SlideShare a Scribd company logo

Determinan dan Invers

•Download as PPT, PDF•
•
ridho1810
ridho1810
1 of 51
SMK BINTANG NUSANTARA SCHOOL Kab.Tangerang Ridho Hadi Saputro MATRIKS
DAFTAR SLIDEDAFTAR SLIDE Operasi Matriks Jenis-Jenis Matriks Determinan Matriks 2222 Inverse Matriks
DEFINISI MATRIKSDEFINISI MATRIKS 3333 kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung. Apakah yang dimaksud dengan Matriks ?
NOTASI MATRIKSNOTASI MATRIKS 4444  Nama matriks menggunakan huruf besar  Anggota-anggota matriks dapat berupa huruf kecil maupun angka  Digunakan kurung biasa atau kurung siku  Ordo matriks atau ukuran matriks merupakan banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut.       − = 675 231 A           = ihg fed cba H
NOTASI MATRIKSNOTASI MATRIKS 5555  Jadi, suatu matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks berordo atau berukuran m x n.  Memudahkan menunjuk anggota suatu matriks Notasi A = (aij)                 mnmmm n n n aaaa aaaa aaaa aaaa ... ............... ... ... ... 321 3333231 2232221 1131211 A = Dengan i = 1,2,...,m j = 1,2,...,n
MATRIKSMATRIKS 6666  Contoh : Matriks A merupakan matriks berordo 4x2  Bilangan-bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur.             − = 16 12 13 41 A
NOTASI MATRIKSNOTASI MATRIKS 7777             = mnmm n n aaa aaa aaa A     21 22221 11211 7 Baris Kolom Unsur Matriks Matriks berukuran m x n atau berorde m x n
MATRIKS BARIS DAN KOLOMMATRIKS BARIS DAN KOLOM 8888  Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu baris  Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. [ ]4121=C           = 4 3 1 E
MATRIKS A = BMATRIKS A = B 9999  Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (A = B) apabila A dan B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama (berordo sama) dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama.  aij = bij dimana - aij = elemen matriks A dari baris i dan kolom j - bij = elemen matriks B dari baris i dan kolom j  A = B dan  A ≠ B dan       = 10 42 A       = 10 42 B       = 510 242 A       = 13 41 B
PENJUMLAHAN MATRIKS 10101010  Apabila A dan B merupakan dua matriks yang ukurannya sama, maka hasil penjumlahan (A + B) adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.  Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan. dan           = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A           = 333231 232221 131211 bbb bbb bbb B           +++ +++ +++ =+ 333332323131 232322222121 131312121111 bababa bababa bababa BA
PENJUMLAHAN MATRIKS 11111111  Contoh Soal           − −= 22 31 24 A           − − = 21 12 43 B           −−+ ++− −+ =+ 2212 1321 4234 BA           − − =+ 43 41 27 BA
PENGURANGAN MATRIKS 12121212  A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama, maka A-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.  Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat dikurangkan. dan           = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A           = 333231 232221 131211 bbb bbb bbb B           −−− −−− −−− =− 333332323131 232322222121 131312121111 bababa bababa bababa BA
PENGURANGAN MATRIKS 13131313  Contoh :           − − = 043 322 101 A           −= 243 421 111 B           −−− −−−+ −−−− =− 204433 432212 111011 BA           − − −− =− 200 703 210 BA
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR 14141414 Jika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(aij ) maka matriks kA=(kaij ) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. [C]=k[A]=[A]k       = 15 83 A       = 1*45*4 8*43*4 4A       = 420 3212 4A
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR 15151515 Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar : k(B+C) = kB + kC k(B-C) = kB-kC (k1+k2)C = k1C + k2C (k1-k2)C = k1C – k2C (k1.k2)C = k1(k2C)
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR 16161616 Contoh : dengan k = 2, maka K(A+B) = 2(A+B) = 2A+2B       − = 12 10 A       = 11 43 B       =      =      +      − =+ 06 106 03 53 *2) 11 43 12 10 (*2)(2 BA       =      +      − =      +      − =+ 06 106 22 86 24 20 11 43 *2 12 10 *222 BA TERBUKTI
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR 17171717 Contoh : dengan k1 = 2 dan k2 = 3, maka (k1+k2)C = k1.C + k2.C       − = 12 11 C       − =      − =      − +=+ 510 55 12 11 *5 12 11 *)32(*)( 21 Ckk TERBUKTI       − =      − +      − =      − +      − =+ 510 55 36 33 24 22 12 11 *)3( 12 11 *)2()**( 21 CkCk
PERKALIAN MATRIKSPERKALIAN MATRIKS 18181818  Perkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidak bersifat komutatif.  Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.  Jika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp maka hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij ) berukuran mxp dimana
PERKALIAN MATRIKSPERKALIAN MATRIKS 19191919  Contoh :           = 0 1 3 B [ ] [ ] [ ]11)0*1()1*2()3*3( 0 1 3 *123* =++=           =BA [ ]123=A [ ]           =           =           = 000 123 369 1*02*03*0 1*12*13*1 1*32*33*3 123* 0 1 3 * AB
PERKALIAN MATRIKSPERKALIAN MATRIKS 20202020  Apabila A merupakan suatu matriks persegi, maka A² = A.A ; A³=A².A dan seterusnya  Apabila AB = BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=C (tidak berlaku sifat penghapusan)  Apabila AB = AC belum tentu B = C  Apabila AB = 0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau B=0  Terdapat beberapa hukum perkalian matriks : 1. A(BC) = (AB)C 2. A(B+C) = AB+AC 3. (B+C)A = BA+CA 4. A(B-C)=AB-AC 5. (B-C)A = BA-CA 6. A(BC) = (aB)C= B(aC) 7. AI = IA = A
PERPANGKATAN MATRIKSPERPANGKATAN MATRIKS 21212121 Sifat perpangkatan pada matriks sama seperti sifat perpangkatan pada bilangan-bilangan untuk setiap a bilangan riil, dimana berlaku : A2 = A A A3 = A2 A A4 = A3 A A5 = A4 A; dan seterusnya
PERPANGKATAN MATRIKSPERPANGKATAN MATRIKS 22222222 Tentukan hasil A² dan A³      − = 02 11 A       − − =     −      − == 22 13 02 11 02 112 AxAA       − − =      − −      − == 26 35 22 13 02 1123 AxAA
PERPANGKATAN MATRIKSPERPANGKATAN MATRIKS 23232323 Tentukan hasil 2A² + 3A³      − = 02 11 A       − − =      − − ⋅= 44 26 22 13 22 2 A       − − =      − − ⋅= 66 915 22 35 33 3 A       − − =      − − +      − − =+ 1010 79 66 915 44 26 32 32 AA
JENIS –JENIS MATRIKSJENIS –JENIS MATRIKS 24242424  Matriks bujursangkar (persegi) adalah matriks yang berukuran n x n  Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol Sifat-sifat dari matriks nol : -A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0 -A*0=0, begitu juga 0*A=0.       = 13 41 A           = 00 00 00 23xO
JENIS –JENIS MATRIKSJENIS –JENIS MATRIKS 25252525  Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan sebagai D. Contoh :  Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama           = 500 020 001 33xD           = 500 050 005 33xD
JENIS –JENIS MATRIKSJENIS –JENIS MATRIKS 26262626  Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai 1. Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A I*A=A  Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol  Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol           = 100 010 001 D           = 600 210 542 A           = 152 043 001 B
DETERMINAN MATRIKSDETERMINAN MATRIKS 27272727  Setiap matriks persegi atau bujur sangkar memiliki nilai determinan  Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar.  Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matriks tersebut disebut matriks singular.
NOTASI DETERMINANNOTASI DETERMINAN 28282828  Misalkan matriks A merupakan sebuah matriks bujur sangkar  Fungsi determinan dinyatakan oleh det (A)  Jumlah det(A) disebut determinan A  det(A) sering dinotasikan |A|
NOTASI DETERMINANNOTASI DETERMINAN 29292929  Pada matriks 2x2 cara menghitung nilai determinannya adalah :  Contoh :       = 2221 1211 aa aa A 21122211)det( aaaaA −=       = 31 52 A 156)det( =−=A 2221 1211 )det( aa aa A = 31 52 )det( =A
METODE SARRUSMETODE SARRUS 30303030  Pada matriks 3x3 cara menghitung nilai determinannya adalah menggunakan Metode Sarrus  Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3 122133112332132231322113312312332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −−−++=           = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A
METODE SARRUSMETODE SARRUS 31313131  Contoh :  Nilai Determinan dicari menggunakan metode Sarrus det(A) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1 ·2) –(-2 ·3 ·0)-(2 ·-1 ·-1) = 2 +12+0+6-0-2 = 18           − − −− = 102 311 322 A
MINORMINOR 32323232  Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.  Dinotasikan dengan Mij  Contoh Minor dari elemen a₁₁           = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 3332 2322 11 aa aa M =               = 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa A 444342 343332 242322 11 aaa aaa aaa M =
MINORMINOR 33333333  Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3)
KOFAKTOR MATRIKSKOFAKTOR MATRIKS 34343434  Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan  Contoh : Kofaktor dari elemen a11 2323 32 23 )1( MMc −=−= +
TEOREMA LAPLACETEOREMA LAPLACE 35353535  Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya
TEOREMA LAPLACETEOREMA LAPLACE 36363636 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris  Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3  Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama |A|           = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11 131312121111 131312121111 aa aa a aa aa a aa aa a MaMaMa cacaca +−= +−= ++=
TEOREMA LAPLACETEOREMA LAPLACE 37373737  Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris kedua |A|  Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris ketiga |A| 3231 1211 23 3331 1311 22 3332 1312 21 232322222121 232322222121 aa aa a aa aa a aa aa a MaMaMa cacaca +−= +−= ++= 2221 1211 33 2321 1311 32 2322 1312 31 333332323131 333332323131 aa aa a aa aa a aa aa a MaMaMa cacaca +−= +−= ++=
TEOREMA LAPLACETEOREMA LAPLACE 38383838 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom  Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3  Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama |A|           = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 2322 1312 31 3332 1312 21 3332 2322 11 313121211111 313121211111 aa aa a aa aa a aa aa a MaMaMa cacaca +−= +−= ++=
TEOREMA LAPLACETEOREMA LAPLACE 39393939  Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom kedua |A|  Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom ketiga |A| 2321 1311 32 3331 1311 22 3331 2321 12 323222221212 323222221212 aa aa a aa aa a aa aa a MaMaMa cacaca +−= +−= ++= 2221 1211 33 3231 1211 23 3231 2221 13 333323231313 333323231313 aa aa a aa aa a aa aa a MaMaMa cacaca +−= +−= ++=
DET MATRIKS SEGITIGADET MATRIKS SEGITIGA 40404040  Jika A adalah matriks segitiga bujur sangkar berupa segitiga atas atau segitiga bawah maka nilai det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut  Contoh dstaaaA ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 332211)det( 1296496)3(2)det( −=⋅⋅⋅−⋅=A
TRANSPOSE MATRIKS 41414141  Jika A adalah suatu matriks m x n, maka tranpose A dinyatakan oleh Aͭ dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya.  Contoh : matriks A : berordo 2 x 3 transposenya : berordo 3 x 2       = 314 131 A           = 31 13 41 t A
TRANSPOSE MATRIKS 42424242 Beberapa Sifat Matriks Transpose : TT TTT TT TTT kAkA ABAB AA BABA = = = +=+ ).(4 ).(3 ).(2 ).(1
TRANSPOSE MATRIKS 43434343 Pembuktian aturan no1 :       +++ +++ =      +      =+ 232322222121 131312121111 232221 131211 232221 131211 bababa bababa bbb bbb aaa aaa BA       = 232221 131211 bbb bbb B      = 232221 131211 aaa aaa A           = 2313 2212 2111 aa aa aa AT           = 2313 2212 2111 bb bb bb BT           ++ ++ ++ =           +           =+ 23231313 22221212 21211111 2313 2212 2111 2313 2212 2111 baba baba baba bb bb bb aa aa aa BA TT TERBUKTI           ++ ++ ++ =+ 23231313 22221212 21211111 )( baba baba baba BA T
TRANSPOSE MATRIKS 44444444 Pembuktian aturan no 2 :       = 232221 131211 aaa aaa A           = 2313 2212 2111 aa aa aa AT       =           = 232221 131211 2313 2212 2111 )( aaa aaa aa aa aa A T TT TERBUKTI
MATRIKS SIMETRI 45454545 Sebuah matriks dikatakan simetri apabila hasil dari transpose matriks A sama dengan matriks A itu sendiri. Contoh : 1. 2.           =           = 002 003 231 002 003 231 T A A       =       = 21 12 21 12 T B B AAT =
INVERS MATRIKSINVERS MATRIKS 46464646 1− A IAA =−1       = dc ba A       − − − =− ac bd bcad A 11
INVERS MATRIXINVERS MATRIX 47474747  Langkah-langkah untuk mencari invers matriks M yang berordo 3x3 adalah : - Cari determinan dari M - Transpose matriks M sehingga menjadi - Cari adjoin matriks - Gunakan rumus T M ))(( )det( 11 Madjoin M M =−
INVERS MATRIXINVERS MATRIX 48484848  Contoh Soal : - Cari Determinannya : det(M) = 1(0-24)-2(0-20)+3(0-5) = 1 - Transpose matriks M           = 065 410 321 M           = 043 612 501 T M
INVERS MATRIXINVERS MATRIX 49494949 - Temukan matriks kofaktor dengan menghitung minor- minor matriksnya - Hasilnya : ==> ==>           −− −− −− 145 41520 51824           +−+ −+− +−+           − −− − 145 41520 51824
INVERS MATRIXINVERS MATRIX 50505050  Hasil Adjoinnya :  Hasil akhir           − −− − =           − −− − =− 145 41520 51824 145 41520 51824 1 11 M           − −− − 145 41520 51824
REFERENSIREFERENSI 51515151 1. Discrete Mathematics and its Applications; Kenneth H. Rosen; McGraw Hill; sixth edition; 2007 2. http://p4tkmatematika.org/ 3. http://www.idomaths.com/id/matriks.php

