2. Secara Geometrik, a < b dapat digambarkan pada garis bilangan:
Selang terbuka pada garis
bilangan real dengan (a, b) =
{x | a < x < b}
Selang tertutup pada garis
bilangan real dengan [a, b] =
{x | a ≤ x ≤ b}
3. • Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar
dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan.
• Bentuk umum pertidaksamaan :
• dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak (polinom) dan
B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
x
E
x
D
x
B
x
A
Pertidaksamaan
4. • Kalimat
1
4
<
1
2
merupakan suatu ketaksamaan yang benar.
• Kalimat
1
𝑥
<
1
2
merupakan pertaksamaan yang kebenarannya
masih “terbuka”: ia bisa benar, bisa juga salah; tergantung pada
nilai x yang dipilih.
• Menyelesaikan suatu pertaksamaan dalam x berarti menentukan
himpunan semua nilai x yang “memenuhi” pertaksamaan tsb.
Pertidaksamaan
5. Pertidaksamaan
• Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua
himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan
berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan
Penyelesaian (HP)
• Cara menentukan HP :
Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
, dengan Cara :
0
)
(
)
(
x
Q
x
P
6. Pertidaksamaan
Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan
Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya
2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan
cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/
atau kuadrat
3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan,
kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap
selang bagian yang muncul
7. HIMPUNAN PENYELESAIAN (HP) SUATU PERTAKSAMAAN DALAM x ADALAH
HIMPUNAN BILANGAN RIIL YANG MEMENUHI PERTAKSAMAAN TERSEBUT.
PENGGANTIAN x DENGAN ANGGOTA-ANGGOTA HP AKAN MENGHASILKAN
KETAKSAMAAN BERNILAI BENAR
CONTOH 1:
HIMPUNAN PENYELESAIAN DARI PERTAKSAMAAN x – 2 < 5
ADALAH
HP= 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 < 7 KARENA DENGAN MENGGANTI NILAI x DENGAN SETIAP
BILANGAN KECIL DARI 7 AKAN MENGHASILKAN KETAKSAMAAN YANG BENAR
HIMPUNAN PENYELESAIAN SUATU PERTAKSAMAAN
8. Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
5
3
2
13
x
3
5
2
3
13
x
8
2
16
x
4
8
x
8
4
x
8
,
4
Hp =
4 8
10. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
0
3
5
2 2
x
x
0
3
1
2
x
x
Titik Pemecah (TP) :
2
1
x dan 3
x
3
++ ++
--
2
1
Hp =
3
,
2
1
2𝑥 + 1 < 0 𝑥 − 3 < 0
𝑥 < 3
𝑥 < −
1
2
11. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
6
3
7
6
4
2
x
x
x
x
x 7
6
4
2
6
3
7
6
x
x
dan
4
6
7
2
x
x dan 6
6
3
7
x
x
10
9
x 0
10
x
dan
9
10
x 0
10
x
dan
9
10
x dan 0
x
12. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
Hp =
,
0
9
10
,
0
9
10
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
Hp =
9
10
,
0
13. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
1
3
2
1
1
x
x
0
1
3
2
1
1
x
x
0
1
3
1
2
2
1
3
x
x
x
x
0
1
3
1
3
x
x
x
TP : -1,
3
1
, 3
3
++ ++
--
-1
--
3
1
Hp =
3
,
3
1
1
,
14. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
x
x
x
x
3
2
1
0
3
2
1
x
x
x
x
0
3
2
2
3
1
x
x
x
x
x
x
0
3
2
3
2
2 2
x
x
x
x
15. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
Untuk pembilang 3
2
2 2
x
x mempunyai nilai
Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu
positif, Jadi TP : 2,-3
Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.
-3 2
-- ++ --
,
2
]
3
,
Hp =
16. MA 1114 Kalkulus 1 16
Pertidaksamaan nilai mutlak
• Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusat
pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif.
• Definisi nilai mutlak :
0
,
0
,
x
x
x
x
x
17. Pertidaksamaan nilai mutlak
• Sifat-sifat nilai mutlak:
y
x
y
x
2
x
x
a
x
a
a
a
x
0
,
a
x
a
a
x
0
, atau a
x
y
x 2
2
y
x
6. Ketaksamaan segitiga
y
x
y
x
1
2
3
4
5
y
x
y
x
18. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
4
1
x
3
5
2
x
Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
3
5
2
3
x
5
3
2
3
5
x
8
2
2
x
Hp =
4
,
1
1 4
19. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
0
4
2
2
x
x
3
5
2
x
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4,
karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
9
5
2
2
x
9
25
20
4 2
x
x
0
16
20
4 2
x
x
0
8
10
2 2
x
x
TP : 1, 4
1 4
++
--
++
Hp =
4
,
1
⇔ 2𝑥 − 2 < 0 ⇔ 𝑥 − 4 < 0
20. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
5
4
3
2
x
x
Kita bisa menggunakan sifat 4
2
2
5
4
3
2
x
x
25
40
16
9
12
4 2
2
x
x
x
x
0
16
28
12 2
x
x
0
4
7
3 2
x
x
3
4
TP : , -1
21. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
Hp =
1
,
3
4
Jika digambar pada garis bilangan :
-1
3
4
++
--
++
22. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
2
7
2
x
2
7
2
x
2
7
2
x
5
2
x
9
2
x
10
x 18
x
,
10
18
,
atau
atau
atau
Hp =
-18 -10
23. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
Jadi kita mempunyai 3 interval :
-1 2
I II III
1
,
2
,
1
,
2
2
1
2
3
x
x
Kita definisikan dahulu :
24. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
1
x
1
,
2
1
2
3
x
x
2
1
2
3
x
x
2
1
3
6
x
x
2
2
7
x
9
2
x
9
2
x
2
9
x
2
9
,
I. Untuk interval atau
atau
25. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
1
,
2
9
,
2
9
-1
Jadi Hp1 =
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah
1
,
sehingga Hp1 =
1
,
26. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
2
1
x
2
,
1
II. Untuk interval atau
2
1
2
3
x
x
2
1
2
3
x
x
2
1
3
6
x
x
2
4
5
x
7
4
x
7
4
x
4
7
x
4
7
,
atau
27. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
Jadi Hp2 =
2
,
1
4
7
,
-1 2
4
7
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah
4
7
,
1
sehingga Hp2 =
4
7
,
1
28. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
2
x
,
2
2
1
2
3
x
x
2
1
2
3
x
x
2
1
6
3
x
x
2
7
2
x
5
2
x
III. Untuk interval atau
2
5
x
,
2
5
atau
29. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
Jadi Hp3 =
,
2
,
2
5
2 2
5
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah
,
2
5
sehingga
Hp3 =
,
2
5
30. Hp = 3
Hp
2
Hp
1
Hp
,
2
5
4
7
,
1
1
,
Hp
Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval
digambarkan dalam sebuah garis bilangan
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian