1. Красноперекопская
общеобразовательная школа I-III ступеней №4
Красноперекопского городского совета
Автономной Республики Крым
. Рук. МО:Добрусина Л.Л, учитель математики высшей категории
Иванкив Л.И, учитель - методист математики
Гришко Е.М, учитель математики 2 категории
Самойлова Т. А, учитель математики 2 категории

2. Иванкив Л.И
• Развитие исследовательских способностей учащихся при изучении
тригонометрических неравенств
Добрусина Л.Л
• Актуальность использования разноуровневых заданий на уроках
математики
Гришко Е.М
• Формирование познавательной деятельности учащихся на уроках
математики
Самойлова Т.А.
• Активизация мыслительной деятельности на уроках математики

3. Список педагогов – членов методического объединения
№ Фамилия, имя, образование , ВУЗ, педаго квалификационна курсовая классы, методическая проблема
отчество который окончил гическ я категория, подготовка в
педагога ий год предыдущей (год) которых
стаж аттестации работает
1 Иванкив Л.И Нижнетагильский 33 Высшая 2009 5,6 Развитие
ГПИ, 1978 Учитель-методист, исследовательских
2007 способностей учащихся
при изучении
тригонометрических
неравенств
2 Добрусина Л.Л Дагестанский ГПИ,
1970
40 Высшая,
2009
2008 10,11 Актуальность
использования
разноуровневых заданий
на уроках математики
3 Гришко Е.М Таврический 11 II категория 2008 7,8 Формирование
НУ,2000 2009 познавательной
деятельности
учащихся на уроках
математики
4 Самойлова Т.А. Симферопольский 10 II категория, 2000 2003 5,8,9 Активизация
ГУ им.Фрунзе, мыслительной
1992 деятельности на уроках
математики

4. К.Дж Кайзер

5. ПРОБЛЕМА
ШКОЛЫ
Развитие школы
интеллектуального
и творческого потенциала Проблема
личности на основе 2012-2013 учебного года
внедрения педагогических,
инновационных технологий

6. ПРОБЛЕМА ГОРОДСКОГО МО УЧИТЕЛЕЙ
МАТЕМАТИКИ
Повышение
эффективной
педагогической Проблема
деятельности 2012-2013
учителей математики учебного года
через разработку и
применение на
уроках современных
образовательных
технологий

7. Проблема школьного МО
учителей математики
Повышение
эффективности
работы учителей
математики через
внедрение
современных
педагогических Проблема
образовательных 2012-2013
технологий учебного
в учебно- года
воспитательный
процесс на уроках
и внеклассных
мероприятиях по
предмету

8. Красноперекопская общеобразовательная школа I-III ступеней №4
Красноперекопского городского совета
Автономной Республики Крым
ПЛАН РАБОТЫ
методического объединения
учителей математики
на 2012-2013 учебный год
Руководитель: Добрусина Л.Л
г.Красноперекопск

9. Цели и задачи работы методического объединения
учителей математики в 2012-2013 учебном году
Главная цель деятельности нашего методического объединения – повышение
профессиональной компетентности каждого педагога.
В текущем учебном году цель работы методического объединения – создание
условий для повышения педагогического мастерства учителей при освоении современных
технологий обучения и воспитания.
Основные задачи методической работы:
1. Продолжить работу по повышению методической компетентности педагогов.
2.Создавать необходимые условия для разработки и освоения инноваций.
3.Стимулировать творческое самовыражение, раскрывать профессиональный
потенциал педагогов в процессе работы.
4.Повышать мотивацию учителей к овладению приемами анализа собственных
результатов образовательного процесса, участие в освоении передового опыта, изучение
и применение образовательных технологий.
5.Активизировать работу членов МО по повышению качества знаний.
6.Сосредоточить основные усилия МО по совершенствованию системы повторения и
подготовки учащихся к ВНО.
7.Выявлять, обобщать и распространять положительный педагогический опыт работы
членов методического объединения.
Годовой план работы составляется с учетом анализа деятельности методического
объединения, а также каждого учителя за прошедший учебный год. Анализ отражает
следующие ключевые моменты:

