Materi Medan Elektromagnetik

1. KERAPTAN FLUKS LISTRIK DAN
HK GAUSS
DILA MARTA PUTRI
Institut Teknologi Bisnis Riau

2. Kerapatan Fluks Listrik
2
Percobaan Faraday
1. Dalam kondisi lepasan, bola dalam diberi
muatan positif yang besarnya diketahui.
2. Kedua selungkup setengah-bola
disetangkupkan menyungkupi bola dalam,
dengan ruang-antara diisi bahan
dielektrikum.
3. Kedua selungkup setengah-bola
“dibersihkan” dari muatan dengan
mentanahkannya sesaat.
4. Selungkup bola luar dipisahkan dengan
hati-hati, dan muatan negatif yang
terinduksikan di setiap selungkup
setengah-bola diukur.
Faraday mendapatkan bahwa
total muatan negatif pada bola
luar ternyata persis sama
besarnya dengan muatan positif
yang diberikan pada bola dalam,
terlepas dari apapun bahan
dielektrikum penyekat bola
dalam dan bola luar.

3. Kerapatan Fluks Listrik
3
• Faraday menyimpulkan bahwa ada
semacam aliran “perpindahan”
(Displacement) dari bola-dalam ke bola
luar yang tidak tergantung media
penyekat, dan aliran (fluks) tersebut
disebut fluks perpindahan, atau cukup
disebut fluks listrik, dilambangkan dengan
Ψ (psi) dengan satuan coulomb (C)
• Berdasarkan percobaan Faraday,
didefinisikan bahwa fluks listrik Ψ adalah
sama dengan total muatan 𝑄 pada bola-
dalam, yaitu:
Ψ = 𝑄
• Di permukaan bola-dalam, fluks
listrik Ψ coulomb yang
ditimbulkan muatan 𝑄 = Ψ
coulomb terdistribusikan
merata di permukaan bola yang
luasnya 4𝜋𝑎2 m2 . Kerapatan
fluks listrik adalah
Ψ
4
𝜋𝑎2, atau
𝑄
4
𝜋𝑎2 C
m2 , dan ini adalah
sebuah besaran baru.

4. Kerapatan Fluks Listrik
4
• Kerapatan fluks listrik (dilambangkan D), dengan satuan C
m2.
• D merupakan medan vektor dari kelas “kerapatan fluks”, yang berbeda dari
intesitas medan listrik E yang termasuk kelas “medan gaya”.
• Arah D di suatu titik adalah arah garis fluks di titik tersebut.
• Magnitudonya adalah jumlah garis fluks yang menembus permukaan
normal (tegak-lurus) terhadap garis fluks, dibagi luas permukaan tersebut.
• Mengacu pada gambar sebelumnya, kerapatan fluks listrik arahnya radial,
dan besarnya adalah:
𝐃
𝑟 = 𝑎
=
𝑄
4𝜋𝑎2 𝐚, (bola-dalam) 𝐃
𝑟 + 𝑏
=
𝑄
4𝜋𝑏2 𝐚, (bola-luar)
• Dan pada jarak radial 𝑟, dimana 𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏,
𝐃 =
Q
4𝜋𝑟2
𝐚

5. Kerapatan Fluks Listrik
5
• Jika bola-dalam diciutkan semakin kecil
sampai batas menjadi muatan titik,
sedangkan besar muatan 𝑄 tetap
dipertahankan, kerapatan fluks listrik
pada jarak radial 𝑟 dari muatan titik
tersebut tetap memenuhi persamaan
𝐃 =
Q
4𝜋𝑟2
𝐚
• Di sisi lain, pada jarak 𝑟 dari sebuah
muatan titik 𝑄 dalam ruang-hampa
terdapat intensitas medan listrik 𝐄
sebesar
𝐄 =
Q
4𝜋𝜀0𝑟2
𝐚𝐫
• Sehingga disimpulkan bahwa di
dalam ruang-hampa berlaku
𝐃 = 𝜀0𝐄
• Untuk intensitas medan listrik 𝐄
oleh distribusi muatan volume
dalam ruang-hampa, berlaku
persamaan
𝐄 =
𝐯𝐨𝐥
𝜌𝑣𝑑𝑣
4𝜋𝜀0𝑅2
𝐚𝐳
• Untuk 𝐃 dalam ruang hampa
juga berlaku
𝐃 =
𝐯𝐨𝐥
𝜌𝑣𝑑𝑣
4𝜋𝑅2
𝐚𝐳

