Dokumen tersebut membahas tentang definisi dan persamaan lingkaran, serta posisi titik terhadap lingkaran. Definisi lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya dari suatu titik tertentu tetap. Persamaan lingkaran dapat ditulis berdasarkan pusat dan jari-jari lingkaran tersebut. Posisi titik dapat berada di dalam, di luar, atau pada lingkaran tergantung nilai persamaan lingkaran.

1. 1
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
O
D E F I N I S I
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya dari suatu titik tertentu tetap harganya .
Titik yang tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran , dan jarak yang tetap dinamakan jari-jari
lingkaran.
A . PERSAMAAN LINGKARAN
A . 1 . Pusat Titik O ( 0 , 0 ) dan Jari-jari r
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik
O ( 0 , 0 ) dan jari-jari r , adalah :
x2  y2  r2
A . 2 . Pusat Titik P (  ,  ) dan Jari-jari r
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik
P (  ,  ) dan berjari-jari r adalah :
2 2
( )
2
( x  )  y    r
A.3 . Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah : 0 x2  y2  A x  B y  C  ,
dengan pusat di titik : )
2
1
,
2
1
(  A  B , dan jari-jarinya adalah : r  A  B  C 2 2
4
1
4
1
y
O
(
x
r
O
P (  , 
)
x
y



2. 2
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Titik terletak pada lingkaran L
, jika :
CONTOH
JAWAB
1 . Tentukan persamaan dengan syarat :
a . Berpusat di titik O ( 0 , 0 ) dan jari-jari 5 satuan .
b . Berpusat di titik ( 6 , −2 ) dan jari-jari 3
2 . Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran berikut :
a . ( 9 ) 24 2 2 x  y  
b . 8 4 5 0 2 2 x  y  x  y  
1. a . Persamaan lingkaran dengan pusat di titik O ( 0 , 0 ) dan berjari-jari 5 adalah : 25 2 2 x  y 
b. Persamaan lingkaran dengan pusat di ( 6 , 2 ) dan berjari-jari 3 adalah :
( 6 ) ( 2 ) 3 2 2 x   y  
2. a . Lingkaran dengan persamaan ( 9 ) 24 2 2 x  y  
berpusat di titik ( 0 , -9 ) dan jari-jari = 2 6 .
b. Lingkaran dengan persamaan : 8 4 5 0 2 2 x  y  x  y  
berpusat di ( 4) )
2
1
8 ,
2
1
(     (  4 , 2 ) .
Panjang jari-jarinya = ( 4) ( 5 )
4
1
8
4
1 2 2      16  4  5  25  5
B . POSISI TITIK TERHADAP LINGKARAN
Diketahui lingkaran L ≡ 2 f ( x , y )  r dan titik A ( a , b ) .
Ada tiga kemungkinan posisi titik A ( a , b ) terhadap lingkaran L ≡ 2 f ( x , y )  r , yaitu :
Titik A ( a , b ) terletak di dalam lingkaran L ,
jika : 2 f ( a , b )  r
Titik A ( a , b ) terletak di luar lingkaran L ,
jika : 2 f ( a , b )  r
Jarak Titik Terhadap Garis
Jarak titik P ( m , n ) terhadap
garis A x + B y + C = 0 , adalah :
Info :
P ( m , n )
A x + B y + C =
0

3. 3
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
CONTOH
JAWAB
1 . Tentukan posisi dari :
a . titik ( 3 , 4 ) terhadap lingkaran 49 2 2 x  y 
b . titik ( 0 , 2 ) terhadap lingkaran ( 9 ) ( 5 ) 90 2 2 x   y  
c . titik ( 7 , − 9 ) terhadap lingkaran 6 10 2 0 2 2 x  y  x  y  
2 . Tentukan persamaan lingkaran :
a . pusat di titik ( 7 , − 9 ) dan menyinggung garis y = 4 x + 9.
b . melalui titik ( 3 , −2 ) , ( 6 , 3 ) , dan ( 4 , −6 ).
1. a . Titik ( 3 , 4 ) terletak di dalam lingkaran 49 2 2 x  y  , karena : 3 4 25 49 2 2   
b . Titik ( 0 , 2 ) terletak pada lingkaran ( 9 ) ( 5 ) 90 2 2 x   y   ,
karena : ( 0 9 ) (2 5 ) 81 9 90 2 2      
c . Titik ( 7 , -9 ) terletak di luar lingkaran 6 10 2 0 2 2 x  y  x  y   , karena :
7 ( 9 ) 6 . 7 10 . ( 9 ) 2 49 81 42 90 2 176 0 2 2             
2 . a . Persamaan lingkaran yang berpusat di titik ( −6 , 2 ) dan menyinggung garis y = 4 x + 9,
dapat ditentukan dengan cara sbb :
Tentukan jari-jari lingkaran tersebut, dengan cara menentukan jarak titik ( −6 , 2 ) terhadap
garis −4x + y – 9 = 0 , sbb :
 