10. 1.Тематика заседаний. Повестка.
2.Какие вопросы не были рассмотрены, указание причин этого.
3.Работа по изучению и внедрению передового опыта. Обобщение опыта членов
методобъединения и его уровень (внутри школы).
4.Ведение поисково-исследовательской работы внутри методобъединения
(открытые уроки, занятия-практикумы, семинары и др.).
5.Участие во вне учебной деятельности на уровне школы и внешкольных
учреждений.
6.Участие в работе педагогических советов, психолого-педагогических
практикумов.
7.Работа по преемственности.
8.Анализ результатов мониторинга знаний учащихся и удовлетворенности
преподаванием.
Исходя из проведенного анализа вычленяются наиболее важные проблемы и
ставятся цели и задачи на следующий учебный год с учетом плана работы школы (в тесной
связи с проблемой, над которой работает школа). В этом учебном году члены нашего
методического объединения продолжили свою работу по освоению и реализации
инновационных технологий в обучении.
В течение всего учебного года организуется работа по повышению
педагогического мастерства членов методического объединения по следующим
направлениям:
1.Самообразование учителей по выбранным темам исследований;
2.Открытые уроки;
3.Посещение курсов повышения квалификации учителей;

11. 4.Взаимопосещение уроков;
5.Практикумы;
6.Изучение и внедрение в практику инновационных технологий и их элементов;
7.Совершенствование системы подготовки учащихся к ВНО;
8.Индивидуальные консультации.
Деятельность методического объединения способствует тому, чтобы каждый его
член не только умел грамотно спланировать и организовать свою работу, но и
обладал высоким уровнем знаний, информационной компетентностью, реализовался
творчески, при этом был самокритичен, находился в постоянном поиске и был готов
учиться чему-то новому.

12. I заседание
Организационное
заседание
на 2012-2013 учебный год
Руководитель: Добрусина Л.Л.
г.Красноперекопск

13. I заседание
(09.08.2012г.)
Организационное заседание
Цель: Наметить пути повышения и улучшения качества
обучения математике учащихся основной и старшей школы
1.Анализ работы МО учителей математики за 2011-2012 учебный год
(Отв. Иванкив Л.И., учитель математики)
2.Подведение итогов работы учителей по подготовке и проведению аттестации
учащихся в истекшем учебном году. Результаты проведения итоговой аттестации в 9,
11 классах в истекшем учебном году
(Отв. руководитель МО Добрусина Л.Л.)
3.Анализ участия в конкурсных программах по предмету.
(Доклад Иванкив Л.И., учителя математики)

15. II заседание
Изучение инструктивно-
методических рекомендаций на
2012-2013 учебный год
Руководитель: Добрусина Л.Л
г.Красноперекопск

16. II заседание
(10.09.2012г.)
Изучение инструктивно-методических рекомендаций
Цель :Продолжить работ у над изучением методической и
специальной литерат уры по предмет у и работ у с
одарённой молодёжью, оказать методическую помощь
малоопытным у чителям в работе по организации
у чебно-воспитательного процесса на уроках и во
внеклассной работе
1.Изучение нормативных документов , методических рекомендаций МОН и СУ
по изучению отдельных тем, ведения ученических тетрадей, практической части
программы по математике
(Сообщение руководителя МО Добрусиной Л.Л)
2.Обзор литературы, предметных журналов
(Сообщение руководителя МО Добрусиной Л.Л)

17. 3.Утверждение календарно-тематического планирования по математике.

20. IIIзаседание
(17.12.12г.)
Акт уальность использования тестовых заданий на уроках
математики с целью повышения качества
математического образования учащихся
Цель: Роль тестовых заданий на занятиях математики, тестового
контроля на уроках, обучения учащихся 5-11-х классов работать с
тестами, создание банка тестовых заданий
1.Использование групповых форм работы на уроках математики
развития творческих способностей для учащихся.
(Доклад учителя математики Добрусиной Л.Л.)
2.Применение тестовых заданий на уроках математики в 5-8-х
классах
(Доклад учителя математики Иванкив Л.И.)
3.Посещение и анализ урока в 11-Б классе по теме: «Показательная
и логарифмическая функции» (учитель Добрусина Л.Л.)
4.Подведение итогов участия в городской олимпиаде по математике

21. 5.Организация итогового повторения в 5-11-х классах
(Члены МО математики)
6.Творческий отчёт учителя математики Иванкив Л.И., работающей над
проблемой «Развитие исследовательских способностей учащихся при
решении тригонометрических неравенств различных типов»
7.Развитие у учащихся навыков контроля и самоконтроля выполняемой
деятельности.
(Сообщение учителя математики Самойловой Т.А)
8.Выполнение норм письменных работ и состояние тетрадей по математики у
учащихся.
Руководитель школьного МО
учителей математики Добрусина Л.Л.

