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Cálculo I
                                       Profº. Marcello Santos Chaves
        LIMITES E CONTINUIDADES


                         x −1                                                 x+e − x
1)     Lim f ( x ) =                               2) Lim f ( x) =
                                                          e→0
       x →1            3
                          x −1                                                  e


Solução :                                          Solução:


Faça → u 3 = x                                                       x +e − x   x+e + x 
                                                   Lim f ( x) = Lim           ×         
                                                                                 x+e + x 
                                                   e→0          e→0
                           u3 −1                                        e
Lim f (u ) = Lim
u →1
                    u3 −1
                u →1 3

                                                   Lim f ( x) = Lim
                                                                    (  x+e −           ) ( x)
                                                                                       2           2



Lim f (u ) = Lim
                  u3 −1                            e→0          e→0 e ×  x+e×  (               x   )
u →1         u →1 u − 1
                                                                        x+e− x
Lim f (u ) = Lim
                                   (
                  (u − 1) ⋅ u 2 + u + 1    )       Lim f ( x) = Lim
                                                   e→0          e→0 e ×  x+e × (               x   )
u →1         u →1        (u − 1)                                           e
u →1            u →1
                       (
Lim f (u ) = Lim u 2 + u + 1           )           Lim f ( x) = Lim
                                                   e→0          e→0 e ×  x+e × (               x   )
Lim f (u ) = 12 + 1 + 1                            Lim f ( x) = Lim
                                                                         1
u →1

Lim f (u ) = 1
                                                   e→0          e→0       (
                                                                       x+e× x              )
u →1
                                                                         1
                                                   Lim f ( x) = Lim
                                                   e→0          e→0       (
                                                                       x+0× x              )
                                                                    1
                                                   Lim f ( x) =
                                                   e→0            (
                                                                  x× x             )
                                                                      1                            2 x 1              2 x
                                                   Lim f ( x) =           ⇒ Lim f ( x) =                   ⋅
                                                                                                       ⇒ Lim f ( x) =     ⇒
                                                    e→0           2 x          e→0             2 x 2 x   e→0           4x
                                                                   x
                                                   Lim f ( x) =
                                                    e→0           2x




                                                                1
        Marcello Santos Chaves
        Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia (IFPA)                                 Belém-PA, Abril de 2011
Cálculo I
                                    Profº. Marcello Santos Chaves

                                x −1                                                           3
                                                                                                   x +1 −1
3) Lim f ( x ) = Lim                                             4)     Lim f ( x ) = Lim
       x →1          x →1 3     x− x                                    x→0            x→0           x

Solução :                                                        Solução :


Faça → x = u 3                                                   Faça → u = 3 x + 1 ⇔ x = u 3 − 1
                      u3 −1                                                            u −1
Lim f (u ) = Lim                                                 Lim f (u ) = Lim
u →1          u →1
                  u− u           3                               u →0           u →0   u3 −1
                   u3 −1                                         Lim f (u ) = Lim
                                                                                              (u − 1)
Lim f (u ) = Lim
u →1         u →1 u − u u
                                                                 u →0           u →0   (u − 1) ⋅ (u 2 + u + 1)
                                                                                          1
                      u3 −1 u + u u                              Lim f (u ) = Lim
Lim f (u ) = Lim
u →1          u →1
                            ⋅
                     u −u u u +u u
                                                                 u →0           u →0   (
                                                                                       u + u +1
                                                                                           2
                                                                                                     )
Lim f (u ) = Lim
                 (u       3
                                )(
                              −1 ⋅ u + u u       )               Lim f (u ) =
                                                                                 1
                                                                              1 +1+1
                                                                                 2

                         ( )
                                                                 u →0
u →1          u →1                           2
                              u2 − u u                           Lim f (u ) = 1
                 (u − 1)⋅ (u + u u )
                                                                 u →0
                          3
Lim f (u ) = Lim
u →1          u →1      u2 − u3

Lim f (u ) = Lim
                                    (
                  (u − 1) ⋅ u 2 + u + 1 ⋅ u + u u)(          )
u →1         u →1            − u 2 ⋅ (u − 1)

Lim f (u ) = Lim
                     (u
                      + u +1 ⋅ u + u u
                          2
                                        )(            )
u →1         u →1           − u2

Lim f (u ) =
              (                )(
             12 + 1 + 1 ⋅ 1 + 1 1            )
u →1                 − 12
               3× 2
Lim f (u ) = −
u →1             1
Lim f (u ) = −6
u →1




