Apuntes todo el temario de aprendizaje de la aritmètica.

1. APRENENTATGE DE L’ARITMÈTICA
Primer quatrimestre
PROFESSORA: Paloma Santonja Serrano
Didàctica de la Matemàtica.
6 crèdits.
Continguts.
1. Resolució de problemes: Fases i estratègies
Que és un problema.
Fases en la resolució d’un problema.
algunes estratègies per a resoldre problemes.
2. Resolució de problemes numèrics.
Problemes de paritat.
Problemes de divisibilitat.
Problemes amb fraccions.
3. L’activitat lògica en l’escola infantil.
L’aprenentatge per adaptació al mitjà.
Aprenentatge i gestió de variables didàctiques.
Les classificacions.
Les relacions d’ordre.
L’enumeració de coleccions.
4. La construcció del nombre natural.
Introducció
Perspectiva històrica, corrents i resultats.
El problema de conservació de la quantitat.
Els models matemàtics de construcció del nombre natural
El paper del conteig en la construcció del nombre.
Aprenentatge del sistema oral de numeració.
Aprenentatge del sistema escrit de numeració.
Sistemes de numeració.
Aritmética informal
5. Problemes d’estructura aditiva i multiplicativa.
Problemes d’estructura aditiva.
Tipus de problemes.
Estratègies de resolució.
Evolució i dificultats en l'ús d’estratègies.
Problemes de estructura multiplicativa
Tipus de problemes.
Estratègies de resolució.
Problemes de repartir en parts iguals
Estratègies de resolució.
1

2. 15 de setembre del 2020
Tema 1, Resolució de problemes: fases i estratègies.
Objectius:
- Resoldres problemes atenent a les fases i a les estratègies de resolució.
Continguts:
- Què és un problema.
- Quines són les fases en la resolució d’un problema.
- Algunes estratègies per a resoldre problemes.
➢ QUÈ ÉS UN PROBLEMA?
La paraula “PROBLEMA” s’utilitza en l’àmbit de l’educació matemàtica per a designar distints tipus
de tasca.
El terme problema se vol reservar per a designar activitats en el curs de les quals l’alumne ha de
buscar, fer front a situacions noves i establir relacions i el professor tracta de suscitar la curiositat
de l’estudiant i de motivar-lo perquè persevere en la investigació.
○ Diferència entre exercici i problema.
EXERCICI PROBLEMA
Al llegir un exercici, es veu immediatament en què
consisteix la qüestió i quin és el mitjà de resoldre’l.
Davant d’un problema no se sap a primera vista com
atacar-lo i resoldre’l; a vegades ni tan sols es veu clar en què
consisteix el problema.
L’objectiu que persegueix el professor quan proposa un
exercici és que l’alumne aplique de forma mecànica
coneixements i algoritmes ja adquirits i fàcils d’identificar.
L’objectiu que persegueix el professor al proposar un
problema és que l’alumne busque, investigue, utilitze la
intuició, apronfundisca en els coneixements i experiències
anteriors i elabore una estratègia de resolució.
En general la resolució d’un exercici exigix poc de temps i
este es pot preveure per endavant.
En general la resolució d’un problema exigeix un temps que
és impossible de preveure per davant.
La resolució d’un exercici no sol implicar l’afectivitat. La resolució d’un problema suposa una forta inversió
d’energies i d’afectivitat. Al llarg de la resolució se solen
experimentar sentiments d’ansietat, confiança, frustració,
entusiasme, alegria, etc.
En general els exercicis són qüestions tancades. Els problemes estan oberts a possibles variants i
generalitzacions i a nous problemes.
Els exercicis abunden en els llibres de text. Els problemes solen ser escassos en els llibres de text.
2

3. Quan es diu que la “resolució de problemes” és un aspecte important de l’aprenentatge de les
matemàtiques, s’està fents referència a que:
● S’ha de proposar problemes als alumnes perquè apliquen els seus coneixements.
● S’han de buscar situacions problemàtiques potencialment significatives per als alumnes que
servisquen com a contextos d’aprenentatge de les matemàtiques, és a dir, parlar de les
coses que els agraden o interessen.
● S’han d’ensenyar als alumnes la forma de procedir més adequada per a resoldre
problemes amb èxit.
En cada un dels tres punts abans assenyalats l’èmfasi s’ha posat en un aspecte diferent de la
resolució de problemes:
● Resolució de problemes com a aplicació.
● Resolució de problemes com a context d’aprenentatge.
● Resolució de problemes com a destresa bàsica.
➢ QUINES SÓN LES FASES EN LA RESOLUCIÖ D’UN PROBLEMA?
La descripció més clàssica i coneguda del procés de resolució de problemes és la de George Polya
que contemple quatre fases:
1. Comprendre el problema.
2. Concebre un pla.
3. Executar el pla.
4. Examinar la solució obtinguda.
1. Comprendre el problema.
L’enunciat d’un problema pot vindre donat de diferents formes: per mitjà d’una situació, un dibuix,
oralment o per escrit.
○ El primer pas és comprendre l’enunciat.
○ Identificar el que se sap (les dades del problema) i el que es demana (la pregunta).
○ Utilizar alguna representació que ajude a comprendre millor el problema: materials,
diagrama, paper quadriculat…
○ Expressar l’enunciat amb les pròpies paraules, fer un dibuix que represente la situació.
3

4. ➢ Xerrada en el taxi.
Un dia un senyor molt parlador va prendre un taxi. El taxista li va dir: Ho lamente senyor,
però no puc sentir una paraula del que diu, estic sord com una tàpia i se m'han acabat les
piles de l'audiòfon. El senyor va callar. Però quan es va abaixar del taxi es va adonar que el
taxista li havia mentit, com ho va saber?
Fases Representació mental del context.
Com sap que ha mentit?
- Sap que li ha parlat Però pot mirar per el retrovisor
- Sap la direcció Però pot llegir els llavis.
- Li pregunta el preu i li contesta sense mirar Però pot dir-ho quan acaba el trajecte.
Tot son suposicions
2. Concebre un pla
Algunes idees per a inspirar-se són:
● Fer un esquema, una figura, un diagrama, una taula…
● Experimentar per a tractar d’identificar o conjecturar alguna propietat, observar patrons o
regularitats.
● Estudiar casos particulars.
● Fer assaig i error.
● Eliminar una condició.
● Suposar el problema resolt: pensar des del final.
● Buscar un problema semblant més senzill o ja resolt.
➢ Tricicle i cotxes.
En una fàbrica de joguets han muntat tricicles i cotxes. En total s'han muntat 6 vehicles amb
22 rodes. Quants vehicles de cada classe s'han construït?
Estratègia 1. Modelizar la situació representant les rodes dels tricicles i els cotxes amb interlínies de
colors.
Estratègia 2. Assaig i error.
4

5. Estratègia 3. Buscar sistemàticament totes les possibilitats eliminant els casos impossibles.
Estratègia 4. Traduir les dades del problemes a equacions i resoldreles.
Emparar una o altra estratègies dependrà en part dels coneixements del resolutor. Per exemple,
l’estratègia 1 podem utilitzar-la en educació infantil mentres que la 4 exigeix el domini del llenguatge
algebraic i les equacions. D’altra banda no totes les estratègies són igualment eficients; algunes
d’elles no ho són perquè són laboriosament i difícilment utilitzables quan es manegen quantitats
més grans.
És important no aplicar la primera estratègia que vinga al cap sinó buscar més d’una possible
estratègia de resolució perquè de la quantitat pot sorgir la “qualitat”. D’altra banda, en cas en què
no funcione el pla, hi ha un B per a solucionar el problema.
3. Executar el pla.
Dos consells:
● No “arrugar-se” fàcilment.
● Tractar d’arribar fins al final, però si l’estratègia no funciona, buscar un altra.
4. Examinar la solució obtinguda.
La solució d’un problema no acaba quan s’ha dut a terme el pla previst i pareix que funciona, cal
verificar-lo.
Una vegada resolt un problema, a més d’examinar la solució, és important:
● Explicar el que s’ha fet de manera que una altra persona puga entendre-ho.
● Intentar resoldre-ho utilitzant una estratègia diferent.
● Preguntar-se què ocorreria si es canvien les dades, les condicions del problema o la
pregunta.
5

6. 17 de setembre del 2020
➢ El monstre del llac Ness
La longitud del monstre del llac Ness és 20 metres més la mitat de la seua pròpia longitud.
Quant mesura el monstre?
Dades: Vint metres més de la meitat
Incògnita: La seva mesura
Estratègia 1. Traduir les dades a equacions
20 + x/2 = Aquesta solució dona 40
Estratègia 2. Regles cuisine
_____10_____ _____10_____ _____10_____ _____10_____
_____10_____ _____10_____ _____10_____ _____10_____
La meitat de la longitud 20
La meitat + 20 meitats
Una vegada resolt un problema, a més d'examinar la solució, és important:
● Explicar el que s'ha fet de manera que una altra persona puga entendre-ho.
● Intentar resoldre-ho utilitzant una estratègia diferent.
● Preguntar-se què ocorreria si es canvien les dades, les condicions del problema o la
pregunta.
➢ Competició de tenis
Uns quants clubs de tenis estan participant en una competició. Cada club ha inscrit a dos
equips i cada equip ha de jugar amb tots els altres, excepte amb els del seu propi club, una
sola vegada Quants partits hi haurà en total si s'inscriuen 8 clubs en la competició?
Estratègia 1: Representar per punts els equips i per segments els partits. Comptar sistemàticament
les línies ‘noves' des de cada punt.
6