Recommended

PPT Matriks
PPT MatriksPPT Matriks
PPT MatriksUlfa Nur Afifah
 
PPT MATERI MATRIKS
PPT MATERI MATRIKSPPT MATERI MATRIKS
PPT MATERI MATRIKSNurdini El Munawarah
 
19. Soal-soal Matriks
19. Soal-soal Matriks19. Soal-soal Matriks
19. Soal-soal MatriksNaufal Irsyad Arzada
 
21. soal soal transformasi geometri
21. soal soal transformasi geometri21. soal soal transformasi geometri
21. soal soal transformasi geometriDian Fery Irawan
 
BAB 1 Transformasi
BAB 1 Transformasi BAB 1 Transformasi
BAB 1 Transformasi Nia Matus
 
Determinan dan Invers Matriks
Determinan dan Invers MatriksDeterminan dan Invers Matriks
Determinan dan Invers MatriksAnnisa Fahmiati Nurzaman
 
Menyelesaikan persamaan logaritma
Menyelesaikan persamaan logaritmaMenyelesaikan persamaan logaritma
Menyelesaikan persamaan logaritmavionk
 
Matriks SMK/SMA kelas XI
Matriks SMK/SMA kelas XIMatriks SMK/SMA kelas XI
Matriks SMK/SMA kelas XIRidho Pratama
 

Recommended

PPT Matriks
PPT MatriksPPT Matriks
PPT MatriksUlfa Nur Afifah
 
PPT MATERI MATRIKS
PPT MATERI MATRIKSPPT MATERI MATRIKS
PPT MATERI MATRIKSNurdini El Munawarah
 
19. Soal-soal Matriks
19. Soal-soal Matriks19. Soal-soal Matriks
19. Soal-soal MatriksNaufal Irsyad Arzada
 
21. soal soal transformasi geometri
21. soal soal transformasi geometri21. soal soal transformasi geometri
21. soal soal transformasi geometriDian Fery Irawan
 
BAB 1 Transformasi
BAB 1 Transformasi BAB 1 Transformasi
BAB 1 Transformasi Nia Matus
 
Determinan dan Invers Matriks
Determinan dan Invers MatriksDeterminan dan Invers Matriks
Determinan dan Invers MatriksAnnisa Fahmiati Nurzaman
 
Menyelesaikan persamaan logaritma
Menyelesaikan persamaan logaritmaMenyelesaikan persamaan logaritma
Menyelesaikan persamaan logaritmavionk
 
Matriks SMK/SMA kelas XI
Matriks SMK/SMA kelas XIMatriks SMK/SMA kelas XI
Matriks SMK/SMA kelas XIRidho Pratama
 
contoh soal latihan matematika relasi dan fungsi kelas 8 smp
contoh soal latihan matematika relasi dan fungsi kelas 8 smpcontoh soal latihan matematika relasi dan fungsi kelas 8 smp
contoh soal latihan matematika relasi dan fungsi kelas 8 smpHerizal Arman
 
Soal integral dan pembahasan
Soal integral dan pembahasanSoal integral dan pembahasan
Soal integral dan pembahasanFirda Fitri Annisa
 
131943605 penerapan-komposisi-fungsi-dan-invers-dalam-kehidupan-sehari-hari
131943605 penerapan-komposisi-fungsi-dan-invers-dalam-kehidupan-sehari-hari131943605 penerapan-komposisi-fungsi-dan-invers-dalam-kehidupan-sehari-hari
131943605 penerapan-komposisi-fungsi-dan-invers-dalam-kehidupan-sehari-hariAndikAdiCahyono
 
Ulangan Harian Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
Ulangan Harian Bilangan Berpangkat dan Bentuk AkarUlangan Harian Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
Ulangan Harian Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akarika rani
 
Turunan trigonometri
Turunan trigonometriTurunan trigonometri
Turunan trigonometriEko Supriyadi
 
Contoh Soal Fungsi (Operasi Aljabar dan Komposisi Fungsi)
Contoh Soal Fungsi (Operasi Aljabar dan Komposisi Fungsi)Contoh Soal Fungsi (Operasi Aljabar dan Komposisi Fungsi)
Contoh Soal Fungsi (Operasi Aljabar dan Komposisi Fungsi)siska sri asali
 
Rangkuman Rumus Parabola, Elips, Hiperbola
Rangkuman Rumus Parabola, Elips, HiperbolaRangkuman Rumus Parabola, Elips, Hiperbola
Rangkuman Rumus Parabola, Elips, HiperbolaSafira APM
 
Matriks elementer
Matriks elementerMatriks elementer
Matriks elementerkartika amelia
 
SOAL UAS GANJIL MATEMATIKA SMP KELAS VII 2015/2016
SOAL UAS GANJIL MATEMATIKA SMP KELAS VII 2015/2016SOAL UAS GANJIL MATEMATIKA SMP KELAS VII 2015/2016
SOAL UAS GANJIL MATEMATIKA SMP KELAS VII 2015/2016Budi Haryono
 