                                                          2
  Marcello Santos Chaves
  Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia (IFPA)                               Belém-PA, Abril de 2011
Cálculo I
                                   Profº. Marcello Santos Chaves

                                   x+3 − 3                                                      5 − 3x 3
5)     Lim f ( x ) = Lim                                          6)       Lim f ( x ) = Lim
        x→0              x →0        x                                     x → +∞        x → +∞ 8 x + 2




Solução :                                                         Solução :


                             x+3− 3   x+3+ 3                                           5 − 3x 3
Lim f ( x ) = Lim                   ⋅                             Lim f ( x ) = Lim
                                                                  x → +∞        x → +∞ 8 x + 2
x→0              x→0           x      x+3+ 3

Lim f ( x ) = Lim
                  (           x+3) − ( 3)
                                    2          2                                           5       
                                                                                       x ⋅  − 3x 2 
                         x ⋅ ( x + 3 + 3)                         Lim f ( x ) = Lim 
x→0              x→0
                                                                                            x       
                                                                  x → +∞        x → +∞         2
                                  x +3−3                                                x ⋅ 8 + 
Lim f ( x ) = Lim                                                                              x
x→0              x→0     x⋅   (   x+3 + 3      )                                       1        2 
                                   x                                                   5 ⋅ − 3x 
Lim f ( x ) = Lim                                                 Lim f ( x ) = Lim               
                              (                )
                                                                                           x
x→0              x→0     x⋅       x+3 + 3                         x → +∞        x → +∞         1
                                   1                                                    8 + 2 ⋅ 
Lim f ( x ) = Lim                                                                              x
x→0              x→0     (    x+3+ 3       )                                        [5 ⋅ 0 − 3 ⋅ (+ ∞ ) ]
                                                                                                      2
                                                                  Lim f ( x ) =
Lim f ( x ) =
                             1                                    x → +∞                (8 + 2 ⋅ 0)
x→0             (    0+3+ 3         )                                           −∞
                                                                  Lim f ( x ) =
                      1                                           x → +∞         8
Lim f ( x ) =
x→0                 3+ 3                                          Lim f ( x ) = −∞
                                                                  x → +∞
                    1        2 3      2 3
Lim f ( x ) =    ⋅    ⇒ Lim f ( x ) =
x→0           2 3 2 3   x→0           4×3
                     3
Lim f ( x ) =
x→0                 6




                                                             3
     Marcello Santos Chaves
     Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia (IFPA)                       Belém-PA, Abril de 2011
Cálculo I
                              Profº. Marcello Santos Chaves

                          − 5x3 + 2                                                           x2 +1
7)   Lim f ( x ) = Lim                                   8)       Lim f ( x ) = Lim
     x → +∞        x → +∞ 7 x 3 + 3                               x → +∞            x → +∞    x +1

Solução :                                                Solução :


                     − 5x 3 + 2                                                        x2 +1
Lim f ( x ) = Lim                                        Lim f ( x ) = Lim
x → +∞        x → +∞ 7 x 3 + 3                           x → +∞            x → +∞      x +1
                                2                                                              1 
                     − x3 ⋅ 5 − 3                                                    x 2 ⋅ 1 + 2 
Lim f ( x ) = Lim               x                                                             x 
                                                         Lim f ( x ) = Lim
x → +∞        x → +∞           3                       x → +∞            x → +∞           1
                      x3 ⋅ 7 + 3                                                     x ⋅ 1 + 
                               x                                                              x
                              1 
                    − 5 − 2 ⋅ 3                                                                 1 
                                                                                       x 2 ⋅ 1 + 2 
Lim f ( x ) = Lim 
                               x 
                                                                                                 x 
x → +∞        x → +∞         1                         Lim f ( x ) = Lim
                     7 + 3⋅ 3                          x → +∞            x → +∞               1
                             x                                                         x ⋅ 1 + 
                                                                                                x
              − (5 − 2 ⋅ 0 )
Lim f ( x ) =                                                                            1 
x → +∞          (7 + 3 ⋅ 0 )                                                  x ⋅  1 + 2  
              −5                                                                   
                                                                                         x 
Lim f ( x ) =                                            Lim f ( x ) = Lim
x → +∞          7                                        x → +∞        x → +∞            1
                                                                                  x ⋅ 1 + 
                                                                                         x
                                                                                           1 
                                                                                       1 + 2 
                                                                                          x 
                                                         Lim f ( x ) = Lim
                                                         x → +∞            x → +∞         1
                                                                                       1 + 
                                                                                          x
                                                                         1+ 0
                                                         Lim f ( x ) =
                                                         x → +∞         1+ 0
                                                                       1
                                                         Lim f ( x ) =
                                                         x → +∞        1
                                                         Lim f ( x ) = 1
                                                         x → +∞