7. Estratègia 2: Multiplicar el nombre de clubs pel nombre de partits que han de jugar, trobar la meitat
perquè s'ha comptat cada partit dos vegades, i restar els partits entre equips del mateix club.
4 x 6/2 = 12
3 clubs, 12 partits
4 partits x 6 equips : 2 clubs = 12
nº de clubs x 2 x (nº equips - 2) / 2
Exemple: 25 clubs x 2 x (50 - 2) / 2
Estratègia 3: Intentar casos senzills i conjecturar un model o patró.
A1 A2 B1 B2 C1 C2
A1 X X X X
A2 X X X X
B1 X X
B2 X X
C1 X X
C2 X X
3 Clubs, 12 partits (4+4+2+2)
Estratègia 3:
Clubs 2 3 4 5 6
Mirant els
gràfics
2x2 6x4/2 8x6/2 10x8/2 12x10/2
Mirant la taula 2+2 1+1+2+2 6+6+1+1+2+2 8+8+6+6+1+1
+2+2
10+10+8+8+6
+6+1+1+2+2
Partits 4 12 24 40 60
7

8. - Intentar alguns casos senzills:
Un problema pot resultar difícil perquè apareixen quantitats grans o per tindre massa elements que
el fan enrevessat i fosc.
● Animar-se amb el probable èxit.
● Albirar principis de solució que estaven confusos i opacs enmig de la complexitat del
problema inicial, per tant en el problema senzill solen aparèixer, més transparents.
● Experimentar de manera més fàcil, per tant la manipulació efectiva en un problema amb
menys elements és més fàcil que en un de molts.
➢ El Club de Beni
Beni vol fer un Club de videojocs. Per ara ell és l'únic soci, però els seus plans són que cada
soci trobe dos nous socis cada mes. Si el seu pla funciona, quants socis tindrà el seu Club al
cap de 12 mesos?
● Intentar per 1, 2, 3 mesos, calcular el nombre de socis.
● Fer una taula i conjecturar un model o patró.
● Justificar perquè funciona eixe patró.
Mesos 1 2 3 4
Socis 1 1+2=3 3+2x3 = 9 9+2x9 = 27
Es multiplica el total per 3.
Amb les dades de la taula es pot conjecturar un model o patró: els números 1, 3, 9 i 27 són
potències de 3:
30
, 31
, 32
, 33
, …
I s'observa que l'exponent és una unitat menor que el mes corresponent. Per tant al cap de 12
mesos hi haurà 311 socis.
8

9. ➢ El magatzem:
En un magatzem pots aconseguir un descompte del 20%, però, al mateix temps, has de pagar
uns impostos del 15%. Què preferiries que calcularen primer, el descompte o l'impost?
Partim de 100 euros:
a) 20% de descompte a 100€ = 20€ Total 100 - 20 = 80€
15% de descompte a 80€ = 12€ Total 80 + 12 = 92€
b) 15% de descompte a 100€ = 15€ Total 100 + 15 = 115€
20% de descompte a 115€ = 23€ Total 115 - 23 = 92€
● Assaig i error
L'assaig i error es pot utilitzar com a tècnica útil de resolució de problemes, particularment quan
s'està enfront d'un problema no familiar que no se sap com abordar. Perquè siga eficaç és necessari
fer-ho de manera sistemàtica i intel·ligent, anotar els assajos, els seus resultats i els intents fallits,
examinant-los per a triar el següent assaig.
➢ De l’1 al 9:
Col·loca en un quadrat 3x3 els números de l'1 al 9 de manera que totes les línies (horitzontals,
verticals i diagonals) sumen 15.
8 3 4 4 vegades: 5
3 vegades: 2, 8, 4, 6
2 vegades: 1, 3, 7, 9
1 5 9
6 7 2
L'assaig i error es pot fer:
● Aleatòriament. Per exemple col·locant els números en les caselles fins que totes les sumes
donen 15.
● Sistemàticament. Per exemple col·locant els números més xicotets, de l'1 al 4, en les caselles
dels cantons i veient les possibles combinacions. Si no funciona provar amb altres majors.
9

10. Este problema també es pot resoldre d'una altra manera, fent descomposicions del número 15:
● Descomponem 15 de totes les formes possibles com a suma de tres sumands distints amb
valors compresos entre 1 i 9. Com el número que més vegades es repetix en els sumands és
el 5 (es repetix quatre vegades), ha d'estar en el centre del quadrat que se suma en
horitzontal, en vertical i dos vegades en diagonal. Els que apareixen en els sumands tres
vegades estaran en els cantons i els que apareixen dos vegades s'ubicaran enmig dels
costats del quadrat.
● Eliminar una condició Una manera de convertir un problema en un altre més senzill consistix
a eliminar una condició de l'enunciat, resoldre este nou problema, i després imposar-li a la
solució obtinguda la condició que s'havia eliminat.
PRÀCTICA 1:
➢ Robots
Si una fàbrica de robots ha fet 14 robots i ha venut tots menys 6, quants li quedaran?
Hi ha que llegir correctament els enunciats.
Si han fet 14 robots i els han venut tots menys 6, quedaran 6 robots sense vendre.
➢ Les pàgines d'un llibre
Si arranquem les pàgines 29, 52, 77, 78 i 95 d'un llibre, quants fulls haurem arrancat?
Sols han arrencat 4 fulls, per què les pàgines 77 i 78 van juntes, degut a que es un llibre.
➢ Les caixes
Estes caixes tenen una nina, un baló, un llibre, un banyador i
Caramels.
Els caramels i la nina estan en caixes numerades amb nombres
parells.
El llibre i el baló estan en caixes amb números imparells.
Si agafem la caixa del llibre, caurà la dels caramels.
Si agafem la caixa del banyador, caurà la del baló. Què conté cada
caixa?
Caixa 1: Baló Caixa 2: Caramels Caixa 3: Banyador Caixa 4: Nina Caixa 5: Llibre
10

11. ➢ Mitjons
En un calaix hi ha 28 mitjons negres i 28 mitjons blancs. L'habitació esta totalment a fosques.
Quants mitjons s'han d'agafar per a assegurar-se que hi ha almenys una parella del mateix
color? I si hagueren de tres colors diferents?
Si hi ha que agafar una parella del mateix color hi sols hi han dos colors diferents, agafarem 3
mitjons, i així seran 2 d’un color i 1 de l’altre color.
Si hi ha que agafar una parella del mateix color hi han tres colors diferents agafarem 4 mitjons, i així
seran 2 d’un color i 2 diferents.
➢ El bes
Per a alliberar la princesa, el príncep ha de caminar 300 Km i despertar-la amb un bes. Cada
dia camina 50 Km, però durant la nit el malvat mag el transporta 40 Km arrere. Quin dia
aconseguirà el príncep besar la princesa?
25 dies = 250 km
1 dia = 50 km
300 km = 26 dies
Dia Camina Desfà Comença l’endemà
1 50 50 - 40 = 10 10
2 10 + 50 = 60 60 - 40 = 20 20
3 20 + 50 = 70 70 - 40 = 30 30
Durant els 25 primers dies camina 250 quilòmetres, ja que sols adelanta 10 quilòmetres al dia, però
l’últim dia camina 50 quilòmetres i el malvat no el pot tornar 40 quilòmetres enrere ja que no es fa
de nit, per tant en 26 dies podrà recórrer els 300 quilòmetres.
➢ El tren
Un tren recorre la distancia entre Huelva i Sevilla en una hora i vint minuts, però la tornada
l'efectua en només huitanta minuts, com l'expliques?
1 hora i 20 minuts és igual a 80 minuts.
80 minuts és igual a 1 hora i 20 minuts.
Per tant, tardarà el mateix en anar que en tornar.
11

12. ➢ Nombre de dos xifres
La suma de les dos xifres d'un número és igual a 8. Troba eixe número sabent que la
diferència entre ell i el número resultant de canviar d'orde les seues xifres és 18. Raona la
teua resposta.
1+7= 8 6+2= 8 17-71 53-35= 18
2+6= 8 7+1= 8 26-62 62-26=36
4+4= 8 3+5= 8 35+53 71-17=54
5+3= 8 8+0= 8 44+44 80-08=72
Suposar el problema resolt:
Pensar des del final Una tècnica molt comuna i productiva del pensament matemàtic consistix a
suposar el problema resolt. Al suposar el problema resolt les dades apareixen més pròxims i, per
tant, és més fàcil trobar el camí que ens ha de portar des d'on estem a on volem arribar.
➢ Arreglaments en la casa
S'ha construït una casa utilitzant mistos com s'indica en el dibuix de baix. Canvia en ella la
posició de dos mistos de manera que aparega la casa de l'altre costat.
12

13. En este cas es pot dibuixar la casa de l'altre costat i comparar els dibuixos per a identificar els mistos
que cal canviar de posició.
El mètode de suposar el problema resolt s'usa molt en els problemes numèrics d'àlgebra elemental.
En estos es demana calcular un número que complix una sèrie de condicions en forma
d'operacions.
S'aplica el mètode suposant conegut el número buscat i anomenant-lo x. A l'imposar-li les
condicions inicials resulta una equació que es resol per mètodes coneguts.
Un cas particular de la tècnica de suposar resolt el problema és la de pensar des del final. Esta
tècnica consistix procedir des d'arrere cap avant. Es pot aplicar en la resolució del problema
següent:
➢ Jaimito
Jaimito ix de casa amb un muntó de cromos i torna sense cap. Sa mare li pregunta què ha fet
amb els cromos.
Jaimito diu: “A cada amic amb què em vaig trobar li doní la mitat dels cromos que portava
més un”. Sa mare li pregunta: “Amb quants amics te vas trobar?”. “Amb sis”, va respondre
Jaimito.
Amb quants cromos va eixir Jaimito?
Són 6 amics
0 cromos - Jaimito
2 - 6 amic 6 - 5 amic 14 - 4 amic
30 - 3 amic 62 - 2 amic 126 - 1 amic
Li dona la meitat +1 això vol dir que 2 és la meitat menys 1.
4 6+1 = 7 = 14 + 1 = 15 x 2 = 30+1 = 31 x 2 = 62 +1 = 63 x 2= 126.
13

14. PRÀCTICA 2:
➢ Punts de tall
Si traces dos segments en un full de paper, es tallen com a màxim en un punt, tres segments
es tallen com a màxim en tres punts:
- ¿En quants punts es tallen com a màxim 8 segments?
- En quants punts es tallen com a màxim 25 segments?
Suggeriments:
- Fer una representació gràfica.
- Organitzar la informació en una taula.
Estudiar la situació de forma dinàmica (afegint segments i comptant els punts nous) o estàtica
(estudiar una situació donada, és a dir, fer un recompte tenint en compte a quants segments talla
cada segment)..
Dos segments es tallen en 1 punt
Tres segments es tallen en 3 punts.
Huit segments es tallen en 28 punts
Vint-i-cinc es tallen en 300 punts
FORMULA: Punts = nº de segments x (nº de segments - 1) / 2
25 x(25 - 1) / 2 = 30
8 x(8 - 1) / 2 = 28
Les seqüències aritmètiques:
1 3 5 7 9 11
2 2 2 2 2
1 + 11 X 6 = 12 X 6 = 6X6 = 36
2 2
6 11
7 13
Qu = Q1 + (n +1) diferencia
Cada segment pot tallar-se com a màxim en tota la resta de segments.
14

15. ➢ Les pomes de l'hortolà
Un hortolà porta pomes; troba tres guardes; dóna al primer la mitat de les pomes més dos; al
segon, la mitat de què li queden més dos, i al tercer, la mitat de les sobrants més dos. Li
queda una. Quantes portava?
Suggeriments:
- Suposar el problema resolt o pensar des del final
Ell: 1 3r: 6 2n: 16 1r: 36
Li queda 1 poma, si agafa les 2 pomes que li he donat les dune a la que tenía i n’he tindré 3 i això vol
dir que li havia donat la meitat, això vol dir que n’he tenía 6
Agafa les 2 i les sumaré a les 6 que li han quedat, si li han donat la meitat i queda l’altra.
➢ Pedro i els seus amics
Pedro i sis dels seus amics van passar un dia en el parc d'atraccions. Al final del dia van
decidir emparellar-se i pujar a la muntanya russa. Cada amic es muntaria amb els altres una i
exactament una vegada.
a) Escriu la successió per a 2, 3, 4, 5 … amics
b) Quants viatges haurien de fer Pedro i els seus 6 amics?
c) Quants viatges farien si Pedro anara al parc d'atraccions amb més amics, per exemple amb
7, amb 8, amb 9, amb 10, etc.?
d) Com es podria calcular el nombre de viatges per a qualsevol nombre d'amics?
P 1 2 3 4 5 6 42 vegades / 2 = 21
P x x x x x x
1 x x x x x x
2 x x x x x x
3 x x x x x x
4 x x x x x x
5 x x x x x x
6 x x x x x x
15

16. a) Succesió:
2 1 Cada amic és junta amb la resta
i ho dividim entre 2 perquè sols
montaran 1 vegada.
FORMULA:
nº x(nº - 1)
2
3 3
4 3+3 = 6
5 6+4 =10
6 10+5 =15
7 15+6 = 21
Exemple 4 amics:
Marcos Jaume Laura Andrea
J, L, A M, L, A M, J, A M, J, L
4 x 3 = 6
2
➢ La tira de paper
Imagina't una tira de paper llarga i estreta, estesa davant de tu sobre la taula, d'esquerra a
dreta. Agafa l'extrem dret i col·loca-ho damunt de l'esquerre. Ara esclafa la tira sobre la taula
aplanant-la, de manera que quede plegada per la mitat i presente una duplicitat. Doblega-la
de nou per la mitat, si la desplegues veuràs 3 duplicitats. Repetix l'operació doblegant de nou
per la mitat.
a) Fes una taula que relacione el nombre de duplicitats que es produïxen si es repetix
l'operació 1, 2, 3, 4 … vegades.
b) Quantes duplicitats hi haurà després de repetir l'operació deu vegades en total?
c) Busca una regla per a calcular el nombre de duplicitats si es plega n vegades.
Moviment Plegs
1 1
2 1+2 = 3
3 1+2+4 = 7 = 1+2+22
4 1+2+4+8 = 15 = 1+2+22
+23
16

17. 3+7+15= 24 - 1 = 23
➢ L'aniversari de Marta
Marta dóna una festa en sa casa per a celebrar el seu aniversari. A mesura que van arribant
els seus amics saluden Marta i a tots el que estan en la festa. Si han assistit 15 invitats.
Quantes salutacions s'han intercanviat?
Marta + 15 convidats
Formula:
nº x( n-1)
2
16 x (16-1)
2
nº és el nombre de persones en la festa, si nº és el nombre de convidats
16x15/2 = 120 salutacions.
➢ Tres xiquetes
Tres xiquetes estan parlant amb una simpàtica senyora que vol saber el seus noms. Una
xiqueta té posada una brusa violeta, una altra una brusa rosa i la tercera una brusa blanca.
La xiqueta amb la brusa violeta diur:
-“Ens diem Blanca, Rosa i Violeta”
A continuació una altra xiqueta diu:
- “Jo em dic Blanca. Com pot vostè veure, els nostres noms són els mateixos que els colors de
les nostres bruses, però cap de nosaltres usa brusa del color del nostre nom”
La senyora somriu i diu: - “Però ara ja sé com us dieu” De quin color és la brusa de cadascuna
de les xiquetes? Raona la resposta.
Blanca Rosa Violeta Nom / Camisa
No No Blanca
No No Rosa
No No Violeta
17

18. La xiqueta amb la camisa violeta diu els noms, l’altra xiqueta diu que no es blanca, i no poden
coincidir els noms en els colors.
➢ El viatge
Un matrimoni viatja en el seu cotxe amb la seua filla de 12 anys i el seu fill de 2 anys.
Cadascun s’entreté en el viatge amb una activitat diferent: dormir, conduir, llegir i menjar. El
pare ni dorm ni llig. La mare si llig, es mareja, i mai menja en els viatges. Si el xiquet està
despert, no deixa llegir a la seua germana. Quina activitat realitza cadascun?
a) Resol el problema
b) Explica com ho has fet identificant l’estratègia utilitzada
Mare Pare Fill Filla
Dormir No No Sí No
Conduir Sí No No No
Llegir No No No Sí
Menjar No Sí No No
➢ La llauradora
Una llauradora porta a la fira un xicotet ramat de cabres que ven a tres firaires. Al primer li
ven la meitat de les cabres que portava, més mitja cabra; al segon, la meitat de les cabres que
li quedaven més mitja cabra; al tercer firaire li ven l’última cabra que li quedava. Amb
quantes cabres va entrar en la fira i quantes va vendre a cada firaire? Resol el problema i
explica el raonament que has emprat per a arribar a la solució.
1r: 4 2n: 2 3r: 1
Va entrar en 7 cabres i va vendre 4 al primer, 2 al segon i 1 al primer.
18

19. Tema 2. Resolució de problemes numèrics
Objectiu:
- Resoldre problemes emprant les propietats dels números i de les operacions elementals.
Continguts:
- Problemas de paridad
- Problemas de divisibilidad
- Problemas con fracciones
➢ Problemes de paritat
El concepte de paritat (parell o imparell)
➢ Engranatges
Onze engranatges estan col·locats en el pla formant una cadena com la que es mostra en la
figura. Poden girar tots ells al mateix temps?
Pista: Els engranatges giren en sentit
de les agulles del rellotge o en el sentit
oposat de forma alternada.
No poden moure, perquè el moviment
(la direcció del gir) va en funció de par i
impar, i al estar en cercle hi ha dos que
giren al mateix sentit, no podent
donar-se el gir.
➢ Cobrir el tauler
Podem cobrir un tauler com el de d'escacs però de dimensions 5 x 5 amb fitxes de dòmino de
dimensions 1 x 2?
25 és parell i les fitxes son imparelles.
Al afegir fitxes de dominó estic afegint dues caselles a la vegada, la suma del nombre parell serà
parell, per tant, mai podrem obtenir el nombre 25 sumant 2 cada vegada.
19

