2. RELASI KETERBAGIAN
Definisi 2.1
Bilangan bulat a membagi (habis) bilangan bulat
b ditulis a|b , jhj ada bilangan bulatn k
sedemikian sehingga b=ka .
Jika a tidak membagi (habis) b maka ditulis a|b
3. RELASI KETERBAGIAN
Contoh
1. 5|30 sebab ada bilangan bulat 6, sedemikian
sehingga 6x5 = 30
2. 7|-21 sebab ada bilangan bulat -3,
sedemikian sehingga -3x7=-21
3. 8|27 sebab tidak ada bilangan bulat k,
sedemikian sehingga kx8 = 27
4. RELASI KETERBAGIAN
Bilangan k pada definisi 2.1 adalah tunggal,
sebab jika ada bilangan bulat m selain k
sedemikian sehingga
b=ma dan b=ka
Maka
ma=ka
m=k (kanselasi)
5. RELASI KETERBAGIAN
Jika a = 0 dan b ≠ 0, maka tidak ada k yang
memenuhi b = ka
Tetapi jika a ≠ 0 dan b = 0, maka terdapat tak
hingga k yang memenuhi b = ka.
6. RELASI KETERBAGIAN
Istilah dalam keterbagian
a|b , disebut sebagai:
a membagi b
b terbagi a
a adalah faktor dari b
a adalah pembagi b
b adalah kelipatan dari a
7. RELASI KETERBAGIAN
Apabila a, b dan k bilangan bulat dengan
a≠0 dan b=ka, maka:
k disebut sebagai hasil bagi (quotient) dari b
oleh a.
k adalah faktor dari b yang menjadi komplemen
(sekawan) dari a
a dan k adalah pembagi-pembagi sekawan
8. TEOREMA 2.1
Jika a|b dan b|c maka a|c
Bukti:
a|b maka terdapat bilangan bulat k sehingga
ka=b...(1)
b|c maka terdapat bilangan bulat m sehingga
mb=c...(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
c = mb = m(ka) = (mk)a
Menurut definisi 2.1 diperoleh a|c (terbukti)
Berarti relasi keterbagian pada himpunan bilangan bulat
mempunyai sifat transitif
9. TEOREMA 2.2
Jika a|b maka a|mb
Bukti:
a|b maka terdapat bilangan bulat k sehingga
ka=b
diperoleh
mb = m(ka) = (mk) a
Dengan demikian a membagi habis setiap kelipatan b
yaitu a|mb untuk setiap bilangan bulat m.
10. TEOREMA 2.3
Apabila a|b dan a|c maka a|(b+c) ,a| (b-c) dan a|bc
Bukti:
a|b maka terdapat bilangan bulat k sehingga b = ka *
a|c maka terdapat bilangan bulat m sehingga c = ma **
Dari * dan ** diperoleh
(i) b+c = ka +ma = (k+m) a berarti a|(b+c)
(ii) b-c = ka - ma = (k-m) a berarti a|(b-c)
(iii) bc = (ka)(ma) = (km) a berarti a|bc
Terbukti
11. TEOREMA 2.4 (sifat linearitas)
Apabila a|b dan a|c maka a|(mb+nc)
Bukti:
a|b maka terdapat bilangan bulat k sehingga b = ka *
a|c maka terdapat bilangan bulat p sehingga c = pa **
Dari * dan ** diperoleh
mb + nc = mka + npa = (mk +np) a sehingga a|(mb+nc)
Terbukti
12. TEOREMA 2.5
Berdasarkan definisi dan teorema sebelumnya,
buktikan teorema dibawah ini:
(i) a|a untuk setiap bilangan bulat a (sifat reflektif)
(ii) Jika a|b maka ma|mb untuk setiap bilangan bulat
m
(iii) Jika ma|mb dengan m≠0, maka a|b
(iv) 1|a dan a|0
(v) Jika 0|a maka a=0
(vi) Jika a|b dengan b≠0 maka |a| | |b|
(vii)Jika a|b dengan b|a maka |a|= |b|
13. CONTOH :
1) Buktikan bahwa : Jika a | b dan a | (b+c) maka a | c.