                                                             4
     Marcello Santos Chaves
     Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia (IFPA)                              Belém-PA, Abril de 2011
Cálculo I
                             Profº. Marcello Santos Chaves

               9)       Lim f ( x ) = Lim
                        x → +∞            x → +∞
                                                   (    x2 +1 − x2 −1         )
               Solução :


               Lim f ( x ) = Lim
               x → +∞            x → +∞
                                          (    x2 +1 − x2 −1 ⋅          )     x2 +1 + x2 −1
                                                                              x2 +1 + x2 −1

               Lim f ( x ) = Lim
                                                   (    x2 +1 −) (
                                                                2
                                                                            x2 −1   )
                                                                                    2


               x → +∞            x → +∞
                                                        1               1 
                                              x 2 ⋅ 1 + 2  + x 2 ⋅  1 − 2 
                                                       x               x 

               Lim f ( x ) = Lim
                                                                    (
                                                         x2 +1− x2 −1         )
               x → +∞            x → +∞                         1                       1
                                              x2 ⋅ 1+             2
                                                                    + x2 ⋅ 1−
                                                                x                       x2
                                                           x +1− x2 +1
                                                            2
               Lim f ( x ) = Lim
               x → +∞            x → +∞                      1             1         
                                           x ⋅
                                                      1+ 2  + x ⋅ 1− 2
                                                                      
                                                                                        
                                                                                        
                                                           x               x         
                                                                2
               Lim f ( x ) = Lim
               x → +∞            x → +∞                      1          1 
                                           x ⋅
                                                      1+ 2 + 1− 2         
                                                           x            x 
                                                                2
               Lim f ( x ) = Lim                                x
               x → +∞            x → +∞                      1           1 
                                           x⋅
                                                      1+ 2 + 1− 2 
                                                            x           x 
                                                                x
                                                              1
                                                          2⋅
               Lim f ( x ) = Lim                              x
               x → +∞            x → +∞                1             1
                                              1+         2
                                                            + 1− 2
                                                       x             x
                                              2⋅0
               Lim f ( x ) =
               x → +∞          1+ 0 + 1− 0
                               0
               Lim f ( x ) =
               x → +∞        1+1
                             0
               Lim f ( x ) =
               x → +∞        2
               Lim f ( x ) = 0
               x → +∞




                                                        5
Marcello Santos Chaves
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia (IFPA)                                   Belém-PA, Abril de 2011
Cálculo I
                                Profº. Marcello Santos Chaves


     10)      Lim f ( x ) = Lim x
              x → +∞            x → +∞
                                             (       x2 −1 − x          )
     Solução :
     Lim f ( x ) = Lim x
     x → +∞            x → +∞
                                 (   x2 −1 − x          )
     Lim f ( x ) = Lim
     x → +∞
                       ( x − 1)⋅ x − x
                       x → +∞
                                     2                      2




     Lim f ( x ) = Lim [( x − 1 )⋅ x − x ]⋅
                                            (                                        )
                                                                            x2 −1 ⋅ x + x2
                                            (                                    − 1 )⋅ x + x
                                         2                      2
     x → +∞            x → +∞
                                                                            x2                  2



                       [( x − 1)⋅ x] − (x )
                                         2
                                                        2
                                                                    2 2
     Lim f ( x ) = Lim
     x → +∞
                          ( x − 1)⋅ x + x
                       x → +∞                2                      2



     Lim f ( x ) = Lim
                                (x
                                −1 ⋅ x2 − x4
                                     2
                                                 )
     x → +∞        x → +∞       x2 −1 
                          x2 ⋅          + 1
                                   x        
                                            
                             x −x −x
                               4    2    4
     Lim f ( x ) = Lim
     x → +∞        x → +∞       x2 −1 
                          x2 ⋅          + 1
                                   x        
                                            
                                  −x  2
     Lim f ( x ) = Lim
     x → +∞        x → +∞
                           2 
                                x2 −1 
                          x ⋅            + 1
                                   x        
                                            
                                −1                                                                  −1
     Lim f ( x ) = Lim                  ⇒ Lim f ( x ) = Lim                                    ⇒
     x → +∞        x → +∞
                            x −1
                              2            x → +∞       x → +∞
                                                                                     1 
                                    +1                                   x 2 ⋅ 1 − 2 
                              x                                                     x 
                                                                                            +1
                                                                                 x
                                                −1                                           −1
     ⇒ Lim f ( x ) = Lim                                   ⇒ Lim f ( x ) = Lim                        ⇒
           x → +∞          x → +∞                  1         x → +∞         x → +∞            1 
                                         x ⋅ 1− 2
                                          2
                                                                                    x ⋅ 1− 2  +1
                                                   x                                            
                                                                                               x 
                                                     +1                                
                                               x                                             x
                                            −1                          −1                          −1
     ⇒ Lim f ( x ) = Lim                            ⇒ Lim f ( x ) =                ⇒ Lim f ( x ) =     ⇒
           x → +∞          x → +∞            1        x → +∞         1− 0 +1          x → +∞       1+1
                                         1− 2 +1
                                             x
                         1
     Lim f ( x ) = −
     x → +∞              2




                                                        6
Marcello Santos Chaves
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia (IFPA)                                               Belém-PA, Abril de 2011
Cálculo I
                                  Profº. Marcello Santos Chaves

                                 v v −1                                              v v −1
11)      Lim f (v ) = Lim                          11)       Lim f (v ) = Lim
         v → +∞         v → +∞    3v − 1                     v → +∞         v → +∞    3v − 1

Solução :                                           Solução :


Faça → v = x 2                                      Faça → v = x 2
                          x2 x2 −1                                            x2 x2 −1
Lim f ( x ) = Lim                                   Lim f ( x ) = Lim
x → +∞             x → +∞   3x 2 − 1                x → +∞             x → +∞   3x 2 − 1
                          x2 ⋅ x −1                                           x2 ⋅ x −1
Lim      f ( x ) = Lim                              Lim      f ( x ) = Lim
x → +∞             x → +∞ 3 x 2 − 1                 x → +∞             x → +∞ 3 x 2 − 1

                           x3 −1                                               x3 −1
Lim      f ( x ) = Lim                              Lim      f ( x ) = Lim
x → +∞             x → +∞ 3 x 2 − 1                 x → +∞             x → +∞ 3 x 2 − 1

                                     1                                                 1 
                          x2 ⋅  x − 2                                       x2 ⋅  x − 2 
Lim      f ( x ) = Lim              x 
                                                    Lim      f ( x ) = Lim              x 
x → +∞             x → +∞           1             x → +∞             x → +∞           1 
                          x2 ⋅ 3 − 2                                        x2 ⋅ 3 − 2 
                                    x                                                 x 
                                 1                                                   1
                          x− 2                                                x− 2
Lim      f ( x ) = Lim          x                   Lim      f ( x ) = Lim          x
x → +∞             x → +∞        1                  x → +∞             x → +∞        1
                          3− 2                                                3− 2
                                x                                                   x
                   +∞−0                                                +∞−0
Lim      f ( x) =                                   Lim      f ( x) =
x → +∞               3−0                            x → +∞               3−0
                   +∞                                                  +∞
Lim      f ( x) =                                   Lim      f ( x) =
x → +∞               3                              x → +∞               3
Lim      f ( x ) = +∞                               Lim      f ( x ) = +∞
x → +∞                                              x → +∞




                                                           7
   Marcello Santos Chaves
   Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia (IFPA)                          Belém-PA, Abril de 2011
Cálculo I
                                    Profº. Marcello Santos Chaves

                        x 4 − 16                                                                 3
                                                                                                         x −1
12)   Lim f ( x ) = Lim                                        13)    Lim f ( x ) = Lim
                    x→2 8 − x 3
      x→2                                                              x →1               x →1           x −1

Solução :                                                      Solução :

                  x 4 − 16                                     Faça → x = t 6
Lim f ( x ) = Lim
x→2           x→2 8 − x 3
                                                                                      3
                                                                                          t6 −1
                  x 4 − 16 (− 1)                               Lim f (t ) = Lim
Lim f ( x ) = Lim          ⋅                                   t →1            t →1
                                                                                        t6 −1
x→2           x→2 8 − x 3    (− 1)
                                                                                     t2 −1
Lim f ( x ) = Lim
                  (x ) − (4 )⋅ (− 1)
                              2 2       2                      Lim
                                                               t →1
                                                                      f (t ) = Lim 3
                                                                                t →1 t − 1
x→2             x→2     x −8        3
                                                                                     t 2 − 12
Lim f ( x ) = Lim
                      (       2
                                    )(
                  x + 4 ⋅ x 2 − 4 ⋅ (− 1)       )              Lim
                                                               t →1
                                                                      f (t ) = Lim 3 3
                                                                                t →1 t − 1
x→2           x→2         x 3 − 23                                                         (t + 1) ⋅ (t − 1)
Lim f ( x ) = Lim
                      (   )(           )
                  x 2 + 4 ⋅ x 2 − 2 2 ⋅ (− 1)                  Lim
                                                               t →1
                                                                      f (t ) = Lim
                                                                                                     (
                                                                                t →1 (t − 1) ⋅ t 2 + 1 ⋅ t + 12   )
x→2           x→2           (
                  (x − 2 ) ⋅ x 2 + 2 x + 2 2)                                            t +1
Lim f ( x ) = Lim
                  (x + 4)⋅ (x + 2) ⋅ (x − 2) ⋅ (− 1)
                              2                                Lim
                                                               t →1
                                                                      f (t ) = Lim 2
                                                                                t →1 t + t + 1
x→2             x→2    (x − 2 ) ⋅ (x + 2 x + 4 )
                                            2
                                                                                   1+1
                                                                      f (t ) = 2
                  (x + 4)⋅ (x + 2) ⋅ (− 1)
                                                               Lim
                              2                                t →1            1 +1+1
Lim f ( x ) = Lim
x→2             x→2    (x + 2 x + 4)2
                                                               Lim    f (t ) =
                                                                               2

Lim f ( x ) =
              (2 + 4)⋅ (2 + 2) ⋅ (− 1)
                 2                                             t →1            3
x→2              (2 + 2 ⋅ 2 + 4)
                          2


              8 × 4 × (− 1)
Lim f ( x ) =
x→2            4+4+4
              − 32
Lim f ( x ) =
x→2            12
                8
Lim f ( x ) = −
x→2             3




                                                          8
  Marcello Santos Chaves
  Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia (IFPA)                          Belém-PA, Abril de 2011