20. Propietats dels nombres parells i imparells.
a i b són imparells a + b dona parell
a i b són parells a + b dona parell
a és parell i b és imparell a + b dona imparell
➢ Rubles
És possible canviar un bitllet de 25 rubles utilitzant en total 10 bitllets d'1, 3 o 5 rubles?
No, perquè la suma sempre ens donarà parell, i el 25 es un nombre imparell.
➢ Tauler retallat
En un tauler d'escacs 8 x 8 s'han llevat dos caselles d'extrems oposats. Es pot cobrir amb
fitxes de dòmino de grandària 1 x 2?
No pot ser, perquè cada casella de dominó ocupa una casella de cada color, al eliminar dos extrems
oposats eliminem les dues del mateix color.
Em queden
4x6+3x2= 30 d’un color
4x8=32 d’un altre color
I com les fitxes de dominó ocupen el mateix nombre de cada color, doncs no es podrà.
En alguns problemes, a més d'utilitzar la idea de paritat cal fer consideracions addicionals, per
exemple en el problema anterior el color de les caselles que s'han eliminat.
PRÀCTICA 1
➢ Catí i els seus amics
Catí i els seus amics i amigues estan dret en cercle, de manera que cada un estan entre dos
del mateix sexe. Si hi ha cinc xiquets en el cercle, quantes xiquetes hi ha?
Són 5 amics i 5 amigues.
20

21. ➢ Polígons
Provar que si un polígon de 7 costats (heptàgon) té un eix de simetria, el dit eix de simetria
passa per un dels seus vèrtexs. Què podria dir-se de l’eix de simetria si el polígon tinguera 8
costats (octògon)?
Sí que té un eix de simetria.
➢ La llibreta de Pere
Pere va comprar una llibreta que tenia 96 fulls i les va numerar de l’1 al 192. Victor va
arrancar 25 fulls del quadern de Pere i va sumar els 50 números dels citats fulls. El resultat de
l’eixa suma pot ser igual a 1990?
1 - 192 96 pàgines
No, perquè la suma dels nombres que hi ha en cada full (2 pàgines) és imparella (Un nombre parell i
l’altre imparell)
La suma d’un nombre imparell de nombres imparell. Tindriem la suma de 25 nombres imparells,
que es imparell .
➢ Del 1 al 10
Escribimos los números del 1 al 10 en una fila. ¿Podemos distribuir los signos + y – entre ellos
de manera que el resultado de efectuar las operaciones que aparecen en la expresión final
sea igual a 0? (Nota: los números negativos también pueden ser pares e impares).
La suma dels nombres del 1 al 10 és 10 x 11 / 2 = 55
Si canviem el signe de qualsevol d’ells, la suma canviarà en una quantitat parell (2 vegades el
nombre que hem canviat el signe), la suma continuarà sent imparell, no pot ser 0.
➢ Caracol
Un caracol se mueve en un plano con velocidad constante y en línea recta. Cada 15 minutos
gira un ángulo recto siempre en el mismo sentido. Demuestra que solo podrá volver a su
posición inicial tras un número entero de horas.
4x15= 60 minuts.
21

22. ➢ Saltamontes
Un saltamontes brinca a lo largo de una línea. En su primer brinco salta 1 cm, en el segundo 2
cm, en el tercero 3 cm y así sucesivamente. En cada salto el saltamontes puede ir a la
izquierda o a la derecha. Mostrar que después de 2001 saltos, el saltamontes no puede
regresar al punto de partida.
No pot tornar al punt de partida perquè el nombre de salts es imparell
Demostrar que després de 2001 salts no es pot tornar enrere.
(1+3) - (3)=0
El saltamartí ha de recorrer tants cm cap a l'esquerra com a la dreta.
➢ Partida de dardos
Luis y Marcos han jugado una partida de dardos con la diana de la imagen. Las reglas del
juego consisten en sumar las puntuaciones obtenidas según la franja donde se clave cada
dardo (un punto, dos puntos,…). Cuando terminan, Luis dice “He obtenido 101 puntos” a lo
que Marcos le replica “Imposible, porque todos tus dardos se han clavado en una franja
blanca”. ¿Es cierta la réplica de Marcos? Justifica por qué.
La franja blanca és tota par, doncs donarà nombres que acaben en 0,2,4,6,8 i mai en 1.
➢ Problemes de divisibilitat
Resoldre el següent problema usant assaig i error és laboriós, però la solució és immediata
coneixent el concepte de divisibilitat i les seues propietats:
➢ Premi en el supermercat
Una cadena de supermercats ha ideat la següent promoció de vendes:
- Per cada compra de 10 euros o fracció oferix al client una targeta amb un número
menor que 100.
- A qui presente diverses targetes els números del qual sumen 100 li regalen 100 euros.
- Les targetes que oferix són les següents: 9, 12, 15, 18, 27, 51, 72 i 84
Hi ha més de 12 perquè el 13 es un nombre prim i el 12 es compost.
Si observem els números de les targetes, són tots múltiples de 3. Els múltiples de 3 (o de qualsevol
altre número) tenen la propietat que la suma és també un múltiple de 3. Però 100 no és múltiple de
3, per tant no hi ha cap combinació guanyadora. Per tant el supermercat està cometent un frau.
Alguns dels conceptes i propietats importants sobre la divisibilitat són els següents:
● Números primers i compostos
- Un número que només és divisible per si mateix i la unitat s'anomena primer.
- Un número que siga divisible per un altre número diferent d'ell mateix i la unitat s'anomena
compost.
22

23. ➢ Rectangles
En un full de paper quadriculat:
- Troba tots els possibles rectangles que estiguen formats per 12 quadrats exactament.
Respon indicant les seues dimensions.
- Fes el mateix per a 13 quadrats.
- Per què hi ha més rectangles formats per 12 quadrats que per 13 quadrats?
12 quadrats 12 x1 // 4x3 // 6x2 dimencions
13 quadrats 13x1 dimencions
● Teorema fonamental de l'aritmètica
Cada número compost es pot expressar com a producte de nombres primers de forma única
(exceptuant l'orde dels factors).
Exemple: 84 = 22 x 3 x 7
➢ Igualtat
Pots trobar dos números naturals a i b tals que 3ª=5b? ¿Por què?
3a
= 5b
a=5 b=3
● Divisor y múltiple
Siguen a i b números naturals amb a diferent de 0. Diem que a dividix b o que a és divisor de b pel
que escrivim a|b si i només si hi ha un número natural x tal que ax=b.
Si a és divisor de b, b és múltiple de a.
● Teorema
Siguen a, m, n i k números naturals amb a diferent de 0.
a. Si a|m i a|n llavors a|(m+n)
4 divideix a 12 i 4 divideix a 24, aleshores 4 divideix a (12+24)
b. Si a|m i a|n llavors a|(m-n)
4 divideix a 12 i 4 divideix a 36, aleshores 4 divideix a (36-12)
c. Si a|m llavors a|km
4 divideix a 12 llavors 4 divideix a 12x5
23

24. ● Regles de divisibilitat
- Un número és divisible per 2 si acaba en 0 o xifra parell.
- Un número és divisible per 5 si acaba en 0 o en 5.
- Un número és divisible per 4 si el número format per les dos últimes xifres és divisible per 4.
- Un número és divisible per 8 si el número format per les dos últimes xifres és divisible per 8.
- Un número és divisible per 3 si la suma dels seus dígits és divisible per 3.
- Un número és divisible per 9 si la suma dels seus dígits és divisible per 9.
- Un número és divisible per 11 si la diferència entre la suma de les xifres que ocupen lloc
parell i les que ocupen lloc imparell és 0, 11 o múltiple d'11.
➢ Capicues
Alguns números capicues de quatre xifres són divisibles per 11, per exemple 1221 o 4334. Esta
propietat la tenen tots els números capicues de quatre xifres?
4 xifres abba
On a i b són digits a= 1,2,3,4...9
b= 1,2,3,4...9
El criteri del 11 relaciona les xifres en posició parell i les de posició imparell.
La suma de les xifres parell = a + b
La suma de les xifres imparells = a+b
La diferència entre els dos sumands serà (a+b) - (a+b)
Pel criteri de divisibilitat del 11 ja ho tenim
● Teorema
Un número és divisible pel producte ab, si és divisible per a i per b i a i b són primers entre si o
coprimers.
225 es divisible per 15 ja que es divisible per 3 i per 5, aleshores o es 3 o 5.
Més regles de divisibilitat
- Un número és divisible per 10 si acaba en 0.
- Un número és divisible per 6 si ho és per 2 i per 3.
- Un número és divisible per 36 si ho és per 4 i per 9.
24

25. ➢ Calculadores
L’ingrés per les vendes d’un model de calculadora va ser un any 2.567 euros i l’any següent
4.267 euros. Si el preu de la calculadora va ser el mateix els dos anys, quantes calculadores es
van vendre cada any?
2567 euros el primer any
4267 euros el segon any = 1700 euros més
Si fem la descomposició factorial dels nombres, tenim
2567= 1x17x151
4267= 1x17x251
Serà cert que 17 serà el preu perque es un divisor, no per ser el mcd.
➢ Tres nombres consecutius
Ompli els buits en blanc:
a) La suma de tres nombres naturals consecutius sempre té com divisor (diferent d’1)
_____________.
b) La suma de cinc nombres naturals consecutius sempre té com divisor (diferent d’1)
_____________.
Demostra-ho.
a)
1+2+3 2+3+4 3+4+5 4+5+6 5+6+7 6+7+8 7+8+9 ...
6 9 12 15 18 21 24 ...
S’observa que la primero suma de tres nombres naturals consecutius és múltiple de 3, i que els
resultats de les altres sumes obtenen sumant 3 al resultat anterior.
Com la suma de nombres que són múltiples de 3, la suma de tres nombres naturals consecutius és
sempre múltiple de 3.
b)
1+2+3+4+5 2+3+4+5+6 3+4+5+6+7 4+5+6+7+8 ...
15 20 25 30 ...
S’observa que la primera suma de cinc nombres naturals consecutius és múltiple de 5, i que els
resultats de les altres sumes s’obtenen sumant 5 al resultat anterior.
Com la suma de nombres que són múltiples de 5, la suma de tres nombres naturals és sempre
múltiple de 5.
25

26. ➢ Sumant
Tria un nombre de quatre dígits. Invertix els dígits. Suma els dos números. El resultat és
divisible per 11? Si la resposta és afirmativa intenta explicar per què.
Siga abcd el nombre de quatre dígits. La seua descomposició polinòmica és:
- abcd= 103
x a + 102
x b + 10 x c + d
- dcba= 103
x d + 102
x c + 10 x b + a
Si sumem els dos nombres tenim:
- abcd +dcba= (103
x a + 102
x b + 10 x c + d) + (103
x d + 102
x c + 10 x b + a) =
= 1001 x a + 110 x b +110 x c + 1001 x d
= 11 x 91 x a + 11 x 10 x b + 11 x 10 x c + 11 x 91 x d
➢ Restant
Tria un número. Invertix els seus dígits. Resta el menor del major. Identifica quina propietat
té la diferència en els casos següents: El número és de dos dígits. El número és de tres dígits.
El número és de quatre dígits.
a) Provem primer amb diversos nombres, per exemple:
32-23=9 52-25=27
Pot comprovar-se que el resultat és múltiple de 9.
Siga ab un nombre de dos dígits. Tenim:
- ab = 10x a + b
- ba = 10 x b + a
ab-ba= 10 x a + b - (10 x b +a) = 10 x a - a + b - 10 b
= 9x a -9 x b= 9 x (a-b)
b) Siga abc el nombre de tres digits
- abc= 102
x a + 10 x b + c
- cba= 102
x c + 10 x b + a
abc - cba = 102
x a + 10 x b + c - (102
x c + 10 x b + a)
= 99 x a - 99 x c = 9 x 11 x (a-c)
26

27. ➢ Suma de números consecutius
Si se sumen els cinc primers números obtenim com a resultat 15:1+2+3+4+5=15 Observem que
15 és múltiple de 3 i de 5. Justifica quin o quins de les següents afirmacions són certes:
- El resultat de la suma de cinc nombres naturals consecutius qualssevol és un múltiple
de 3 i de 5.
- El resultat de la suma de cinc nombres naturals consecutius qualssevol és un múltiple
de 3.
- El resultat de la suma de cinc nombres naturals consecutius qualssevol és un múltiple
de 5.
La primera opció no és sempre certa perquè si sumem 2+3+4+5+6, el resultat és 20, que és múltiple
de 5 (porque acaba en 0), però no de 3 (perquè la suma de les seues xifres no es múltiple de 3)
La segona tampoc i seria com a exemple l’anterior.
La tercera és certa perquè la suma de cinc nombres naturals consecutius és sempre el resultat de
sumar-li a 1+2+3+4+5 un múltiple de 5.
Per exemple:
7+8+9+10+11 = (1+6)+(2+6)+(3+6)+(4+6)+(5+6)
= (1+2+3+4+5) +6x5
= 15+6x5 és el resultat de sumar a 15 sis vegades 5
➢ Valor de lletres
Trobar el valor de les lletres en les següents situacions:
a) En el número de quatre xifres 293c (c pot prendre els valors de 0 a 9), quins valors ha
de tindre la xifra c perquè el número siga divisible per 3?
b) El número de dues xifres 9a (a pot prendre els valors de 0 a 9) és divisible per 2 i el
número de dues xifres 5a és divisible per 3. Trobar el valor de a.
a) Perquè 293c siga divisible per 3 la suma de les seues xifres ha de ser divisible per 3. Després
2+9+3+c = 14+c ha de ser divisible per 3. Per tant, 14+c ha de prendre els valors 15, 18 o 21(no 24
perquè llavors c=10)
Després c pot prendre tres valors : c = 1,4 o 7
b) Perquè 9a siga divisible per 2, ha de ser 0 o xifra parell (0,2,4,6,8)
Perquè 5a siga divisible per 3, la suma de les seues xifres 5+a, ha de ser divisible per 3
(5+a = 6,5+a =12)
Després a = 1,4 o 7
El nombre que complix totes dues condicions és 4.
27

28. ● Problemes amb fraccions
En aquests problemes es treballa amb fraccions, perquè la resposta a les situacions està
representada per dos números. Aquest parell de números té diferents significats: un quocient, una
relació entre una part i un tot, una raó o un operador. Per exemple:
➢ Pizzes per a 5
Per a sopar hem demanat 3 pizzes per a 5 persones. Quant li correspon a cada comensal, si
tots mengen la mateixa quantitat?
Es tracta de repartir equitativament 3 pizzes entre 5 persones, la qual cosa significa que a cada
persona li correspon 3/5 d'una pizza. En aquest cas aquesta fracció representa un repartiment
equitatiu, és a dir, un quocient.
Aquest problema també es pot resoldre gràficament, representant les pizzes en forma de rectangle
o de cercle, dividint-les en parts congruents i prenent les parts que s'indiquen. La fracció representa
en aquest cas la relació parteix-tot, és a dir, la relació entre la part que es pren cada comensal i el tot
(les pizzes) que es reparteix. Per exemple:
- Es poden representar les 3 pizzes mitjançant rectangles i dividir cada pizza en 5 parts
congruents, en total hi haurà 15 parts (3 x 5).
Com són 5 comensals, a cadascun se li pot donar 3 porcions d'una pizza, és a dir, 3/5 d'una pizza, ja
siga prenent 3/5 de la primera pizza per al primer, 2/5 de la primera més 1/5 de la segona per al
segon, i així successivament:
O es pot repartir cada pizza entre els cinc comensals donant-li un cinqué de cada pizza a cadascun:
28

29. - També es poden representar les 3 pizzes mitjançant cercles i dividir cada pizza per la meitat,
hi haurà 6 mitges pizzes (3 x 2). Se li dona mitja pizza a cada comensal; com a sobra mitjana
es fan 5 parts d'aqueixa meitat i se li dona una part a cadascun. Cada comensal prendrà en
total ½ + 1/5 de pizza.
És important que les parts siguen congruents, és a dir, que tinguen la mateixa grandària. Les parts
poden tindre la mateixa grandària encara que no tinguen la mateixa forma. Per exemple en el
següent cas cada part representa ¼ del quadrat, encara que unes tinguen forma rectangular i unes
altres tinguen forma quadrada:
En altres situacions la fracció representa un índex comparatiu, per exemple: “el nombre d'encerts en
tirs lliures de Pablo és 4 de cada 6”. Això vol dir que, en el partit, de 6 tirs lliures que va llançar Pablo
va encistellar només 4, la qual cosa s'expressa com 4/6, i la fracció és una raó.
Finalment, en altres situacions una fracció pot representar un operador, és a dir, una acció sobre un
número, per exemple:
He heretat 3/5 parts d'una parcel·la. Si he sembrat 1/4 de la meua parcel·la de blat ¿ quina
part de la parcel·la està sembrada de blat?
Els 3/5 representen una relació parteix-tot i ¼ té el significat d'operador perquè significa ¼ de 3/5, és
a dir l'acció de multiplicar 3/5 per ¼.
29

30. ➢ Menjant pastissos
Representa mitjançant una fracció la part que falta de cadascuna dels següents pastissos:
a) ⅕
b) ⅛
c) 2/4 = ½
d) ¼
e) 2/6 = ⅓
f) 1/10
➢ La bandera d'Itàlia
La bandera d'Itàlia està composta per 3 rectangles idèntics col·locats “dempeus” (costat
menor horitzontal). Cadascun d'ells ocupa 1/3 de la bandera. D'esquerra a dreta els colors
són: verd, blanc i roig. Dibuixa la bandera italiana.
➢ La ruleta
Una ruleta de joc té forma d'hexàgon regular. La part blava representa ½ de l'hexàgon, la
part roja ¼ de l'hexàgon i la part groga 1/6. La resta és blanca.
- Dibuixa els colors de la ruleta respectant les proporcions
- Quina fracció de la ruleta representa la part blanca?
Blanca: ½ =6/12
Roig: ¼ = 3/12
Grog: ⅙ = 1/12
½+¼+⅙ = 6/12+3/12+2/12 = 11/12
Blanc: 1-11/12 = 12/12-11/12= 1/12
30