6. Contoh
6
1. Tentukan 𝐃 di sekitar muatan garis seragam dengan 𝜌𝐿 = 8 𝑛𝐶/𝑚, dan
berimpit dengan sumbu 𝑧 di dalam ruang-hampa.
Jawab:
Medan 𝐄 untuk distribusi muatan adalah:
Pada jarak 𝜌 = 3 m dari muatan garis,
Kerapatan fluks listrik pada 𝜌 = 3 m adalah
Kerapatan fluks listrik 𝐃 adalah:

7. Hukum Gauss
7
Hukum Gauss
• Diungkapkan dalam Bahasa sederhana, percobaan Faraday
menyimpulkan bahwa +𝑄 coulomb muatan pada sembarang
konduktor-dalam akan membangkitkan muatan induksi −𝑄
coulomb pada permukaan konduktor-luar yang menyelungkupinya.
Kesimpulan umum ini menghasilkan pernyataan berikut, yang
dikenal sebagai Hukum Gauss:
“Fluks listrik yang menembus keluar pada sembarang
permukaan tertutup sama dengan muatan total yang
terkurung di dalam atau dilingkupi oleh permukaan tersebut”.

8. Hukum Gauss
8
• Persisnya Gauss menyatakan hukumnya
dalam persamaan matematika,
sedikitnya dengan bantuan gambar
setepi di samping.
• Dimana setiap titik pada permukaan
kerapatan fluks listrik 𝐃 akan memiliki
nilai 𝐃𝐬.
• Dimana subkrip 𝑠 menandakan bahwa 𝐃
yang di evaluasi adalah 𝐃 pada
permukaan (surface), yang magnitude
dan arahnya bervariasi dari satu titik ke
titik lainnya pada permukaan.

9. Hukum Gauss
9
• Elemen parsial ∆𝑆 di titik 𝑃, yang
sedemikian kecilnya sehingga
sangat mendekati permukaan
bidang datar, merupakan besaran
vektor dengan notasi ∆𝐒.
• ∆𝐒 selain merupakan besaran luas
(skalar), juga memiliki arah dalam
ruang yaitu arah normal (tegak
lurus) ‘keluar’ dari permukaan
tertutup.

10. Hukum Gauss
10
• Di titik 𝑃 , 𝐃 diasumsikan
membentuk sudut 𝜃 dengan ∆𝐒
sehingga fluks listrik ∆𝚿 yang
menembus ∆𝑆 adalah hasil kali
skalar-komponen normal dari 𝐃𝐬
dan ∆𝑆 yang tak lain adalah hasil
perkalian-titik 𝐃𝐬 dan ∆𝐒.

11. • Fluks total yang menembus permukaan tertutup diperoleh dengan
menambahkan semua kontribusi diferensial yang menembus setiap
elemen permukaan ∆𝐒,
• Sesuai simbol, integral pada persamaan di atas adalah integral
permukaan tertutup.
• Integral tersebut merupakan integral lipat-dua karena melibatkan dua
koordinat diferensial, seperti 𝑑𝑥 𝑑𝑦 (SKP), 𝑟𝑑𝜙 𝑑𝑟 (SKS), atau
𝑟2
sin 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙 (SKB).
• Permukaan tertutup seperti itu disebut permukaan Gauss.
• Formulasi matematis hukum Gauss dinyatakan oleh:
Hukum Gauss
11

12. Muatan terkurung dapat berupa:
• Sekumpulan muatan titik
𝑄 = 𝑄𝑛
• Sekumpulan muatan garis
𝑄 = 𝜌𝐿 𝑑𝐿
• Sekumpulan muatan permukaan
𝑄 =
𝑠
𝜌𝑠 𝑑𝑆
• Sekumpulan muatan volume
𝑄 =
vol
𝜌𝑣 𝑑𝑣
Hukum Gauss
12

