Artikel ini membahas perbandingan antara mekanika Newton dan mekanika Lagrange. Mekanika Lagrange merupakan pendekatan alternatif untuk menganalisis sistem mekanik dengan cara pandang yang holistik, berfokus pada energi kinetik dan potensial tanpa mempertimbangkan gaya secara langsung.

1. Artikel Mekanika Feni Fitriyani/M0213034
Lagrangian
Di SMA, kita mengenal tentang Mekanika Newtonian. Mekanika Newtonian adalah
salah satu alat untuk menganalisis gerak suatu sistem. Mekanika Newtonian menghubungkan
suatu besaran vektor yang bernama Gaya untuk menganalisis perubahan momentum.
Mekanika Newtonian menggunakan 3 Hukum untuk menganalisis gerak sistem. Namun,
seringkali (karena gaya adalah besaran vektor) kita kesulitan dalam menggambar arah gaya
tersebut, apalagi jika sistemnya rumit dan banyak anak sistemnya. Mekanika Newtonian
menjadi rawan kesalahan. Untuk mempermudah analisis, seseorang bernama Joseph Louis
Lagrange membuat suatu metode analisis yang menghubungkan perubahan momentum
dengan konservasi energi mekanik yang dimiliki sistem. Ada beberapa kondisi dimana kita
dapat menggunakan Mekanika Lagrangian (lama), yaitu sistem yang kita amati hanya boleh
dipengaruhi oleh gaya konservatif (berarti mempunyai energi potensial). Seperti di Mekanika
Newtonian, setelah menggunakan Mekanika Lagrangian, kita akan mendapatkan beberapa set
persamaan differensial yang akan digunakan untuk menganalisis gerak sistem tersebut.
Mekanika Lagrangian yang lama, digunakan untuk sistem yang dipengaruhi gaya konservatif
saja. Namun kemudian Rayleigh mengusulkan memperluas konsepnya supaya bisa
menganalisis gaya disipatif juga (misalnya gaya gesek).
http://www.forumsains.com/fisika/mekanika-lagrangian/
Untuk dapat membuat perbandingan antara mekanika Newtonian dan mekanika
Lagrangian dengan baik, maka perlu dilakukan telisik secara mendasar terhadap cara pandang
keduanya. Perbandingan yang baik tidak dapat dicapai hanya dengan menyajikan contoh-
contoh penyelesaian atas kasus fisis yang sama yang coba diselesaikan dengan cara ala
Newton dan ala Lagrange. Cara pandang keduanya perlu diungkap sebab cara pandang inilah
yang menuntun bagaimana sebuah fenomena fisis seharusnya dipandang dan akhirnya dengan
cara bagaimana harus diselesaikan. Cara pandang ini oleh Thomas S. Kuhn disebut sebagai
paradigma (Kuhn, 2002). Upaya telisik akan dimulai dari objek kajian fisika.
Secara sederhana, pandangan Newton dapat diringkas, bahwa alam semesta terdiri dari
partikel-partikel benda. Antar partikel-partikel ini terjadi interaksi melalui apa ayang disebut
sebagai kekuatan antarpartikel atau gaya. Adanya kekuatan partikel ini akhirnya menciptakan
hukum gerak.