22. IY заседание
Развитие исследовательских
способностей учащихся на
уроках и внеклассной работе
по предмет у
на 2012-2013 учебный год
Руководитель: Добрусина Л.Л.
г. Красноперекопск

23. IY заседание
(07.02.2013 г.)
Развитие исследовательских способностей учащихся на уроках и во
внеклассной работе по предмет у
Цель : Рассмотреть и внедрять методику формирования у школьников умений
установления связей между предметами естественно - математического цикла,
развития исследовательских способностей учащихся на уроках математики и во
внеклассной работе по предмет у
1.Изучение Государственного стандарта базового общего среднего образования
(Сообщение руководителя МО Добрусиной Л.Л)
2.Использование современных педагогических технологий на уроках и внеклассной работе
по развитию исследовательских и творческих способностей учащихся. Подготовка и
проведение Международного математического конкурса «Кенгуру»
( Доклад учителя математики Гришко Е.М.)
3. Посещение и анализ урока в 7-А классе по теме: «Применение различных способов для
разложения на множители».
(Учитель Самойлова Т.А.)
4. Применение активных форм повторения и подготовки к ВНО и ГИА на уроках
математики в 9-11 классах. Разработка рекомендаций школьникам, сдающим ГИА и
ВНО по математике.

24. 5. Особенности тематического оценивания учебных достижений учащихся по
изучаемой теме 8 классов
(Сообщение учителя математики
Самойловой Т.А.)
6.Творческий отчет руководителя школьного отделения МАН Гришко Е.М. по
работе с одаренными детьми (слайд – шоу)
7. Проверка рабочих тетрадей по математике в 6-7 классах с целью наблюдения за
выполнением единого орфографического режима, соотношением классных и
домашних заданий.
(Ответственная учитель математики
Самойлова Т.А.)
8. Сравнительный анализ результатов промежуточных работ по математике 2012
– 2013 учебного года
(Сообщение зам. директора по УВР Улицкой С.Р.)
9. Обсуждение и утверждение экзаменационного материала для итоговой
аттестации в 9-х. классах
10. Подготовка и проведение недели математики
(Учителя математики)
Руководитель школьного МО
учителей математики Добрусина Л.Л.

25. Y заседание
Итоги и анализ работы методического
объединения учителей математики
2012-2013 учебном году. Задачи на
новый год
Руководитель: Добрусина Л.Л.
г. Красноперекопск

26. Y заседание
(15.04.2013г.)
Цель: Проанализировать и подвести итог работы МО учителей математики за 2012-
2013 учебный год; рассмотреть вопросы оформления школьной обязательной
документации, об организованном окончании учебного года и проведении
итоговой государственной ат тестации
1.Оценка работы ШМО за 2012 – 2013 учебный год
(Сообщение руководителя МО математики Добрусиной Л.Л.)
2. Предварительное планирование работы МО на 2013 – 2014 учебный год
(Учителя математики)
3.Посещение уроков математики в 4 классе для выяснения преемственности в
обучении
(Учителя математики)

27. 4. Изучение новых нормативных документов о порядке аттестации
педагогических кадров и системы повышения квалификации
5. Особенности годового тематического оценивания учебных достижений
учащихся:
А) 5-8 , 10 классах
Б) 9-11 классах
( Сообщение заместителя директора по УВР Улицкой С.Р.)
Руководитель школьного МО
учителей математики Добрусина Л.Л.

28. План – график заседаний
школьного методического
объединения учителей математики на
2012 - 2013 учебный год
Руководитель: Добрусина Л.Л.
Г.Красноперекопск

29. Утверждаю
Зам.дир. По УВР
Улицкая С.Р.___________
« 10 » сентября 2012г.
План – график
заседаний школьного методического объединения учителей
математики на 2012-2013 учебный год
№ Тема дата Ответственн
п/п ые Примичани
е
1 Организационное заседание 09.08.2012г. Добрусина Л.Л +
2 Изучение инструктивно-методических 10.09.2012г. Иванкив Л.И. +
рекомендаций
3 Актуальность использования тестовых заданий 17.12.2012г. Иванкив Л.И.
на уроках математики с целью повышения Самойлова Т.А
качества математического образования Добрусина Л.Л.
учащихся
4 Развитие исследовательских способностей 04.02.2013г. Гришко Е.М
учащихся на уроках и во внеклассной работе по Иванкив Л.И
предмету
5 Итоги и анализ работы методического 15.04.2013г. Добрусина Л.Л.
объединения учителей математики
2012-2013 учебном году. Задачи на новый год
Руководитель школьного МО учителей математики Добрусина Л.Л