13. • Karena muatan volume dianggap mewakili bentuk
distribusi muatan lainnya, maka hukum Gauss
juga bisa dinyatakan dalam bentuk,
Hukum Gauss
13
•Berikut adalah ilustrasi penerapan hukum Gauss
untuk memeriksa kebenaran hasil percobaan
Faraday, dengan menempatkan sebuah muatan
titik 𝑄 di pusat SKB, dan memilih permukaan
tertutup bola berjari-jari 𝑎.
•Intensitas medan listrik
yang dihasilkan:

14. • Total fluks listrik yang menembus
permukaan bola dengan 𝑟 = 𝑎,
Hukum Gauss
14
Ψ =
𝑄𝜙
2𝜋
𝜙 = 2𝜋
𝜙 = 0
= 𝑄

15. • Untuk distribusi muatan simestris, penggunaan hukum Gauss,
Aplikasi Hukum Gauss: Distribusi Muatan Simetris
15
memudahkan proses penentuan 𝐃𝐒 dibandingkan hukum Coulomb,
dengan syarat:
1. Di setiap titik pada permukaan tertutup, arah 𝐃 adalah
normal atau tangensial, sehingga 𝐃𝐒 ⋅ ∆𝐒 nilainya 𝐷𝑆 𝑑𝑆 atau
nol.
2. Untuk 𝐃𝐒 ⋅ ∆𝐒 yang tidak nol, nilai 𝐷𝑆 adalah konstan.
• Dengan kondisi di atas maka 𝐷𝑆 bisa dikeluarkan dari tanda
integral, sehingga integrasi hanya untuk menghitung luas
permukaan tertutup yang ditembus 𝐃𝐒 arah normal.

16. • Contoh ideal dimana dua syarat di atas dipenuhi adalah
sebuah muatan titik 𝑄 yang diletakkan di pusat sistem
koordinat bola.
• Permukaan tertutup yang ditinjau tentunya berupa
sebuah permukaan bola yang sepusat dengan 𝑄, dengan
radius sembarang 𝑟.
• 𝐃𝐒 dimanapun berarah normal terhadap permukaan, dan
𝐷𝑆 mempunyai nilai yang sama di semua titik permukaan.
Aplikasi Hukum Gauss: Distribusi Muatan Simetris
16

17. • Urutan penentuan 𝐃𝐒 dengan hukum Gauss adalah
sebagai berikut:
𝑄 = 4𝜋𝑟2
𝐷𝑆
• Sehingga
𝐷𝑆 =
𝑄
4𝜋𝑟2
• Karena 𝑟 berlaku untuk sembarang nilai (positif),
dan 𝐃𝐒 mengarah radial keluar, maka diperoleh 𝐃
dan 𝐄 seperti dari hasi penggunaan hukum
Coulomb, yaitu
Aplikasi Hukum Gauss: Distribusi Muatan Simetris
17

18. • Untuk contoh kasus muatan garis, sebagai
permukaan Gaus dipilih sebuah silinder tertutup
berjari-jari 𝜌 dengan tinggi 𝐿.
• Medan 𝐃 = D𝜌𝐚𝜌 hanya memiliki kompenen
radial yang arahnya normal terhadap
permukaan selimut silinder, dan tangensial
terhadap tutup-atas dan tutup-bawah silinder,
sehingga:
Aplikasi Hukum Gauss: Distribusi Muatan Simetris
18
dan diperoleh: 𝐷𝑆 = 𝐷𝜌 =
𝑄
2𝜋𝜌𝐿

19. • Dalam konteks kerapatan muatan 𝜌𝐿 =
𝑄
𝐿
, maka:
Aplikasi Hukum Gauss: Distribusi Muatan Simetris
19

20. • Permasalahan medan di sekitar sebuah kabel
koaksial mirip dengan kasus muatan garis.
• Diilustrasikan pada gambar sebagai dua konduktor
silinder koaksial (se-poros).
• Dengan Panjang keduanya tak-berhingga.
• Serta memiliki kerapatan muatan permukaan 𝜌𝑆
pada permukaan luar silinder-dalam.
• Sebagai permukaan Gauss dipilih sebuah silinder
dengan Panjang 𝐿 dan jari-jari 𝜌 dimana 𝑎 < 𝜌 < 𝑏.
• Hukum Gauss,
Aplikasi Hukum Gauss: Distribusi Muatan Simetris
20
Sehingga
diperoleh

