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Medie di calcolo e di posizione
 

Medie di calcolo e di posizione

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a cura di Fabiana Gorini

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    Medie di calcolo e di posizione Medie di calcolo e di posizione Presentation Transcript

    • Indice:  Cos’è la statistica?  Media aritmetica  Media geometrica  Media quadratica  Frequenze  Media armonica semplice e ponderata  Medie di posizione: mediana e moda
    • Come si Cos’è ? Statistica suddivide? Descrittiva Inferenziale Da cosa è formata? Aritmetica Geometrica Frequenze Medie Quadratica Armonica Relative Mediana Assolute Moda Assolute Relative cumulate cumulate
    • Statistica La statistica è l’applicazione dei metodi scientifici alla programmazione della raccolta dei dati, alla loro classificazione, elaborazione, analisi e presentazione riguardante un’intera collettività. La statistica può essere: • Descrittiva: riguarda un’analisi effettuata su un’intera popolazione,ad esempio tutte le scuole italiane. • Inferenziale o induttiva: riguarda un’analisi effettuata su un campione che si trae dall’intera popolazione,ad esempio le scuole lombarde. Per la rilevazione dei dati è essenziale sapere il significato di: • Unità statistica: è il più piccolo elemento sul quale si effettua una osservazione. • Dato statistico: è il risultato di una operazione compiuta sulle unità statistiche.
    • Frequenze Le frequenze possono essere di 4 tipi: Assoluta: rappresentano il numero di volte in cui viene osservato un carattere quantitativo o il numero di volte in cui viene osservata la modalità di un carattere qualitativo. • Relative: si ottengono dividendo ogni frequenza assoluta per la somma delle frequenze assolute. • Assolute cumulate: si ottengono attraverso la progressiva somma delle frequenze assolute. • Relative cumulate: si ottengono attraverso la progressiva somma delle frequenze relative.
    • Rappresentiamo in una tabella alcuni esempi di tutti i tipi di frequenze. Frequenz Frequenz Frequenz Frequenz e assolute e relative e assolute e relative X cumulate cumulate 3 2 3 3 3 20 20 4 6 4 3 6 20 20 6 6 12 6 12 20 20 8 4 16 4 16 20 20 10 4 20 4 20 20 20
    • Medie Le medie possono essere di 2 tipi: • Di calcolo: soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo conto di tutti i valori. Esse sono aritmetica, geometrica, quadratica e armonica. • Di posizione: si calcolano tenendo conto solo di alcuni valori. Esse sono la moda e la mediana.
    • Medie di calcolo Media Aritmetica: è il valore che sostituito ai singoli dati lascia invariata la loro somma. Si ottiene sommando i voti e dividendoli per il totale dei voti. Può essere semplice,che si ottiene sommando i voti e dividendoli per il totale dei voti: Es: 2 4 6 8 10 x1 x 2 ... xn 6 n 5 Oppure ponderata,che si ottiene: 2*3 4 * 3 ... 10 * 4 Es: x1 f 1 x 2 f 2 ... xnfn 181,20 f1 f 2 ... fn 3 3 6 4 4
    • Media geometrica: è quel valore che sostituito a ciascun numero lascia invariato il loro prodotto. Quando i singoli numeri x sono tutti ripetuti una sola volta, parleremo di media geometrica semplice che calcoleremo nel seguente modo: 7,96 G= 3 n 7 8 9 x 1 * x 2 ... * x n Quando i numeri i x sono ripetuti con frequenze i y , parleremo di media geometrica ponderata che calcoleremo nel seguente modo: 2 5 7 6 20 G= 6,87 n y1 y2 yn x 1 * x 2 ... * x n 4 *6 *7 *9
    • Medie quadratiche: è quel valore che sostituito a ciascun numero lascia invariata la somma dei quadrati dei singoli numeri. Quando i singoli numeri x sono tutti ripetuti una sola volta, parleremo di media quadratica semplice che calcoleremo nel seguente modo: 2 2 2 2 2 2 x1 x2 ... xn 7 8 9 8,04 Q= 3 n Quando i numeri x sono ripetuti con frequenze y parleremo di media quadratica ponderata che calcoleremo nel seguente modo: 2 2 2 2 2 2 2 x1 y1 x 2 y 2 xn yn 4 *2 6 *5 7 *7 9 *6 7,21 ... Q= 20 y1 y2 ... yn
    • Media armonica: è quel valore che sostituito a ciascun numero lascia invariata la somma dei reciproci dei singoli numeri. Quando i numeri x sono tutti ripetuti una sola volta,parleremo di media armonica semplice che calcoleremo nel seguente modo: 3 7,92 M1 = 1 1 1 7 8 9 Quando i numeri xi sono ripetuti con frequenze y , parleremo di media armonica ponderata che calcoleremo nel seguente modo: 20 M2 = 6,67 2 5 7 6 4 6 7 9
    • Medie di posizione Moda: di una distribuzione di frequenze è la modalità o il valore della variabile al quale corrisponde la massima frequenza. Se i valori sono raggruppati in classi e le classi hanno ampiezza diversa, si divide ogni frequenza per l’ampiezza della rispettiva classe e la classe modale è quella a cui corrisponde il rapporto maggiore. Mediana: è il valore che bipartisce una successione di valori. Se i valori sono ripetuti una sola volta ed il loro numero è dispari, la mediana, dopo aver ordinato i valori in senso crescente o decrescente, è rappresentata dal valore centrale; se il loro numero è pari la mediana è calcolata attraverso la media aritmetica dei due valori centrali.
    • Moda Supponiamo di considerare gli Esiti dell’ultima sessione dell’esame di Statistica di 20 studenti: X  Voti 24 27 28 30 Y  Alunni 4 6 5 5 Il valore modale sarà quindi il voto 27 in quanto voto che si ripete con la massima frequenza. Supponiamo ora di considerare le fasce di reddito rilevate a proposito di 20 famiglie: La classe 0 – 20 20 – 30 30 – 35 X  Redditi 35 - 38 modale sarà quindi la classe Y  N° 7 9 3 1 20-30 Famiglie Freq./Ampiezz 0,35 0,9 0,6 0,33 a
    • Mediana Supponiamo di considerare i numeri 6,2,4,7. Per calcolare la loro mediana è necessario metterli in ordine crescente  2,4,6 e 7. Valutando poi il fatto che i numeri sono 4, e quindi un numero pari, considero i due valori centrali e ne calcolo la loro media aritmetica: 4 6 5 M= 2 Se dovessi invece considerare i seguenti numeri: 4,2,1,7,9, dopo averli disposti in ordine crescente 1,2,4,7,9, noto che sono un numero dispari. Considero il 4 come valore mediano perché questo valore bipartisce la serie di valori considerati, ovvero lascia alla sua destra ed alla sua sinistra una stessa quantità di numeri.