Lingkaran(PPT)
Lingkaran(PPT)Lingkaran(PPT)
Lingkaran(PPT)Mathbycarl
 
Fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsi
Fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsiFungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsi
Fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsiksaaann
 
Matriks
MatriksMatriks
MatriksNASuprawoto Sunardjo
 
Ppt matriks
Ppt matriksPpt matriks
Ppt matriksNurdini El Munawarah
 
matematika geodesi-transformasi linier
matematika geodesi-transformasi liniermatematika geodesi-transformasi linier
matematika geodesi-transformasi linieraulia rachmawati
 
Power point - Barisan dan deret aritmatika
Power point - Barisan dan deret aritmatikaPower point - Barisan dan deret aritmatika
Power point - Barisan dan deret aritmatikawahyu adi negara
 
PPT Matriks
PPT MatriksPPT Matriks
PPT MatriksRyaAgustini
 
Latihan soal relasi dan fungsi
Latihan soal relasi dan fungsiLatihan soal relasi dan fungsi
Latihan soal relasi dan fungsiTris Yubrom
 
Transformasi elementer
Transformasi elementerTransformasi elementer
Transformasi elementerPenny Charity Lumbanraja
 
18. soal soal notasi sigma barisan- deret dan induksi matematika
18. soal soal notasi sigma barisan- deret dan induksi matematika18. soal soal notasi sigma barisan- deret dan induksi matematika
18. soal soal notasi sigma barisan- deret dan induksi matematikaDian Fery Irawan
 
Kemonotonan fungsi
Kemonotonan fungsiKemonotonan fungsi
Kemonotonan fungsirickyandreas
 
Kelas xii bab 3
Kelas xii bab 3Kelas xii bab 3
Kelas xii bab 3Hidayati Rusnedy
 
Determinan dan invers matriks
Determinan dan invers matriks Determinan dan invers matriks
Determinan dan invers matriks Florensius Putra
 

More Related Content

What's hot

contoh soal latihan matematika relasi dan fungsi kelas 8 smp
contoh soal latihan matematika relasi dan fungsi kelas 8 smpcontoh soal latihan matematika relasi dan fungsi kelas 8 smp
contoh soal latihan matematika relasi dan fungsi kelas 8 smpHerizal Arman
 
131943605 penerapan-komposisi-fungsi-dan-invers-dalam-kehidupan-sehari-hari
131943605 penerapan-komposisi-fungsi-dan-invers-dalam-kehidupan-sehari-hari131943605 penerapan-komposisi-fungsi-dan-invers-dalam-kehidupan-sehari-hari
131943605 penerapan-komposisi-fungsi-dan-invers-dalam-kehidupan-sehari-hariAndikAdiCahyono
 
Ulangan Harian Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
Ulangan Harian Bilangan Berpangkat dan Bentuk AkarUlangan Harian Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
Ulangan Harian Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akarika rani
 
Turunan trigonometri
Turunan trigonometriTurunan trigonometri
Turunan trigonometriEko Supriyadi
 
Contoh Soal Fungsi (Operasi Aljabar dan Komposisi Fungsi)
Contoh Soal Fungsi (Operasi Aljabar dan Komposisi Fungsi)Contoh Soal Fungsi (Operasi Aljabar dan Komposisi Fungsi)
Contoh Soal Fungsi (Operasi Aljabar dan Komposisi Fungsi)siska sri asali
 
Rangkuman Rumus Parabola, Elips, Hiperbola
Rangkuman Rumus Parabola, Elips, HiperbolaRangkuman Rumus Parabola, Elips, Hiperbola
Rangkuman Rumus Parabola, Elips, HiperbolaSafira APM
 
SOAL UAS GANJIL MATEMATIKA SMP KELAS VII 2015/2016
SOAL UAS GANJIL MATEMATIKA SMP KELAS VII 2015/2016SOAL UAS GANJIL MATEMATIKA SMP KELAS VII 2015/2016
SOAL UAS GANJIL MATEMATIKA SMP KELAS VII 2015/2016Budi Haryono
 
Lingkaran(PPT)
Lingkaran(PPT)Lingkaran(PPT)
Lingkaran(PPT)Mathbycarl
 
Fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsi
Fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsiFungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsi
Fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsiksaaann
 
matematika geodesi-transformasi linier
matematika geodesi-transformasi liniermatematika geodesi-transformasi linier
matematika geodesi-transformasi linieraulia rachmawati
 
Power point - Barisan dan deret aritmatika
Power point - Barisan dan deret aritmatikaPower point - Barisan dan deret aritmatika
Power point - Barisan dan deret aritmatikawahyu adi negara
 
Latihan soal relasi dan fungsi
Latihan soal relasi dan fungsiLatihan soal relasi dan fungsi
Latihan soal relasi dan fungsiTris Yubrom
 
18. soal soal notasi sigma barisan- deret dan induksi matematika
18. soal soal notasi sigma barisan- deret dan induksi matematika18. soal soal notasi sigma barisan- deret dan induksi matematika
18. soal soal notasi sigma barisan- deret dan induksi matematikaDian Fery Irawan
 
Kemonotonan fungsi
Kemonotonan fungsiKemonotonan fungsi
Kemonotonan fungsirickyandreas
 

What's hot (20)

contoh soal latihan matematika relasi dan fungsi kelas 8 smp
contoh soal latihan matematika relasi dan fungsi kelas 8 smpcontoh soal latihan matematika relasi dan fungsi kelas 8 smp
contoh soal latihan matematika relasi dan fungsi kelas 8 smp
 
Soal integral dan pembahasan
Soal integral dan pembahasanSoal integral dan pembahasan
Soal integral dan pembahasan
 
131943605 penerapan-komposisi-fungsi-dan-invers-dalam-kehidupan-sehari-hari
131943605 penerapan-komposisi-fungsi-dan-invers-dalam-kehidupan-sehari-hari131943605 penerapan-komposisi-fungsi-dan-invers-dalam-kehidupan-sehari-hari
131943605 penerapan-komposisi-fungsi-dan-invers-dalam-kehidupan-sehari-hari
 
Ulangan Harian Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
Ulangan Harian Bilangan Berpangkat dan Bentuk AkarUlangan Harian Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
Ulangan Harian Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
 
Turunan trigonometri
Turunan trigonometriTurunan trigonometri
Turunan trigonometri
 