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  • 1. Cálculo I Profº. Marcello Santos Chaves LIMITES E CONTINUIDADES x −1 x+e − x 1) Lim f ( x ) = 2) Lim f ( x) = e→0 x →1 3 x −1 e Solução : Solução: Faça → u 3 = x  x +e − x   x+e + x  Lim f ( x) = Lim  ×    x+e + x  e→0 e→0 u3 −1  e Lim f (u ) = Lim u →1 u3 −1 u →1 3 Lim f ( x) = Lim ( x+e − ) ( x) 2 2 Lim f (u ) = Lim u3 −1 e→0 e→0 e × x+e× ( x ) u →1 u →1 u − 1 x+e− x Lim f (u ) = Lim ( (u − 1) ⋅ u 2 + u + 1 ) Lim f ( x) = Lim e→0 e→0 e × x+e × ( x ) u →1 u →1 (u − 1) e u →1 u →1 ( Lim f (u ) = Lim u 2 + u + 1 ) Lim f ( x) = Lim e→0 e→0 e × x+e × ( x ) Lim f (u ) = 12 + 1 + 1 Lim f ( x) = Lim 1 u →1 Lim f (u ) = 1 e→0 e→0 ( x+e× x ) u →1 1 Lim f ( x) = Lim e→0 e→0 ( x+0× x ) 1 Lim f ( x) = e→0 ( x× x ) 1 2 x 1 2 x Lim f ( x) = ⇒ Lim f ( x) = ⋅ ⇒ Lim f ( x) = ⇒ e→0 2 x e→0 2 x 2 x e→0 4x x Lim f ( x) = e→0 2x 1 Marcello Santos Chaves Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia (IFPA) Belém-PA, Abril de 2011
  • 2. Cálculo I Profº. Marcello Santos Chaves x −1 3 x +1 −1 3) Lim f ( x ) = Lim 4) Lim f ( x ) = Lim x →1 x →1 3 x− x x→0 x→0 x Solução : Solução : Faça → x = u 3 Faça → u = 3 x + 1 ⇔ x = u 3 − 1 u3 −1 u −1 Lim f (u ) = Lim Lim f (u ) = Lim u →1 u →1 u− u 3 u →0 u →0 u3 −1 u3 −1 Lim f (u ) = Lim (u − 1) Lim f (u ) = Lim u →1 u →1 u − u u u →0 u →0 (u − 1) ⋅ (u 2 + u + 1) 1 u3 −1 u + u u Lim f (u ) = Lim Lim f (u ) = Lim u →1 u →1 ⋅ u −u u u +u u u →0 u →0 ( u + u +1 2 ) Lim f (u ) = Lim (u 3 )( −1 ⋅ u + u u ) Lim f (u ) = 1 1 +1+1 2 ( ) u →0 u →1 u →1 2 u2 − u u Lim f (u ) = 1 (u − 1)⋅ (u + u u ) u →0 3 Lim f (u ) = Lim u →1 u →1 u2 − u3 Lim f (u ) = Lim ( (u − 1) ⋅ u 2 + u + 1 ⋅ u + u u)( ) u →1 u →1 − u 2 ⋅ (u − 1) Lim f (u ) = Lim (u + u +1 ⋅ u + u u 2 )( ) u →1 u →1 − u2 Lim f (u ) = ( )( 12 + 1 + 1 ⋅ 1 + 1 1 ) u →1 − 12 3× 2 Lim f (u ) = − u →1 1 Lim f (u ) = −6 u →1 2 Marcello Santos Chaves Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia (IFPA) Belém-PA, Abril de 2011
  • 3. Cálculo I Profº. Marcello Santos Chaves x+3 − 3 5 − 3x 3 5) Lim f ( x ) = Lim 6) Lim f ( x ) = Lim x→0 x →0 x x → +∞ x → +∞ 8 x + 2 Solução : Solução : x+3− 3 x+3+ 3 5 − 3x 3 Lim f ( x ) = Lim ⋅ Lim f ( x ) = Lim x → +∞ x → +∞ 8 x + 2 x→0 x→0 x x+3+ 3 Lim f ( x ) = Lim ( x+3) − ( 3) 2 2 5  x ⋅  − 3x 2  x ⋅ ( x + 3 + 3) Lim f ( x ) = Lim  x→0 x→0 x  x → +∞ x → +∞  2 x +3−3 x ⋅ 8 +  Lim f ( x ) = Lim  x x→0 x→0 x⋅ ( x+3 + 3 )  1 2  x  5 ⋅ − 3x  Lim f ( x ) = Lim Lim f ( x ) = Lim   ( ) x x→0 x→0 x⋅ x+3 + 3 x → +∞ x → +∞  1 1 8 + 2 ⋅  Lim f ( x ) = Lim  x x→0 x→0 ( x+3+ 3 ) [5 ⋅ 0 − 3 ⋅ (+ ∞ ) ] 2 Lim f ( x ) = Lim f ( x ) = 1 x → +∞ (8 + 2 ⋅ 0) x→0 ( 0+3+ 3 ) −∞ Lim f ( x ) = 1 x → +∞ 8 Lim f ( x ) = x→0 3+ 3 Lim f ( x ) = −∞ x → +∞ 1 2 3 2 3 Lim f ( x ) = ⋅ ⇒ Lim f ( x ) = x→0 2 3 2 3 x→0 4×3 3 Lim f ( x ) = x→0 6 3 Marcello Santos Chaves Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia (IFPA) Belém-PA, Abril de 2011