 
17
17
17
4 1
4 . 6 2 9
2 2
 
 
   
r  J 
Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di titik ( −6 , 2 ) dan menyinggung garis y = 4 x + 9,
adalah :  6   2  17 2 2 x   y   .
b . Persamaan lingkaran yang melalui titik ( 3 , − 2 ) , ( 6 , 3 ) , dan ( 4 , −6 ) , dapat ditentukan
dengan cara sbb :
Bentuk umum persamaan lingkaran : 0 2 2 x  y  Ax  By C 
Melalui ( 3 , −2 ) diperoleh : 3  2 .3 . 2 0 2 2    A  B  C 
3A 2B C  13 …………. 1)
Melalui ( 6 , 3 ) diperoleh : 6 3 .6 .3 0 2 2   A  B C 
6A 3B C  45 …………. 2)
Melalui ( 4 , −6 ) diperoleh : 4  6 .4 . 6 0 2 2    A  B  C 
4A 6B C  52 …………. 3)
Persamaan 1) , 2) , dan 3) jika diselesaikan diperoleh : A = −19 , B = 5 , C = 54 .
Jadi persamaan lingkaran tersebut adalah : 19 5 54 0 2 2 x  y  x  y  
1. Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran berikut :
a. 54 2 2 x  y 
b. ( x 12 )2  (y 1)2 121
c. ( 8 ) ( 22 ) 64 2 2 x   y  
d. ( 1 ) 32 2 2 x   y 
e. ( 16 ) 72 2 2 x  y  
f. 8 14 49 0 2 2 x  y  x  y  

4. 4
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
g. 4 x2  4y2  32 x 12 y  65  0
h. 10 6 2 0 2 2 x  y  x  y  
i. 4 16 56 0 2 2 x  y  x  y  
j. 22 8 109 0 2 2 x  y  x  y  
k. 20 12 55 0 2 2 x  y  x  y  
l. 28 24 336 0 2 2 x  y  x  y  
m. 14 39 0 2 2 x  y  x  
n. 16 x2 16 y2  48 x  24 y 107  0
2. Tentukan persamaan lingkaran berikut :
a. pusat di titik O ( 0 , 0 ) dan jari-jari 3 7
b. pusat di titik ( 14 , 9 ) dan jari-jari 13
c. pusat di titik ( 8 , 6 ) dan menyinggung sumbu x.
d. pusat di titik ( 5 , 10 ) dan menyinggung sumbu y.
e. pusat di titik ( 2 , 6 ) dan menyinggung garis x − 7 y = 8
f. melalui titik ( 2 , 5 ) , ( 6 , 2 ) , dan ( 4 , 1 ).
3. Diketahui lingkaran 169 2 2 x  y  .
Tentukan posisi dari titik-titik berikut terhadap lingkaran tsb :
a. ( 2 , 5 ) b. ( 12 , 5 ) c. ( 15 , 20 )
4. Diketahui lingkaran ( x  3 )2  (y  8 )2 170 .
Tentukan posisi dari titik-titik berikut terhadap lingkaran tsb :
a. ( 8 , 1 ) b. ( 4 , 6 ) c. ( 5 , 7 )
5. Diketahui lingkaran 12 8 96 0 2 2 x  y  x  y   .
Tentukan posisi dari titik-titik berikut terhadap lingkaran tsb :
a. ( 5 , 12 ) b. ( 9 , 2 ) c. ( 4 , 16 )
6. Tentukan persamaan lingkaran berikut :
a. berpusat di titik ( 9 , 6 ) dan melalui titik ( 2 , 1 )
b. berpusat di titik ( 2 , 3 ) dan menyinggung lingkaran ( x  5 )2  (y  7 )2  49
C . GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN
Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran :
1 . Garis tidak
memotong lingkaran.
2 . Garis menyinggung
lingkaran
3 . Garis memotong
lingkaran di dua titik.
C. 1. Garis Singgung Bergradien m.
Persamaan garis singgung yang bergradien m pada lingkaran 2 2 2 x  y  r ,
adalah :
1 2 y  m x  r m 