31. ➢ Tauleta de xocolate
La figura de baix representa una tauleta de xocolate de la qual vols menjar-te un quart.
Dibuixa la part que et vols menjar. Quants trossos (rectangles xicotets) representa?
Dividir en 4 és com dividir a la meitat i cada meitat en
la meitat.
La meitat de 6 és 3
La meitat de 3 es 1 i ½
➢ El tot i les parts
a) Quants punts són 2/3 del conjunt donat?
Per a representar ⅔ en el conjunt de 18 punts, hem d’interpretar ⅔ com a
part-tot.
Tindirem que el conjunt estaria agrupat en 3 grups de 6 punts (grups
congruents), on cada grup de 6 punts representa ⅓ del conjunt i agafariem
2 grups (⅓ + ⅓ ). Pel que són 12 punts.
b) Representa 3/7 de la següent figura
Per a representar 3/7 del rectangle, dividim el rectangle en 7 parts
congruents sent cada part 1/7.
Agafariem 3 parts (1/7+1/7+1/7)
c) Representa 5/3 del conjunt donat
Representa 5/3 del conjunt, 5 vegades ⅓ Molt representa ⅓
Cada ⅓ queda representa per 6 punts 5/3 seran 30 punts
d) Representa 5/3 de la següent figura
Primer necessitem esbrinar ⅓ , aleshores dividirem entre 3.
5/3 son vegades ⅓
31

32. e) El conjunt de punts és 3/8 del total. Quants punts són el total?
Representa ⅜.
Hem de treure “la unitat” el total de punts en un conjunt.
El 8 representa el nombre de parts en què es divideix en total.
El total ⅜ , molt serán ⅛
Una vegada sera
Per tant, com ⅛ son 2 punts, 8/8 son
f) Si el següent rectangle són 7/5 de la unitat. Quina és la unitat?
7/5 significa que la unitat està dividida en 5 parts.
La unitat seran 5/5 = 5 vegades ⅕
7/5 :7 = donarà ⅕
Si pintem 5 parts tindre la unitat.
g) La figura representa els 6/5 de la unitat, quina és la unitat? Indica per què.
La unitat està formada per 5 parts, 5 vegades ⅕
6/5 vol dir 6 vegades ⅕ , agafant 5 parts tindré el total, la unitat son 25
boletes.
h) El rectangle són 4/5 de la unitat. Quant és ½ de la unitat?
Primer hem de veure que em donen 4 parts de 5 esbrinem ⅕
dividint entre 4. Afegirem una part tinc la unitat. Dividim per la
meitat.
i) Els següents rectangles són 2/3 de la unitat. Representa 3/2 i justifica-ho
La unitat son 3/3, necessite començar per
esbrinar ⅓.
Per fer la unitat afegiré 1 rectangle i mig.
3/2 son 1 unitat = 1/2 . Per tant serà tot l’anterior i mitja més.
3/2 = 2/2 + ½
32

33. j) La part ombrejada del dibuix representa els 7/5 de la unitat. Representa els 11/10.
Justifica-ho.
La unitat es divideix en 5 parts i en tindre 7 partim en 7 per esbrinar.
La meitat son 5 parts.
5/5 = 10/10 podeu dividir en 10 parts i trobem 1/10
I aquesta representa 11/10
➢ Daniel i Carlos
Daniel i Carlos són jugadors de bàsquet i ocupen la mateixa posició en l'equip. L'entrenador
vol conéixer quin jugador és més eficaç, per a això té les anotacions de l'últim partit disputat:
Daniel Carlos
Aciertos en tirs lliures 4 de 6 6 de 9
Encerts en llançaments a
canasta
5 de 10 10 de15
Encerts en triples 2 de 4 2 de 3
Representa la relació entre el nombre d'encerts i el de tirs. Quin d'ells és el millor en cada
modalitat?
Encerts en tirs lliures
Daniel: 4 de 6 és 4/6 = ⅔
Carlos: 6 de 9 és 6/9 = ⅔
Els dos van tindre la mateixa
efectivitat.
Encerts en llançament a
canasta
Daniel: 5 de 10 és 5/10 = ½
Carlos: 10 de 15 és 10/15 =⅔
Carlos va tindre una ,ajor
efectivitat.
33

34. Encerts en triples
Daniel: 2 de 4 és 2/4 = ½
Carlos: 2 de 3 és 2/2 = 2/3
½ > ⅔ ja que 3*1 > 2*2
Resoldre els següents problemes, utilitzan la fracció com a quocient i la fracció com a parttot. En
aquest últim cas, resol gràficament donant almenys dues respostes diferents:
➢ 5 entre 3
Repartir 5 galetes entre 3 xiquets.
Donem ⅔ de galetes a dues d’ells i el terç que queda de cadascun a un altre xiquet.
➢ 4 entre 6
Repartir 4 xocolatines entre 6 xiquets.
En cada xocolatina tallem ⅔ i donem a 4 xiquets cadascun d’eixos trossos ⅔ .
Després tenim 4 trossos de ⅓ i li donem dos d'aquests trossos a cadascun dels altres dos xiquets.
34

35. ➢ Caixa de caramels
Camila té una caixa de caramels. El primer dia es menja un quart. El segon dia es menja un
terç del que li quedava. El tercer dia es menja la meitat de la resta. El quart dia es menja
quatre caramels i se li acaba la caixa. Quants caramels hi havia en la caixa?
El primer dia es menja ¼, i notem que queden ¾ parts de la caixa. El segon dia es menja ⅓ del que
quedava. I el tercer dia es menja ½ del que quedava. I notem que sols queda un quart de la caixa.
El quart dia es menja 4 caramels que era tot el que quedava, que era ¼ de la caixa
Com 4 caramels representen la quarta part hi ha 4*4= 16 caramels.
➢ Pastissos
Carmen va comprar pastissos per al sopar. Pel camí es va trobar amb un amic i li va donar la
meitat dels pastissos que havia comprat. Després es va trobar amb la seua germana i li va
donar la meitat dels quals li quedaven. Si quan Carmen va arribar a la seua casa li quedaven
12 pastissos, quants pastissos havia comprat?
Amic 48 pastissos
Germana 12 pastissos
Carmen 12 pastissos
Li va donar al seu amic la meitat dels pastissos, a la germana li va
donar la meitat del que quedava.
Notem que queda ¼ de la caixa, que és amb el que arriba a casa i diuen que són 12 pastissos.
➢ Herència
Un pare va repartir entre els seus cinc fills un terreny. Al primer d'ells li va donar 3/16 del
total; al segon, 5/24; al tercer 2/9, al quart, 5/36 i al cinqué, 35/144. Justifica si aquest
repartiment és possible. Calcula el terreny repartit si a l'últim li van tocar 1750 m².
Perquè el repartiment siga possible la suma de les fraccions ha de ser menor que 1. (Si no desitgem
que sobre res ha de ser igual a 1)
Per a sumar totes les fraccions hem de trobar el mcm dels denominadors.
16=2^4, 24= 3*2^3^, 9= 3^2, 36=3^2*2^2, 144= 2^4*3^2
Notem que el 144 és el mcm
35

36. 3/16+5/24+2/9+5/36+35/144=
27/144+30/144+32/144+20/144+35/144
=144/144
Per a calcular la dimensió del terreny usarem que l’últim fill va rebre 1750 metres quadrats que
representen 35/144 del terreny. Per tant
35/144 T=1750
T= 1750*144 / 35 = 7200 metres quadrtas.
➢ L'excursió
Antonio, Juan i Pedro van d'excursió. Antonio porta tres pizzes i Joan dues. Pedro que no
porta cap, paga 15 €. Com es reparteixen Antonio i Juan els quinze euros, si les cinc pizzes van
costar el mateix i cap dels tres ix perjudicat menjant tots el mateix?
Es tenen 5 pizzes i 3 persones. Tots han de menjar el mateix.
Després les 5 pizzes es divideixen en 3 trossos cadascuna tenint un total de 15 trossos (trossos
iguals)
15 trossos / 3 persones = 5 trossos es menja cada persona.
Antonio que tenía 3 pizzes es menjarà 1 pizza (3 trossos) i 2 trossos d’un altra.
Sobrant 1 pizza i un tros que es menjarà Pedro.
Juan que tenía 2 pizzes es menjarà 1 pizza (3 trossos) i 2 trossos d’una altra. Sobrant 1 tros que es
menjarà Pedro.
Per tant, si Pedro paga 15€ pels 5 trossos que s’ha menjat, el tros de pizza val 3€. Per tant:
A Antonio li pagarà 4 trossos x 3€ = 12 euros
A Juan li pagarà 1 tros x 3€= 3 euros
36

37. ➢ Viatgers
Tres viatgers es detenen en una posada per a sopar, però el posador només pot oferirlos
creïlles fregides. Mentre les porta, els tres viatgers s'adormen esgotats. Al moment un d'ells
es desperta, es menja la quarta part de les creïlles sense despertar als seus companys i torna
a adormir-se. A l'estona es desperta un altre, que es menja la meitat de les creïlles restants.
Mes tard el tercer es menja les tres quartes parts de les quals queden. El posador torna a la
taula i es troba als tres viatgers adormits i sis creïlles en el plat. Quantes hi havia al principi?
El primer el menja un quart (blau)
El segon es menja la meitat de les restant (roig)
El tercer es menja tres quartes parts de les restants (groc)
Queden 6 creilles, així que cada regió sense pintar te 2 creilles.
37

38. Tema 3. L'activitat lògica en l'escola infantil
Objectius
-Estudiar l'especificitat del model d'aprenentatge de les matemàtiques“per adaptació al medi.”
-Determinar i gestionar les variables didàctiques en una situació d'ensenyament.
-Estudiar i analitzar, des d'un punt de vista matemàtic i didàctic, les nocions relatives a
classificacions, relacions d'ordre i enumeració de col·leccions.
Continguts
1.El aprendizaje “per adaptació al medi”
2.Gestió de variables didàctiques
3.Las classificacions
4.Las relacions d'ordre
5.L'enumeració de coleccions
Per a Piaget els conceptes numèrics es construeixen a partir de la formació i sistematització de les
operacions classificació i seriació
Tasca 1
Material: Una fitxa de cada tipus per a cada xiquet.
Consigna: Es demana als xiquets que expliquen les papallones que hi ha en cada oval(fitxa de
l'esquerra) i que acolorisquen tants objectes com hi ha en cada pot(fitxa de la dreta) .
38

