Integrazione plurirettangoli

1. Integrali definiti
I parte
Iniziamo ripercorrendo quanto visto a lezione.
Utilizziamo un foglio preimpostato di
Geogebra.
Integrali definiti – I parte
http://geogebratube.org/student/m191973

2. Integrali definiti – I parte
Ripercorriamo i vari passaggi cercando di definire le diverse azioni fatte
1. Abbiamo considerato una funzione f(x):
continua (e tornerà utile a breve)
positivia (e dopo vedremo che non è
fondamentale)
2. Abbiamo considerato un intervallo limitato
e chiuso [a,b]
a è detto estremo inferiore
b è detto estremo superiore
Inutile dire che a<=b
3. Abbiamo considerato la zona
delimitata da: asse x, y=a,y=b e f(x) che
abbiamo chiamato trapezoide.
Possiamo descrivere il trapezoide anche
come l’insieme dei punti (x,y) tali che x è
compreso tra a e b, y è compreso tra 0 e
f(x)
( , ) | 0 ( ) 2 x y  a  x  b   y  f x

3. Integrali definiti – I parte
Abbiamo poi costruito una partizione
dell’intervallo [a,b]
Ricordiamo che in generale una partizione di
un insieme A è
• una famiglia di sottoinsiemi di A,
A  A A i n i i n i 1... 1..    
• a due a due disgiunti
• e la cui unione è tutto A.
   i j A A
A A A A n  ...  1 2
Nel nostro caso la partizione dell’intervallo I=[a,b] sarà costituita da sottointervalli
disgiunti
i n I , I ,..., I ,..., I 1 2
Ciascun sottointervallo sarà delimitato da due ascisse
[ , ], [ , ],..., [ , ],... 1 1 2 1 2 i i 1 i I a x I x x I x x    
Possiamo allora affermare che una partizione di [a,b] è l’insieme di ascisse
x a x x b n  , ,...  0 1

4. Integrali definiti – I parte
Abbiamo poi costruito una partizione
dell’intervallo [a,b] in n sottointervalli
x a x x b n  , ,...  0 1
Inoltre possiamo osservare che ciascun sottointervallo
avrà una ampiezza che indicheremo con
[ , ] i i 1 i I x x  
1    i i i I x x
Se tutte le ampiezze sono uguali diremo la partizione equispaziata e
chiameremo passo della partizione tale ampiezza che risulterà
b a
b
passo


Se le ampiezze sono diverse allora sceglieremo l’ampiezza
massima (l’idea è che nel tanto ci stà il poco!) e la chiameremo
norma
Noi per facilitarci scegliamo una partizione equispaziata.
Chi avesse voglia potrà verificare che i punti della partizione
possono essere facilmente calcolati con la formula:
x a x x b n  , ,...  0 1
b a
n
x a i i

  

5. Integrali definiti – I parte
Costruiamo adesso i rettangoli:
in ciascun sottointervallo vogliamo costruire un
rettangolo che sia interamente contenuto nel
trapezoide. Ce ne sono infiniti; scegliamo
quello che ha come altezza il minimo di f(x)
nell’intervallo.
[ , ] k k 1 k I x x  
In ogni sottointervallo scegliamo il minimo della funzione f(x) e
lo indichiamo con
k m
Per il teorema di Weierstrass: f continua in un intervallo limitato e chiuso allora ammette
un minimo e un massimo assoluto
Osserviamo: limitiamoci per un momento a considerare solo le “basi superiori” di
questi rettangoli:
-Graficamente otteniamo una funzione a “gradoni” o costante a tratti.
- Proviamo a descriverla con una espressione:


 


 

m se x  x 
x
1 0 1
m se x  x 
x
2 1 2
 

k k k m se x x x
s x
1
( ) ...

6. Integrali definiti – I parte
Poiché tornerà utile diamo la definizione di funzione a scala (o a gradoni) o
costante a tratti:
è una funzione che è costante in ciascun sottointervallo di una partizione di [a.b]
E la descriviamo con


 





m se x  x 
x
1 0 1
m se x  x 
x
2 1 2
 

k k k m se x x x
s x
1
( ) ...
Come abbiamo visto in classe non è una idea tanto strana o strampalata: ad
esempio sono funzioni a scala:
-Piovosità mensile media
- Produzione industriale

7. Integrali definiti – I parte


 





m se x  x 
x
1 0 1
m se x  x 
x
2 1 2
 

k k k m se x x x
s x
1
( ) ...
Torniamo ai nostri rettangoli
Descritta la funzione a scala s(x):
• costante su ciascun sottointervallo
• di valore k = minimo di f(x) in m
[ , ] k k 1 k I x x  
k I
Definiamo plurirettangolo l’unione di tutti i rettangoli
Poiché questo plurirettangolo è costruito in modo da stare dentro il trapezoide lo
possiamo chiamare plurirettangolo minorante
Calcoliamo l’area del plurirettangolo:
• calcoliamo l’area del rettangolo di base che risulterà
• sommiamo tutte le aree
k I   k k k x  x m 1
  

  
n
k
k k k x x m
1
1
Otterremo un valore.
Lo possiamo vedere nel nostro foglio di
Geogebra