5. 5
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
JAWAB
CONTOH
Garis singgung pada
lingkaran tegaklurus pada
jari-jari yang melalui titik
singgungnya.
Info :
Jika diketahui dua buah garis g
dan l , dengan persamaan garis :
g ≡ y = m1 x + C1 , dan
l ≡ y = m2 x + C2 , maka :
1. Garis g sejajar l , jika :
m1 = m2
2. Garis g tegaklurus l , jika :
m1 × m2 = −1
Info :
Persamaan garis singgung yang bergradien m pada lingkaran ( x  )2  ( y  )2  r2 , adalah :
( ) 1 2 y   m x   r m 
Tentukan persamaan garis singgung :
1 . pada lingkaran 9 2 2 x  y  dengan gradien
−2.
2 . pada lingkaran ( x  2 )2  (y  6 )2  36
dengan gradien 3 .
3 . pada lingkaran 40 300 0 2 2 x  y  x  
dengan gradien
3
2
.
1. Persamaan garis singgung pada lingkaran
9 2 2 x  y  yang bergradien 2 adalah :
( 2 ) 3 ( 2 ) 1
1
2
2
     
  
y x
y m x r m
 y   2 x  3 5 atau y   2 x  3 5
2. Persamaan garis singgung pada lingkaran
( x  2 )2  (y  6 )2  36 yang bergradien 3
adalah :
 
5 10 12 6
6 5 ( 2 ) 6 3 1 6 5 ( 2 ) 12
2
    
         
y x
y x y x
 y  5 x  28 atau y  5 x  4
3. Persamaan garis singgung pada lingkaran 40 300 0 2 2 x  y  x   yang bergradien
3
2
adalah :
Pusat lingkaran adalah ( 20 , 0 ) dan jari-jari = 0 300 100 10
4
1
400
4
1
   
5
3
10
3
40
3
2
9
4 1
10
3
40
3
2
1
3
2
( 20 ) 10
3
2
2
   

   
 



  
y x
y x
y x
5
3
10
3
40
3
2
 y  x   atau
5
3
10
3
40
3
2
y  x  

6. 6
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Kaidah Membagi Adil :
Digunakan untuk menentukan
persamaan garis singgung pada
lingkaran yang melalui titik
( x1 , y1 ). Penerapannya dengan
cara mengubah variabel pada
persamaan lingkaran dengan
aturan sbb :
x 2 diubah menjadi x1 x
y 2 diubah menjadi y1 y
( x − A ) 2 diubah menjadi
(x1 − A ) ( x − A )
( y − B ) 2 diubah menjadi
(y1 − B ) ( y − B )
x diubah menjadi ½ ( x1 + x )
y diubah menjadi ½ ( y1 + y )
Info :
CONTOH
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berikut :
1. 196 2 2 x  y  , m = 4
2. 44 2 2 x  y  , m = 11
3. 16 2 2 x  y  , m =
2
1

4. ( x 16 )2  (y  4 )2  49 ,m = 3
5. ( x  2 )2  (y 1)2  81 , m =
4
1
6. ( x  6 )2  (y  7 )2  50 , m = 2
7. 10 6 15 0 2 2 x  y  x  y   ,m= 15
8. 12 16 0 2 2 x  y  x  y  dengan m= 7
9. ( x  4 )2  (y 14 )2 196 yang sejajar
dengan garis 2 x  y  8
10. 9 2 2 x  y  dan tegak lurus terhadap
garis x  3y  27
C.2. Garis Singgung Melalui Titik ( x
1
, y
1
)
Pada Lingkaran .
Persamaan garis singgung yang melalui titik ( x
1
, y
1
)
pada lingkaran 2 2 2 x  y  r , adalah :
. 2 x1. x  y1 y  r
Persamaan garis singgung
yang melalui titik (x
1
, y
1
)
pada lingkaran
( x  )2  ( y   )2  r2
,adalah :
) ( ) 2 ( x1  ) ( x  )  ( y1   y    r
Persamaan garis singgung yang melalui titik (x
1
, y
1
)
pada lingkaran 0 2 2 x  y  A x  B y  C  , adalah :
( ) 0
2
1
( )
2
1
. . 1 1 1 1 x x  y y  A x  x  B y  y  C 
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berikut :
1 . x2  y2  90 , di titik ( 9 , 3 )
2 . ( x  4 )2  (y 18 )2  68 di titik ( 12 , 16 )
3 . 14 2 42 0 2 2 x  y  x  y   di titik ( 5 , 3 )
( x
1
, y
1
)

