For Education

1. KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur kami panjatkan kepada Tuhan yang Maha Esa, karena atas
berkat dan karunianya maka kami boleh menyelesaikan sebuah makalah ini dengan tepat
waktu.
Berikut ini kami mempersembahkan sebuah makalah dengan judul "HUKUM GAUSS dan
POTENSIAL SKALAR”, yang menurut kami dapat memberikan manfaat yang besar bagi kita
untuk mempelajari hasil-hasil dari diskusi kami.
Melalui kata pengantar ini penulis lebih dahulu meminta maaf dan memohon permakluman
bila mana isi makalah ini ada kekurangan dan ada tulisan yang kami buat kurang tepat atau
tidak dapat dimengerti oleh pembaca.
Dengan ini kami mempersembahkan makalah ini dengan penuh rasa terima kasih dan semoga
makalah ini dapat memberikan manfaat.
Tataaran, 25 Rabu 2015
Kelompok 2

2. DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR
DAFTAR ISI
BAB I PENDHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Tujuan
BAB II PEMBAHASAN
Hukum Gauss
A. PENDAHULUAN
B. PENYAJIAN
1. Derivasi Hukum Gauss
2. Beberapa penerapan hokum Gauss
POTENSIAL SKALAR
A. PENDAHULUAN
B. PENYAJIAN
1. Definisi Potensial Skalar
2. Potensial muatan titik tunggal
3. Potensial distribusi muatan bola seragam
4. Potensial scalar dan tenaga potensial
BAB III PENUTUP
A. KESIMPULAN
B. SARAN
DAFTAR PUSTAKA

3. BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Dalam pembahasan sebelumnya kita mengkaji Hukum Coulomb dan Medan Listrik;
sekarang kita siap untuk mengkaji Hukum Gauss dan Potensial Skalar. Hukum Gauss yang
memberikan fluks medan listrik yang melewati suatu permukaan tertutup yang melingkupi
suatu distribusi muatan. Hukum Gauss memberikan cara yang mudah dalam menentukan
medan listrik dari suatu distribusi muatan yang memiliki cukup simetri. Secara substansial
informasi yang sama dapat juga diungkapkan dengan suatu besaran medan skalar yang akan
memudahkan dalam banyak tujuan dan disebut sebagai potensial skalar. Terdapat hubungan
antara medan listrik dan potensial skalar, sehingga medan listrik dapat dicari dari potensial
skalar, atau sebaliknya
B. Rumusan Masalah
Hukum Gauss
1. Apa yang dimaksud dengan derivasi hokum gauss?
2. Bagaimana penerapan hokum gauss dalam menentukan medan listrik dan beragam
system distribusi muatan?
3. Apa penerapan divergensi medan listrik ?
Potensial Skalar
1. Apa yang dimaksud potensial scalar dan sifat-sifatnya ?
2. Bagaimana mengkalkulasi/menentukan potensial scalar dan beragam sisitem distribusi
muatan ?
3. Bagaimana potensial scalar dan medan listrik yang telah diketahui?
1. Bagaimana hubungan potensial listrik scalar dengan energy potensial listrik system
muatan.?

4. C. Tujuan
Hukum Gauss
Setelah mengikuti kuliah pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan :
1. Dapat menjelaskan dan melakukan derivasi hokum Gauss
2. Dapat menerapkan Hukum Gauss untuk menentukan medan listrik dan beragam system
distribusi muatan
3. Dapat menjelaskan dan menerapkan divergensi medan listrik
Potensial Skalar
Setelah mengikuti kuliah pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan :
2. Dapat menjelaskan definisi dan sifat-sifat potensial scalar.
3. Dapat mengkalkulasi/menentukan potensial scalar dan beragam sisitem distribusi
muatan.
4. Dapat menentukan potensial scalar dan medan listrik yang telah diketahui.
5. Dapat menjelaskan dan menggunakan hubungan potensial listrik scalar dengan energy
potensial listrik system muatan.

