SISTEMA DIÈDRIC. PLANS, PAREL·LELISME,PERPENDICULARITAT,

SISTEMA DIÈDRIC
PLANS, PARAL·LELISME, PERPENDICULARITAT,
DISTÀNCIES I VERITABLE MAGNITUD
Silvia Mejías Tarancón

ÍNDEX
1. PLA
• DEFINICIONS
• TIPUS I POSICIONS
• RECTES PRINCIPALS
2. PARAL·LELES ENTRE RECTES
• EXERCICIS D’APLICACIÓ
3. PARAL·LELES ENTRE PLANS
• EXERCICIS D’APLICACIÓ

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
DT II. S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA
MAGNITUD
PROJECCIONS DEL PLA
• la traça amb el Pla de
Projecció Horitzontal (PH) o
Traça Horitzontal del Pla. Se sol
denominar amb les lletres
majúscules amb prima A’, B’,
C’,…
• la traça amb el Pla de
Projecció Vertical (PV) o Traça
Vertical del Pla. Se sol
denominar amb les lletres
majúscules amb DOBLE prima
amb prima A’’, B’’, C’’,…
Un pla es defineix en Sistema Dièdric per les seves traces que són les
línies d'intersecció del pla amb els Plans de Projecció. Per tant, els plans
tindran en general dues traces:
PLA FRONTAL

MAGNITUD
DEFINICIONS DEL PLA
Un pla es pot definir de 4 maneres diferents. Memoritza-les perquè
et serviran per sempre:
I. 3 punts no alineats
II. 1 recta i 1 punt que no pertanyi a ella
III. 2 rectes paral·leles
IV. 2 rectes que es tallen

PH
PV
ha
va
Vr
Hr
a
Hs
Vs
P
a
PH
PV
ha
va
r1
Vr
Hr
Hs
Vs
s2
s1
Q1
Q2
r2
s
r
Q
P1
P2
R
R2
R1
Unim dos punts amb una recta i
acabem de solucionar-ho com en
el cas de recta i punt (p.e. traçant
una altra recta que talli).
PLA DEFINIT PER TRES PUNTS

PH
PV
ha
va
Vr
Hr
a
Hs
Vs
P
a
PH
PV
ha
va
r1
Vr
Hr
Hs
Vs
s2
s1
Q1
Q2
r2
s
r
Q
P1
P2
Solució 1: Dibuixem pel punt una
recta que talli a la donada
PLA DEFINIT PER UNA RECTA I UN PUNT

PH
PV
ha
va
Vr
Hr
a
Hs
Vs
a
PH
PV
ha
va
r1
Vr
Hr
Hs
Vs
s2
s1
r2
s
r
PLA DEFINIT PER DUES RECTES PARAL·LELES

PH
PV
ha
va
Vr
Hr
a
Hs
Vs
P
a
PH
PV
ha
va
r1
Vr
Hr
Hs
Vs
s2
s1
P1
P2
r2
s
r
PLA DEFINIT PER DUES RECTES QUE ES TALLEN

PH
PV
ha
va
Vr
Hr
a
Hs
Vs
a
PH
PV
ha
va
r1
Vr
Hr
Hs
Vs
s2
s1
Q1
Q2
r2
s
r
Q
Solució 2: Dibuixem pel
punt una recta paral·lela a
la donada
PLA DEFINIT PER UNA RECTA I UN PUNT

PV
PH
PH
PV
ha
va
a
ha
va
PLA OBLICU

PV
PH
PH
PV
ha
va
a
ha
va
PLA PERPENDICULAR AL PV
(PLA DE CANTELL)

PV
PH
PH
PV
ha
va
a
ha
va
PLA PERPENDICULAR AL PH
(PLA VERTICAL)

PV
PH
PH
PV
ha
va
a
ha
va
PLA PERPENDICULAR AL PV I PH
(PLA DE PERFIL)

PV
PH
PH
PV
va
a
va
PLA PARAL·LEL AL PH
(PLA HORITZONTAL)

PV
PH
PH
PV
ha
a
ha
PLA PARAL·LEL AL PV
(PLA FRONTAL)

PV
PH
PH
PV
ha
a
ha
va
va
PLA PARAL·LEL A LA LT

PV
PH
PH
PV
ha
va
a
ha
va
P2
P2
P1
P
P1
Quan el pla conté a la línia de terra les dues traces
coincideixen amb la línia de terra, i el pla no queda prou
definit ja que qualsevol pla que passi per la línia de terra
tindrà les mateixes traces. Per a solucionar-ho es representa
un punt pertanyent al pla que ens indicarà la inclinació
d'aquest.
PLA QUE CONTÉ LA LT

MAGNITUD
RECTES PRINCIPALS DEL PLA
Un pla pot contenir infinitat de rectes, però n'hi ha 4 que per les seves
característiques ens faciliten la resolució de problemes; són les rectes
principals del pla:
• La recta horitzontal del pla, que compleix la doble condició de ser
horitzontal i de pertànyer al pla i s’utilitza com a recta auxiliar.
• La recta frontal del pla, que compleix la doble condició de ser frontal i de
pertànyer al pla i s’utilitza com a recta auxiliar.
• La recta de màxima pendent és la recta del pla que forma l'angle més
gran amb el pla horitzontal de projecció. És perpendicular a totes les
rectes horitzontals del seu pla.
• La recta de màxima inclinació és la recta del pla que forma l'angle més
gran amb el pla vertical. És perpendicular a la recta frontal del pla.

