Your SlideShare is downloading. ×
0
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Plantejar i resoldre problemes a la classe de matemàtiques: Per què? Quan? Com?

6,138

Published on

Conferència de Jordi Deulofeu al Departament d'Educació de la Generalitat de Catalunya (26-3-09)

Conferència de Jordi Deulofeu al Departament d'Educació de la Generalitat de Catalunya (26-3-09)

Published in: Education
1 Comment
2 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total Views
6,138
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4
Actions
Shares
0
Downloads
71
Comments
1
Likes
2
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. PLANTEJAR I RESOLDRE PROBLEMES A LA CLASSE DE MATEMÀTIQUES: PER QUÈ? QUAN? COM? Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències Experimentals Universitat Autònoma de Barcelona CREAMAT BARCELONA, 26 de març de 2008
  • 2. En els moments de crisi, només la creativitat és més important que el coneixement Albert Einstein 2009, Any Europeu de la Creativitat i la Innovació
  • 3. Introducció <ul><li>Plantejar i resoldre problemes, analitzar diferents resolucions, reflexionar sobre les pròpies resolucions i les d’altres, hauria de ser una activitat central en el procés d’ensenyament de les matemàtiques a tots els nivells. </li></ul><ul><li>Tanmateix, aquesta afirmació planteja interrogants: </li></ul><ul><li>Per què la resolució de problemes hauria de ser el cor de l’ensenyament de les matemàtiques? </li></ul><ul><li>Quins problemes són adequats en les diferents etapes? </li></ul><ul><li>Com s’han de plantejar i gestionar a l’aula les activitats centrades en la resolució de problemes? </li></ul><ul><li>Quines actituds cal afavorir en relació amb aquestes activitats? </li></ul><ul><li>Quins problemes constitueixen bones activitats d’aprenentatge? </li></ul>
  • 4. <ul><li>En definitiva, com podem millorar la competència matemàtica del nostre alumnat a través d’activitats de plantejament i de resolució de problemes, a la classe de matemàtiques, fent que els nois i les noies de les nostres escoles i instituts trobin en elles oportunitats reals per desenvolupar el pensament matemàtic propi. </li></ul>
  • 5. A la introducció del nou currículum es diu: <ul><li>La competència matemàtica s’ha d’adquirir </li></ul><ul><li>a partir de contextos que tinguin sentit tant </li></ul><ul><li>per a l’alumnat com per al coneixement matemàtic que es pretén desenvolupar. Aprendre amb significat és fonamental per capacitar l’alumnat en l’ús de tot el que aprèn i per capacitar-lo a continuar aprenent, de forma autònoma, al llarg de la vida. </li></ul><ul><li>Per això, cal proporcionar en totes les classes de matemàtiques oportunitats per tal que l’alumnat aprengui a pensar i raonar matemàticament , proposant activitats d’aprenentatge on la resolució de problemes , en un sentit ampli, sigui el nucli de l’ensenyament. </li></ul>
  • 6. El cor de les Matemàtiques <ul><li>El 1980, Paul Halmos va publicar un article: </li></ul><ul><li>“ The Heart of Mathematics”, American Mathematical Monthly, 87(7), en què destaca el paper dels problemes en el desenvolupament de les Matemàtiques. </li></ul><ul><li>A l’inici de l’article diu: </li></ul><ul><li>“ En què consisteix realment la matemàtica? En axiomes (com el postulat de les paral·leles)? En teoremes (com el teorema fonamental de l’àlgebra?) En conceptes? En definicions? En teories? En fórmules? En mètodes? </li></ul><ul><li>La matemàtica segurament no existiria sense tots aquests ingredients, tots són essencials. Però cap d’ells és el cor de la disciplina ja que la principal raó d’existir d’un matemàtic és resoldre problemes i per tant, en el que realment consisteix la matemàtica és en [plantejar] problemes i [trobar les seves] solucions” (p. 519). </li></ul>