Contoh Soal Fungsi (Operasi Aljabar dan Komposisi Fungsi)
Contoh Soal Fungsi (Operasi Aljabar dan Komposisi Fungsi)Contoh Soal Fungsi (Operasi Aljabar dan Komposisi Fungsi)
Contoh Soal Fungsi (Operasi Aljabar dan Komposisi Fungsi)
 
Rangkuman Rumus Parabola, Elips, Hiperbola
Rangkuman Rumus Parabola, Elips, HiperbolaRangkuman Rumus Parabola, Elips, Hiperbola
Rangkuman Rumus Parabola, Elips, Hiperbola
 
Matriks elementer
Matriks elementerMatriks elementer
Matriks elementer
 
SOAL UAS GANJIL MATEMATIKA SMP KELAS VII 2015/2016
SOAL UAS GANJIL MATEMATIKA SMP KELAS VII 2015/2016SOAL UAS GANJIL MATEMATIKA SMP KELAS VII 2015/2016
SOAL UAS GANJIL MATEMATIKA SMP KELAS VII 2015/2016
 
Lingkaran(PPT)
Lingkaran(PPT)Lingkaran(PPT)
Lingkaran(PPT)
 
Fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsi
Fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsiFungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsi
Fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsi
 
Matriks
MatriksMatriks
Matriks
 
Ppt matriks
Ppt matriksPpt matriks
Ppt matriks
 
matematika geodesi-transformasi linier
matematika geodesi-transformasi liniermatematika geodesi-transformasi linier
matematika geodesi-transformasi linier
 
Power point - Barisan dan deret aritmatika
Power point - Barisan dan deret aritmatikaPower point - Barisan dan deret aritmatika
Power point - Barisan dan deret aritmatika
 
PPT Matriks
PPT MatriksPPT Matriks
PPT Matriks
 
Latihan soal relasi dan fungsi
Latihan soal relasi dan fungsiLatihan soal relasi dan fungsi
Latihan soal relasi dan fungsi
 
Transformasi elementer
Transformasi elementerTransformasi elementer
Transformasi elementer
 
18. soal soal notasi sigma barisan- deret dan induksi matematika
18. soal soal notasi sigma barisan- deret dan induksi matematika18. soal soal notasi sigma barisan- deret dan induksi matematika
18. soal soal notasi sigma barisan- deret dan induksi matematika
 
Kemonotonan fungsi
Kemonotonan fungsiKemonotonan fungsi
Kemonotonan fungsi
 

Viewers also liked

Determinan dan invers matriks
Determinan dan invers matriks Determinan dan invers matriks
Determinan dan invers matriks Florensius Putra
 
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi MatriksPembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi MatriksIpit Sabrina
 
Determinan dan invers matriks
Determinan dan invers matriksDeterminan dan invers matriks
Determinan dan invers matriksSMKN 9 Bandung
 
Matrix - Invers, tranpose, determinant. (2x2, 3x3) XII Science LN
Matrix - Invers, tranpose, determinant. (2x2, 3x3) XII Science LNMatrix - Invers, tranpose, determinant. (2x2, 3x3) XII Science LN
Matrix - Invers, tranpose, determinant. (2x2, 3x3) XII Science LNMuhammad Yossi
 

Viewers also liked (6)

Kelas xii bab 3
Kelas xii bab 3Kelas xii bab 3
Kelas xii bab 3
 
Determinan dan invers matriks
Determinan dan invers matriks Determinan dan invers matriks
Determinan dan invers matriks
 
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi MatriksPembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks
 
Determinan dan invers matriks
Determinan dan invers matriksDeterminan dan invers matriks
Determinan dan invers matriks
 
Matrix - Invers, tranpose, determinant. (2x2, 3x3) XII Science LN
Matrix - Invers, tranpose, determinant. (2x2, 3x3) XII Science LNMatrix - Invers, tranpose, determinant. (2x2, 3x3) XII Science LN
Matrix - Invers, tranpose, determinant. (2x2, 3x3) XII Science LN
 
Matematika matriks
Matematika matriksMatematika matriks
Matematika matriks
 

Similar to Determinan dan Invers

Cal2 1 matriks
Cal2 1 matriksCal2 1 matriks
Cal2 1 matriksTri Satya
 
PPT Matwa Bab 3 Matriks.pptx
PPT Matwa Bab 3 Matriks.pptxPPT Matwa Bab 3 Matriks.pptx
PPT Matwa Bab 3 Matriks.pptxFirdaAulia31
 
Kelas xii bab 3
Kelas xii bab 3Kelas xii bab 3
Kelas xii bab 3pitrahdewi
 
Kuliah_1 Matriks Matematika Ekonomi I
Kuliah_1 Matriks Matematika Ekonomi IKuliah_1 Matriks Matematika Ekonomi I
Kuliah_1 Matriks Matematika Ekonomi IMukhrizal Effendi
 
Notasi dan Operasi Dasar Matrik - Pertemuan 2
Notasi dan Operasi Dasar Matrik - Pertemuan 2Notasi dan Operasi Dasar Matrik - Pertemuan 2
Notasi dan Operasi Dasar Matrik - Pertemuan 2ahmad haidaroh
 
Pt 2 matriks1-rev
Pt 2 matriks1-revPt 2 matriks1-rev
Pt 2 matriks1-revlecturer
 
Tugas sejarah Moh Nurahmat Hidayatul Karim.pdf
Tugas sejarah Moh Nurahmat Hidayatul Karim.pdfTugas sejarah Moh Nurahmat Hidayatul Karim.pdf
Tugas sejarah Moh Nurahmat Hidayatul Karim.pdfmohnurahmathidayatul
 
1. Matriks.ppt
1. Matriks.ppt1. Matriks.ppt
1. Matriks.pptmulinda3
 

Similar to Determinan dan Invers (20)

matriks_2.ppt
matriks_2.pptmatriks_2.ppt
matriks_2.ppt
 
Ppt matriks
Ppt matriksPpt matriks
Ppt matriks
 
Cal2 1 matriks
Cal2 1 matriksCal2 1 matriks
Cal2 1 matriks
 
1. Matriks.ppt
1. Matriks.ppt1. Matriks.ppt
1. Matriks.ppt
 
PPT Matwa Bab 3 Matriks.pptx
PPT Matwa Bab 3 Matriks.pptxPPT Matwa Bab 3 Matriks.pptx
PPT Matwa Bab 3 Matriks.pptx
 