MAGNITUD
RECTA HORITZONTAL DEL PLA
Aquesta recta compleix una doble condició:
• ser horitzontal
• pertànyer a un pla α
En un pla podem traçar-hi infinites rectes
horitzontals i totes seran paral·leles entre si. A
més, cada una d'aquestes rectes representa la
intersecció del pla α amb un pla horitzontal.
A la figura s'ha representat l'horitzontal del pla
ABC, que passa pel punt A del pla. Com es tracta
d'una recta horitzontal:
• la seva projecció vertical és perpendicular a la
direcció definida per la correspondència A' A“
• la projecció horitzontal passa per A' i per la
projecció 1' d'un segon punt comú al pla i a la
recta.

MAGNITUD
RECTA FRONTAL DEL PLA
La recta frontal d'un pla és una recta que és:
• simultàniament, és frontal
• pertany a un pla α
Les rectes frontals d'un pla representen la intersecció
d'aquest pla amb un pla frontal. En un pla podem
traçar-hi infinites rectes frontals, que, a més, seran
paral·leles entre si.
A la figura hi ha representada una de les frontals del
pla ABC, que passa, a més, pel punt C del pla. Com és
una recta frontal:
• la seva projecció horitzontal és perpendicular a la
direcció definida per la correspondència A' A“
• la projecció vertical es determina mitjançant un
segon punt, 1'-1", comú al pla i a la recta.

MAGNITUD
RECTA DE MÀXIM PENDENT
En el pla ABC hem traçat la recta de
màxim pendent que passa pel punt B.
Primer en tracem una qualsevol de les
horitzontals del pla ABC;
• la projecció horitzontal de la recta de
màxim pendent passa per B' i és
perpendicular a h';
• la projecció vertical passa per B" i per
la projecció vertical, 2", del punt
d'intersecció P entre les projeccions
horitzontals m' i h'.
Aquesta recta també serveix per definir la
posició d'un pla (m). A partir de les projeccions
m'-m" d'una recta de màxim pendent tracem
una segona recta que, tallant-se amb
l'anterior, definirà el pla. Per la projecció
horitzontal P' d'un punt qualsevol de la recta m,
hi tracem h' perpendicular a m', i per P" tracem
la projecció vertical h" d'una recta horitzontal.
Les rectes m i h
defineixen el pla.
Amb posicions
diferents del punt P
tindríem altres plans
paral·lels a l'anterior,
però tots ells
compartirien la recta m
com a recta de màxim
pendent.

PH
PV
ha
va
a
Hp
Vp
a
PH
PV
ha
va
Hp
Vp
p2
p1
p 90º
90º
Per una recta de màxim
pendent només passa un pla
PLA DEFINIT PER UNA RECTA DE MÀXIM PENDENT

MAGNITUD
RECTA DE MÀXIMA INCLINACIÓ
En el pla ABC hem traçat la recta de
màxima inclinació que passa pel punt C.
Primer en tracem una recta qualsevol de
les frontals del pla;
• la projecció vertical de la recta de
màxima inclinació passa per C" i és
perpendicular a f";
• la projecció horitzontal passa per C' i
per la projecció horitzontal, 2', del
punt d'intersecció entre les
projeccions verticals n" i f".
Aquesta recta, per si sola, defineix un pla. Per
un punt P qualsevol de la recta de màxima
inclinació n tracem una de les rectes frontals
del pla; per P" tracem f", perpendicular a n", i
per P' tracem la projecció horitzontal f'
corresponent a una recta frontal. Les rectes n i
f defineixen el pla.
Hi ha infinits plans amb
la mateixa recta de
màxima inclinació; els
obtindrem variant la
posició del punt P,
situat arbitràriament a
sobre de la recta n.
Tots aquests plans
serien paral·lels entre
ells.

PH
PV
ha
va
a
Hi
Vi
a
PH
PV
ha
va
Hi
Vi
i2
i1
i
90º
90º
PLA DEFINIT PER UNA RECTA DE MÀXIMA INCLINACIÓ

MAGNITUD
V´´
H´
r´´
H´´ V´
V´´
s´´
H´´ V´
r´ s´
H´
V´´
r´´
r
H´´ V´
V´´
s´´
s
H´´ V´
PARAL·LELISME ENTRE RECTES
Perquè dues rectes siguin paral·leles a l'espai, s'ha de complir que les seves
projeccions sobre el PV i el PH siguin PARAL·LELES (excepte en les rectes de
perfil)
Dues rectes no coplànaries si no són paral·leles es creuen a l’espai

MAGNITUD
r´´ P´´
P´
r´
Traçat d'una recta paral·lela a la recta r, que contingui al punt P

