
1
12
240
240



х
х
12
1
240
240



х
х
1
240
12
240


 х
х
12
240
1
240


 х
х
Обґрунтуй відповідь !

12. Просто знати – ще не все,
знання треба використовувати.

13. Приклад 1
Складіть математичну модель задачі.
Периметр поля прямокутної форми дорівнює
6 км, а його площа 200 га. Знайдіть довжину і
ширину поля.
Розв'язання
Півпериметр поля 3 км. Отже, якщо його
довжина х км, то ширина (3 – х) км.
Площа поля дорівнює 200га = 2 кв. км:
х (3 – х) = 2.
Відповідь: х (3 – х) = 2.

14. Позначення величин за
одночасної роботи
За одночасної роботи спочатку визначають, яку
частину роботи виконує кожний учасник за
одиницю часу (продуктивність), а потім ці частини
роботи додають. Якщо в умові задачі виконана
робота не задається числом, її приймають за 1.

15. Приклад 2
Виберіть два рівняння, що задовольняють умову задачі.
Два робітники, працюючи разом, можуть виконати деяку роботу
за 4 дні. Перший робітник може виконати цю роботу на 6 днів
швидше, ніж другий. Скільки днів затратить на цю роботу
перший робітник?
Обґрунтуй відповідь !
Відповідь:
.
6
1
4
1
1
).
;
4
1
6
1
1
).
:
4
1
6
1
1
).
;
4
1
6
1
1
).











х
х
Г
х
х
В
х
х
Б
х
х
А
;.
4
1
6
1
1
).
:
4
1
6
1
1
).






х
х
В
х
х
Б

16. Позначення натуральних
послідовних чисел:

17. Приклад 3
Продовжить розв'язування задачі.
Квадрат суми двох послідовних натуральних чисел більший
від суми їх квадратів на 264. Знайдіть ці числа.
2
)
1
2
( 
х
Розв'язання.
Нехай менше число х, то наступне ( х+1).
Їх сума дорівнює (х + (х+1)), а квадрат суми двох послідовних
натуральних чисел .
Сума їх квадратів дорівнює .
2
2
)
1
( 
 х
х

18. За умовою задачі складаємо рівняння:
2
х - не задовольняє умову задачі.
Отже, менше число 11, а наступне 11+1=12.
Відповідь: 11; 12.
.
12
,
11
,
0
264
2
2
,
264
)
)
1
(
(
)
1
2
(
2
1
2
2
2
2











х
х
х
х
х
х
х

19. Шлях. Час. Швидкість

20. Приклад 4
Як проаналізувати розв'язок рівняння ?
Власна швидкість моторного човна 18 км/год. Відстань 12км за течією
річки він проходить на 9 хвилин швидше, ніж проти течії. Знайдіть
швидкість течії річки.
Розв'язання.
9 хв = 0,15 год. Нехай швидкість течії річки х км/год, то швидкість
моторного човна за течією річки (18 + х) км/год, а швидкість проти течії
(18 - х) км/год. 12 км за течією річки він проходить за годин,
а проти течії за годин.
За умовою задачі складаємо рівняння:
х

18
12
х

18
12
Задачу задовольняє тільки додатний корінь.
.
2
;
162
;
15
,
0
18
12
18
12
2
1







х
х
х
х
Відповідь: 2 км/год.

21. Встановіть відповідність між задачами і їх
математичними моделями
434
)
2
(
)
1
( 2
2
2




 х
х
х
3. Ціну книги знизили двічі на
одне і те саме число відсотків,
внаслідок чого вона стала
64 відсотки. На скільки відсотків
знижували ціну?
1. Знайдіть три послідовні цілі
числа, сума квадратів яких
дорівнює 434.
2. Одне із двох чисел
на 4 менше від другого.
Знайдіть ці числа, якщо їх
добуток дорівнює 32.
А
х(х-4)=32
Б
В
Г
Д
434
)
2
(
)
1
( 2
2
2




 х
х
х
;
0
324
160
2


 х
х
,
0
264
2
2


 х
х
64
100
)
100
( 2

 х

22. Пригадайте:
У чому суть методу розв’язування задач за допомогою
математичного моделювання?
Як називають рівняння або його частину, які складені за
умовою задачі?
У якій послідовності відбувається процес розв’язування
задачі за допомогою математичного моделювання ?
Чи всі розв'язки рівняння, яке є математичною моделлю
задачі, є розв'язками задачі?
Складіть математичну модель задачі:
А). У 100г гарбуза міститься 8 мг вітаміну С. Скільки треба
взяти гарбуза, щоб отримати 100 мг вітаміну С?
Б). Від квадратного листа жерсті відрізали смугу завдовжки
25см. Знайдіть початкові розміри листа, якщо площа
частини, утвореної після відрізання смуги, дорівнює 4400
квадратних сантиметрів.

23. СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ:
Література:
1.Біляніна О.Я., Кінащук Н.Л., Черевко І.М. Алгебра:8:підручник для
загальноосвітніх навчальних закладів. - К.:Генеза,2008.-304 с. (книга
трьох авторів).
2.Бевз Г.П. Алгебра: Пробний підручник для 7-9 класів середньої
школи. –К.: Освіта, 1997.-303с.( книга одного автора).
3.Бурда М.І. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з
математики. 9 клас / М.І. Бурда, О.П. Вашуленко, Н.С. Прокопенко. –
Х.: Гімназія, 2010. – 256 с. (книга трьох авторів).
4. Гальперіна А.Р. Апгебра. Геометрія. 8 клас: Тестовий контроль
знань. – К.: Літера ЛТД,2010.-136с. зошит з друкованою основою
одного автора).
5. Каплун О.І. Тест-контроль. Алгебра + геометрія. 8 клас: Зошит для
поточного та тематичного оцінювання. – Харків: ФОП Співак Т.К.,
2009. – 112 с. (зошит з друкованою основою одного автора).
6. Каплун О.І. Тест-контроль. Алгебра + геометрія. 9 клас: Зошит для
самостійних та контрольних робіт: 2-ге вид., перероб. – Харків: ФОП
Співак Т.К., 2009. – 128 с. (зошит з друкованою основою одного
автора).
7.Роганін О.М. Математика. Усе про ЗНО-2010 + тренувальні вправи.
– Харків: ФОП Співак Т.К., 2009. – 208 с. (книга одного автора).
Інтернет - ресурси :
http://uk.wikipedia.org/wiki