39. Respon a les següents qüestions:
En cadascuna de les fitxes, què han de fer els xiquets?, què han de respondre?, para què ho fan?,
què vol conèixer la mestra?
Explica si consideres que és adequada per a xiquets de 4 anys. Les utilitzaries tu en classe? Per què?
Tasca 2
Material:
- Un cartell amb una caseta decorada segons el model adjunt.
- Una fitxa per a cada xiquet/a amb una caseta, la quadrícula de la qual estarà sense decorar.
- Caixes amb adhesius de colors en la taula de la mestra.
Consigna: Cada xiquet ha de decorar la seua caseta amb adhesius de colors de manera que quede
exactament igual que el model. Per a açò ha de demanar-li per escrit a la mestra el nombre exacte
d'adhesius que necessite per a completar la caseta.
Respon a les següents qüestions:
En la tasca anterior, què han de fer els xiquets?, quines estratègies poden usar per a
respondre?, para què ho fan?, què vol conèixer la mestra?
Compara les tasques 1 i 2 i explica les diferències que existeixen entre elles. Consideres que
una d'elles és més adequada per a portar a l'aula que l'altra? Justifica i explica la teua
resposta.
Llig les dos situacions d’ensenyament següents i respon a les següenes qüestions:
· Quina diferència hi ha entre elles?
· Creus que alguna és més adequada per l’aula que l’altra? Per que`?
· Alguna d’elles és una activitat per adaptació al medi? Justifica tu respuesta
39

40. 40

41. 1r Inici de la cardinalitat.
No requereix saber transformar el llenguatge.
No requereix especialitat.
Activitat que no compleix els requisits per fomentar l'aprenentatge per adaptació al medi.
2n Requereix adquirida la cardinalitat.
Saber transformar el llenguatge escrit.
L’alumne ha de tindre desenvolupada millor la especialitat.
Activitat que compleix els requisits per fomentar l’aprenentatge per adaptació al medi
(descomposició, llenguatge escrit, escriptura dels nombres, etc)
La segona tasca es una tasca per adaptació al medi. Es produeix un aprenentatge més significatiu.
S’involucra més el xiquet, s’aborden més continguts, se’ls crea un conflicte d’eixe moment tenen que
construir noves estratègies.
Què és aprendre matemàtiques?
Com s'aprenen les matemàtiques?
Primera hipòtesi:
S'aprèn a través de l'acció. Aquesta acció no és només sobre els objectes sinó intel·lectual, resolent
problemes(Piaget)
Segona hipòtesi:
El coneixement passa d'un estat d'equilibri a un altre per fases transitòries en el curs de les quals els
coneixements anteriors es mostren limitats. Si aquest moment de desequilibri se supera, es
produeix una reorganització dels coneixements en el curs de la qual s'integren els nous sabers en el
saber antic(Piaget).
Tercera hipòtesi:
"Qualsevol que siga l'edat l'esperit no és mai verge, taula rasa o cera sense segell". "Les
representacions es constitueixen en obstacles al coneixement científic" (Bachelard).
41

42. Quarta hipòtesi:
Posar en relleu els conflictes entre alumnes pot facilitar l'adquisició de coneixements. Es tracta de
conflictes soci-cognitius: socials perquè en tot conflicte hi ha un aspecte social, i cognitius perquè
aquests conflictes són relatius als coneixements(escola de Ginebra de psicologia social genètica).
D'ací l'interès del treball en grup i de la comunicació de les idees.
“L’alumne aprèn adaptant-se a un medi que és factor de contradiccions, de dificultats, de
desequilibris, una mica com ho ha fet la societat humana. Aquest saber, fruit de l'adaptació de
l'alumne, es manifesta per respostes noves que són la prova de l'aprenentatge” (Brousseau, 1998)
Característiques de les situacions per a desenvolupar l'aprenentatge per adaptació al medi
L'alumne podrà abordar la situació i donar-li una possible resposta.
La situació ha de plantejar un problema que l'alumne no sàpia resoldre immediatament amb els
coneixements que posseeix.
La situació ha de permetre a l'alumne decidir si una solució oposada és adequada o no.
El coneixement que es desitja que adquirisca l'alumne ha de ser el més adaptat per a la resolució
del problema al nivell de l'alumne.
“L’alumne aprèn adaptant-se a un medi que és factor de contradiccions, de dificultats, de
desequilibris, una mica com ho ha fet la societat humana. Aquest saber, fruit de l'adaptació de
l'alumne, es manifesta per respostes noves que són la prova de l'aprenentatge”
(Brousseau, 1998)
El xiquet aprendrà si:
Entra en la situació-problema fent-la "seua".
Posa en funcionament una estratègia de “base” (que no serà l'òptima)
Quan l'estratègia de base es mostra insuficient, tracta de superar el desequilibri i anticipa i emet
hipòtesi que li permeten:
- Elaborar procedimients, posar-los en funcionament i, segons els efectes produïts,
adoptar-los o modificar-los.
- Automatitzar aquells que es presenten amb major freqüència.
- Exercir un control sobre els resultats.
- Construir amb sentit un coneixement matemàtic
Entre les eleccions que el mestre ha de dur a terme en les situacions d'ensenyament, algunes d'elles
van a ser fonamentals per la significació dels coneixements que vol que l'alumne aprenga. Aquestes
eleccions fonamentals es denominen variables didàctiques.
42

43. Una variable didàctica és un element de la situació que pot ser modificat pel mestre, i que afecta a la
jerarquia de les estratègies de solució que posa en funcionament l'alumne(per li cost, per la
validesa, per la complexitat, etc.) (Briand i Chevalier, 1995)
-Una variable didàctica és un element de la situació que, si actuem sobre ell, podem provocar
adaptacions i aprenentatges.
La gestió adequada de les variables didàctiques permetrà al mestre provocar canvis en les
estratègies de resolució que posaran en funcionament els estudiants.
Connexió entre les hipòtesis d'aprenentatge adoptades pel mestre i la gestió de les variables
didàctiques en una situació d'ensenyament
La percepció del món que ens envolta implica dur a terme operacions cognitives com:
•Qualificar: Atribuir o apreciar qualitats. Categoritzar un objecte atribuint-li una qualitat.
Reagrupar objectes en subconjunts atenent a un o diversos criteris.
Quantificar: Atribuir una mesura a una quantitat de magnitud.
El nombre d'objectes reagrupats indica l'ordre de magnitud
La qualificació i la quantificació permeten classificar i categoritzar
Classificar: Seleccionar i agrupar objectes en subconjunts o classes, d'acord amb una regla o
principi.
Des del punt de vista matemàtic, classificar els elements d'un conjunt és realitzar una partició
d'aqueix conjunt, és a dir, fraccionar el conjunt en subconjunts disjunts dos a dos.
Abstraure dels objectes atributs essencials que els defineixen.
S'arriba al concepte de classe a través de l'abstracció, la generalització i d'operacions lògiques
43

44. (composició, reversibilitat i associativitat).
Seleccionar: Triar, escollir, separar de la resta
Discriminar: Separar, segregar, distingir, diferenciar de la resta.
Classificació: Agrupament dels objectes en classe
Categorització: Conté, a més de les classes, les relacions entre les classes. Una categoria no es
defineix per ella mateixa sinó en relació amb les altres classes.
44

45. Pràctica 2. Classificar i ordenar
Tasca 1
En el llibre Didàctica de las Matemàtiques per a Educación Infantil, pàgina 132, hi ha un
exemple de situació per treballar les classificacions (exemple 7).
· Identificar les variables didàctiques associades a la situació.
Variables didàctiques:
Nombre de les caixes que s’utilitzen (es podria utilitzar mes o menys 4 caixes).
Numero varietats d’objectes.
Que les caixes que s’utilitzen siga de diferent forma o tamany.
Que els colors o formes dels objectes siguen similars o no als colors i formes de les caixes en les que
s'introdueixen.
Que quan es faça la pregunta les caixes tinguen una disposició diferent de la que presentava quan
es van introduir els objectes a les caixes.
Natura de l’espai en el que es desenvolupa l’activitat: microespai, mesoespai o macroespai.
Restringions temporals: temps que es tarda entre les dos fases de l’activitat
Número d’objectes que es treuen de les caixes i el número d’objectes que queden en les caixes que
hi ha que determinar.
45