30. Утверждаю
Зам.дир. По УВР
Улицкая С.Р.___________
« 10 » сентября 2012г.
План – график
проведения практических заседаний школьного методического объединения учителей
математики на 2012-2013 учебный год
№ Тема Дата Ответственны Примичание
пп е
1 Практикум по заполнению страниц 19.29.2012 г. Иванкив Л.И
классных журналов по математике
(алгебре, геометрии, индивидуальных
занятий и консультаций, факультативов)
2 -Практикум по ведению обязательной 15.10.2012 г. Добрусина Л.Л
документации учителям-предметникам в
2012-2013 учебном году
- Практикум по оформлению работ Гришко Е.М
учащихся- членов МАН (школьного
отделения секции математики) в рамках
подготовки к 50-летию МАН Крыма
«Искатель»

31. 3 Подготовка к 21.01.2013 Иванкив Л.И
фестивалю ППО г. Гришко Е.М
городского МО Добрусина
учителей Л.Л.
математики
4 Практическое занятие 23.01.2013г. Иванкив Л.И.
по участию в Гришко Е.М
конкурсных
программах «Золотой
ключик», «Кенгуру –
2013», «МАН – Юниор»,
«Лимон»
5 Подготовка и 06.05.2013г. Добрусина Л.Л.
утверждение Самойлова Т.А
материалов для
проведения ГИА в 9,
11-х классах
Руководитель школьного МО учителей математики Добрусина Л.Л.

32. YI ПРИЛОЖЕНИЯ
На 2012-2013 учебный год
Руководитель школьного МО учителей математики Добрусина Л.Л.

33. YII ПРИЛОЖЕНИЯ
СМИ
На 2012-2013 учебный год
Руководитель школьного МО учителей математики Добрусина Л.Л.

34. Организационно – педагогические
инновации учителей математики
Создание системы специальных
стимулов
для реализации нововведений
Установление научных,
межпредметных связей
Пропаганда и распространение
продуктов
инновационной деятельности
Внедрение ППО

36. Использование модульной технологии
на уроках математики
Аннотация
Задача современной школы не в том, чтобы выработать у ученика
способность запоминать и излагать информацию, передав ему максимально
возможную сумму знаний, а в том, чтобы научить его осваивать свой и
общественный опыт, сделать его компетентным в решении проблемных ситуаций.
Решению этой задачи способствует организация учебного процесса по
модульной технологии обучения. Блочная подача материала предполагает его
разделение на определённые законченные по смыслу части.
Модуль – это определённый вид работы, которые выполняют учащиеся. В
педагогической литературе модуль определяется как «целевой, функциональный
узел обучения, который объединяет учебное содержание и технологию овладения
им.» Методологическая сущность модульной технологии – это предоставление
учащемуся центрального места в системе «учитель – ученик.» При
систематическом использовании данной технологии реализуются все навыки
«само» учащихся: самообучение, самоопределение, самоконтроль, самооценка,
самоанализ, самореализация.
К ведущим принципам модульного обучения можно отнести:
- мобильность;
- структуризацию содержания обучении;
- действенность и оперативность знаний;
- гибкость;

37. - осознанную перспективу;
- разносторонность методологического консультирования;
- паритетность.
При составлении плана модульного урока учитель может придерживаться
следующего алгоритма:
1.Формулировка темы урока.
2.Определение и формулировка цели урока и конечных результатов
обучения.
3.Разбивка учебного материала на отдельные логические завершённые
учебные элементы и определение цели каждого из них.
4.Подбор необходимого фактического материала.
5.Определение способов учебной деятельности ученика.
6.Выбор форм и методов преподавания и контроля.
Каждый учебный элемент(УЭ) модульного урока – это шаг к достижению
интегрирующей цели урока, без совпадения содержанием которого эта цель не
будет достигнута.
Модульные уроки имеют свои особенности. Одна из них заключается в том,
что каждый такой урок целесообразно начинать с процедуры мотивации – это
может быть обсуждение эпиграфа к уроку, использование входного теста
самопроверкой, небольшого математического диктанта.

38. Модульные занятия отличаются от обычного урока тем,
что они строятся в логике процесса усвоения знаний и
предоставляют собой полный цикл познания, совпадающих
по своей структуре с циклом учебной деятельности –
описание, объяснение, проектирование(обычные же уроки
строятся в такой логике: проверка домашнего задания,
изучение нового материала, его закрепление , задание на
дом).