5. BAB II
PEMBAHASAN
HUKUM GAUSS
A. Pendahuluan
Pada pokok bahasan ini, disajikan tentang hukum Gauss yang memberikan fluks medan listrik yang
melewati suatu permukaan tertutup yang melingkupi suatu distribusi muatan. Hukum Gauss
memberikan cara yang mudah dalam menentukan medan listrik dari suatu distribusi muatan yang
memiliki cukup simetri. Pokok bahasan ini dimulai dengan derivasi hukum Gauss, kemudian diikuti
oleh penerapan hukum Gauss pada beberapa persoalan elektrostatika dalam menentukan medan listrik
yang dihasilkan oleh suatu distribusi muatan. Setelah mengikuti kuliah pokok bahasan ini, mahasiswa
diharapkan dapat menjelaskan dan melakukan derivasi hukum Gauss, menerapkan hukum Gauss untuk
menentukan medan listrik dari beragam sistem distribusi muatan, dan dapat menjelaskan dan
menerapkan divergensi medan listrik.
B. Penyajian
4.1 Derivasi Hukum Gauss
Akan menunjukkan bahwa (hukum Gauss):
dengan Qdalam adalah muatan total (netto) yang terkandung dalam ruang (volume) yang dilingkupi oleh
suatu permukaan tertutup S sembarang.
Mengingat persamaan (3-2) bahwa maka

6. Ada dua kasus yang akan ditinjau.
Kasus I: qi berada di dalam S (Gambar 4.1).
Letak elemen luasan da (dengan vektor ) relatif terhadap muatan qi ditunjukkan oleh ; berlaku
bahwa
dengan 𝑑𝛺 = elemen sudut ruang yang berpangkal di qi menyebar ke luasan da. Untuk mengevaluasi
integral dalam persamaan (4-2), kita tinjau sebuah permukaan bola S0 yang berjejari R0 dengan qi
sebagaipusatnya. Sudut ruang 𝑑𝛺 yang sama akan memotong luasan pada bola ini; seperti tampak
pada Gambar 4 sejajar dengan sedemikian sehingga jika kita menggunakan persamaan (4-3)
pada kasus ini, maka 𝑑𝛺 sama dengan . Dengan demikian, integral dalam persamaan (4-2)
setara ditulis sebagai
karena R0 tetap untuk semua titik di permukaan bola. Jadi, sudut ruang total yang dibentuk oleh
sembarang permukaan yang merentang dari suatu titik yang berada di dalamnya adalah 4𝜋 dapatditulis

7. Kasus II: qi di luar S (Gambar 4.2).
Ditinjau dua elemen luasan dan dari permukaan S yang terpotong oleh sudut ruang 𝑑𝛺 yang
sama tetapi di sisi yang berlawanan pada permukaan S. Jaraknya dari qi berturuttumt ditulis sebagai Ri1
dan Ri2. Seperti sebelumnya, kita akan punya
sehingga sumbangan netto kedua elemen luasan ini kepada integral dalam persamaan (4-2) adalah nol.
Karena semua eleinen luasan pada permukaan S dapat dipasang-pasangkan dengan cara seperti ini,
maka semua sumbangannya kepada integral tadi akan saling meniadakan, dan dengan demikian
Dengan demikian, dari persamaan-persamaan (4-2), (4-5), dan (4-7) diperoleh
dan karena 𝜃2 > 𝜋/2,sehingga 𝑐𝑜𝑠𝜃2 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓maka
Jadi

8. dan kita telah membuktikan hukum Gauss seperti dinyatakan oleh persamaan (4-1) di depan.
Implikasi dari hal tersebut di atas:
Sembarang muatan yang berada di luar suatu permukaan tertutup tidak mempengaruhi nilai
integral, meskipun besar dan letaknya jelas dapat mempengaruhi nilai di tiap titik pada permukaan
itu. Integral hanya bergantung pada nilai total muatan di dalam permukaan dan tidak bergantung pada
letaknya di dalam permukaan tertutup; tetapi, jika muatan-muatan tersebut dipindahkan ke tempat yang
baru di dalam permukaan, maka nilai di tiap titik pada permukaan tersebut dapat berubah, tetapi nilai
integral keseluruhan tidak akan terpengaruh. Karena hasil yang diberikan oleh persamaan (4-1)
merupakan suatu jumlahan sederhana,maka tampak jelas bahwa tiap muatan secara bebas memberikan
sumbangan pada fluks total yang melewati S; jadi, suatu muatan titik q memiliki fluks total sebesar
𝑞/𝜀0 melewati sembarang permukaan tertutup yang melingkupinya.
Sekarang muatan-muatan di dalam S diasumsikan terdistribusi secara kontinyu dengan rapat muatan
, maka muatan totalnya adalah
dengan V adalah volume total ruang yang dilingkupi oleh S.

9. Dengan menerapkan teorema divergensi, yaitu , maka persamaan (4-
8) dapat ditulis sebagai
Karena hasil ini berlaku pada sembarang volume V, maka ini berlaku juga untuk volume infinitesimal,
dan kita dapat menyamakan integran untuk memperoleh divergensi medan listrik :
Ini merupakan salah satu dari persamaan-persamaan Maxwell
4.2 Beberapa Penerapan Hukum Gauss
Hukum Gauss menyediakan cara yang sederhana dan mudah untuk menentukan medan listrik dari
distribusi muatan memiliki simetri. Perlu memilih permukaan tertutup yang cocok untuk proses
integrasi (disebut permukaan gauss) yaitu permukaan-permukaan di mana:
memiliki nilai yang tetap
memiliki yang tegak lurus atau sejajar terhadap permukaan tersebut.
Hal ini dilakukan untuk kemudahan dalam pengintegrasian dan menghindari kesulitankesulitan dari
ketidaktahuan akan bentuk ketergantungan terhadap letak. Prosesini akanmudah ditunjukkan dengan
menggunakan contoh, dan kita akan meninjau sebuah contoh untuk tiap ragam distribusi muatan
kontinyu.
Muatan garis seragam panjang tak hingga. Asumsi: -
= tetapan;
- muatan garis berimpit dengan sumbu z;
- menggunakan sistem koordinat silinder.

10. Muatan garis panjang tak hingga, sehingga tidak ada perbedaandi mana kita berada sepanjang garis
tersebut; kesimpulan: tidak bergantung pada z.
Tidak ada yang membedakan nilai yang satu dengan nilainya yang lain karena distribusi muatan
tampak sama di mana pun kita melihatnya dari arah tegak lurus terhadap sumbu z; kesimpulan:
tidak bergantung pada .
hanya bergantung pada jarak dari garis ; jadi .
Pilihan arah sumbu z positif atau negatif sepenuhnya sembarang, yaitu tidak ada batasan nyata
antara “atas” dan “bawah”. Tetapi, jika Ez tidak nol, maka hal ini akan membedakan atas dengan
bawah; kesimpulan: Ez = 0
Kita tidak dapat membedakan antara bertambahnya dan berkurangnya ; kesimpulan:
Jadi, disimpulkan dari kesimetrian bahwa
Dengan demikian, suatu permukaan dengan nilai yang tetap dalam contoh ini berupa sebuah
permukaan selimut silinder berjejari dengan sumbu yang berimpit dengan muatan garis ;
Sebagian dari silinder ini dengan panjang L ditunjukkan oleh Gambar 4-3, vektor satuan
(indeks s merujuk pada silinder) tidak lain adalah ̂ dan berarti

11. ia sejajar dengan .
Permukaan tertutup untuk pengintegrasian (permukaan gauss) dapat diperoleh dengan
menambahkan dua buah tutup silinder lingkaran (atas dan bawah) yang berjejari kepada selimut
silinder tadi.
Vektor-vektor satuan normal arah ke luar bagi tutup atas dan tutup bawah ini berturut turut ditulis
sebagai dan (indeks a dan b merujuk pada kata “atas” dan “bawah”) dan tampak sama
dengan dan
Meskipun memiiki bentuk ketergantungan yang tidak diketahui pada pada luasanluasan
lingkaran ini, tetapi tegak lurus terhadap vektor-vektor luasannya, sehingga sumbangannya
kepada fluks akan lenyap.
Kita dapat menulis integral permukaan tertutup sebagaijumlahan dari integral permukaan selimut
dan tutup-tutup atasdan bawah(yang ditandai oleh indeks s,a,dan b). Kita juga ingat bahwa
tetap pada permukaan selubung karena tetap. Dengan demikian, dalam kasus ini persamaan (4-
1) menjadi
Saat kita memecahkan persamaan di atas untuk , panjang L sembarang menjadi lenyap dan kita
memperoleh sehingga
yang tepat sama dengan persamaan (3-7) yang telah diperoleh dari integrasi langsung.

12. Plat tipis bermuatan seragam luas tak hingga Asumsi:
- = tetapan
- Plat terletak pada bidang xy; Gambar 4-4 memperlihatkan pandangan dari sisi tepi
plat.
Pemilihan titik asal sistem koordinat dan arah-arah sumbu x dan sumbu y sembarang, maka
haruslah tidak bergantung pada x dan y.
Tidak ada perbedaan antara kanan dan kiri, atau menuju atau menjauhi kertas, sehingga tidak
memiliki komponen-komponen yang sejajar plat ; jadi hanya memiliki sebuah
komponen z umumnya fungsi z, yaitu jarak dari plat.
Tidak ada juga perbedaan nyata antara atas dan bawah, sehingga arah harus selalu menjauhi plat
atau selalu menuju plat bergantung pada tanda . Dengan demikian, haruslah memiliki bentuk
dengan tanda “+“ digunakan untuk z > 0 dan tanda “-“ digunakan untuk z < 0; E(z)
dapat positif atau negatif, Gambar 4-4 digambar untuk kasus dengan E(z) positif.
Jadi, permukaan tertutup pengintegrasian berupa sebuah silinder setinggi D ke atas dan ke bawah
plat serta tutup-tutup silinder seluas a sejajar plat; vektor satuan normal luasan-luasan a ini
dalam arah ke luar ditulis sebagai dan seperti diperlihatkan oleh Gambar 4-4.

13. Vektor medan listrik memiliki nilai yang tetap sebesar E(D) di tutup-tutup tersebut. Selubung
silinder yang menghubungkan tutup-tutup ini tegak lurus terhadap plat; vektor satuan normalnya
dalam arah ke luar ditulis sebagai , dan jelas bahwa untuk semua bagian permukaan
selubung silinder.
Tampak juga bahwa Qdalam adalah muatan pada plat yang terpotong oleh penampang silinder, dan
dengan demikian sama dengan .
Jadi, dalam kasus ini persamaan (4-1) menjadi:
Tampak bahwa yang jelas tidak bergantung pada D; jadi medan listrik dari plat
tipis ini diberikan oleh
yang tepat sama dengan persamaan (3-8) yang telah diperoleh dengan integrasi langsung.
Bola pejal bermuatan terdistribusi secara simetri bola
Asumsi: - muatan terkandung dalam bola berjejari a.
- rapat muatan fungsi radial → simetri bola.
Jadi memiliki arah radial, besarnya tak bergantung pada sudut, dan dapat ditulis dalam bentuk
.
Besar konstan di permukaan bola berjejari r, maka permukaan bola tersebut dipilih sebagai
permukaan pengintegrasian; vektor satuan normalnya arah ke luar juga adalah ̂ Jadi, persamaan
(4-1) menjadi

14. sehingga diperoleh
dengan
dan V(r) adalah volume bola
berjejari r.
Ada dua kasus yang perlu ditinjau.
Kasus I: Di luar bola bermuatan, r > a.
Di sini jika r' > a, dan volume integrasi dalam persamaan (4-15) menjadi V(a),yaitu volume
total distribusi muatan, sehingga
dengan Q adalah muatan total yang
terkandung di dalam bola.
Dengan demikian persamaan (4-14) menjadi
Medan listrik di luar bola bermuatan sama seperti jika seluruh muatan terkumpul pada sebuah titik di
pusat bola.
Kasus II: Di dalam bola bermuatan, r < a.