MAGNITUD
r´´ P´´
s´
P´
s´´
r´
Fem dues paral·leles a rí r´´respectivament, que passin per Pí P´´. Aquestes
rectes seran les projeccions sí s´´ de la recta que busquem

MAGNITUD
a´´
b´´
b´
a´
b´
a´
a´´
b´´
PARAL·LELISME ENTRE PLANOLS
Els plans paral·lels tenen paral·leles les traces del mateix nom

MAGNITUD
a´´
P´´
P´
a´
Traçat del pla paral·lel a un altre alfa, que passi per un punt P donat

MAGNITUD PARAL·LELISME ENTRE PLANOLS

MAGNITUD
a´´
r´´
Vr´
´
P´´
P´
r´
a´
1. Tracem una recta r
horitzontal de pla, la traça
horitzontal del qual és
paral·lela a la traça vertical del
pla.

MAGNITUD
a´´ b´´
P´´ h´´
Vh´
´
P´
h´
a´
2. Hem traçat l'horitzontal de pla per a assegurar-nos que el pla que tracem ara, paral·lel a a,
contingui a P, així que tracem una paral·lela a ´´ que passi per Vh´´. Aquesta recta serà b´´, traça
vertical del pla que fem

MAGNITUD
a´´ b´´
P´´ h´´
Vh´
´
P´
h´
a´
b´
3. Finalment, tracem una paral·lela a a´´ per on la traça vertical b´´ ha tallat a la
LT, i ja tenim b´, traça horitzontal del pla solució.

MAGNITUD
s´´
A´´
P´´
r´
s´
r´´
P´
A´
3. Traçar la recta perpendicular al pla que formen les rectes r i s, pel punt P donat

s´´
A´´
P´´
h´
1´
r´
2´
s´
a´´- h´´ 1´´ 2´´
r´´
P´
A´
1. Tracem el pla auxiliar paral·lel a l'horitzontal, a´´. Aquest pla curta amb el pla que formen les
rectes r i s en la recta horitzontal de pla h´- h´´, que intersecciona amb r i s en els punts 1 i 2

4´´
s´´ f´´
3´´
A´´
P´´
b´-f´
h´
1´
r´
2´
s´
a´´- h´´ 1´´ 2´´
r´´
P´
4´
3´
A´
2. Tracem el pla auxiliar paral·lel al vertical, b´. Aquest pla curta amb el pla que formen les
rectes r i s en la recta frontal de pla f´- f´´, que intersecciona amb r i s en els punts 3 i 4

MAGNITUD
4´´
s´´ f´´
t´´
3´´
A´´
P´´
b´-f´
h´
1´
r´
2´
s´
a´´- h´´ 1´´ 2´´
r´´
P´
4´
3´
A´
3. La perpendicular traçada a f´´ des de P´´ serà la traça t´´ de la recta que
busquem perpendicular al pla format per les rectes r i s.

MAGNITUD
4´´
s´´ f´´
t´´
3´´
A´´
P´´
b´-f´
t´
h´
1´
r´
2´
s´
a´´- h´´ 1´´ 2´´
r´´
P´
4´
3´
A´
4. La perpendicular traçada a h´ des de P´ serà la traça t´ de la recta que
busquem

MAGNITUD PARAL·LELISME ENTRE PLANOLS

MAGNITUD
2
1

MAGNITUD
4
3
2
1

MAGNITUD
r´´
r´
P´´
P´
4. Traça un pla perpendicular a la recta r pel punt P

MAGNITUD
r´´
h´´
Vh´´
r´
h´
Vh´
P´´
P´
4. Traçar un pla perpendicular a la recta r pel punt P
1. Per endavant sabem que les traces del pla
seran perpendiculars a les projeccions de la
recta. Per tant, passem per P, en primer lloc,
una horitzontal de pla h la traça horitzontal
de la qual sigui perpendicular a la traça r´.

MAGNITUD
f´´
r´´
h´´
Vh´´
r´
Hf´
h´
Vh´ Hf´´
P´´
P´ f´
2. En segon lloc, tracem la frontal f, la traça de la
qual f´´ és perpendicular a r´´.

MAGNITUD
f´´
a´´
r´´
h´´
Vh´´
r´
Hf´
h´
Vh´ Hf´´
P´´
a´ P´ f´
3. Les traces a1 i a2 del pla que
busquem passaran per Vh´´ i Hf´, i
seran perpendiculars a les traces
de la recta r´i r´´

MAGNITUD
a´´
P´
´
P´
b´
b´´
a´
5. Dibuixa les traces del pla que contingui al punt P i sigui paral·lel a les rectes a i b

MAGNITUD
r´´
P´
r´
b´
P´´
Hr´
a´´
b´´
Hr´´
Vr´´
Vr´
a´
1. Perquè un pla sigui paral·lel a una recta, el pla ha de contenir almenys una recta paral·lela
a ella. Així, tracem les rectes r (paral·lela a la recta a) i s (paral·lela a la recta b).

MAGNITUD
Vs´´
r´
Hs´
b´
r´´
Vs´
s´´
P´´
Hr´
a´´
b´´
Hr´´
Vr´´
Hs´´ Vr´
s´ a´
P´
1. Perquè un pla sigui paral·lel a una recta, el pla ha de contenir almenys una recta paral·lela
a ella. Així, tracem les rectes r (paral·lela a la recta a) i s (paral·lela a la recta b).

MAGNITUD
Vs´´
s´´
r´
Hs´
b´
a´
r´´
Vs´
a´´
P´´
Hr´
a´´
b´´
Hr´´
Vr´´
Hs´´ Vr´
s´ a´
P´
2. La unió de Hs´amb Hr´i de Vs´´ amb Vr´´ ens dona les traces a1 i a2, traces del pla a, que
conté a totes dues rectes

MAGNITUD
r´
Q´´ r´´ P´= P´´
Q´
6.Determinar les traces del pla que contingui al punt P (P´= P´´)
i sigui paral·lel al definit per la recta r (r´-r´´) i el punt Q (Q´-Q´´)

MAGNITUD
a2
Vr´´
Hr´
a1
Vr´
Q´
´
r´´ P´= P´´
Q´ Hr´´
r´
1. En primer lloc determinem el pla a, que conté a
la recta r i al punt Q (el punt Q pertany al pla
vertical, per tant a2 passarà per Q”)

MAGNITUD
a2
Vr´´
Hr´
a1
Vr´
Q´
´
r´´ P´= P´´ Vh”
h”
Q´ Hr´´ Vh´
r´
h´
2. Sabem que dos plans paral·lels en l'espai tenen
les seves traces paral·leles entre si.
Per a trobar les traces d'un pla b que sigui
paral·lel a a i contingui al punt P, tracem
una horitzontal (podria ser una frontal) per P de
manera que h1 sigui paral·lela a a1

MAGNITUD
b2
a2
Vr´´
Hr´
a1
Vr´
Q´
´
r´´ P´= P´´ Vh”
h”
Q´ Hr´´ Vh´
r´
h´
3. En obtenir Vh” podem traçar b2, que passarà per
aquest punt i serà paral·lela a a2

MAGNITUD
b2
a2
Vr´´
b1
Hr´
a1
4. b1 és paral·Lela a a1 i a h´
Vr´
Q´
´
r´´ P´= P´´ Vh”
h”
Q´ Hr´´ Vh´
r´
h´

w´
´
a´
´
P´
´
a´
w´
P´
7. Trobar les traces del pla a, que contingui al punt P (P´- P´´), sigui paral·lel a la recta a
(a´-a´´) i perpendicular al pla w (w1- w2)

MAGNITUD
Vr”
w´
Hr´
P´
a´´
w´´
r”
Hh”
Vr´
a´ r´ P´´
1. Perquè el pla al fet que busquem sigui paral·lel a la recta a, ha de contenir una recta r
paral·lela a la recta a. Si a més, ha de ser perpendicular a w, haurà de contenir a una recta s,
perpendicular a aquest. Comencem per fer la recta r paral·lela a la recta a

MAGNITUD
Vr”
r”
Vs
”
Hs
´
s´
a´´
s”
w´´
Hr” Hs”
Vs´
Vr´
a´ r´ P´´
w´
Hr´
P´
2. Tracem la recta s, perpendicular a w

MAGNITUD
a2
Vr”
r”
Vs
”
Hs
´
s´
a´´
s”
w´´
Hr” Hs”
Vs´
Vr´
a´ r´ P´´
w´
Hr´
P´
3. Traçades les rectes r i s, trobem el pla que les conté, a, que serà el pla buscat, ja que
conté al punt P, és paral·lel a r i perpendicular al pla w. Unim Vr” amb Vs” i obtenim a”

MAGNITUD
a2
Vr”
r”
Vs
”
Hs
´
s´
a´´
s”
w´´
Hr” Hs”
Vs´
Vr´
a´ r´ P´´
w´
Hr´
a1 P´
4. Unim Hr´ amb Hs´, comprovant que estan alineats amb la unió de la traça a1 i la LT.
Aquesta serà la traça horitzontal a1. Així s'acaba de solucionar el problema.

MAGNITUD
t´´
P´
P”
t´
8. Calcula les projeccions de la recta que passa pel punt P (P´- P´´), i talla
perpendicularment a la recta t (t´-t´´)

MAGNITUD
a2
P´
h”
P”
Vh”
t´
a1
Vh´
1. Per a trobar la solució el primer pas serà traçar un pla al fet que contingui al punt P (tercer quadrant)
i sigui perpendicular a la recta t. Per a això, ens ajudem traçant per P l'horitzontal de pla h, la
traça horitzontal de la qual és perpendicular a t´. Una vegada tenim Vh” tracem una perpendicular a t”
per Vh” i ja tenim a2. Després, tracem una perpendicular a t´ des d'on a1 tala a la LT i obtenim a´.

h”
P”
Vh”
t´=b
2
a1
a2
b2
h´
t´´
P´
Vh´
2. Tracem un pla b, proyectant horitzontal, que conté a la recta t donada.

MAGNITUD
h”
P”
Vh”
t´=b1 =
i´
a1
a2
b2
Vi´
h´
Vi”
t´´
Q” P´
i”
Hi”
Vh´
Q´
Hi´
3. La intersecció d'i b és la recta i. On i curta a la recta t trobem el punt Q d'intersecció entre la
recta t i el pla a.

MAGNITUD
r´ Hi´
h”
P”
Vh”
t´=b1 =
i´
a1
a2
r”
b2
Vi´
h´
Vi”
t´´
Q” P´
i”
Hi” Vh´
Q´
4. La recta r, resultant d'unir els punts Q i P, és la solució que buscàvem

MAGNITUD
P´´
P´
a´´
a´
9. Calcular, en projeccions i en magnitud real, la distància del punt P (P´- P´´) al pla
definit per la recta a (a´- a´´ ) de màxima inclinació d'aquest pla.

MAGNITUD
P´´
P´
Va´´
Va´
a´´
Ha´´
a´
Ha´
1. Dibuixem el pla a (a1-*a2), del qual la recta a és de màxima inclinació.
Per a això, comencem a dibuixar les traces de la recta a

MAGNITUD
a´´
P´´
P´
a´
Va´´
Va´
a´´
Ha´´
a´
Ha´
2. a2 és perpendicular a a”. Per a trobar a1
unim H1a amb el punt on a1 tala a la LT

MAGNITUD
a´´
P´´
P´
a´
r´
Va´´
r”
Va´
a´´
Ha´´
a´
Ha´
3. Tracem la recta r, perpendicular al pla pel punt P

MAGNITUD
a´´
P´´
b1
Va´´
r”=b2
Va´
a´´
Ha´´
a´
Ha´
P´
r´
a´
4. Tracem el pla auxiliar proyectant b, la traça vertical de la qual b2 coincideix amb r”.

MAGNITUD
a´´
P´´
r”=b2= i”
a´´
b1
Va´´
Vi”
Hi” Ha´´
r”=b
Va´
Vi´
i´
Hi´
a´
Ha´
P´
r´
a´
5. Trobem la recta intersecció i entre a i b

MAGNITUD
a´´
P´´
r”=b2= i”
a´´
b1
Va´´
Q”
Vi”
Hi” Ha´´
Q´
r”=b
Va´
Vi´
i´
Hi´
a´
Ha´
P´
r´
a´
6. Trobem el punt Q, punt intersecció entre la recta r i el pla a. Per a això prolonguem r´ i on
curta a i´ obtenim Q´. Una vegada obtenim Q´ podem obtenir Q”, que estarà en la traça
r”=b”=i”

MAGNITUD
a´´
P´´
r”=b2= i”
a´´
b1
d” Va´´
Q”
Vi”
Hi” Ha´´
Q´
r”=b
Va´
Vi´
i´
d´
Hi´
a´
Ha´
P´
r´
a´
7. Els segments P´Q´ i P”Q” són les projeccions d´ d” de la distància del punt P al pla a.
Ara només cal trobar la magnitud real del segment d

MAGNITUD
a´´
P´´
r”=b2= i”
a´´
Q´
b1
x
d” Va´´
Q”
Hi” Ha´´
Vi”
r”=b
Va´
Vi´
i´
d´
Hi´
a´
Ha´
P´
r´
a´
8. Per a trobar la magnitud real de d, trobem la distancia x (diferència de cotes de P´a Q´)

MAGNITUD
a´´
P´´
r”=b2= i”
a´´
Q´
b1
x
d” Va´´
Q”
Hi” Ha´´
Vi”
r”=b
Va´
Vi´
i´
d´
Hi´
a´
Ha´
P´
r´
a´
9. Tracem una perpendicular a d” des de P”, i sobre aquesta recta traslladem el segment x

MAGNITUD
a´´
P´´
r”=b2= i”
a´´
Q´
b1
x
d
d” Va´´
Q”
Hi” Ha´´
Vi”
r”=b
Va´
Vi´
i´
d´
Hi´
a´
Ha´
P´
r´
a´
10. Unim l'extrem de x amb q” i obtenim la veritable magnitud de la distància d.

MAGNITUD
P´´
Vt´´
t´´
t´
Ht´
Ht´´-Vt´
P´
10. Determinar, en projeccions i en magnitud real, la distància del punt P (P´- P´´) a la
recta t (t´- t´´), de la qual es coneixen les projeccions de les seves traces.