39. Составитель
учитель математики КОШ№4
Иванкив Лидия Ивановна

40. В задаче говорится о …
Известно, что …
Надо узнать …
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо знать …

41. да нет
простая задача составная задача

42. целое и части выберу действие
найду целое
a+b
найду часть
с–а
с–b

43. разностное сравнение выберу действие
найду разницу
a–b
а–р
b+р

44. целое и равные части выберу действие
а●b
найду число частей
с:а
найду одну часть
с:b

45. кратное сравнение выберу действие
а●b
с:b
с:a

46. 1. Анализирую задачу
– Какой главный вопрос задачи?
– Какой вид отношений?
– Что нужно знать, чтобы ответить на главный вопрос задачи?
– Что неизвестно из того, что нужно знать?
– Что нужно знать, чтобы найти неизвестную величину или ответить
на «вспомогательный» вопрос задачи?
2. Определяю количество простых задач по количеству отношений.
3. Определяю вид задач
4. Строю схематическую модель
5. Выбираю арифметическое действие для решения задачи
6. Проверяю решение задачи.
7. Записываю ответ.

47. МО учителей математики КОШ№
2012-2013 учебный год

48. Нет такой сферы человеческой
деятельности, где
бы математические
методы не нашли бы своего
применения, вдохнув
в традиционные направления
новые идеи и методы

49. МАН
Олимпиады Городское отделение
Математический ВНУЗ
конкурс «Кенгуру» кружковая работа Школьное
отделение
Математический
Неделя математики конкурс
Проект «Задача работа 3 секций
«Золотой ключик»
в неделю»

50. Гордость
учителей
– их ученики!
Наши победители:
Шеина Дарья,
Власенко Виталий, Шачнев Евгений,
Кукиль Наталья,
Костенко Влад, Шеина Юлия,
Адарик Дмитрий, Стогниенко Даниил

51. Наиболее массовые секции в Малой
академии наук – секции математики,
прикладной математики и
математического моделирования
51

52. Основной метод работы МАН–
метод проектов
1 3 16
+ =? +5
5 5
17
12
−
17
1
−1
17
9
+2
17
6 3
+
17 17

53. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИ
Й ПРОЕКТ –
ДОВОЛЬНО
СЛОЖНЫЙ ВИД
ДЕЯТЕЛЬНОСТИ,
КАК ДЛЯ
ШКОЛЬНИКОВ, ТАК И
ДЛЯ ТЕХ, КТО
РУКОВОДИТ ИМ

54. ШКОЛЬНАЯ СЕССИЯ МАН:
Ежегодно в октябре месяце проводится заседание школьной сессии МАН.
Помогает учащимся глубже освоить учебные науки и
Що це
технологии
Организовать самостоятельную
Д научно-поисковую и
исследовательскую деятельность
е
Проводить экспертизу результатов
Коли
Развивать коммуникативные
Я
к способности

55. СТИМУЛИРОВАНИЕ
У ЧЕБНЫМИ
ДОСТИЖЕНИЯМИ
Администрация школы придает большое значение
стимулированию учебно-исследовательской деятельности.
На школьных линейках учащиеся награждаются
грамотами за успехи выполненных работ, получают
сертификаты, дипломы, именные премии

56. СТИМУЛИРОВАНИЕ УЧЕБНЫХ
ДОСТИЖЕНИЙ
Выставка мановских работ, творческих проектов и моделей

57. Участие в Международном математическом
конкурсе «Кенгуру» КОШ№4 (5-11 кл.)

58. № ФИО Олимпиада Золотой ключик Кенгуру МАН Шаг в науку
п/ учителей 6-11 кл. 5-8 кл. 5-11 кл. 7-11 кл. 5-8 кл.
п математики
2008/ 2009/ 2010/ 2011/ 2012/ 200 10 11 12 13 09 10 11 12 13 09 10 11 12 13 09 10 11 12 13
2009 2010 2011 2012 2013 9
г р г р г р г р г р
1 Иванкив Л.И. - - - - 2 - 3 - - - - - 25 - - - 17 29 3 1 - 2 2 2 2 6
2 Добрусина Л.Л. - - - - - - - - - - 5 9 19 - 8 2 13 11 1 - - 1 - - - -
3 Гришко Е.М. - - - - - - 1 - - - 5 4 5 - 12 12 1 8 - - - 1 - - - -
4 Магдисюк Т.В. 1 1 - - - - 2 - - - 5 10 11 - 11 3 - 8 1 1 1 - - - - -
5 Смолярчук Л.И. - - - - - - - - - - 5 9 11 - 15 10 11 5 2 2 2 - 2 1 - -
6 Самойлова Т.А. - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - -
Всего 1 1 - - 2 - 6 - 2 20 32 71 - 46 24 47 61 7 4 3 4 4 3 2 6

