公開鍵暗号4: 有限体

群環体
実験数学 3
(大阪大学理学部数学科 3 年・4 年)
第 4 回: 有限体
鈴木譲
大阪大学
2013 年 5 月 9 日
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実験数学 3, (大阪大学理学部数学科 3 年・4 年), 第 4 回: 有限体

群環体
群 (G, ◦)
集合 G が演算 ◦ で閉じていて、
.
1 結合法則: (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c), a, b, c ∈ G
.
2 単位元 e ∈ G が存在: a ◦ e = e ◦ a = a, a ∈ G
.
3 各 a ∈ G について、逆元が存在: a ◦ a−1
= a−1
◦ a = e
(G, ◦) が可換群
演算 ◦ について、交換法則: a ◦ b = b ◦ a, a, b ∈ G
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群環体
環 (R, +, ·)
集合 R が演算 +, · で閉じていて、
.
1 (R, +) が可換群: a + b = b + a, a, b ∈ R
.
2 演算 · について結合法則: (a · b) · c = a · (b · c), a, b, c ∈ R
.
3 演算 (+, ·) について分配法則:
a · (b + c) = a · b + a · c , a, b, c ∈ R
(a + b) · c = a · c + b · c , a, b, c ∈ R
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群環体
環の例
.
1 Z
.
2 実数 R を係数とする 1 変数 x の多項式の集合 R[x]
.
3 2 × 2 の実数成分の行列の集合
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群環体
体 (K, +, ·)
.
1 (K, +, ·) が環
.
2 演算 · の単位元 1 が存在: a · 1 = 1 · a = a, a ∈ K
.
3 演算 + の単位元 0 以外の各要素に、演算 · の逆元が存在:
0 ̸= a ∈ K =⇒ ∃a−1
s.t. a · a−1
= 1
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群環体
体の例
.
1 Q, R, C
.
2 Q + Q
√
2
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群環体
有限体 Fp
体 K が有限体
.
.
.
K が有限個の元をもつ
Fp := {0, 1, · · · , p − 1}
+, · として、mod p の加法、乗法
p が素数 ⇐⇒ Fp は体
1 (a, p) = 1 ⇐⇒ a · a−1
+ pk = 1 なる (a−1
, k) が存在
⇐⇒ a · a−1
≡ 1 mod p なる a−1
が存在
2 p が素数 ⇐⇒ (a, p) = 1, a ∈ {1, · · · , p − 1}
p: 素数
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群環体
Fp でない有限体の例
F2 = {0, 1} ⇒ 0 + 0 = 1 + 1 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 · 1 = 1
x2 + x + 1 = 0 の根を α として、α2 + α + 1 = 0 の根を α とする
と、α ̸∈ F2 (1+1=0) の拡大 F22 = {0, 1, α, α + 1} は、体になる
+ 0 1 α α + 1
0 0 1 α α + 1
1 1 0 α + 1 α
α α α + 1 0 1
α + 1 α + 1 α 1 0
· 1 α α + 1
1 1 α α + 1
α α α + 1 1
α + 1 α + 1 1 α
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群環体
参考
.
1 Fq が体 ⇐⇒ q = pm
となる素数 p と正整数 m が存在
.
2 すべての体は、以下のいずれかを拡大したものになる
Q を拡大したもの (標数 0)
p を素数として、Fp を拡大したもの (標数 p)
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群環体
M¨obius 関数 µ : Z+
→ {0, 1, −1}
µ(n) = 0 (n が平方数で割り切れるとき)
µ(n) = (−1)k (n が相異なる k 個の素因数に分解されるとき)
f , g : Z+ → Z の Direchlet 積 f ◦ g
.
.
f ◦ g(n) :=
∑
d1d2=n f (d1)g(d2)
結合法則:
f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h =
∑
d1d2d3=n
f (d1)g(d2)h(d3)
M¨obius 変換
f : Z+ → Z, F(n) =
∑
d|n f (d) =⇒ f (n) =
∑
d|n µ(d)F(n/d)
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群環体
I(1) := 1, I(n) := 0 (n ≥ 2), J(n) := 1 (n ≥ 1) とおくと、
F(n) = J ◦ f (n) = f ◦ J(n) =
∑
d|n
f (d) (1)
f ◦ I(n) = f (n) (2)
他方、J ◦ µ(1) = µ(1)J(1) = 1。n =
∏r
i=1 pei
i ≥ 2 (ei ≥ 1) では、
J ◦ µ(n) =
∑
d|n
µ(d) =
∑
(e1,··· ,er )∈{0,1}r
µ(pe1
1 · · · per
r )
= 1 − r +
(
r
2
)
−
(
r
3
)
+ · · · + (−1)r
= (1 − 1)r
= 0
より、J ◦ µ = I。これと、(1)(2) および結合法則より、
F ◦ µ = (f ◦ J) ◦ µ = f ◦ (J ◦ µ) = f ◦ I = f
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群環体
f (x) ∈ K[x] の次数が n であれば、体 K の解が高々n 個
.
1 n = 1 であれば、自明。
.
2 n − 1 次で正しいとする。
.
.
1 次数 n の fn が解をもたなければ、証明終わり。
.
.
2 fn(α) = 0, α ∈ K のとき、fn(x) = fn−1(x)(x − α) とおくと、他の任
意の解は、fn−1(x) = 0 の解。
.
3 次数 n − 1 の fn−1 は高々n − 1 個の解しかもたなかった (n − 1 次で
の仮定) ので、fn は高々n 個の解しかもたない
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群環体
d|p − 1 のとき、xd
− 1 ≡ 0 (mod p) は d 個の解
dd′ = p − 1 であれば、
xp−1 − 1
xd − 1
=
(xd )d′
− 1
xd − 1
= (xd
)d′−1
+(xd
)d′−2
+· · ·+xd
+1 = g(x)
xp−1
− 1 = (xd
− 1)g(x)
Fp[x] の元と見ても、この因数分解は可能 (係数が ±1, 0 のみ)。