8. Integrali definiti – I parte


 


 

M se x  x 
x
1 0 1
M se x  x 
x
2 1 2
 

k k k M se x x x
t x
1
( ) ...
Ripetiamo il procedimento e andiamo a
costruire un plurirettangolo che
contenga il trapezoide.
1. Consideriamo la funzione a scala
ottenuta considerando in ciascun
sottointervallo il
massimo della funzione f(x)
k M
[ , ] k k 1 k I x x  
  

  
n
k
k k k x x M
1
1
2. Consideriamo il plurirettangolo
maggiorante
3. Calcoliamo l’area di tale plurirettangolo
Otterremo un valore.
Lo possiamo vedere nel nostro foglio di
Geogebra

9. Integrali definiti – I parte
Arriviamo ora al nodo di tutto il discorso.
Nel foglio di Geogebra possiamo modificare il numero di sottointervalli e ottenere:
-Diversi plurirettangoli maggioranti e minoranti
- Diversi valori per le aree di tali plurirettangoli.
Aiutandoci con Geogebra e con un poco di intuito possiamo pensare che:
1. Le aree dei plurirettangoli minoranti sono sempre minori di quelle dei maggioranti
2. Aumentando i sottointervalli la differenza tra le aree dei maggioranti e quelle dei
minoranti diminuisce
3. Non abbiamo limite al numero di sottointervalli che possiamo considerare (al meno
nella nostra mente!)
L’idea allora che ci può venire è quella di una pressa, o di un hot dog

10. Integrali definiti – I parte
Mettiamo:
-in un insieme L tutte le aree dei plurirettangoli minoranti
- in un insieme U tutte le aree dei plurirettangoli maggioranti
Aumentando il numero dei sottointervalli gli elementi di L e di U si avvicinano
Vediamo prima con Geogebra e poi proviamo a rendere rigoroso il discorso.
Qui troviamo tutto quanto
visto in precedenza
Qui sono riportate le aree maggioranti e
minoranti e la loro differenza
http://tube.geogebra.org/student/m191983

11. Integrali definiti – I parte
Proviamo adesso a mettere il tutto in forma rigorosa
Indichiamo l’area di ogni plurirettangololo minorante, con
푏
푠(푥)
푑푥, che risulterà essere = 푎 =1
푚푘 ∙ 푥푘 − 푥푘−푘
푛1 Indichiamo l’area di ogni plurirettangololo maggiorante, con
푛
푏
푡(푥)
푑푥, che risulterà essere = 푀푘 ∙ 푥푘 − 푥푎 푘−1 푘=1
Consideriamo l’insieme L delle “aree” di tutte le funzioni 푠(푥) costanti a tratti
minoranti (minori) di f(x) e l’insieme U delle “aree” di tutte le funzioni 푡(푥)
costanti a tratti maggioranti (maggiori) di f(x). In simboli
퐿 = 푠(푥)
푏
푎 푑푥|푠 푥 è 푓푢푛푧푖표푛푒 푐표푠푡푎푛푡푒 푎 푡푟푎푡푡푖 ≤ 푓 푥 ∀푥 ∈ [푎; 푏] ;
푏
푈 = 푡(푥)
푎
푑푥|푡 푥 è 푓푢푛푧푖표푛푒 푐표푠푡푎푛푡푒 푎 푡푟푎푡푡푖 ≥ 푓 푥 ∀푥 ∈ [푎; 푏]

12. Integrali definiti – I parte
Proviamo adesso a mettere il tutto in forma rigorosa
푏
푎 푑푥|푠 푥 è 푓푢푛푧푖표푛푒 푐표푠푡푎푛푡푒 푎 푡푟푎푡푡푖 ≤ 푓 푥 ∀푥 ∈ [푎; 푏] ;
퐿 = 푠(푥)
푏
푈 = 푡(푥)
푎
푑푥|푡 푥 è 푓푢푛푧푖표푛푒 푐표푠푡푎푛푡푒 푎 푡푟푎푡푡푖 ≥ 푓 푥 ∀푥 ∈ [푎; 푏]
Definiamo f(x) integrabile se A e B sono contigue
cioè ∀휀 > 0 ∃훼 ∈ 퐿 훽 ∈ 푈 푡푎푙푒 푐ℎ푒 훽 − 훼 ≤ 휀)
Ovvero la terza colonna del nostro foglio avrà valori sempre “più piccoli”
풃
풂 è l’unico numero che separa L e U
L’integrale 풇 풙 풅풙

13. Integrali definiti – I parte
Concludiamo questa prima parte con due osservazioni
Il nostro discorso non si modifica se la funzione non è tutta positiva.
Cambierà solo il fatto che l’area dei rettangoli “sotto l’asse x” avrà un segno
negativo (o per esser più precisi, poiché l’area è sempre >0, andrà
sottratta )
E se “l’area” del trapezoide risultasse negativa?
Il nostro ragionamento continua ad esser corretto, ma non potremo più
riferirci al concetto di area o dovremo interpretare il segno “-”