59. Итоги участия I и II этапах Всеукраинском конкурсе-защиты
научно-исследовательских работ учащихся-членов МАН Украины
Статус в 2008/2009 2009/2010 2010/2011 2011/2012
МАН
I этап 20 21 9 23
КДЧ 17 15 7 16
ДЧ 2 1 2 4
II этап 10 9 5 7
ДЧ 6 2 (III) 4 5

60. Итоги участия в республиканских конкурсах
исследовательских работ
Конкурс 2009 2010 2011 2012
«Сокровища родного 2 2 1 1
языка»
«Мой голос» 1 1 2 1
«Шаг в науку» 6 2 1 5
«Я – исследователь» 3 6 5 1
Историко-краеведческий конкурс
"По дорогам подвига и славы"
- 1 - -
Конкурс работ юных - 4 - -
фотохудожников «Крым -
моя прекрасная земля»
Конференция «Проблемы 3 1 - -
окружающей среды»
Конференция отделений 1 1 - 1
РВУЗ МАН «Искатель
“Космические фантазии” - - 3 3

61. - один из факторов развития
познавательной активности детей

62.  Стало хорошей традицией массовое участие учащихся
школы в Международном математическом конкурсе
«Кенгуру без границ». Так согласно годовому плану работы
городского отделения МАН, c целью развития
математических способностей учащихся, креативного
мышления при решении нестандартных заданий,
популяризации математических идей, активизации
творческой активности учителей математики, выработки
методических рекомендаций по совершенствованию
учебных программ и учебников путем анализа
статистических данных результатов конкурса учащиеся 2-11
классов принимают ежегодно участие в Международном
математическом конкурсе «Кенгуру-2013»

65. КАЖДЫЙ МАТЕМАТИК ХОЧЕТ, ЧТОБЫ
КАЖДЫЙ МАТЕМАТИК ХОЧЕТ, ЧТОБЫ
прелести решения нестандартных,
прелести решения нестандартных,
занимательных задач,
занимательных задач,
парадоксов, фокусов,
парадоксов, фокусов,
раскрытия головоломок и софизмов
раскрытия головоломок и софизмов
испытал
испытал
каждый учащийся
каждый учащийся

66. Какие же задачи могут объединить учащихся разных классов? Ну, конечно же, задачи "на развитие логического мышления" и задачи занимательной
Какие же задачи могут объединить учащихся разных классов? Ну, конечно же, задачи "на развитие логического мышления" и задачи занимательной
математики. Они не требуют "специальных" математических знаний, кроме арифметики в объеме начальной школы. Зато они требуют творческого
математики. Они не требуют "специальных" математических знаний, кроме арифметики в объеме начальной школы. Зато они требуют творческого
подхода и умения логически мыслить. Решение таких задач тренирует ум и логические способности
подхода и умения логически мыслить. Решение таких задач тренирует ум и логические способности

68. Вести с уроков
Решение тригонометрических уравнений,
которые отличаются от простейших
10-й класс
Л.Л. Добрусина, учитель математики КОШ№4
Цели:
Образовательная:
• проверить усвоение учащимися теоретического материала, умение решать простейшие
тригонометрические уравнения
• обобщить и систематизировать знания учащихся по пройденной теме
формировать умения и навыки решения уравнений, которые отличаются от простейших.
Развивающие:
• развивать самостоятельность
• творчество и интеллект учащихся
• логическое мышление
• умение делать выводы и обобщения
Воспитательная:
• воспитывать интерес к математике.
Тип урока: Урок усвоения и закрепления знаний, умений и навыков.
Оборудование: Учебники, таблицы, карточки.

69. Ход урока
I. Организационный момент.
Вводное слово учителя.
Знаете, однажды французский писатель Анатоль Франс заметил: «Учиться можно только весело…
Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом»
Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, будем
поглощать знания с большим желанием.
II. Акт уализация опорных знаний.
1. Фронтальный опрос.
1) Дать определение тригонометрического уравнения и привести примеры.
(Тригонометрическими называют такие уравнения, в которых переменная входит только под знак
тригонометрической функции.)
2) Назвать соотношение, которые помогают решать тригонометрические уравнения.
(Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента; формулы
тригонометрических функций суммы и разности двух аргументов; формулы возведения; формулы
двойного аргумента, половинного аргумента, суммы и разности одноименных
тригонометрических функций; формулы преобразования произведения тригонометрических
функций в сумму, преобразования синуса и косинуса угла в тангенс половинного угла; формулы
преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение.)
3) Назвать способы решения тригонометрических уравнений, которые отличаются от простейших.
(Сведение к одной тригонометрической функции, разложение на множители, введение
вспомогательного аргумента, подъем к квадрату, решения однородных тригонометрических
уравнений делением на тригонометрическую функцию; графический способ.)