2. Dalam kaitannya dengan artikel ini, maka hukum gerak tersebut merupakan hukum kedua
Newton, yakni
∑ 𝐹 = 𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑚𝑎
dengan F adalah gaya, m adalah massa partikel benda dan a adalah percepatan sistem.
Pada dasarnya, hampir semua interaksi dalam mekanika klasik dapat disederhanakan dan
diselesaikan dengan persamaan ini. Oleh karena itu, salah satu ciri khas mekanika Newtonian
selain reduksionis adalah adanya gaya-gaya yang bekerja dalam sistem tersebut. Pandangan
Newton bahwa sebuah sistem fisis dapat diselesaikan persamaan geraknya dengan melakukan
reduksi sebagai titik-titik materi kemudian dikembangkan oleh Bernoulli melalui konsep
usaha maya dan d'Alembert yang terkenal sebagai asas d'Alembert. Dalam pandangan ini,
sistem fisis tidak dipandang sebagai sistem titik-titik materi lagi, tetapi sebagai sistem
mekanik, yakni sistem dimana gerakan bagian-bagiannya saling berkaitan, tak bebas satu
sama lain. Upaya yang dilakukan oleh Lagrange bersandar pada hasil kerja Bernoulli dan
d'Alembert. Untuk menyelesaikan sistem fisis yang dipandang sebagai sistem mekanik ini,
Lagrange tetap menggunakan hukum kedua Newton sebagai pijakan awal, kemudian
dilakukan perumuman sampai didapat persamaan Lagrange L = T - V. Berdasarkan
persamaan tersebut dapat dikenali dengan mudah bahwa mekanika Lagrange memiliki
beberapa ciri yakni tidak lagi mengindahkan gaya-gaya yang bekerja dalam sistem mekanik,
hanya berkepentingan dengan besaran skalar tenaga (kinetik dan potensial), memandang
sistem mekanik sebagai satu kesatuan sehingga untuk menyelesaikannya tidak dipecah
menjadi kepingan-kepingan kecil seperti dalam mekanika Newtonian. Karena itu, cara
pandang Lagrangian merupakan cara pandang yang holistik terhadap suatu sistem mekanik.
http://rachmadresmi.blogspot.com/2010/01/paradigma-mekanika-newtonian-vs.html
Berikut ini akan dibahas beberapa kehandalan persamaan Lagrange untuk
menyelesaikan masalah-masalah gerak. Prosedur umum yang digunakan untuk mencari
persamaan defferensial gerak dari sebuah sistem yaitu sebagai berikut:
1. Pilih sebuah kumpulan koordinat untuk menyatakan konfigurasi sistem.
2. Cari energi kinetik T sebagai fungsi koordinat tersebut besertaturunannya terhadap
waktu.

3. 3. Jika sistem tersebut konservatif, cari energi potensial V sebagai fungsi koordinatnya
atau jika sistem tersebut tidak konservatif, cari koordinat rampatan Qk.
Berikut ini adalah beberapa contoh pemakaiannya:
1. Pandanglah sebuah partikel bermassa m yang bergerak akibat pengaruh gaya sentral
pada sebuah bidang. Rumuskan persamaan gerak partikel tersebut.
Misalkan koordinat polar (r,Ѳ) digunakan sebagai koordinat rampatan. Koordinat
Cartesian (r,Ѳ) dapat dihubungkan melalui:
x = r cos 𝜃 x = r sin 𝜃
Energi kinetik partikel dapat ditulis
   2 2 2 2 2 21 1 1
2 2 2T mv m x y m r r     
Energi potensial oleh gaya sentral
𝑉 = −
𝑘
( 𝑥2 + 𝑦2)1/2
= −
𝑘
𝑟
Persamaan Lagrange untuk sistem ini yaitu
 2 2 21
2
k
L T V m r r
r
     
Dari persamaan Lagrange:
kkk q
V
q
T
q
T
dt
d









k k
d L L
0
dt q q
  
  
  
Substitusi q1 = r dan q2 = , diperoleh:
d L L
0
dt r r
  
  
  
d L L
0
dt
  
  
  

4. Dari kedua persamaan di atas diperoleh:
2
2
L
mr
r
d L
mr
dt r
L k
mr
r r



 
 
 

  

2 2
2
k
mr mr
r
   
Untuk partikel yang bergerak dalam medan konservatif :
2
V(r) k
F(r)
r r r
   
     
   
Jadi : 2 2
rmr mr F  
Dari persamaan Lagrange : 2L
mr

 

L
0



2d L
2mrr mr
dt
 
   
 
2
2mrr mr 0  
atau :  2d dJ
mr 0
dt dt
  
Hal ini berarti bahwa J merupakan momentum sudut yang nilainya konstan. Integrasi
persamaan di atas menghasilkan
2
J mr  = konstan
Berdasarkan persamaan di atas dapat dikatakan bahwa dalam medan konservatif momentum
sudut J, merupakan tetapan gerak.