Bukti :
a | b berarti ∃ k bilangan Bulat ∋ b = ak
a | (b+c) berarti ∃ l bilangan Bulat ∋ (b+c) = al
Sehingga ( b+c ) – b = c = a. (l-k) atau a | c. (Terbukti)
2) Buktikan bahwa : Jika a | b dan c | d maka ac | bd
Bukti :
a | b berarti ∃ m bilangan Bulat ∋ b = am
c | d berarti ∃ n bilangan Bulat ∋ d = cn
Sehingga diperoleh : bd = (am).(cn) = (ac).(mn)
Karena (mn) bilangan Bulat maka ac | bd. (Terbukti)
14. CONTOH :
3) Buktikan bahwa : Jika a | (b2 – 1) maka a | (b4 – 1)
Bukti :
a | (b2 – 1) berarti ∃ n bilangan Bulat ∋ b2 – 1 = an…….(*)
Jika kedua ruas dari persamaan (*) masing-masing dikalikan b2 + 1,
maka diperoleh :
(b2 – 1)( b2 + 1) = an. (b2 + 1)
(b4 – 1) = a {n(b2 + 1)}……….(**)
Dengan kata lain, dari persamaan (**) tampak bahwa a | (b4 – 1).
Terbukti
15. LATIHAN SOAL :
1. Buktikan bahwa jika d | a dan d | b maka d | (pa – qb)
2. Buktikan bahwa 6 | ( a3 – a) , untuk setiap bilangan Bulat a
17. Definisi 2.2
Jika a dan b adalah bilangan-bilangan bulat, maka
bilangan bulat d disebut faktor persekutuan dari a
dan b jika dan hanya jika
d|a dan d|b
• 1 adalah pembagi dari setiap bilangan bulat, maka faktor
persekutuan a dan b tidak pernah kosong
• Jika a=b=0 maka setiap bilangan bulat merupakan faktor
persekutuan dari a dan b.
• Apabila salah satu dari a dan b bukan 0 maka himpunan
semua faktor persekutuan dari a dan b adalah himpunan
berhingga, sehingga dapat diketahui faktor terbesarnya.
18. Definisi 2.3
Jika a dan b adalah bilangan-bilangan bulat yang
sekurang-kurangnya satu diantarnya tidak sama
dengan 0, maka faktor persekutuan terbesar
(FPB) dari a dan b disimbolkan (a,b) adalah
suatu bilangan bulat positif, misalnya d yang
memenuhi:
(i) d|a dan d|b serta
(ii) Jika e|a dan e|b, maka e≤d
19. Teorema 2.6
Jika (a,b) = d maka (a:d,b:d)=1
Contoh (4,12)=4 maka (4:4,12:4)=(1,3)=1
Bukti:
Misalkan (a:d, b:d)=c maka c≥1
dan c|(a:d) dan c|(b:d)
c|(a:d) maka ada bilangan bulat m sehingga
(a:d)= mc atau a=mcd
c|(b:d) maka ada bilangan bulat n sehingga
(b:d)= nc atau b=ncd
Karena a=mcd dan b=ncd maka cd adalah faktor persekutuan dari a dan b.
Karena (a,b)=d maka cd≤d yaitu c ≤1, sebab d suatu bilangan bulat positif
Karena c≥1 dan c ≤1 maka c=1(terbukti)
20. Apabila a dan b dua bilangan bulat positif
dengan (a,b)=1 maka dikatakan bahwa a dan b
relatif prima atau a prima relatif terhadap b
21. CONTOH
1. Jika a | b dan a > 0 maka (a,b) = a
Bukti :
Misalkan (a,b) = c maka c | a dan c | b ( c ≤ a dan c ≤ b )
a | a dan a | b maka a ∈ factor dari a dan b atau F(a,b), dengan c ≤ a
Maka FPB dari a dan b atau (a,b) = a.
Terbukti.
22. CONTOH
2. Buktikan bahwa (a,b) = (a+b, b)
Bukti :
Misalkan (a,b) = d maka d | a dan d | b.
Berdasarkan Teorema (3) Sifat Pembagian Habis, yaitu : d | a dan d | b maka d | (a+b)
karena : d | (a + b) maka d adalah factor dari a+b dan b
d | a atau d ∈ F(a+b, b).
Ambil sebarang c ∈ F(a+b, b) maka c | (a+b) dan c | b.
Berdasarkan Teorema (3) Sifat Pembagian Habis, yaitu :
c | (a + b)
c | b maka c | a
Karena c | a dan c | b maka c ∈ F (a,b) dan (a,b) = d maka c ≤ d.
Sedangkan, c ∈ F(a+b, b) maka d = (a+b,b)
Terbukti.
23. SOAL :
2.Buktikan bahwa : Jika (a,b) = (a - b, a), dengan b < a.
Contoh: (9,6) = 3
(9-6, 9) = 3
Bukti:
Misalkan (a,b)= d, maka d I a dan d I b
Mka menurut teorema keterbagian 3:
d I (a-b)
d I a
Maka d ∈ F(a-b, a)
Ambil sembarang c ∈ F(a-b, a) maka c l a-b dan c I a
Menurut teorema keterbagian c I b
c I a dan c Ib maka c ∈ F(a, b)
Karena (a,b)= d maka c ≤ d
Sedangkan c ∈ F(a-b, a) maka d= (a-b,b)