70. 4) Дать определение однородного тригонометрического уравнения и привести примеры.
(Уравнение, у которого левая часть является многочленом относительно тригонометрических
функций, в каждом члене которого сумма показателей степеней синуса и косинуса одного и того
же аргумента одинакова, а правая равна нулю, называют однородными тригонометрическими.)
2. Устное решение упражнений.
(На доске записаны упражнения и ответы к ним, но ответы закрыты листами, которые крепятся к
доске магнитами.)
1. Упростить выражение (в скобках - ответы):
а) sin2 x+2sin x cos x+cos2 x;
((sin x +cos x)2 или 1+sin 2x.)
б) cos 3x cos x – sin 3x sin x;
(cos 4x.)
в) 1 – 2sin2 x;
(cos 2x.)
г) sin 4x + sin 2x.
(2sin cos = 2sin 3x cos x.)
2. Найти значение выражения:
а) arccos ;
(π – arccos =π- = )
б) arcsin (- );
(-arcsin = - .)

71. г) arctg (- );
(-arctg = - .)
д) arcctg (- );
( - arcctg = - = .)
3. Решить уравнение:
а) sin x=4;
(Решений не существует, поскольку всегда | sin x| ≤ 1.)
б) tg x=4.
(x=arctg 4 + n, n ∈ Z.)
4. Найти область определения функции y=tg x.
(y = , cos x≠0,x≠ + n, n ∈ Z.)
3. Дифференцированная самостоятельная работа в группах.
Задания самостоятельной работы записаны на карточках. Закончив работу, учащиеся осуществляют
взаимопроверку, сверяясь с заранее написанными на доске ответами, и выставляют баллы (за
каждое правильно выполненное задание - 2 балла.)
Группа А
Решить тригонометрическое уравнение:
1) cos x = ; 2) sin 2x = 1;
3) tg x = -1; 4) cos x = ; 5) sin 3x = .

72. Решение
1) cos x = , x = ± arccos + 2 n, n ∈ Z,
x = ± + 2 n, n ∈ Z.
2) sin 2x = 1
2x = + 2 n, n ∈ Z,
x = + n, n ∈ Z.
3) tg x = -1
x = arctg (-1) + n, n ∈ Z,
x = - + n, n ∈ Z.
4) cos x = ,
x = ± arсcos ( ) + n, n ∈ Z,
x = ± ( - ) + n, n ∈ Z,
x=± + n, n ∈ Z.
5) sin 3x = ,
3x = (-1)k + n, n ∈ Z,
x = (-1)k + , n ∈ Z.

73. Группа Б
Решить тригонометрическое уравнение:
1) sin x = ; 2) cos 2x = 1;
3) ctg x = -1; 4) sin x = ; 5) cos 3x =
Решение
1) sin x = ;
x = (-1)n arcsin + n, n ∈ Z,
x = (-1)k + n, n ∈ Z.
2) cos 2x = 1,
2x = n, n ∈ Z,
x = n, n ∈ Z.
3) ctg x = -1,
x = arcctg (-1) + n, n ∈ Z,
x = - + n, n ∈ Z,
x= + n, n ∈ Z.
4) sin x = ,
x = (-1)n arcsin ( ) + n, n ∈ Z,
x = (-1)k+1 + n, n ∈ Z.
5) cos 3x = ,
3x = ± arсcos + 2 n, n ∈ Z,
3x = ± + 2 n, n ∈ Z,
x=± + , n ∈ Z.

74. Группа В
1) cos x = - 2) sin x = 3) cos x = 0
4) sin x = 5) tg x = 1
Решение
1) cos x = -
x=± +2 ,k∈Z
2) sin x =
x = (-1)n + n, n ∈ Z
3) cos x = 0
x = + n, n ∈ Z
4) sin x =
x = (-1)n arcsin ( ) + n, n ∈ Z
x = (-1)k + n, n ∈ Z
5) tg x = 1
x = arctg 1 + n, n ∈ Z,
x = + n, n ∈ Z.