Kelas xii bab 3
Kelas xii bab 3Kelas xii bab 3
Kelas xii bab 3
 
Kelas xii bab 3
Kelas xii bab 3Kelas xii bab 3
Kelas xii bab 3
 
Kelas xii bab 3
Kelas xii bab 3Kelas xii bab 3
Kelas xii bab 3
 
ppt-matriks.ppt
ppt-matriks.pptppt-matriks.ppt
ppt-matriks.ppt
 
ppt-matriks (2).ppt
ppt-matriks (2).pptppt-matriks (2).ppt
ppt-matriks (2).ppt
 
Ppt matriks
Ppt matriksPpt matriks
Ppt matriks
 
Kuliah_1 Matriks Matematika Ekonomi I
Kuliah_1 Matriks Matematika Ekonomi IKuliah_1 Matriks Matematika Ekonomi I
Kuliah_1 Matriks Matematika Ekonomi I
 
1. Matriks.ppt
1. Matriks.ppt1. Matriks.ppt
1. Matriks.ppt
 
Notasi dan Operasi Dasar Matrik - Pertemuan 2
Notasi dan Operasi Dasar Matrik - Pertemuan 2Notasi dan Operasi Dasar Matrik - Pertemuan 2
Notasi dan Operasi Dasar Matrik - Pertemuan 2
 
Pt 2 matriks1-rev
Pt 2 matriks1-revPt 2 matriks1-rev
Pt 2 matriks1-rev
 
Tugas sejarah Moh Nurahmat Hidayatul Karim.pdf
Tugas sejarah Moh Nurahmat Hidayatul Karim.pdfTugas sejarah Moh Nurahmat Hidayatul Karim.pdf
Tugas sejarah Moh Nurahmat Hidayatul Karim.pdf
 