15. Dalam kasus ini, muatan yang terkandung dalam permukaan gauss adalah
yang jika dimasukkan ke persamaan (4-14) akan memberikan medan listrik di dalam bola sebagai
Kita tidak dapat melangkah lebih jauh kecuali jika kita mengetahui bentuk eksplisit .
Bola pejal bermuatan terdistribusi seragam
Kasus ini sepertipada contoh sebelumnya tetapi dengan rapat muatan = tetapan, yaitu kita punya
bola bermuatan seragam.
Dengan demikian, integral dalam persamaan (4-19) menjadi
Pernyataan ini dapat diungkapkan dalam muatan total Q sebagai
yang menunjukkan bahwa medan listrik bertambah besar secara linear terhadap jarak saat kita
bergerak menjauh dari nilai nolnya di titik pusat bola.

16. Di luar bola, besar medan listrik berubah dengan kebalikan kuadrat jarak dari pusat bola menurut
persamaan (4-17).
Persamaan (4-17) dan persamaan (4-21) memberikan nilai yang sama, yaitu , di
permukaan bola, yaitu di r = a; jadi, medan listrik tetap kontinyu saat melintasi permukaan bola
bermuatan.
Hasil-hasil ini untuk bola bermuatan seragam ditunjukkan oleh Gambar 4.5
Distribusi muatan dengan simetri bola lainnya akan memberikan ketergantungan yang berbeda Er
pada r di dalam bola, tetapi tepat sama seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 4.5 untuk kasus di luar
bola bila diungkapkan dalam muatan total yang terkandung di dalam bola r = a.
POTENSIAL SKALAR
A. Pendahuluan
Pada pokok bahasan terdahulu medan listrik merupakan besaran vektor yang
memberikan informasi lengkap tentang efek-efek elektrostatik. Secara substansial
informasi yang sama dapat juga diungkapkan dengan suatu besaran medan skalar yang akan
memudahkan dalam banyak tujuan dan disebut sebagai potensial skalar. Terdapat
hubungan antara medan listrik dan potensial skalar, sehingga medan listrik dapat dicari dari
potensial skalar, atau sebaliknya. Akan disajikan juga tentang tenaga potensial listrik
hubungannya dengan potensial skalar.
Setelah mengikuti kuliah pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan dapat
menjelaskan definisi dan sifat-sifat potensial skalar, dapat menentukan potensial skalar dan
beragam sistem distribusi muatan, dan dapat menentukan potensial skalar dan
hubungannya dengan medan listrik yang telah diketahui, serta dapat tenaga potensial listrik
sistem muatan.

17. B. Penyajian
1. Definisi Potensial Skalar
Pada ungkapan medan listrik (persamaan (3-2)), kita dapat
mengganti dengan sehingga diperoleh
dengan
Didefinisikan medan skalar yang di sebut sebagai potensial skalar atau potensial
elekstrostatik:
Dengan demikian kita dapat menulis
medan listrik merupakan negative gradien potensial skalar ; dan berlaku bahwa
Satuan potensial skalar: volt .(V); dari persamaan (5-3), medan listrik dapat
dinyatakan dalam volt/meter yang kenyataannya sering digunakan. Mengingat satuan
untuk sebelumnya adalah newton/coulomb, maka berarti 1 volt = 1 joule/coulomb.
Mengingat teorema Stokes: dan menurut persamaan
(5-4) bahwa , maka diperoleh