  • 7. El cor de l’ensenyament de les Matemàtiques <ul><li>Plantejar i resoldre problemes, per què? </li></ul><ul><ul><li>Per ajudar els nois i les noies a fer-se autònoms, a prendre decisions, a comprendre les informacions que rep, a ser crítics amb allò que se’ls presenta i amb allò que fan. </li></ul></ul><ul><ul><li>Per desenvolupar el conjunt de competències que constitueixen la competència matemàtica (pensar, raonar, argumentar…) i contribuir a la construcció de les matemàtiques pròpies. </li></ul></ul><ul><ul><li>Per mostrar el que realment són les matemàtiques i fer que s’interessin per elles, ja que són una part important del coneixement generat per la humanitat, interessant tant per ell mateix com per les seves aplicacions. </li></ul></ul><ul><ul><li>Per aconseguir que trobin sentit al fet de plantejar-se problemes i al repte que suposa la seva resolució </li></ul></ul>
  • 8. Una de les competències matemàtiques <ul><li>- Plantejar i resoldre problemes. </li></ul><ul><li>- Entendre l’enunciat, generar preguntes relacionades amb una situació – problema. </li></ul><ul><li>- Plantejar i resoldre problemes anàlegs. </li></ul><ul><li>- Planificar i desenvolupar estratègies de resolució, i verificar la validesa de les solucions. </li></ul><ul><li>- Cercar altres resolucions, i canviar les condicions del problema. </li></ul><ul><li>- Sintetitzar els resultats i mètodes emprats. </li></ul><ul><li>- Estendre el problema, recollint els resultats que poden ser útils en situacions posteriors. </li></ul>
  • 9. Característiques dels problemes <ul><li>Quan ens plantegem “quins problemes” poder ser adequats, cal considerar molts aspectes, entre d’altres: </li></ul><ul><li>- El context del problema (o de la situació) </li></ul><ul><li>- La formulació i la presentació </li></ul><ul><li>- El tipus de problema (construcció / prova) </li></ul><ul><li>- Els conceptes matemàtics involucrats </li></ul><ul><li>- Les heurístiques que posa en joc </li></ul><ul><li>- Les tècniques necessàries per resoldre’l </li></ul>
  • 10. Fonts de les situacions generadores de problemes <ul><li>Tot problema sorgeix d’un determinat context: </li></ul><ul><ul><li>Context qüotidià (real i proper a l’alumnat) </li></ul></ul><ul><ul><li>Context real (socialment rellevant, altres ciències) </li></ul></ul><ul><ul><li>Context lúdic (joc, entreteniment, repte) </li></ul></ul><ul><ul><li>Context històric (matemàtiques d’ahir i d’avui) </li></ul></ul><ul><ul><li>Context matemàtic (intern, repte) </li></ul></ul>
  • 11. El context dels problemes <ul><ul><li>La concreció del problema com a activitat escolar </li></ul></ul><ul><ul><li>en determina les seves característiques: </li></ul></ul><ul><li>Context real (extra matemàtic) </li></ul><ul><ul><ul><li>Problemes que corresponen a situacions reals que volem resoldre i aplicar a la realitat les solucions </li></ul></ul></ul><ul><li>Context simulat (extra matemàtic) </li></ul><ul><ul><ul><li>Problemes que simulen situacions reals i que volem resoldre sense necessàriament aplicar les solucions </li></ul></ul></ul><ul><li>Context de joc (o recreació) </li></ul><ul><ul><ul><li>Problemes que volem resoldre perquè ens agrada / diverteix el repte que presenten </li></ul></ul></ul><ul><li>Context matemàtic </li></ul><ul><ul><ul><li>Problemes de contingut estrictament matemàtic </li></ul></ul></ul>