Matriks
MatriksMatriks
Matriks
 
MATRIKS NEW.pptx
MATRIKS NEW.pptxMATRIKS NEW.pptx
MATRIKS NEW.pptx
 
1. Matriks.ppt
1. Matriks.ppt1. Matriks.ppt
1. Matriks.ppt
 
1. Matriks.ppt
1. Matriks.ppt1. Matriks.ppt
1. Matriks.ppt
 

Determinan dan Invers

  • 1. SMK BINTANG NUSANTARA SCHOOL Kab.Tangerang Ridho Hadi Saputro MATRIKS
  • 2. DAFTAR SLIDEDAFTAR SLIDE Operasi Matriks Jenis-Jenis Matriks Determinan Matriks 2222 Inverse Matriks
  • 3. DEFINISI MATRIKSDEFINISI MATRIKS 3333 kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung. Apakah yang dimaksud dengan Matriks ?
  • 4. NOTASI MATRIKSNOTASI MATRIKS 4444  Nama matriks menggunakan huruf besar  Anggota-anggota matriks dapat berupa huruf kecil maupun angka  Digunakan kurung biasa atau kurung siku  Ordo matriks atau ukuran matriks merupakan banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut.       − = 675 231 A           = ihg fed cba H
  • 5. NOTASI MATRIKSNOTASI MATRIKS 5555  Jadi, suatu matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks berordo atau berukuran m x n.  Memudahkan menunjuk anggota suatu matriks Notasi A = (aij)                 mnmmm n n n aaaa aaaa aaaa aaaa ... ............... ... ... ... 321 3333231 2232221 1131211 A = Dengan i = 1,2,...,m j = 1,2,...,n
  • 6. MATRIKSMATRIKS 6666  Contoh : Matriks A merupakan matriks berordo 4x2  Bilangan-bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur.             − = 16 12 13 41 A
  • 8. MATRIKS BARIS DAN KOLOMMATRIKS BARIS DAN KOLOM 8888  Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu baris  Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. [ ]4121=C           = 4 3 1 E
  • 9. MATRIKS A = BMATRIKS A = B 9999  Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (A = B) apabila A dan B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama (berordo sama) dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama.  aij = bij dimana - aij = elemen matriks A dari baris i dan kolom j - bij = elemen matriks B dari baris i dan kolom j  A = B dan  A ≠ B dan       = 10 42 A       = 10 42 B       = 510 242 A       = 13 41 B
  • 10. PENJUMLAHAN MATRIKS 10101010  Apabila A dan B merupakan dua matriks yang ukurannya sama, maka hasil penjumlahan (A + B) adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.  Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan. dan           = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A           = 333231 232221 131211 bbb bbb bbb B           +++ +++ +++ =+ 333332323131 232322222121 131312121111 bababa bababa bababa BA
  • 11. PENJUMLAHAN MATRIKS 11111111  Contoh Soal           − −= 22 31 24 A           − − = 21 12 43 B           −−+ ++− −+ =+ 2212 1321 4234 BA           − − =+ 43 41 27 BA
  • 12. PENGURANGAN MATRIKS 12121212  A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama, maka A-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.  Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat dikurangkan. dan           = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A           = 333231 232221 131211 bbb bbb bbb B           −−− −−− −−− =− 333332323131 232322222121 131312121111 bababa bababa bababa BA
  • 13. PENGURANGAN MATRIKS 13131313  Contoh :           − − = 043 322 101 A           −= 243 421 111 B           −−− −−−+ −−−− =− 204433 432212 111011 BA           − − −− =− 200 703 210 BA
  • 14. PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR 14141414 Jika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(aij ) maka matriks kA=(kaij ) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. [C]=k[A]=[A]k       = 15 83 A       = 1*45*4 8*43*4 4A       = 420 3212 4A
  • 15. PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR 15151515 Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar : k(B+C) = kB + kC k(B-C) = kB-kC (k1+k2)C = k1C + k2C (k1-k2)C = k1C – k2C (k1.k2)C = k1(k2C)
  • 16. PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR 16161616 Contoh : dengan k = 2, maka K(A+B) = 2(A+B) = 2A+2B       − = 12 10 A       = 11 43 B       =      =      +      − =+ 06 106 03 53 *2) 11 43 12 10 (*2)(2 BA       =      +      − =      +      − =+ 06 106 22 86 24 20 11 43 *2 12 10 *222 BA TERBUKTI
  • 17. PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR 17171717 Contoh : dengan k1 = 2 dan k2 = 3, maka (k1+k2)C = k1.C + k2.C       − = 12 11 C       − =      − =      − +=+ 510 55 12 11 *5 12 11 *)32(*)( 21 Ckk TERBUKTI       − =      − +      − =      − +      − =+ 510 55 36 33 24 22 12 11 *)3( 12 11 *)2()**( 21 CkCk
  • 18. PERKALIAN MATRIKSPERKALIAN MATRIKS 18181818  Perkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidak bersifat komutatif.  Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.  Jika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp maka hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij ) berukuran mxp dimana
  • 19. PERKALIAN MATRIKSPERKALIAN MATRIKS 19191919  Contoh :           = 0 1 3 B [ ] [ ] [ ]11)0*1()1*2()3*3( 0 1 3 *123* =++=           =BA [ ]123=A [ ]           =           =           = 000 123 369 1*02*03*0 1*12*13*1 1*32*33*3 123* 0 1 3 * AB
  • 20. PERKALIAN MATRIKSPERKALIAN MATRIKS 20202020  Apabila A merupakan suatu matriks persegi, maka A² = A.A ; A³=A².A dan seterusnya  Apabila AB = BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=C (tidak berlaku sifat penghapusan)  Apabila AB = AC belum tentu B = C  Apabila AB = 0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau B=0  Terdapat beberapa hukum perkalian matriks : 1. A(BC) = (AB)C 2. A(B+C) = AB+AC 3. (B+C)A = BA+CA 4. A(B-C)=AB-AC 5. (B-C)A = BA-CA 6. A(BC) = (aB)C= B(aC) 7. AI = IA = A
  • 21. PERPANGKATAN MATRIKSPERPANGKATAN MATRIKS 21212121 Sifat perpangkatan pada matriks sama seperti sifat perpangkatan pada bilangan-bilangan untuk setiap a bilangan riil, dimana berlaku : A2 = A A A3 = A2 A A4 = A3 A A5 = A4 A; dan seterusnya
  • 22. PERPANGKATAN MATRIKSPERPANGKATAN MATRIKS 22222222 Tentukan hasil A² dan A³      − = 02 11 A       − − =     −      − == 22 13 02 11 02 112 AxAA       − − =      − −      − == 26 35 22 13 02 1123 AxAA
  • 23. PERPANGKATAN MATRIKSPERPANGKATAN MATRIKS 23232323 Tentukan hasil 2A² + 3A³      − = 02 11 A       − − =      − − ⋅= 44 26 22 13 22 2 A       − − =      − − ⋅= 66 915 22 35 33 3 A       − − =      − − +      − − =+ 1010 79 66 915 44 26 32 32 AA
  • 24. JENIS –JENIS MATRIKSJENIS –JENIS MATRIKS 24242424  Matriks bujursangkar (persegi) adalah matriks yang berukuran n x n  Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol Sifat-sifat dari matriks nol : -A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0 -A*0=0, begitu juga 0*A=0.       = 13 41 A           = 00 00 00 23xO
  • 25. JENIS –JENIS MATRIKSJENIS –JENIS MATRIKS 25252525  Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan sebagai D. Contoh :  Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama           = 500 020 001 33xD           = 500 050 005 33xD