5. http://www.slideshare.net/7779/persamaan-lagrange-dan-hamilton
Untuk mencari persamaan diferensial gerak sebuah benda yang dinyatakan dalam koordinat
rampatan, kita dapat memulai dengan persamaan berikut:
iii xmF  (1)
dan selanjutnya kita akan mencoba menyatakan persamaan tersebut dalam q. Pendekatan
pertama yang akan kita pakai adalah dari persamaan energi. Kita akan menghitung energi
kinetik T dalam bentuk koordinat Kartesian dan selanjutnya kita akan nyatakan dalam
koordinat rampatan dan turunannya terhadap waktu. Energi kinetik T dari sebuah sistem yang
mengandung N partikel dapat dinyatakan dengan
 

k
1i
2
i
2
i
2
1i2
1
zyxmT ( (2)
atau dalam bentuk yang lebih ringkas ditulis sebagai berikut


N3
1i
2
ii2
1
xmT  (3)
Mari kita mencoba menyatakan hubungan antara koordinat x dan q yang juga mengandung
waktu t secara eksplisit. Kita dapat misalkan
),,...,,( tqqqxx n21ii  (4)
dan selanjutnya
 





t
x
q
q
x
x i
k
k
i
i
 (5)
Dalam pembahasan selanjutnya, kita tetapkan bahwa harga i adalah 1,2, …..3N
dimana N menyatakan jumlah partikel dalam sistem, dan harga k adalah 1,2, . ….n; dimana n
menyatakan jumlah koordinat rampatan (derajat kebebasan) sistem. Oleh karena itu kita dapat
melihat bahwa energi kinetik sebagai fungsi koordinat rampatan, turunannya terhadap waktu,
atau mungkin dalam waktu. Dalam banyak hal, waktu t tidak secara eksplisit terkait
hubungan antara xi dan qk, sehingga xi/t = 0. Jelaslah bahwa energi kinetik T merupakan
fungsi kuadrat yang homogen dari kecepatan rampatan kq

6. Dari persamaan
k
i
k
i
q
x
q
x







(6)
Kalikan kedua ruas (ruas kiri dan kanan) dengan ix dan diferensialkan terhadap t, akan
diperoleh:
















k
i
i
k
i
i
q
x
x
dt
d
q
x
x
dt
d




k
i
i
k
i
i
q
x
x
q
x
x







 (7)
atau























2
x
qq
x
x
2
x
qdt
d 2
i
kk
i
i
2
i
k




(8)
Jika selanjutnya kita kalikan mi dan kita gunakan hubungan iii Fxm  , kita dapat peroleh























2
xm
qq
x
F
2
xm
qdt
d 2
ii
kk
i
i
2
ii
k


(9)
Lakukan penjumlahan terhadap i akan diperoleh :
 












i kk
i
i
k q
T
q
x
F
q
T
dt
d

(10)
Dari definisi gaya rampatan kita peroleh
k
k
k q
T
Q
q
T
dt
d






(11)
Ini adalah persamaan diferensial gerak yang dinyatakan dalam koordinat rampatan dan
dikenal dengan persamaan Lagrange untuk gerak.Dalam kasus gerakannya adalah
konservatif, persamaan Lagrange dapat ditulis sebagai berikut:

7. kkk q
V
q
T
q
T
dt
d









(12)
Persamaan ini biasanya ditulis dalam bentuk yang lebih singkat dengan mendefinisikan
fungsi Lagrangian L yakni
L = T - V (13)
Yang berarti bahwa kita dapat menyatakaan T dan V dalam koordinat rampatan. Oleh karena
V = V(qk) dan 0qV k  / , kita peroleh
kk q
T
q
L
 




dan
kkk q
V
q
T
q
L








(14)
Persamaan Lagrange dapat ditulis
kk q
L
q
L
dt
d






(15)
Persamaan diferensial gerak untuk suatu sistem konservatif dapat dicari jika kita ketahui
fungsi Lagrangian dalam bentuk koordinat tertentu. Di sisi lain, jika gaya rampatan tidak
konservatif, misalkan nilainya adalah '
kQ , maka kita dapat menuliskan
k
kk
q
V
QQ


 '
(16)
Selanjutnya kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi Lagrangian L = T - V, dan menuliskan
persamaan diferensial gerak dalam bentuk
k
k
k q
L
Q
q
L
dt
d




 '

(17)
'
k
k k
d L L
Q
dt q q
 
 
 
(18)
Bentuk di atas lebih mudah dipakai jika gaya gesekan diperhitungkan.