2019.01.05 に開催された 第14回 #日曜数学会 で発表しました。 オイラーが発見した巨大な素数の判定法についてのお話です。 発表者：tsujimotter http://tsujimotter.info

1. 18, 518, 809 = 1972
+ 1848 ⇥ 1002
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オイラー先⽣の
おしゃれな素数判定
⽇曜数学者 tsujimotter
2019.01.05 第14回 #⽇曜数学会

2. 18,518,809
2
は素数ですか？

3. 3
オイラー先⽣の解答

4. 便利数
n が以下の条件を満たすとき，n を便利数という：
4
奇数 m は n と互いに素で，整数x, yを⽤いて
x2 + ny2 の形で表現できるものとする．
m = x2 + ny2 が x, y >= 0 の範囲で
ただ１つの解を持つならば，m は素数である．

5. 現在知られている便利数（65個）
• 1, 2, 3, 4, 7
• 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 22, 25, 28, 37, 58
• 21, 24, 30, 33, 40, 42, 45, 48, 57, 60, 70, 72, 78,
85, 88, 93, 102, 112, 130, 133, 177, 190, 232, 253
• 105, 120, 165, 168, 210, 240, 273, 280, 312, 330,
345, 357, 385, 408, 462, 520, 760
• 840, 1320, 1365, 1848
5

6. E715 On various ways of examining very large numbers, for whether or not they are primes
（便利数）

7. オイラー先⽣の判定法
7
奇数 m は 1848 と互いに素で，整数x, yを⽤いて
x2 + 1848y2 の形で表現できるとする．
m = x2 + 1848y2 が x, y >= 0 の範囲で
ただ１つの解を持つならば，m は素数である．
n = 1848 として，便利数の定義を適⽤．

8. • m = 18518809 と n = 1848 は互いに素
• 18518809 = 1972 + 1848・1002
• 18518809 = x2 + 1848 y2 は他に解を持たない
• 1848 は便利数より 18518809 は素数．
8
オイラー先⽣の判定法

9. 18,518,809
9
は素数！！！

10. 10

11. 便利数あれこれ
• 便利数は，全く別の⽂脈で登場する
– 正定値２次形式の種の理論において，判別式 –4n の２次形式の
principal genusがsingle classであるときに限り n は便利数
• 65個の便利数のリストは，完全ではない（未解決問題）
– 便利数は有限個 (Chowla, 1934) であり，たかだか66個であることが
証明されている（Weinberger, 1973）
– 66個⽬があるどうかは未解決
– ⼀般化リーマン予想を仮定すると，66個⽬は存在しない．
11