  • 26. JENIS –JENIS MATRIKSJENIS –JENIS MATRIKS 26262626  Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai 1. Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A I*A=A  Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol  Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol           = 100 010 001 D           = 600 210 542 A           = 152 043 001 B
  • 27. DETERMINAN MATRIKSDETERMINAN MATRIKS 27272727  Setiap matriks persegi atau bujur sangkar memiliki nilai determinan  Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar.  Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matriks tersebut disebut matriks singular.
  • 28. NOTASI DETERMINANNOTASI DETERMINAN 28282828  Misalkan matriks A merupakan sebuah matriks bujur sangkar  Fungsi determinan dinyatakan oleh det (A)  Jumlah det(A) disebut determinan A  det(A) sering dinotasikan |A|
  • 29. NOTASI DETERMINANNOTASI DETERMINAN 29292929  Pada matriks 2x2 cara menghitung nilai determinannya adalah :  Contoh :       = 2221 1211 aa aa A 21122211)det( aaaaA −=       = 31 52 A 156)det( =−=A 2221 1211 )det( aa aa A = 31 52 )det( =A
  • 30. METODE SARRUSMETODE SARRUS 30303030  Pada matriks 3x3 cara menghitung nilai determinannya adalah menggunakan Metode Sarrus  Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3 122133112332132231322113312312332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −−−++=           = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A
  • 31. METODE SARRUSMETODE SARRUS 31313131  Contoh :  Nilai Determinan dicari menggunakan metode Sarrus det(A) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1 ·2) –(-2 ·3 ·0)-(2 ·-1 ·-1) = 2 +12+0+6-0-2 = 18           − − −− = 102 311 322 A
  • 32. MINORMINOR 32323232  Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.  Dinotasikan dengan Mij  Contoh Minor dari elemen a₁₁           = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 3332 2322 11 aa aa M =               = 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa A 444342 343332 242322 11 aaa aaa aaa M =
  • 34. KOFAKTOR MATRIKSKOFAKTOR MATRIKS 34343434  Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan  Contoh : Kofaktor dari elemen a11 2323 32 23 )1( MMc −=−= +
  • 35. TEOREMA LAPLACETEOREMA LAPLACE 35353535  Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya
  • 36. TEOREMA LAPLACETEOREMA LAPLACE 36363636 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris  Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3  Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama |A|           = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11 131312121111 131312121111 aa aa a aa aa a aa aa a MaMaMa cacaca +−= +−= ++=
  • 37. TEOREMA LAPLACETEOREMA LAPLACE 37373737  Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris kedua |A|  Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris ketiga |A| 3231 1211 23 3331 1311 22 3332 1312 21 232322222121 232322222121 aa aa a aa aa a aa aa a MaMaMa cacaca +−= +−= ++= 2221 1211 33 2321 1311 32 2322 1312 31 333332323131 333332323131 aa aa a aa aa a aa aa a MaMaMa cacaca +−= +−= ++=
  • 38. TEOREMA LAPLACETEOREMA LAPLACE 38383838 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom  Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3  Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama |A|           = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 2322 1312 31 3332 1312 21 3332 2322 11 313121211111 313121211111 aa aa a aa aa a aa aa a MaMaMa cacaca +−= +−= ++=
  • 39. TEOREMA LAPLACETEOREMA LAPLACE 39393939  Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom kedua |A|  Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom ketiga |A| 2321 1311 32 3331 1311 22 3331 2321 12 323222221212 323222221212 aa aa a aa aa a aa aa a MaMaMa cacaca +−= +−= ++= 2221 1211 33 3231 1211 23 3231 2221 13 333323231313 333323231313 aa aa a aa aa a aa aa a MaMaMa cacaca +−= +−= ++=
  • 40. DET MATRIKS SEGITIGADET MATRIKS SEGITIGA 40404040  Jika A adalah matriks segitiga bujur sangkar berupa segitiga atas atau segitiga bawah maka nilai det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut  Contoh dstaaaA ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 332211)det( 1296496)3(2)det( −=⋅⋅⋅−⋅=A
  • 41. TRANSPOSE MATRIKS 41414141  Jika A adalah suatu matriks m x n, maka tranpose A dinyatakan oleh Aͭ dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya.  Contoh : matriks A : berordo 2 x 3 transposenya : berordo 3 x 2       = 314 131 A           = 31 13 41 t A
  • 42. TRANSPOSE MATRIKS 42424242 Beberapa Sifat Matriks Transpose : TT TTT TT TTT kAkA ABAB AA BABA = = = +=+ ).(4 ).(3 ).(2 ).(1
  • 43. TRANSPOSE MATRIKS 43434343 Pembuktian aturan no1 :       +++ +++ =      +      =+ 232322222121 131312121111 232221 131211 232221 131211 bababa bababa bbb bbb aaa aaa BA       = 232221 131211 bbb bbb B      = 232221 131211 aaa aaa A           = 2313 2212 2111 aa aa aa AT           = 2313 2212 2111 bb bb bb BT           ++ ++ ++ =           +           =+ 23231313 22221212 21211111 2313 2212 2111 2313 2212 2111 baba baba baba bb bb bb aa aa aa BA TT TERBUKTI           ++ ++ ++ =+ 23231313 22221212 21211111 )( baba baba baba BA T
  • 44. TRANSPOSE MATRIKS 44444444 Pembuktian aturan no 2 :       = 232221 131211 aaa aaa A           = 2313 2212 2111 aa aa aa AT       =           = 232221 131211 2313 2212 2111 )( aaa aaa aa aa aa A T TT TERBUKTI
  • 45. MATRIKS SIMETRI 45454545 Sebuah matriks dikatakan simetri apabila hasil dari transpose matriks A sama dengan matriks A itu sendiri. Contoh : 1. 2.           =           = 002 003 231 002 003 231 T A A       =       = 21 12 21 12 T B B AAT =
  • 46. INVERS MATRIKSINVERS MATRIKS 46464646 1− A IAA =−1       = dc ba A       − − − =− ac bd bcad A 11
  • 47. INVERS MATRIXINVERS MATRIX 47474747  Langkah-langkah untuk mencari invers matriks M yang berordo 3x3 adalah : - Cari determinan dari M - Transpose matriks M sehingga menjadi - Cari adjoin matriks - Gunakan rumus T M ))(( )det( 11 Madjoin M M =−
  • 48. INVERS MATRIXINVERS MATRIX 48484848  Contoh Soal : - Cari Determinannya : det(M) = 1(0-24)-2(0-20)+3(0-5) = 1 - Transpose matriks M           = 065 410 321 M           = 043 612 501 T M
  • 49. INVERS MATRIXINVERS MATRIX 49494949 - Temukan matriks kofaktor dengan menghitung minor- minor matriksnya - Hasilnya : ==> ==>           −− −− −− 145 41520 51824           +−+ −+− +−+           − −− − 145 41520 51824
  • 50. INVERS MATRIXINVERS MATRIX 50505050  Hasil Adjoinnya :  Hasil akhir           − −− − =           − −− − =− 145 41520 51824 145 41520 51824 1 11 M           − −− − 145 41520 51824
  • 51. REFERENSIREFERENSI 51515151 1. Discrete Mathematics and its Applications; Kenneth H. Rosen; McGraw Hill; sixth edition; 2007 2. http://p4tkmatematika.org/ 3. http://www.idomaths.com/id/matriks.php