  • 12. Modelitzar per resoldre problemes <ul><li>En la majoria dels casos (i sempre que es tracta de context real o simulat) per resoldre un problema cal realitzar un procés de modelització: </li></ul><ul><li>Formulació del Formulació del </li></ul><ul><li>problema real problema matemàtic </li></ul><ul><li>Solució del Solució del </li></ul><ul><li>problema real problema matemàtic </li></ul>
  • 13. Sobre la gestió de la classe quan es plantegen problemes <ul><li>Els problemes que proposem són importants, però la manera com els treballem a la classe també ho és: </li></ul><ul><li>Un “bon” problema mal gestionat pot esdevenir una “mala” activitat d’aprenentatge i (a vegades) al contrari </li></ul>
  • 14. Quan ensenyem ens cal prendre decisions entre principis en conflicte (P. Meirieu) <ul><li>Quan ensenyem matemàtiques, cal prendre decisions per trobar un equilibri entre: </li></ul><ul><li>- Matemàtiques – contextos – interessos </li></ul><ul><li>- Homogeneïtat – hetereogeneïtat / diversitat </li></ul><ul><li>- Mètodes: informals – formals </li></ul><ul><li>- Llenguatges: oral – escrit / verbal - simbòlic </li></ul><ul><li>- Tècniques i rutines – processos d’ordre superior </li></ul><ul><li>- Intuició i experimentació – argumentació </li></ul><ul><li>- Formes de resolució – resultats </li></ul><ul><li>- Reptes complexos – assegurar èxits </li></ul>
  • 15. Analitzem algunes situacions <ul><li>Context quotidià (mitjans de comunicació) </li></ul><ul><ul><ul><li>Campanya electoral 2008 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Una manera de resoldre la crisi </li></ul></ul></ul><ul><li>Una situació que aplega molts contextos </li></ul><ul><ul><ul><li>El calendari com a font de problemes </li></ul></ul></ul><ul><li>Context lúdic (joc i recreació) </li></ul><ul><ul><ul><li>Joc d’estratègia o problema? </li></ul></ul></ul><ul><li>Context matemàtic </li></ul><ul><ul><ul><li>Un problema de nombres </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Una situació de formes planes </li></ul></ul></ul>
  • 16. <ul><li>Les matemàtiques i la formació </li></ul><ul><li>dels ciutadans d’avui </li></ul><ul><li>El coneixement matemàtic ha de contribuir a fer que l’alumnat sigui capaç de comprendre la informació que rep i pugui valorar-la de manera crítica. </li></ul><ul><li>Per exemple, la informació dels mitjans de comunicació, de la xarxa, o de les campanyes electorals. </li></ul>
  • 17. Campanya electoral eleccions generals: 9 de març de 2008 <ul><li>“ Plantarem 500 000 000 d’arbres en la propera legislatura” (M. Rajoy) </li></ul><ul><li>Com podem analitzar què significa aquesta quantitat d’arbres? Són molts o pocs? </li></ul><ul><li>Podem pensar-ho en extensió… </li></ul><ul><li>Podem pensar-ho en temps… </li></ul><ul><li>Podem pensar-ho en treball i cost … </li></ul>
  • 18. Fem-nos preguntes… <ul><li>Quina distància abastarien? </li></ul><ul><li>Posats en fila 1 arbre cada 5 metres, la fila donaria més de 60 voltes a la Terra, o bé aniria i tornaria més de 3 vegades a la Lluna. </li></ul><ul><li>Quina superficie arbrada representa? </li></ul><ul><li>Si suposem una distància de 5 metres entre cada dos arbres (a cada arbre li correponen 25 metres quadrats) tindrem: </li></ul><ul><li>500 000 000 · 25 = 12 500 000 000 m 2 = 12 500 km 2 . </li></ul><ul><li>Això representa una superfície equivalent a un quadrat de 112 km de costat. </li></ul>
  • 19. Més preguntes… <ul><li>A quin ritme caldria plantar els arbres? </li></ul><ul><li>500 000 000 : 4 = 125 000 000 arbres/any </li></ul><ul><li>125 000 000 : 12 = 10 416 667 arbres/mes </li></ul><ul><li>Treballant 20 dies al mes, 8 hores al dia: </li></ul><ul><li>10 416 667 : 20 = 520 833 arbres/dia </li></ul><ul><li>520 833 : 8 = 65 104 arbres/hora treball </li></ul><ul><li>65 104 : 60 = 1 085 arbres cada minut. </li></ul>