MAGNITUD
P´´´
P´´
P´´
Ht´´´
Vt´´
t´´
Vt´´´
t´
Ht´
Ht´´-Vt´
t´´´
P´
P´
1. Hem de trobar un punt Q de la recta t que sigui peu de la perpendicular a t per P. Per a això, portem tots
dos elements a la projecció de perfil, on l'angle entre t i aquesta perpendicular estarà en veritable magnitud

MAGNITUD
P´´´
P´´
Ht´´´
Vt´´
t´´
Vt´´´
d´´´
Q´´´
t´
Ht´
Ht´´-Vt´
t´´´
P´
P´
2. Tracem la perpendicular a t´´´ des de P´´´, segmento
d. La distància PQ és la distància que busquem. Ja
només queda trobar la seva veritable magnitud

MAGNITUD
P´´´
Q´´´
P´´
P´´
Ht´´´
Vt´´
Q´´
t´´
d´´ Vt´´´
d´´´
Q´
t´
Ht´
Ht´´-Vt´
t´´´
P´
d´
P´
3. Una vegada tenim d´´´, podem dibuixar d´i d´´

MAGNITUD
P´´´
Q´´´
x
P´´
P´´
Ht´´´
Vt´´
Q´´
t´´
d´´ Vt´´´
d´´´
Q´
t´
Ht´
Ht´´-Vt´
d t´´´
P´
d´
P´
4. Ja només falta trobar la veritable magnitud:
hipotenusa del triangle rectangle els catets del qual són
d´i x, sent x la diferència de cotes dels punts P i Q

r´´
A´
r´
A´´
11. Determinar, en projeccions i en magnitud real, la distància del punt A (A´- A´´) a la
recta r (r´- r´´ )

MAGNITUD
f´´
r´´
Hf´ A´
r´
Hf´´
A´´
f´
11. Determinar, en projeccions i en magnitud real, la distància del punt A (A´- A´´) a la
recta r (r´- r´´ )
1. Amb ajuda de la recta frontal f
trobem el pla a, que conté al punt A i és
perpendicular a la recta f. Per a això
tracem, en primer lloc, la traça f´´, que
passa per A´´ i és perpendicular
a r´´. La traça f´ és paral·lela a LT

MAGNITUD
a2
f´´
r´´
Hf´ A´
r´
a1
Hf´´
A´´
f´
11. Determinar, en projeccions i en magnitud real, la distància del punt A (A´- A´´) a la recta r (r´- r´´ )
2. Tracem el pla a (a1 és
perpendicular a r´ i a f´´, i a2 és
perpendicular a r´´ i paral·lela a f´´)

MAGNITUD
a2
r´´=b2 f´´
b1
a1
Hf´´
A´´
f´
r´ Hf´ A´
3. Calculem la intersecció de la recta r
amb el pla a, que serà el punt B.
Per a això hem creat el proyectant
auxiliar b, que conté a r, i hem traçat la
intersecció entre a i b.
El punt B´ està on la traça r´talla a i´.

MAGNITUD
a2
r´´=b2=i´´ f´´
B´
b1
a1
B´´
A´´
Hf´´
f´
i´
r´ Hf´ A´
3. Calculem la intersecció de la recta r
amb el pla a, que serà el punt B.
Per a això hem creat el proyectant
auxiliar b, que conté a r, i hem traçat la
intersecció entre a i b.
El punt B´ està on la traça r´talla a i´.

MAGNITUD
.
a2
r´´=b2=i´´ f´´
B´´
B´
b1
a1
d´´ A´´
Hf´´
d´
f´
i´
r´ Hf´ A´
.
4. Els segments A´B´= d´ i A” B” = d”
són les projeccions de la distància que
busquem

MAGNITUD
a2 A0
r´´=b2=i´´ f´´
d
B´´
B´
b1
a1
x
d´´ A´´
Hf´´
f´
i´ d´
r´ Hf´ A´
5. Trobem la veritable magnitud de d,
com vam fer en l'exercici anterior

MAGNITUD
a2
a1
12. Dibuixar les traces del pla b, paral·lel al pla a (a1-a2), situat a la seva esquerra i que vas donar d'ell, en
magnitud real, 30 mm

MAGNITUD
a2
f´´
a1
f´
Per a resoldre aquest problema, es tracta de trobar un
punt qualsevol Q, que vas donar 30mm del pla a, i a
continuació, traçar per ell un pla b, paral·lel a a.
1. Comencem fent una frontal f del pla a.

MAGNITUD
a2
f´´
P´´
a1
P´ f´
2. Prenem un punt P qualsevol de f, que en pertànyer a f, pertanyerà
per tant al pla a

MAGNITUD
a2
r´´
f´´
P´´
a1
r´
P´ f´
3. Per P tracem la recta r, perpendicular a a.

MAGNITUD
r´
A´
A´´
r´´ a2
f´´
P´´
P´ f´
a1
4. Sobre la recta r prenem el punt Q, que dista de P la
mesura real de 30 mm. Per a fer això trobem la
veritable magnitud d'un punt qualsevol A de la recta r, i
sobre aquesta veradera magnitud prendrem
els 30 mm que ens donaran el punt Q0. Comencem per
situar un punt A qualsevol en r.

MAGNITUD
A´´
r´
A´
x
A0
r´´ a2
f´´
P´´
P´ f´
a1
5. Trobem la distancia x entre A´ i P´ i
calculem la veritable magnitud de la
distància AP

A´´
r´
A´
x
A0
Q0 r´´ a2
f´´
P´´
P´ f´
a1
6. Sobre la distancia AP, i partint de
P´´, tracem un segment de 30 mm
en l'extrem del qual estarà Q0

A´´
r´
A´
x
A0
Q0
Q´´
r´´ a2
f´´
P´´
P´ f´
a1
7. Obtingut Qo, podem trobar Q´´ i Q´.