Editor's Notes

  1. Jawaban : a. D = {x | -5 < x < 5, x E N} D= {1,2,3,4} b. B = {x | x | -5 < x < 5, x E Z} D= {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 2. a. Sama b. Ekivalen
  2. Jawaban : a. D = {x | -5 < x < 5, x E N} D= {1,2,3,4} b. B = {x | x | -5 < x < 5, x E Z} D= {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 2. a. Sama b. Ekivalen
  3. Jawaban : a. D = {x | -5 < x < 5, x E N} D= {1,2,3,4} b. B = {x | x | -5 < x < 5, x E Z} D= {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 2. a. Sama b. Ekivalen
  4. Jawaban : a. D = {x | -5 < x < 5, x E N} D= {1,2,3,4} b. B = {x | x | -5 < x < 5, x E Z} D= {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 2. a. Sama b. Ekivalen
  5. Jawaban : a. D = {x | -5 < x < 5, x E N} D= {1,2,3,4} b. B = {x | x | -5 < x < 5, x E Z} D= {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 2. a. Sama b. Ekivalen
  6. Jawaban : a. D = {x | -5 < x < 5, x E N} D= {1,2,3,4} b. B = {x | x | -5 < x < 5, x E Z} D= {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 2. a. Sama b. Ekivalen
  7. Onal
  8. Jawaban : a. D = {x | -5 < x < 5, x E N} D= {1,2,3,4} b. B = {x | x | -5 < x < 5, x E Z} D= {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 2. a. Sama b. Ekivalen
  9. Jawaban : a. D = {x | -5 < x < 5, x E N} D= {1,2,3,4} b. B = {x | x | -5 < x < 5, x E Z} D= {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 2. a. Sama b. Ekivalen
  10. Jawaban : a. D = {x | -5 < x < 5, x E N} D= {1,2,3,4} b. B = {x | x | -5 < x < 5, x E Z} D= {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 2. a. Sama b. Ekivalen
  11. Jawaban : a. D = {x | -5 < x < 5, x E N} D= {1,2,3,4} b. B = {x | x | -5 < x < 5, x E Z} D= {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 2. a. Sama b. Ekivalen
  12. Jawaban : a. D = {x | -5 < x < 5, x E N} D= {1,2,3,4} b. B = {x | x | -5 < x < 5, x E Z} D= {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 2. a. Sama b. Ekivalen