Fermat の小定理より、xp−1 ≡ 1(mod p) は x = 1, · · · , p − 1(mod
p) の p − 1 個の異なる解をもつので、xd − 1 = 0 の解はすべて異
なっていなければならない。
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群環体
n =
∑
d|n ϕ(d)
1
n
,
2
n
, · · · ,
n − 1
n
,
n
n
を約分
.
1 分母が d の分子 (互いに素) が ϕ(d) 個
.
2 分母は、n の約数
例:
{
1
12
,
2
12
,
3
12
,
4
12
,
5
12
,
6
12
,
7
12
,
8
12
,
9
12
,
10
12
,
11
12
,
12
12
}
= {
1
12
,
1
6
,
1
4
,
1
3
,
5
12
,
1
2
,
7
12
,
2
3
,
3
4
,
5
6
,
11
12
, 1}
= {
1
12
,
5
12
,
7
12
,
11
12
} ∪ {
1
6
,
5
6
} ∪ {
1
4
,
3
4
} ∪ {
1
3
,
2
3
} ∪ {
1
2
} ∪ {1}
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群環体
F∗
p に位数 p − 1 の元 (原始元) が存在
d|p − 1 のとき、xd − 1 = 0(mod p) の d 個の元の集合は、群を
なす

M¨obius 変換より、ψ(d) を位数 d の元の個数として、
n =
∑
d|n
ϕ(d) =⇒ ϕ(n) =
∑
d|n
µ(d)
n
d
n =
∑
d|n
ψ(d) =⇒ ψ(n) =
∑
d|n
µ(d)
n
d
一般に ψ(n) = ϕ(n)。特に、p > 2 で、ψ(p − 1) = ϕ(p − 1) > 1。

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