75. III. Решение тригонометрических уравнений, которые отличаются от простейших.
1. cos x + sin x = 0
Решение
Имеем однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Докажем, что cos x ≠ 0.
Предположим, что cos х = 0. Тогда должно выполняться равенство sin x = 0, а это невозможно для
одного и того же аргумента.
Следовательно, cos x ≠ 0.
Разделим обе части уравнения на cos x ≠ 0, получим:
1 + tg x = 0,
tg x = -1,
x = - + 2 n, n ∈ Z
2. cos 2x cos x = sin 2x sin x.
Решение
Запишем уравнение в виде
cos 2x cos x – sin 2x sin x = 0.
Сведем выражение в одной тригонометрической функции. Применим формулу для
тригонометрической функции суммы двух аргументов:
cos α cos β – sin α sin β = cos(α+β).
Имеем:
cos (2x + x) = 0,
cos 3x = 0,

76. 3x = + n, n ∈ Z,
x = + , n ∈ Z.
3. cos 2x = 2sin2 x.
Решение
cos 2x = 2sin2 x.
Применим формулу двойного аргумента:
cos 2α = cos2 α – sin2 α = 1 – 2sin2 α.
Получим:
1 – 2sin2 x = 2sin2 x,
1 – 2sin2 x - 2sin2 x = 0,
1 – 4sin2 x = 0,
4sin2 x = 1,
sin2 x = ,
|sin x| = ,
sin x =
sin x = - ;
x = (-1)n + n, n ∈ Z,
x = (-1)k+1 + k , k ∈ Z.

77. 4. sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
Решение
Перегруппируем слагаемые и применим формулу суммы одноименных тригонометрических
функций:
sin α + sin β = 2 sin cos
Имеем:
(sin 3x + sin x) + sin 2x = 0
2 sin cos + sin 2x = 0,
2 sin 2x cos x + sin 2x = 0.
Разложив на множители левую часть уравнения, получим уравнение:
sin 2x(2 cos x + 1) = 0,
sin 2x = 0, sin 2x = 0,
2 cos x + 1 = 0; 2 cos x = -1;
2x = n, n ∈ Z,
x = ± arccos(- ) + 2 , k ∈ Z;
x= , n ∈ Z,
x=± + 2 , k ∈ Z.

78. 5. 2 sin2 x + 3 cos x = 0.
Решение
2(1 – cos2 x) + 3cos x = 0,
2 – 2cos2 x + 3cos x = 0,
2cos2 x – 3cos x – 2 = 0.
Введем замену cos x = y ,получим:
2y2 - 3y – 2 = 0
y1 = =- , y2 = = 2.
Корень y2 не принадлежит множеству значений косинуса, поэтому
cos x = - ,
x = ± + 2 , k ∈ Z.
6. tg x + 5 ctg x = 6.
Решение
ОДЗ: x ≠ , n ∈ Z.
tg x + = 6,
tg2 x + 5 = 6 tg x,
tg2 x – 6 tg x + 5 = 0.
Введем замену tg x = y,получим:

79. y2 – 6y + 5 = 0,
y1 = = 5,
y2 = = 1.
Вернемся к замене:
tg x = 5,
tg x = 1;
x1 = arctg 5 + ,k ∈ Z,
x2 = + , m ∈ Z.
7. 4sin4 x + sin2 2x = 2
Решение
Применим формулу двойного аргумента:
sin 2α = 2 sin α cos α.
Имеем:
4 sin4 x + 4 sin2 x cos2 x = 2,
2 sin2 x(sin2 x+cos2 x) = 1,
2 sin2 x = 1, sin2 x = ,
|sin x| = ,
sin x = ,
sin x = - ;

80. x = (-1)n + n, n ∈ Z,
x = (-1)k+1 + , m ∈ Z;
x= + , k ∈ Z.
8. 1 + sin x + cos x + tg x = 0.
Решение
Умножим обе части уравнения на cos x, получим:
cos x + sin x cos x + cos2 x + sin x = 0,
(cos2 x + cos x) + sin x cos x + sin x = 0,
cos x(cos x + 1) + sin x(cos x + 1) = 0,
(cos x + 1)(sin x + cos x) = 0,
cos x + 1 = 0,
cos x + sin x = 0;
cos x = -1,
1 + tg x = 0;
x= +2 , k ∈ Z,
x=- + n, n ∈ Z.

81. V. Итоги урока
Что вы узнали нового сегодня на уроке?
• Произвели классификацию тригонометрических уравнений
• Выделили ключевое тригонометрическое уравнение
• Алгоритм решения тригонометрических уравнений
• Отработали его применение на отдельных примерах
V. Домашнее задание
Раздел 4, § 25, № 2(2,3), №4(2,4), №6(3,4) по учебнику: Е.П. Нелин Алгебра и начала анализа:
Учебник для 10 класса общеобразовательных учебных заведений