18. dengan C adalah lintasan tertutup sembarang. Ini menunjukkan bahwa medan elektrostatik
merupakan medan konservatif.
Potensial skalar pada persamaan (5-2) diungkapkan dalam SKC:
Karena merupakan besaran skalar, maka secara umum akan lebih mudah menghitung
medan listrik secara tidak langsung dengan menggunakan persamaan (5-2) dulu, kemudian
mendiferensialkannya menggunakan persamaan (5-3), dari pada mengevaluasi langsung
jumlahan vektor persamaan (3-2); inilah alasan mengapa penting secara praktis.
Potensial listrik dari terdistribusi muatan kontinyu:
Gambar 5.1 memperlihatkan besaran-besaran yang terlibat dalam persamaan (5-7)

19. Jika semua ragam distribusi muatan tersebut hadir serentak, total di suatu titik
merupakan jumlahan skalar dari semua ragam sumbangan persamaan (5-2) dan persamaan (5-
7) hingga persamaan (5-9), dan total di suatu titik dapat diperoleh sebagai negative gradien
dari potensial skalar total ini.
Jika potensial skalar didefinisikan memiliki tetapan tambahan C sembarang:
maka kita akan memperoleh yang sama seperti semula (persamaan (3-2)). Jadi, secara
prinsip, potensial skalar selalu menyertakan suatu tetapan tambahan dan kita dapat memilihnya
secana sembanang tanpa menyebabkan perubahan pokok permasalahan. Seringkali, meskipun
tidak selalu, dipilih C = 0, sehingga potensial = 0 di tempat yang sangat jauh dari muatan-
muatan ( ).
Integral garis medan antara titik awal P dan titik akhir P serupa dengan Gambar
1-16:

20. Jadi kita dapat menulis:
yang menghubungkan perubahan (beda) potensial skalar dan integral garis . Hasil ini
hanya bergantung pada nilai-nilai di titik awal dan titik akhir, nilai integral garis tidak
bergantung pada lintasan, berarti adalah medan konservatif. [Jika lintasannya tertutup,
berarti , maka persamaan (5-11) kembali menghasilkan persamaan (5-5).]
Pada persamaan (5-11), sembarang tetapan tambahan yang dapat disertakan dalam
definisi telah lenyap saat menghitung beda potensial. Kita dapat menggunakan persamaan
(5-11) untuk menghitung beda potensial antara dua titik jika medan telah diketahui atau
diperoleh dengan cara lain
Suatu permukaan dengan nilai tetap disebut permukaan ekipotensial.
Ingat: Gradien skalar memiliki arah normal (tegak lurus) terhadap permukaan yang memiliki
nilai skalar tetap, dan menuju permukaan dengan nilai skalar yang lebih besar. Jadi, gradien
potensial listrik ( ) tegak lurus terhadap permukaan ekipotensial, demikian juga dengan
tetapi dalam arah yang berlawanan. Hal ini diilustrasikan oleh Gambar 5-2 di mana
permukaan-permukaan ekipotensial digambarkan sebagai garis tak putus, sedangkan garis
putus (disebut garis gaya atau garis medan) digambar untuk menunjukkan arah di tiap titik
untuk kasus > . (Nilai numerik lebih besar di daerah di mana garis-garis gaya
saling berdekatan dari pada nilai di daerah di mana garis-garis gaya terpisah lebih jauh.)

21. 5.2 Potensial Muatan Titik Tunggal
Ditinjau sebuah muatan titik Q yang terletak di .
Potensialnya, menurut persamaan (5-2):
dengan . Dengan demikian, medan listrik:
yang tentu saja sesuai dengan persamaan (3-2) untuk muatan tunggal.
Nilai yang diberikan oleh persamaan (5-12) sebagai sebuah fungsi jarak R dari Q
ditunjukkan oleh Gambar 5-3 untuk kedua tan Q. Permukaan-permukaan ekipotensial
diperoleh dengan memecahkan persamaan (5-12) untuk R dan memberikan nilai tertentu untuk
; hasilnya adalah
sehingga permukaan-permukaan ini berkaitan dengan R = tetapan, yaitu berupa bola-bola yang
berpusat pada muatan Q. Situasi ini ditunjukkan oleh Gambar 5-4 di mana kita telah
mengasumsikan Q bernilai positif sehingga . Menurut Gambar 5-2, haruslah
tegak lurus terhadap bola-bola ini dan dengan demikian memiliki arah radial ke luar dari Q,
sesuai dengan persamaan (5-13).

