2016年1月30日（土）にLoopolicにて開催された第４回日曜数学会にて、辻が発表したスライドです。 第４回日曜数学会 https://www.facebook.com/events/1671165273157947/

1. Bp-3 ⌘ 0 (mod p) =) p | h(Q(⇣p))=) p | hQ(⇣p)
Wolstenholme prime
ベルヌーイ数を割る素数
日曜数学者 順平＠tsujimotter
2016/01/30 第４回日曜数学会

2. ベルヌーイ数
2

3. 13
+ 23
+ 33
+ · · · + n3
12
+ 22
+ 32
+ · · · + n2
=
1
2
n2
+
1
2
n12
+ 22
+ 32
+ · · · + n2
=
1
3
n3
+
1
2
n2
+
1
6
n
=
1
4
n4
+
1
2
n3
+
1
4
n2
+ 0 · n
14
+ 24
+ 34
+ · · · + n4
=
1
5
n5
+
1
2
n4
+
1
3
n3
+ 0 · n2
-
1
30
n
べき乗和の公式
n1 の項に
登場する数
3

4. 4
B0 = 1, B1 =
1
2
, B2 =
1
6
, B3
B0 = 1, B1 =
1
2
, B2 =
1
6
, B3 = 0
B0 = 1, B1 =
1
2
, B2 =
1
6
, B3 = 0, B4
0 = 1, B1 =
1
2
, B2 =
1
6
, B3 = 0, B4 = -
, B1 =
1
2
, B2 =
1
6
, B3 = 0, B4 = -
1
30
,
ベルヌーイ数

5. • 辻の日曜数学のきっかけ
（tsujimotterのノートブック（旧版）最初のネタ）
• 整数論において超重要な数
5

6. 非正則素数
の分子に現れる数の素因数のこと
B2
2
,
B4
4
,
B6
6
, · · ·
6

7. B2
2
= 1
の分子
B4
4
B6
6
B8
8
B10
10
B12
12
B14
14
B16
16
B18
18
B20
20
の分子
= 1
の分子
の分子
の分子
の分子
の分子
の分子
= 1
の分子
の分子
= -283 ⇥ 617
= 43867
= -3617
= -1
= -691
= 1
= -1
7

8. B2
2
= 1
の分子
B4
4
B6
6
B8
8
B10
10
B12
12
B14
14
B16
16
B18
18
B20
20
の分子
= 1
の分子
の分子
の分子
の分子
の分子
の分子
= 1
の分子
の分子
= -283 ⇥ 617
= 43867
= -3617
= -1
= -691
= 1
= -1
8
非正則素数

9. ただし、右辺の合同記号は注意が必要
m ⌘ n (mod (p - 1)) =)
Bm
m
⌘
Bn
n
クンマーの合同式
od (p - 1)) =)
Bm
m
⌘
Bn
n
(mod p)
9

10. 非正則素数の言い換え
の分子のうち、
いずれか１つを割り切る素数 のこと
=)
p
B2
2
,
B4
4
,
B6
6
, · · · ,
Bp-3
p - 3
10

11. B2
2
,
B4
4
,
B6
6
, · · · ,
Bp-3
p - 3
非正則素数の言い換え=)
Wolstenholme prime
の分子のうち、
いずれか１つを割り切る素数 のことp
11

12. Wolstenholme prime (by MathWorld)
• The only known Wolstenholme primes are
16843 and 2124679 (OEIS A088164).
• There are no others up to 109 (McIntosh
2004).
３つめを見つけたらすごい！12

13. 13
見つけたい！

14. ベルヌーイ数の分子を計算する
２つの方法
• ゼータとベルヌーイ数の関係を用いる方法 [1]
• パスカルの逆三角形を用いる方法 [2]
14

15. Dm =
Y
(p-1)|m
p
フォン・シュタウト＝クラウゼンの定理
Bmの分母
分母ならまかせろ！
15

16. 2⇣(2m) =
(-1)m+1
(2⇡)2m
(2m)!
B2m
ベルヌーイ数の分子の桁数分の精度を保証しつつ計算する必要
ゼータとベルヌーイ数の関係
16

17. ベルヌーイ数
の
分子の桁数
Bm
m
桁数のオーダーは
線形っぽい
17

18. （精度の保証が）
けっこう大変
18

19. パスカルの逆三角形
1
1
2
1
3
1
4
1
2
1
3
1
4
1
6
1
6 19

20. メモリ
食い過ぎ
20

21. まとめ
• どちらの方法も m = 109 にはほど遠い
（Ruby により 103 から 104 程度までは計算できた）
• まだ改良の余地はありそう
・・・先週知ったんや（言い訳）
21

22. 日曜が
足りない 22

23. 参考文献
[1] Kevin J. McGown “Computing Bernoulli
Numbers Quickly”, (2005).
[2] 荒川，金子，伊吹山『ベルヌーイ数とゼータ関
数』，牧野書店 (2001)．
23

24. おまけ
24

25. ヤコブ・ベルヌーイ 関孝和 25

26. （ヤコブ・ベルヌーイ『推測術』より）
26

27. 関孝和『括要算法』（1712年）より27

28. 素数 T シャツ
売ってます
非正則素数
（irregular prime）
が青く塗られている
28

29. 37
59
67
101
103
131
149
157
233
257
263
271
283
293
307
311
347
353
379
389
401
409
421
433
461
463
467
491
523
541
547
557
577
587
593
607
613
617
619
631
647
653
659
673
677
683
691
727
751
757
761
773
797
809
811
821
827
839
877
881
887
929
953
971
1061
1091
1117
1129
1151
1153
1193
1201
非正則素数の例（最初から７２番目まで）
29

30. フェルマーの最終定理との関連
x37
+ y37
= z37
x691
+ y691
= z691
非正則素数・・・「クンマーの方法」における例外
参考：http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/flt-kummer-ideal-class-group
30

31. sage を使った実験
31

32. Wolstenholme prime の同値な定義
32
を満たす素数 を Wolstenholme prime というp
✓
2p
p
◆
⌘ 2 (mod p4
)