  • 20. I valoracions dels resultats <ul><li>Un planter d’un arbre comú costa 10 euros </li></ul><ul><li>(seria fàcil trobar tants planters?) </li></ul><ul><li>500 000 000 · 10 = 5 000 000 000 euros </li></ul><ul><li>Cost del treball: Un treballador en 4 anys planta 14 000 a. </li></ul><ul><li>Es necessiten 35 700 treballadors </li></ul><ul><li>35 700 · 20 000 € · 4 anys = 2 800 milions d’euros </li></ul><ul><li>Total 7 800 milions d’euros </li></ul><ul><li>Representa 20 vegades el pressupost de Cultura de la Generalitat de Catalunya </li></ul>
  • 21. Repartir entre tothom l’ajut als bancs (2009, època de crisi) Fa poc vaig rebre un power point que deia una cosa així: SENCILLO CÁLCULO IMPRESIONANTE RESULTADO
  • 22. Reflexión y sencillo cálculo enviados a CNN por un televidente : El plan de rescate a los bancos con dinero de los contribuyentes, que aún se discute en el congreso de los EE.UU. , costará la indimensionable cifra de : 700.000 millones de dólares, más los 500.000 millones que ya se le ha entregado a la banca, más los miles de millones que entregarán los gobiernos de Europa a los bancos en crisis en ese continente.
  • 23. Para tratar de dimensionar , sólo en algo , las cifras involucradas, el televidente hace el siguiente cálculo: 'El planeta tiene 6.700 millones de habitantes; si se dividen 'sólo' los  700.000 millones de dólares entre los 6.700 millones de personas que  habitan el planeta, equivale a entregarle: 104 MILLONES DE DOLARES A CADA UNO'.
  • 24.    'Con eso , no sólo se erradica de inmediato toda la pobreza del mundo, sino  que automáticamente se convierte en MILLONARIOS a TODOS LOS HABITANTES DE LA TIERRA'. Concluye diciendo: 'Parece que realmente hay un pequeño problema en la distribución de la riqueza'
  • 25. Altres qüestions sobre quantitats i mesura <ul><li>El coneixement matemàtic ha de possibilitar que l’alumnat sigui capaç de comprendre la informació que rep (p.e. dels mitjans). </li></ul><ul><ul><li>L’estiu de 2006 a Galícia es van cremar 90 000 ha. Quines dimensions tindria un terreny amb aquesta superfície? </li></ul></ul><ul><ul><li>Si ajuntessim la població mundial (4 persones/ metre quadrat) on cabriem tots, a la Noguera, a Catalunya, a la Península Ibèrica o a Europa? </li></ul></ul>
  • 26. El problema de l’aigua <ul><li>L’any 2008 el problema de la falta d’aigua va ser present en el nostre entorn. L’anàlisi, tant de consums com de proveïment d’aigua, és una font de problemes interessants, com per exemple: </li></ul><ul><ul><ul><li>El cost mensual per rebre 2,6 hm cúbics d’aigua transportada en vaixells és de 22 milions d’euros. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>(El Periodico, 4 d’abril de 2008) </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Quin és el cost per metre cúbic? I per litre? </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Com pot afectar a l’increment del cost de l’aigua? </li></ul></ul></ul>
  • 27. Més qüestions sobre mesura <ul><li>La pluja caiguda ahir a Sant Cugat va ser de 98 litres/ metre quadrat. Com ens imaginem aquesta quantitat? </li></ul><ul><ul><ul><li>A quantes ampolles de 1.5 litres d’aigua equivaldria la quantitat caiguda a la terrassa de casa que té 15 metres quadrats </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Si l’aigua de la pluja caigués a la terrassa, i quedés estancada, a quina alçada arribaria? </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Els meteoròlegs, a vegades, en lloc de parlar de litres/ metre quadrat diuen que la pluja ha estat de 98 mm. Per què? </li></ul></ul></ul>