MAGNITUD
A´´
Q´´
r´
A´
x
A0
Q0
r´´ a2
f´´
P´´
P´ f´
a1
Q´
7. Obtingut Qo, podem trobar Q´´ i Q´.

A´´
r´
x
h´´ Q´´
A0
Q0
r´´ a2
f´´
P´´
h´
P´ f´
a1
Q´
8. Traçant l'horitzontal h, que conté a Q,
determinem les traces del pla b, paral·lel
al pla a a 30 mm

MAGNITUD
A´´
r´
A´
x
h´´ Q´´
b2 A0
Q0
r´´ a2
f´´
P´´
h´
b1
P´ f´
a1
Q´
8. Traçant l'horitzontal h, que conté a Q,
determinem les traces del pla b, paral·lel
al pla a a 30 mm

MAGNITUD
a2 b2
a1
b1
O
13. Troba la distància entre els dos plans paral·lels a (-50, -50, 50) i b (-20, -20, 20). Origen en el
centre de la LT

MAGNITUD
a2 b2
r2
r1
a1
b1
O
centre de la LT
1. Es traça una recta qualsevol perpendicular als
dos plans a i b. La projecció vertical r2 ha de ser
perpendicular a les traces a2 i b2, i l'horitzontal r1
ha de ser perpendicular a a1 b1

MAGNITUD
Hm1
Vm2
m1
a2
r2=d2=m2
b2
O
d1
r1
a1
b1
centre de la LT
2. Utilitzant un pla auxiliar proyectant d
que contingui a la recta r, es troben els
punts M i N d'intersecció de r amb a i b
respectivament, a través de les rectes m i n
La recta m és la intersecció de d amb a

MAGNITUD
Hm1
Vm2
m1
a2
r2=d2=m2=n2
b2
Hn1
Vn2
O
d1
r1
a1
b1
n1
centre de la LT
La recta m és la intersecció de d amb a

MAGNITUD
Hm1
Vm2
M
a1
N1
m1
r2=d2=m2=n2 a2
M2
b2
Hn1
N2
Vn2
r1
a1 M1
O
d1
b1
n1
centre de la LT
Una vegada tenim les rectes m i n, situem
els punts M i N d'intersecció de r amb a i b

MAGNITUD
Hm1
Vm2
M
a1
N1
m1
Perpendicular a M1N1 des de M1
r2=d2=m2=n2 a2
M2
b2
Hn1
N2
Vn2
r1
a1 M1
O
d1
b1
n1
centre de la LT
3. Es determina la veritable
magnitud del segment MN: Per M1
es traça la perpendicular a M1N1, i
es trasllada sobre ella la diferència
de cotes 1M´, sent la veritable
magnitud el segment N1M

MAGNITUD
Hm1
Vm2
M
a1
d
N1
m1
r2=d2=m2=n2 a2
M2
b2
Hn1
d N2
Vn2
r1
a1 M1
O
d1
b1
n1
centre de la LT
Es calcula la diferència de cotes entre N2
M2=d, i es trasllada sobre la
perpendicular a M1N1 tra- zada
anteriorment

MAGNITUD
Hm1
b2
Vm2
M
a1
d
N1
m1
r2=d2=m2=n2 a2
M2
Hn1
d N2
Vn2
r1
M1
O
d1
M´
b1
VM
n1
centre de la LT
La Veritable Magnitud de la distància
entri a i b és el segment M´N1

MAGNITUD
P2
t2
t1
P1
14. Dibuixa la veritable magnitud de la distància del punt P a la recta t

MAGNITUD
m2 P2 Vm2
t2
t1
P1
m1
Ht1
Vt2
1. Pel punt P es traça el pla a perpendicular a la recta t. Per a això utilitzem una recta horitzontal
m que passa per P i la projecció horitzontal de la qual m1 és perpendicular a la projecció
horitzontal t1
1a. Tracem la recta horitzontal m

MAGNITUD
a2
m2 P2 Vm2
t2
t1
P1
a1
m1
Ht1
Vt2
1b. Es traça el pla a, la traça
vertical del qual a2 passa per
Vm2 i és perpendicular a t2, i la
seva traça horitzontal part del
vèrtex en la LT i és
perpendicular a t1
1. Pel punt P es traça el pla a perpendicular a la recta t. Per a això utilitzem una recta horitzontal
m que passa per P i la projecció horitzontal de la qual m1 és perpendicular a la projecció
horitzontal t1

MAGNITUD
b2 a2
m2 P2 Vm2
t2
t1
P1
a1
m1
b1
Ht1
Vt2
2. Es troba el punt M d'intersecció de la recta t
amb el pla a, per a això s'ha utilitzat un pla
arbitrari b que conté a la recta t, i que es talla
amb el pla a segons la recta r
2a. Es traça el pla b, la traça vertical
de la qual b2 passa per Vt2 i la seva
traça horitzontal per Ht1