46. 1.Confondre un objecte amb la seua classe:
Els objectes existeixen en el món físic, però les classes no.
2.Utilitzar un nom amb dos significats diferents.
3.No acceptar el caràcter arbitrari de tota classificació.
Un mateix objecte pot ser classificat d'una manera o un altre, segons ens convinga.
Classificacions creuades: Els elements es classifiquen atenent a dos o més criteris
Seriació: Conjunt ordenat d'objectes segons un determinat criteri (una relació d'ordre)
L'activitat de seriació consolida la capacitat de comparar objectes i d'ordenar-los en funció de les
seues diferències.
A l'Escola Infantil es treballen seriacions espacials (ubicació d'objectes uns a continuació d'uns
altres) i temporals (accions o successos que han transcorregut a través del temps).
Els xiquets comencen a construir les seriacions lineals en l'Escola Infantil
En aquest nivell emergeixen els termes comparatius: davant de, darrere de, següent; i les
relacions comparatives quantificades: major que, menor que, més llarg que, més pesat que...…
Les relacions d’ordre aplicades a un conjunt provoquen en ell una ordenación total o parcial del seus
elements. En Educació Infantil ens centrarem en les relacions d’ordre total i en el següent exemple,
en la dessignació d’elles.
Altres activitats:
1. Donada una col·lecció de 12 gots de plàstic opacs alineats (boca avall), col·loquem, a la vista
del xiquet, una moneda sota un qualsevol d'ells. Informem el xiquet que, quan tornem de
l'esbarjo, li preguntarem on està la moneda.
2. Presentem davant els xiquets un tren amb 10 o 15 vagons idèntics. Davant la vista dels
xiquets, adherim un adhesiu sota un dels vagons. El tren farà un recorregut per la classe i, al
cap d'un temps, preguntarem a cada xiquet en quin vagó està l'adhesiu.
3. Disposem de 12 caixes de mistos idèntics i disposats en forma alineada. Ocultem un objecte
en cadascuna d'elles. Obrim una caixa i mostrem al xiquet l'objecte que conté. Li diem que, a
la volta de l'esbarjo, amb totes les caixes tancades, ha de determinar amb tota precisió la
caixa que conté l'objecte mostrat anteriorment.
Nombre de caixes, disposició de les caixes que tenim, el temps de fer l’activitat.
4. Disposem d'un tren T1 amb 10 vagons, decorat cadascun d'ells amb un adhesiu diferent i
situat en un extrem de la classe. Donem al xiquet el següent material: Una caixa que conté
adhesius idèntics a les quals decoren el tren T1; Un altre tren T 2 amb el mateix nombre de
46

47. vagons, però sense decorar. El xiquet ha de prendre un adhesiu de la caixa a l'atzar, anar al
tren T1 observar el vagó que té aqueix mateix adhesiu i, posteriorment, pegar-la en el vagó
anàleg del tren T 2. Quan el xiquet treballa al tren T 2 no té a la vista el tren T1. Per a validar
de manera autònoma l'acció duta a terme, el xiquet pot comparar els dos trens, situant un al
costat de l'altre.
Nombre de gomets, el nombre de viatges i el temps
Tasca 2
En el llibre Didàctica de les Matemàtiques per l’Educación Infantil, pàgina 135, hi ha dos
exemples de materials per reproduir una sèrie ordenada segons un ordre lineal (exemple 8).
a. Variar el tamany de les cartes, modificar el temps de veure la serie, possibilitat de invertir
l’ordre de la serie, possibilitat de començar la sèrie per un altra carta o figura diferent o la
primera.
b. Modificar l’ordre de posar-ho (dreta - esquerra o esquerre - dreta), modificar el nombre de
colors i perles, canviar el número, possibilitat de començar per un altra fitxa carta o figura
diferent a la primera.
Tasca 3
Las relacions d’ordre apareixen usualment com la repetició d’una sèrie ordenada. La tasca del
xiquet és identificar el patró a partir de la informació donada i continuar la sèrie.
En la següent fitxa:
· Identifica el patró.
· Indica el nombre d’elements constitutius del patró.
47

48. · Indica el nombre de vegades que el xiquet deu reproduir el patró.
·Indica la relació entre el primer element que el xiquet deu representar i la posició d’eixe
element en el patró de la sèrie.
· Senyala les semblances i diferències entre elles.
Tasca 5
En la figura es mostren dos prototips de classificacions creuades on:
1. La simbolització dels objectes ve donada.
2. Les taules no s’utilitzen com instrument per organitzar la informació de situacions reals
o que es refereixen a centres de interés dels xiquets.
Descriu una nova situació on no es produïsca alguna d’aquestes característiques.
http://ares.cnice.mec.es/infantil SM (2006)
Descriure una situació on no es done cap d’aquestes característiques:
Situació: En classe hi ha alumnes que tenen 3,4,5 anys i que compleixen anys a la primavera, estiu,
tardor o hivern. Classifica als alumnes de la teua classe segons aqueixes dues característiques.
48

49. (No s’utilitza simbolitza d’objectes, la situació és real i fa referència a centres d'interès dels xiquets i
la dimensió no és 2x3)
Tasca 6
En grup, busqueu un recurs en Internet vàlid per treballar en clase:
· Les classificacions
· Les relacions d’ordre
Prepareu una breu explicació per comentar-la amb la resta de la clase
EXPOSICIÓ: LACASITOS
Les relacions d’ordre
La construcció de sèries o successions ordenades implica realitzar la següents operacions lògiques:
Reversibilitat: : capacitat d'ordenar en dues adreces, cap a avant i cap a arrere, emprant l'operació
recíproca de l'anterior.
Transitivitat: capacitat d'admetre que si A és anterior a B i B és anterior a C, llavors A és anterior a
C.
Caràcter dual de tot element de la sèrie: un element, segons la seua posició en la sèrie, és alhora
successor de l'anterior i antecessor del següent.
Asimetria: capacitat per a assignar a tot parell d'elements la relació d'asimetria, és a dir, si A és
anterior a B, B no és anterior a A.
Els xiquets comencen en l'Escola Infantil a relacionar-se amb sèries qualitatives (ordre dels dies de
la setmana, dels mesos de l'any, de les vocals…) per a arribar progressivament a les sèries
quantitatives com a activitat que enllaça amb el període numèric.
Piaget e Inhelder van observar en les seues experiències un desenvolupament paral·lel de la
classificació i la seriació.
Moltes de les dificultats que tenen els xiquets per a la construcció del nombre són degudes a un
domini deficient de l’Enumeració de col·leccions.
L'enumeració dels elements d'una determinat conjunt finit suposa establir una relació d'ordre total
en el mateix.
Per a dur a terme correctament l'operació d'enumerar el xiquet deu:
1. Ser capaç de distingir dos elements diferents d'una col·lecció.
2. Triar un primer element de la col·lecció.
3. Determinar el successor en el conjunt d'elements no triats anteriorment.
4. Conservar en la memòria les eleccions precedents.
5. Saber que s’ha triat l’últim element.
49

50. Una variable didàctica és un element de la situació:
Que pot ser modificat pel mestre, i que afecta a la jerarquia d'estratègies de solució que posa en
funcionament l'alumne (pel cost, la validesa, la complexitat…).
La gestió adequada de les variables didàctiques permetrà al mestre provocar canvis en les
estratègies de resolució que posaran en funcionament els alumnes.
Determinació de variables didàctiques en una situació d'Enumeració de col·leccions:
Objectiu: Desenvolupar estratègies d'Enumeració de col·leccions en els alumnes
Variables didàctiques:
1.Possibilitat que el xiquet puga marcar o no amb un senyal les capsetes on haja introduït un llumí.
2.Possibilitat de desplaçar o no les capsetes on haja introduït un llumí.
3.Tipus de configuració espacial que presenten les capsetes: alineades, formant una taula, arbitrària
4.Nombre de capsetes de la col·lecció.
5.Naturalesa de l'espai on es desenvolupa l'activitat.
6.Restriccions temporals.
7.Canviar l’ordre de les caixes.
8. Primer un xiquet a posar un misto i seguidament els altres
9. Dibuix: ficar un objecte en cadascun, treballar les tasques, enumerar-los d’alguna manera.
10. Microespai.
Hem vist diversos videos on en cada ú utilitza diferents estratègies.
50

51. Pràctica 3. Enumeració de coleccions
Tasca 1. Enumeració3
En la següent situació disenyada perquè els xiquets d’Educació
Infantil duguen a terme l’activitat de enumeració, determinar:
a) Qué característiques tenen estes tasques per què es
consideren com a “aprenentatge per adaptació al medi”.
L’alumne pot abordar la situació i donar-li una possible resposta.
La situació planteja un problema que l’alumne no sap resoldre
immediatament amb els coneixements que posseeix.
La situació permet a l’alumne decidir si una solució oposada és
adequada o no.
El coneixement que es desitja que adquireixca l’alumne (ha de ser el
més adaptat per a la resolució del problema al nivell de l’alumne)
b) Els coneixements que els xiquets han de movilitzar per resoldre-les.
Correspondència terme a terme (Ací no caldria parlar de les estratègies que poden utilitzar)
c) Els procediments que poden emprar per resoldre-les.
Fer una correspondència terme a terme (Ací no seria útil desglossar els coneixements que es
treballen en l’enumeració (els passos per a fer l’enumeració))
d) Les variables didàctiques que pot gestionar el mestre/a.
Possibilitat que el xiquet puga marcar o no amb un senyal els objectes (gots o capsetes) on haja
introduit un objecte.
Possibilitat o no de desplaçar els gots o les caixes.
Tipus de configuració espacial que presenten els gots o els mistos (alineats, formant una taula 2x4,
3x4, etc), col·locació arbitrària…
Nombre d’objectes (gots o capsetes) de la col·locació.
Naturalesa de l’espai on es desenvolupa l’activitat (microespai, mesoespai, macroespai).
Restriccions temporals: exemple: interrompre la tasca en un moment determinat i tornar-la a
continuar.
51

52. 52