22. Jika kita menggabungkan persamaan (5-3), yaitu , dengan persamaan (4-10), yaitu
, maka diperoleh bahwa
Dengan kata lain, potensial skalar memenuhi persamaan diferensial ini yang dikenal
sebagai
“persamaan Poisson”. Di dalam daerah di mana = 0, persamaan (5-15) berubah menjadi
“persamaan Laplace”:
5.3 Potensial Distribusi Muatan Bola Seragam
Ditinjau: Bola berjejari a, bermuatan total Q, rapat muatan tetap Akan
dihitung potensial skalar di titik sejauh dari pusat bola (Gambar 5.5).

23. Jadi diperoleh
Integrasian ke dapat dilakukan langsung dan memberikan nilai 2 . Jika kita menggunakan
, maka persamaan (5-17) menjadi
Integrasi ke dapat diperoleh dengan menggunakan tabel integra, l, hasilnya
,
Sekarang ada dua kasus yang akan ditinjau.

24. Kasus I: Di luar bola, r > a; padahal r a, berarti kita punya r > r , sehingga
dalam persamaan (5-19) menjadi dan integral ke sama
dengan 2/z. Dengan memasukkan hasil ini ke persamaan (5-18) dan mengintegrasikannya ke
r , maka diperoleh potensial di suatu titik di luar (outside) bola sejauh r dari pusatnya
sebagai
Kasus II: Di dalam bola, r < a, sehingga r > r atau r < r.
Jika r < r < a, maka persamaan (5-19) menjadi
jika r < z < a, maka persamaan (5-19) sama dengan 2/r seperti sebelumnya. Dengan
demikian, ungkapan potensial di dalam (inside) bola sejauh r dari pusatnya adalah
Persamaan (5-20) dan persamaan (5-21) memberikan nilai potensial yang sama, yaitu
, di permukaan bola di mana r = a.
Substitusi persamaan (5-20) dan persamaan (5-21) ke dalam persamaan (5-3) akan
menghasilkan medan listrik di luar dan di dalam bola, berturut-turut sebagai

25. Ini sesuai dengan hasil yang telah diperoleh dengan menggunakan hukum Gauss. Persamaan
(5-20) dan persamaan (5-21) menunjukkan bahwa nilai-nilai tetap berkaitan dengan nilai-
nilai r yang tetap; dengan kata lain, permukaan-permukaan ekipotensialnya berupa bola-bola
sepusat yang berpusat di titik asal sistem koordinat (yaitu di pusat distribusi muatan).
Gambar 5-6 menunjukkan plot potensial sebagai fungsi r dalam contoh ini; negatif slope
kurva ini memberikan medan listrik Er.
5.4 Potensial Skalar dan Tenaga Potensial
Ditinjau sebuah muatan titik q dalam keadaan setimbang dalam pengaruh sebuah gaya
elektrostatik q dan sebuah gaya mekanik q,m:
atau
Kita bayangkan mengerakkan muatan q dengan sangat lambat dari suatu titik awal ke titik
akhir sepanjang suatu lintasan. Dalam kondisi ini, pada dasarnya kecepatannya selalu nol

