1. 加法よりも低レベルな演算を
考える
日曜数学会 2016-01-30
@butchi_y

2. きっかけ
 加算から乗算が生まれた
 乗算からべき乗が生まれた
 なら、その逆ルートを辿れるか？

3. 定義
 x + x = x × 2
 x × x = x ^ 2
 ということは
 x ⊕ x = x + 2
こう定義するのが自然そう
（ “⊕” は「準加算記号」とでも名前を付けておく）

4. 定義
 x + x + … + x = x × y
 x × x × … × x = x ^ y
 x ⊕ x ⊕ … ⊕ x = x + y
y
y
y

5. 具体的には
 0 ⊕ 0 = 2
 1 ⊕ 1 = 3
 2 ⊕ 2 = 4
 3 ⊕ 3 = 5
 4 ⊕ 4 = 6
⊕ 0 1 2 3 4
0 2
1 3
2 4
3 5
4 6

6. もっと計算
 0 ⊕ 0 ⊕ 0 = 3 → (0 ⊕ 0) ⊕ 0 = 2 ⊕
0
 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 4 → (1 ⊕ 1) ⊕ 1 = 3 ⊕
1
 2 ⊕ 2 ⊕ 2 = 5 → (2 ⊕ 2) ⊕ 2 = 4 ⊕
2
⊕ 0 1 2 3 4
0 2 3
1 3 4
2 3 4 5
3 4 5
4 5 6（交換法則を仮定）

7. もっと計算
 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 = 4 = 3 ⊕ 0
 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 5 = 4 ⊕ 1
 2 ⊕ 2 ⊕ 2 ⊕ 2 = 6 = 5 ⊕ 2
⊕ 0 1 2 3 4
0 2 3 4
1 3 4 5
2 3 4 5
3 4 4 5
4 5 5 6順調に埋まってる！

8. 結合法則を仮定すると…
 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 = 6
 (0 ⊕ 0) ⊕ (0 ⊕ 0) ⊕ (0 ⊕ 0) = 2 ⊕ 2
⊕ 2 = 5
 (0 ⊕ 0 ⊕ 0) ⊕ (0 ⊕ 0 ⊕ 0) = 3 ⊕ 3 =
5
 …矛盾！

9. 0の演算は特殊？
 0 + 0 = 0
 0 × 0 = 0
だけど
0 ^ 0は不定値だし、
0 ⊕ 0も不定値？

10. また結合法則を仮定すると…
 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 7
 (1 ⊕ 1) ⊕ (1 ⊕ 1) ⊕ (1 ⊕ 1) = 3 ⊕ 3
⊕ 3 = 6
 (1 ⊕ 1 ⊕ 1) ⊕ (1 ⊕ 1 ⊕ 1) = 4 ⊕ 4 =
6
 …どのみち矛盾！

11. 零元
 a ⊕ a = a となるようなaはある？
→定義より a ⊕ a = a + 2
＿人人人人人人人人人＿
＞ 非常に厳しい！ ＜
￣Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y￣

12. 代数学的アプローチ
 f(x) = x + 1 (: インクリメント演算)
 f2(x) = f(f(x)) = x + 2 = x ⊕ x
 f3(x) = f(f(f(x))) = x + 3 = x ⊕ x ⊕ x
 fy(x) = x + y (= fx(y))

13. まとめ
 加算、乗算のノリで低級化を試みた
 x ⊕ x = 2という定義を厳守
 交換法則等を用いると矛盾
 矛盾しない解決法を募集中！