  • 4. Cálculo I Profº. Marcello Santos Chaves − 5x3 + 2 x2 +1 7) Lim f ( x ) = Lim 8) Lim f ( x ) = Lim x → +∞ x → +∞ 7 x 3 + 3 x → +∞ x → +∞ x +1 Solução : Solução : − 5x 3 + 2 x2 +1 Lim f ( x ) = Lim Lim f ( x ) = Lim x → +∞ x → +∞ 7 x 3 + 3 x → +∞ x → +∞ x +1  2   1  − x3 ⋅ 5 − 3  x 2 ⋅ 1 + 2  Lim f ( x ) = Lim  x   x  Lim f ( x ) = Lim x → +∞ x → +∞  3  x → +∞ x → +∞  1 x3 ⋅ 7 + 3  x ⋅ 1 +   x   x  1  − 5 − 2 ⋅ 3   1  x 2 ⋅ 1 + 2  Lim f ( x ) = Lim  x   x  x → +∞ x → +∞  1  Lim f ( x ) = Lim 7 + 3⋅ 3  x → +∞ x → +∞  1  x  x ⋅ 1 +   x − (5 − 2 ⋅ 0 ) Lim f ( x ) =   1  x → +∞ (7 + 3 ⋅ 0 ) x ⋅  1 + 2   −5    x  Lim f ( x ) = Lim f ( x ) = Lim x → +∞ 7 x → +∞ x → +∞  1 x ⋅ 1 +   x  1  1 + 2   x  Lim f ( x ) = Lim x → +∞ x → +∞  1 1 +   x 1+ 0 Lim f ( x ) = x → +∞ 1+ 0 1 Lim f ( x ) = x → +∞ 1 Lim f ( x ) = 1 x → +∞ 4 Marcello Santos Chaves Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia (IFPA) Belém-PA, Abril de 2011
  • 5. Cálculo I Profº. Marcello Santos Chaves 9) Lim f ( x ) = Lim x → +∞ x → +∞ ( x2 +1 − x2 −1 ) Solução : Lim f ( x ) = Lim x → +∞ x → +∞ ( x2 +1 − x2 −1 ⋅ ) x2 +1 + x2 −1 x2 +1 + x2 −1 Lim f ( x ) = Lim ( x2 +1 −) ( 2 x2 −1 ) 2 x → +∞ x → +∞  1   1  x 2 ⋅ 1 + 2  + x 2 ⋅  1 − 2   x   x  Lim f ( x ) = Lim ( x2 +1− x2 −1 ) x → +∞ x → +∞ 1 1 x2 ⋅ 1+ 2 + x2 ⋅ 1− x x2 x +1− x2 +1 2 Lim f ( x ) = Lim x → +∞ x → +∞  1   1  x ⋅  1+ 2  + x ⋅ 1− 2      x   x  2 Lim f ( x ) = Lim x → +∞ x → +∞  1 1  x ⋅  1+ 2 + 1− 2    x x  2 Lim f ( x ) = Lim x x → +∞ x → +∞  1 1  x⋅  1+ 2 + 1− 2   x x  x 1 2⋅ Lim f ( x ) = Lim x x → +∞ x → +∞ 1 1 1+ 2 + 1− 2 x x 2⋅0 Lim f ( x ) = x → +∞ 1+ 0 + 1− 0 0 Lim f ( x ) = x → +∞ 1+1 0 Lim f ( x ) = x → +∞ 2 Lim f ( x ) = 0 x → +∞ 5 Marcello Santos Chaves Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia (IFPA) Belém-PA, Abril de 2011
  • 6. Cálculo I Profº. Marcello Santos Chaves 10) Lim f ( x ) = Lim x x → +∞ x → +∞ ( x2 −1 − x ) Solução : Lim f ( x ) = Lim x x → +∞ x → +∞ ( x2 −1 − x ) Lim f ( x ) = Lim x → +∞ ( x − 1)⋅ x − x x → +∞ 2 2 Lim f ( x ) = Lim [( x − 1 )⋅ x − x ]⋅ ( ) x2 −1 ⋅ x + x2 ( − 1 )⋅ x + x 2 2 x → +∞ x → +∞ x2 2 [( x − 1)⋅ x] − (x ) 2 2 2 2 Lim f ( x ) = Lim x → +∞ ( x − 1)⋅ x + x x → +∞ 2 2 Lim f ( x ) = Lim (x −1 ⋅ x2 − x4 2 ) x → +∞ x → +∞  x2 −1  x2 ⋅ + 1  x    x −x −x 4 2 4 Lim f ( x ) = Lim x → +∞ x → +∞  x2 −1  x2 ⋅ + 1  x    −x 2 Lim f ( x ) = Lim x → +∞ x → +∞ 2   x2 −1  x ⋅ + 1  x    −1 −1 Lim f ( x ) = Lim ⇒ Lim f ( x ) = Lim ⇒ x → +∞ x → +∞ x −1 2 x → +∞ x → +∞  1  +1 x 2 ⋅ 1 − 2  x  x  +1 x −1 −1 ⇒ Lim f ( x ) = Lim ⇒ Lim f ( x ) = Lim ⇒ x → +∞ x → +∞ 1 x → +∞ x → +∞  1  x ⋅ 1− 2 2 x ⋅ 1− 2  +1 x   x  +1  x x −1 −1 −1 ⇒ Lim f ( x ) = Lim ⇒ Lim f ( x ) = ⇒ Lim f ( x ) = ⇒ x → +∞ x → +∞ 1 x → +∞ 1− 0 +1 x → +∞ 1+1 1− 2 +1 x 1 Lim f ( x ) = − x → +∞ 2 6 Marcello Santos Chaves Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia (IFPA) Belém-PA, Abril de 2011
  • 7. Cálculo I Profº. Marcello Santos Chaves v v −1 v v −1 11) Lim f (v ) = Lim 11) Lim f (v ) = Lim v → +∞ v → +∞ 3v − 1 v → +∞ v → +∞ 3v − 1 Solução : Solução : Faça → v = x 2 Faça → v = x 2 x2 x2 −1 x2 x2 −1 Lim f ( x ) = Lim Lim f ( x ) = Lim x → +∞ x → +∞ 3x 2 − 1 x → +∞ x → +∞ 3x 2 − 1 x2 ⋅ x −1 x2 ⋅ x −1 Lim f ( x ) = Lim Lim f ( x ) = Lim x → +∞ x → +∞ 3 x 2 − 1 x → +∞ x → +∞ 3 x 2 − 1 x3 −1 x3 −1 Lim f ( x ) = Lim Lim f ( x ) = Lim x → +∞ x → +∞ 3 x 2 − 1 x → +∞ x → +∞ 3 x 2 − 1  1   1  x2 ⋅  x − 2  x2 ⋅  x − 2  Lim f ( x ) = Lim  x  Lim f ( x ) = Lim  x  x → +∞ x → +∞  1  x → +∞ x → +∞  1  x2 ⋅ 3 − 2  x2 ⋅ 3 − 2   x   x  1 1 x− 2 x− 2 Lim f ( x ) = Lim x Lim f ( x ) = Lim x x → +∞ x → +∞ 1 x → +∞ x → +∞ 1 3− 2 3− 2 x x +∞−0 +∞−0 Lim f ( x) = Lim f ( x) = x → +∞ 3−0 x → +∞ 3−0 +∞ +∞ Lim f ( x) = Lim f ( x) = x → +∞ 3 x → +∞ 3 Lim f ( x ) = +∞ Lim f ( x ) = +∞ x → +∞ x → +∞ 7 Marcello Santos Chaves Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia (IFPA) Belém-PA, Abril de 2011
  • 8. Cálculo I Profº. Marcello Santos Chaves x 4 − 16 3 x −1 12) Lim f ( x ) = Lim 13) Lim f ( x ) = Lim x→2 8 − x 3 x→2 x →1 x →1 x −1 Solução : Solução : x 4 − 16 Faça → x = t 6 Lim f ( x ) = Lim x→2 x→2 8 − x 3 3 t6 −1 x 4 − 16 (− 1) Lim f (t ) = Lim Lim f ( x ) = Lim ⋅ t →1 t →1 t6 −1 x→2 x→2 8 − x 3 (− 1) t2 −1 Lim f ( x ) = Lim (x ) − (4 )⋅ (− 1) 2 2 2 Lim t →1 f (t ) = Lim 3 t →1 t − 1 x→2 x→2 x −8 3 t 2 − 12 Lim f ( x ) = Lim ( 2 )( x + 4 ⋅ x 2 − 4 ⋅ (− 1) ) Lim t →1 f (t ) = Lim 3 3 t →1 t − 1 x→2 x→2 x 3 − 23 (t + 1) ⋅ (t − 1) Lim f ( x ) = Lim ( )( ) x 2 + 4 ⋅ x 2 − 2 2 ⋅ (− 1) Lim t →1 f (t ) = Lim ( t →1 (t − 1) ⋅ t 2 + 1 ⋅ t + 12 ) x→2 x→2 ( (x − 2 ) ⋅ x 2 + 2 x + 2 2) t +1 Lim f ( x ) = Lim (x + 4)⋅ (x + 2) ⋅ (x − 2) ⋅ (− 1) 2 Lim t →1 f (t ) = Lim 2 t →1 t + t + 1 x→2 x→2 (x − 2 ) ⋅ (x + 2 x + 4 ) 2 1+1 f (t ) = 2 (x + 4)⋅ (x + 2) ⋅ (− 1) Lim 2 t →1 1 +1+1 Lim f ( x ) = Lim x→2 x→2 (x + 2 x + 4)2 Lim f (t ) = 2 Lim f ( x ) = (2 + 4)⋅ (2 + 2) ⋅ (− 1) 2 t →1 3 x→2 (2 + 2 ⋅ 2 + 4) 2 8 × 4 × (− 1) Lim f ( x ) = x→2 4+4+4 − 32 Lim f ( x ) = x→2 12 8 Lim f ( x ) = − x→2 3 8 Marcello Santos Chaves Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia (IFPA) Belém-PA, Abril de 2011