  • 28. Una situació que permet generar problemes de context divers: El calendari <ul><li>A partir d’un full del calendari del mes actual penseu diferents tipus de qüestions i de problemes que es poden generar. Considereu que el calendari és un sistema real de còmput del temps, que està present en la vida diària, però també, si fem abstracció de la seva funció, un full del calendari és una taula de nombres amb una disposició particular. </li></ul><ul><ul><li>A tall d’exemple podeu considerar: </li></ul></ul><ul><ul><li>El calendari com a organitzador de la vida de l’aula. </li></ul></ul><ul><ul><li>El calendari per a situar esdeveniments importants </li></ul></ul><ul><ul><li>El calendari com a generador de problemes sobre mesura de temps </li></ul></ul><ul><ul><li>Les diferents unitats del calendari i la seva relació </li></ul></ul>
  • 29. El calendari (II) <ul><li>Questions sobre l’estructura del calendari: Per què és tan “curiós”? </li></ul><ul><li>Què passaria si per computar el temps només comptéssim dies i anys? </li></ul><ul><li>El calendari egipci antic (any de 365 dies); el calendari julià (any de 365 dies i 6 hores), el calendari gregorià (any de 365 dies 5 hores 48 minuts 46 segons) </li></ul><ul><li>El calendari com una taula de nombres “especial”: com queden situats diferents tipus de nombres (parells - senars, múltiples de 3, de 5, de 6, de 7, etc...). </li></ul><ul><ul><li>Considereu els quatre nombres situats al voltant d’un cert nombre (dalt, baix, davant, darrere). Quina relació hi ha entre el nombre del mig i la suma dels altres quatre? </li></ul></ul><ul><ul><li>Considereu 9 nombres formant un quadrat: Trobeu una manera ràpida de calcular la suma d’aquests 9 nombres (sense necessitat de sumar-los) i raoneu la seva validesa. </li></ul></ul>
  • 30. Un full del calendari: març 2009 <ul><li>1 </li></ul><ul><li>2 3 4 5 6 7 8 </li></ul><ul><li>9 10 11 12 13 14 15 </li></ul><ul><li>16 17 18 19 20 21 22 </li></ul><ul><li>23 24 25 26 27 28 29 </li></ul><ul><li>30 31 </li></ul>
  • 31. Context lúdic: Joc d’estratègia o problema? <ul><li>Quadrats i cercles: joc per dos jugadors </li></ul><ul><li>La situació inicial: Dibuixem quadrats i cercles en una línia. Per exemple comencem amb 8: </li></ul><ul><li>L’objectiu: Un jugador ha d’aconseguir que al final quedi un quadrat. L’altre que quedi un cercle. </li></ul><ul><li>Les jugades: Cada jugador elimina dues figures; si són iguals les canvia per un cercle i si son diferents per un quadrat. </li></ul>
  • 32. Un problema de nombres <ul><li>Quins són els nombres naturals que es poden expressar com a suma de dos (o més) nombres consecutius. </li></ul><ul><ul><ul><li>Estudiar casos particulars (senars, múltiples de 3,…) </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Conjecturar per quins nombres és (no és) possible </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Construir una solució per un nombre donat (possible) </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Provar la impossibilitat per determinats nombres </li></ul></ul></ul><ul><li>Nivells de resolució diferents. </li></ul><ul><li>Tothom (o quasi) pot fer alguna cosa. </li></ul><ul><li>Dificultat per arribar al final. </li></ul><ul><li>Continguts del currículum de Cicle Superior i ESO </li></ul>