26. dan tetap sehingga percepatannya nol. Muatan akan selalu dalam keadaan setimbang, atau
sangat hampir setimbang, sehingga persamaan (5-24) berlaku. Kita mengasumsikan prosedur
ini sehingga kita dapat menghitung banyaknya kerja dikerjakan oleh gaya mekanik luar, dan
dengan mempertahankan kecepatan nol kita dapat yakin bahwa tidak akan ada disipasi atau
efek gesekan yang terlibat. Jika kita tulis sebagai kerja yang dilakukan gaya mekanik luar,
maka kita memperoleh
dengan menggunakan persamaan (5-11). Dengan kata lain, kerja yang dilakukan pada muatan
sama dengan nilai muatan tersebut dikalikan dengan perubahan potensial. Kerja yang
dilakukan sama dengan perubahan tenaga potensial muatan sehingga persamaan (5-46)
menjadi
Perubahan ini tak bergantung pada sembarang tetapan tambahan yang dapat disertakan
dalam . Karena ruas kanan persamaan (5-26) telah memiliki bentuk selisih (beda), maka wajar
untuk menulis ruas kiri persamaan tersebut dengan cara yang sama, yaitu
, dan dengan perbandingan kita dapat mendefinisikan tenaga potensial sebuah muatan q di ,
yaitu , sebagai
Kita dapat menambahkan sembarang tetapan pada ruas kanan persamaan (5-27) tanpa
merubah selisih tenaga potensial. Tetapi, secara umum kita akan memiih bentuk persamaan (5-
27) karena ia memiliki sifat yang memudahkan, yaitu bahwa jika lenyap di tempat jauh tak
hingga, maka demikian juga dengan . Karena satuan tenaga adalah joule, maka tampak
dari persamaan (5-48) bahwa satuan , yaitu volt, akan sama dengan 1 joule/coulomb.

27. Contoh: Dua muatan titik
Ditinjau: sebuah sistem yang terdiri dari dua muatan titik q dan Q yang terpisah sejauh R
(Gambar5.10).
Potens di tempat kedudukan q diberikan oeh persamaan (5-12) yaitu , dan jika
dimasukkan ke persamaan (5-27), maka kita memperoleh
Tenaga ini dapat diinterpretasikan sebagai kerja yang diperlukan untuk membawa muatan q
dari tempat jauh tak hingga ke tempatnya di , sedangkan muatan Q dipeahankan tetap di.
. Tetapi, karena kesimetrian ungkapan persamaan (5- 28), maka hal ini secara setara dapat
diungkapkan sebagai kerja yang diperlukan untuk membawa muatan Q dari tempat jauh tak
hingga ke tempatnya di , sedangkan muatan q tetap di . Dengan kata lain, lebih tepat
memandang Ue sebagai tenaga potensial bersama sistem dua muatan, bukan
menggambarkannya sebagai milik salah satu muatan atau milik muatan lainnya.

28. BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
 Derivasi Hukum Gauss akan menunjukkan bahwa (hokum gauss) :
∮ 𝒔
𝑬⃗⃗ . 𝒅𝒂⃗⃗ =
𝟏
𝜺 𝟎
∑ 𝒒𝒊 =
𝑸 𝒅𝒂𝒍𝒂𝒎
𝜺 𝟎
𝒅𝒊𝒅𝒂𝒍𝒂𝒎
 Beberapa penerapan Hukum Gauss
- Muatan garis seragam panjang tak hingga
- Plat tipis bermuatan seragam luas tak hingga
- Bola pejal bermuatan terdistribusi seragam
 Potensial scalar
- Definisi potensial scalar
- Potensial muatan titik tunggal
- Potensial distribusi muatan bola seragam
- Potensial scalar dan tenaga potensial
B. SARAN
- Makalah ini untuk mengetahui lebih jauh tentang Hukum Gauss dan Potensial Skalar
serta untuk menambah wawasan kita mengenai Hukum Gauss dan Potensial Skalar
- Kritik dan Saran yang bersifat membangun selalu Kami harapkan demi kesempurnaan
makalah Kami. Bagi para pembaca yang ingin mengetahui lebih jauh mengenai Hukum
Gauss dan Potensial scalar penulis mengharapkan agar para pembaca membaca buku-
buku lainnya yang berkaitan dengan tersebut.
-

29. DAFTAR PUSTAKA
Wangsness,R.K.,1979, “ElectromagneticFields”, JohnWiley&Sons,New York
Bahan ajar Kuliah Universitas Gadja Mada