MAGNITUD
Vm2
t2
t1
P1
a1
m1
b1
Ht1
b2
m2 P2
a2
r2
Vt2
r1
2b. Es traça la recta r
d'intersecció dels
plans a i b,

MAGNITUD
Vm2
t2
M1
t1
P1
a1
m1
b1
Ht1
b2
m2 P2
a2
r2
Vt2
M2
r1
2c. On r2 tala a t2 tenim M2, i
on r1 tala a t1 tenim M1

MAGNITUD
Vm2
t2
M1
t1
P1
a1
m1
b1
Ht1
b2
m2 P2
a2
r2
Vt2
M2
r1
3. Determinem la Veritable Magnitud de PM.
3a. Per P1 tracem la
perpendicular a P1M1

MAGNITUD
Vm2
t2
d
M1
t1
P1
a1
m1
b1
Ht1
b2
m2 P2
a2
r2
Vt2
M2
r1
3b. Es calcula la diferència de cotes P2M2 = d

MAGNITUD
Vm2
t2
d
M1
d t1
P1
a1
m1
b1
Ht1
b2
m2 P2
a2
r2
Vt2
M2
P´
r1
3c. Es trasllada la d sobre la
perpendicular traçada anteriorment
en P1, i obtenim P´

MAGNITUD
Vm2
t2
d
M1
d t1
P1
a1
m1
b1
Ht1
b2
m2 P2
a2
r2
Vt2
M2
P´
r1
3d. La distancia P´M1 és la VERITABLE
MAGNITUD de la distància de P a T

MAGNITUD
b´´
a´´
a´
b´
15. Dibuixa la veritable magnitud de la distància entre els plans paral·lels a i b

MAGNITUD
b´´
a´´
a´
b´
r´´
r´

MAGNITUD
b´´
a´´
g´´
b´
r´´=
r´
a´
g´

MAGNITUD
b´
v´´
r´´= =m´
I´´
m´
r´
I´
h´
a´´ b´´
g´´
g´
a´

MAGNITUD
b´
v´´
r´´= =m´
I´´
v´´
J´´ n´´
J´
n´
m´
r´
I´
h´
h´
a´´ b´´
g´´
g´
a´

MAGNITUD
b´
v´´
r´´= =m´
I´´
D´´
v´´
J´´ n´´
J´
n´
D´
r´
I´
m´
h´
h´
a´´ b´´
g´´
g´
a´

MAGNITUD
b´
v´´
r´´= =m´
I´´
D´´
v´´
J´´ n´´
J´
n´
D´
r´
I´
m´
x
h´
h´
a´´ b´´
g´´
g´
a´

MAGNITUD
b´
v´´
r´´= =m´
I´´
D´´ x
v´´
J´´ n´´
J´
n´
D´
r´
I´
m´
x
h´
h´
a´´ b´´
g´´
g´
a´

MAGNITUD
b´
v´´
r´´= =m´
I´´
D´´
D
x
v´´
J´´ n´´
J´
n´
D´
r´
I´
m´
x
h´
a´´ b´´
g´´
g´
a´

MAGNITUD
s´
r´´
16. Dibuixa la veritable magnitud de la distància entre les rectes paral·leles r i s

MAGNITUD
a´´
a´
s´
r´´
1. Tracem un pla a
perpendicular a les
rectes r i s

MAGNITUD
a´
s´=g´´
r´´
b´ g´
a´´
2. Tracem dos
plans
proyectants b i g,
que continguin a
les rectes r i s
respectivament

MAGNITUD
I´´
r´´
b´ g´
a´´
a´
s´=g´´
I´
3. El pla b intersecciona
amb el pla a en una
recta que curta a la
recta r en el punt
d'intersecció I

MAGNITUD
I´´
a´´
I1´´
r´´
b´ g´
I1´
a´
I´
s´=g´´
4. El pla g
intersecciona
amb el pla a en
una recta que
curta a la recta r
en el punt
d'intersecció I1

MAGNITUD
I´´
a´´
I1´´
r´´
b´ g´
d´´
d´
I1´
a´
I´
s´=g´´
5. La distància que
hi ha del punt I al
punt I1 és la
distància que hi ha
entre r i s.
Ara cal calcular la
veritable magnitud

MAGNITUD
I´´
I1´´
r´´
b´ g´
a´´
d´´
D
d´
I1´
a´
h
I´
s´=g´´
6. Trobem la
VERITABLE
MAGNITUD de d
mitjançant el
procediment
estudiat amb
anterioritat

MOLTES GRÀCIES PER
LA VOSTRA ATENCIÓ!

SISTEMA DIÈDRIC. PLANS, PAREL·LELISME,PERPENDICULARITAT,

Recommended

Recommended

More Related Content

More from Lasilviatecno

More from Lasilviatecno (20)

SISTEMA DIÈDRIC. PLANS, PAREL·LELISME,PERPENDICULARITAT,