7. 7
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
JAWAB
CONTOH
1. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2  y2  90 , di titik ( 9 , 3 ) , adalah :
x1. x  y1. y  90
 (9 ) x  3 y  90
  9 x  3 y  90
 3 x  y  30
2. Persamaan garis singgung pada lingkaran ( x  4 )2  (y 18 )2  68 di titik ( 12 , 16 ) , adalah :
(x1  ) (x  )  (y1  ) (y  )  68
(12  4 ) (x  4 )  (16 18 ) (y 18 )  68
8 ( x  4 )  2 ( y 18 )  68
8 x  32  2 y  36  68
8 x  2 y  64
4 x  y  32
3. Persamaan garis singgung pada lingkaran 14 2 42 0 2 2 x  y  x  y   di titik ( 5 , 3 ) , adalah :
2 ( 3 ) 42 0
2
1
14 ( 5)
2
1
(5 ) x  3y  x   y   
  5 x  3y  7 (x  5)  (y  3 )  42  0
5 x  3y  7 x  35  y  3  42  0
 2 x  2y   4
C.3. Garis Singgung Melalui Titik ( x
1
, y
1
) di Luar Lingkaran
Jika titik ( x
1
, y
1
) terletak di luar lingkaran, persamaan garis singgung
yang melalui titik tersebut dapat ditentukan dengan cara sbb :
Tentukan persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik
( x
1
, y
1
) , yaitu : 1 1 y  m( x  x )  y
Untuk menentukan nilai gradien m dari garis tersebut dapat
dilakukan dengan dua macam cara, yaitu :
CARA 1 :
Potongkan persamaan garis dengan
lingkaran , kemudian bentuklah persamaan
kuadrat dengan variabel x .
Tentukan nilai m dengan
menentukan nilai D = b 2  4 a c = 0
CARA 2 :
Titik ( x
1
, y
1
) disubstitusikan ke
dalam persamaan garis singgung pada lingkaran
dengan gradien m .
Nilai m yang diperoleh disubstitusikan
ke persamaan garis pada langkah pertama untuk
memperoleh persamaan garis singgung yang
dimaksud .
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2  y2  25 yang melalui titik ( 11 , 2 )
( x
1
, y
1
)
Persamaan Garis Lurus
1 . Melalui titik dan bergradien m :
2 . Melalui titik dan :
Info :

8. 8
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
JAWAB
Menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2  y2  25 yang melalui titik ( 11 , 2 )
Persamaan garis melalui ( 11 , 2 ) dan bergradien m , adalah : y  2  m( x 11) y  m x 11m 2
Menentukan nilai gradien :
CARA 1 :
Dipotongkan dengan lingkaran x2  y2  25 , diperoleh :
x2  ( m x 11m  2 )2  25( m2 1) x2  ( 22 m2  4 m ) x 121m2  44 m  21 0
Syarat D = b 4a c 2  = 0
44 21 0
2
44 21) 0 96
2
1 ) ( 121
2
4 (
2
4 )
2
( 22m  m  m  m  m    m  m  
192
44 100
192
44 10000  

 
m 
24
7
192
56
192
44 100
 
 
m  atau
4
3
192
144
192
44 100
   
 
m 
Diperoleh :
24
7
m  atau
4
3
m  
CARA 2 :
Untuk menentukan nilai m, titik ( 11 , −2 ) disubstitusikan pada persamaan garis singgung bergradien
m pada lingkaran x2  y2  25 yaitu : 5 1 2 y  m x  m 
Sehingga diperoleh :
2 11 5 1 2   m  m 
2 11 5 1 2   m   m 
1 )
2
25 (
2
(  2  11m )  m 
25
2
25
2
4  44 m  121m  m 
44 21 0
2
96 m  m  
24
7
m  atau
4
3
m   .
Substitusikan nilai m yang diperoleh ke dalam persamaan y  m x 11m  2
Untuk
24
7
m  diperoleh garis singgung
24
125
24
7
y  x 
Untuk
4
3
m   diperoleh garis singgung
4
25
4
3
y   x 
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berikut :
1. x2  y2  65 di titik ( 7 , 4 )
2. ( x  6 )2  (y 10 )2  73 di titik ( 2 , 7 )
3. ( x  8 )2  (y  2 )2  20 di titik ( 6 , 2 )
4. ( x 11)2  (y  7 )2 18 di titik ( 9 , 4 )
5. ( x  5 )2  (y  4 )2  32 di titik ( 1 , 8 )

9. 9
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
6. 6 18 50 0 2 2 x  y  x  y   di titik ( 3 , 11 )
7. 4 12 76 0 2 2 x  y  x  y   di titik ( 8 , 2 )
8. 24 32 26 0 2 2 x  y  x  y   di titik ( 8 , 20 )
9. x2  y2  169 melalui titik ( 7 , 17 )
10. x2  y2  80 melalui titik ( 10 , 0 )