  • 33. Una situació per treballar amb formes del pla (creativitat) <ul><li>La divisió d’una figura en parts: </li></ul><ul><ul><ul><li>Dividim un quadrat en 3 parts iguals / equivalents. Quantes maneres diferents podem trobar? </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Dividim un quadrat en 4 parts iguals / equivalents. Quantes maneres diferents podem trobar? </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Es pot dividir un quadrat en un nombre qualsevol de quadrats iguals? Per quins nombres es pot? </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>I si no cal que els quadrats siguin tots iguals? </li></ul></ul></ul><ul><li>Proposeu activitats similars amb altres figures planes: </li></ul><ul><ul><ul><li>Exemple: dividir un triangle en n triangles equivalents </li></ul></ul></ul>
  • 34. Un problema pot tenir respostes diferents? <ul><li>Un problema molt senzill: </li></ul><ul><li>La Marta surt de Barcelona amb el seu cotxe cap a Madrid. En passar per Saragossa recull en Pere que també va a Madrid. A la tornada la Marta deixa en Pere a Saragossa i continua fins a Barcelona. El cotxe ha gastat 120€ de combustible en tot el viatge d’anar i tornar. Suposem que Saragossa es troba just a la meitat del trajecte. Com s’han de repartir les despeses? Justifiqueu la vostra proposta. </li></ul><ul><li>I un de molt complicat (Lewis Carrol): </li></ul><ul><li>Quina és la probabilitat que si escollim a l’atzar tres punts d’un pla, determinin un triangle obtusangle? </li></ul>
  • 35. Consideracions finals (I) <ul><li>Els problemes han de ser la font principal per a l’elaboració d’activitats matemàtiques. </li></ul><ul><li>Determinar què és un “bon” problema és difícil, però algunes característiques que hauria de complir són: </li></ul><ul><ul><ul><li>Que permeti experimentar i/o construir i argumentar </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Que admeti diferents nivells de resolució </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Que es pugui emmarcar en una situació més àmplia </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Que possibiliti la discussió i la reelaboració </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Que es relacioni amb conceptes del currículum </li></ul></ul></ul><ul><li>Moltes d’aquestes característiques depenen no només del problema sinó de la seva formulació </li></ul>
  • 36. Consideracions finals (II) <ul><li>El nostre paper com a professors de matemàtiques, avui, segueix essent fonamental: seleccionant les activitats, seqüenciant-les, gestionant-les, ajudant a l’alumnat en el seu treball, avaluant tot el procés. </li></ul><ul><li>Cal, però, una condició: que nosaltres també ens plantegem i resolem problemes, a més de donar oportunitats als nostres alumnes per a fer-ho. </li></ul><ul><li>Entenc que un treball conjunt en la línia que he tractat d’exposar és imprescindible per tal que l’educació matemàtica que proposem sigui rellevant per a la formació de tots els ciutadans. </li></ul>
  • 37. I una cita final <ul><li>&quot;Ensenyar no és una ciència, es més aviat un art. [...] Ensenyar, òbviament, té molt a veure amb l’art teatral. [...] Haig de confessar que sento plaer a l’actuar, especialment ara que sóc vell i molt rarament descobreixo alguna cosa nova en Matemàtiques: per això sento una certa satisfacció en reviure la manera com vaig fer aquest o aquell petit descobriment en el passat.&quot; George Polya </li></ul><ul><li>Extret de l’article: On learning, teaching, and teaching learning, American Mathematical Monthly, 70 (1963) </li></ul>
  • 38. <ul><li>MOLTES GRÀCIES PER HAVER-ME ESCOLTAT TANTA ESTONA, TAMBÉ A TOTS AQUELLS QUE HAN DESCONNECTAT DEL MEU DISCURS PERQUÈ UN PROBLEMA ELS HA CRIDAT MÉS L’ATENCIÓ. </li></ul>

×