21. • Dengan total muatan silinder-dalam 𝑄 = 2𝜋𝑎𝜌𝑆𝐿 ,
maka muatan per satuan Panjang silinder-dalam
adalah 𝜌𝐿 = 2𝜋𝑎𝜌𝑆. Sehingga persamaan menjadi
𝐃 =
𝜌𝐿
2𝜋𝜌
𝐚𝜌
Yang identik dengan persamaan untuk muatan garis
tak-berhingga
• Fluks listrik yang berawal dari muatan (positif)
silinder-dalam berakhir di muatan negatif pada
permukaan dalam silinder-luar, sehingga
𝜌𝑆, 𝑠𝑖𝑙−𝑙𝑢𝑎𝑟 =
𝑎
𝑏
𝜌𝑆, 𝑠𝑖𝑙−𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚
• Untuk permukaan Gaus dengan radius 𝜌 > 𝑏, total
muatan terkurung adalah nol akibat muatan yang
terkurung sama besar dan berlawanan.
Aplikasi Hukum Gauss: Distribusi Muatan Simetris
21
• Sehingga, untuk 𝜌 >
𝑏
• Begitu juga untuk
𝜌 < 𝑎

22. Contoh
22
2. Diketahui kabel koaksial sepanjang 50 cm dengan radius silinder-dalam
1 mm dan radius silinder-luar 4 mm. Ruang antara kedua silinder berisi
udara. Muatan total pada permukaan silinder-dalam 30 nC. Akan
dihitung kerapatan muatan pada masing-masing silinder, berikut
medan-medan 𝐄 dan 𝐃-nya.
Jawab:
𝜌𝑆, sil−dalam =
𝑄sil−dalam
2𝜋𝑎𝐿
=
30 × 10−9
2𝜋 10−3 0,5
= 9,55 𝜇𝐶/𝑚2
𝜌𝑆, sil−luar =
𝑄sil−luar
2𝜋𝑏𝐿
=
− 30 × 10−9
2𝜋 4 × 10−3 0,5
= −2,39 𝜇𝐶/𝑚2
atau
𝜌𝑆, sil−luar = −
𝑎
𝑏
𝜌𝑆, sil−dalam = −
10−3
4 × 10−3
× 9,55 = −2,39 𝜇𝐶/𝑚2

23. Contoh
23
Jawab:
Medan-medan internal di dalam kabel, untuk 1 < 𝜌 < 4 mm:
𝐷𝜌 =
𝑎𝜌𝑆,sil−dalam
𝜌
=
10−3 9,55×10−6
𝜌
=
9,55
𝜌
nC/m2
Sehingga
𝐃 =
9,55
𝜌
𝐚𝜌 nC/m2
𝐸𝜌 =
𝐷𝜌
𝜀0
=
9,55×10−9
8,854×10−12 𝜌
=
1079
𝜌
V/m
Sehingga
𝐄 =
1079
𝜌
𝐚𝜌 V/m
Untuk daerah-daerah dimana𝜌 < 1 mm atau 𝜌 > 4 mm, 𝐄 dan 𝐃 bernilai
nol.

24. • Penerapan hukum Gaus untuk elemen volume
diferensial tidak untuk memberikan nilai 𝐃
sebagai jawaban seperti sebelumnya, tetapi
lebih ke memberkan informasi penting
bagaimana perubahan 𝐃 pada permukaan
Gauss yang kecil.
• Gambar menunjukkan permukaan Gauss kecil
berupa balok persegi dengan rusuk-rusuknya
∆𝑥, ∆𝑦 dan ∆𝑧 , yang mengurung titik tengah
𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 dimana berlaku
𝐃 = 𝐃𝟎 = 𝐷𝑥0𝐚𝑥 + 𝐷𝑦0𝐚𝑦 + 𝐷𝑧0𝐚𝑧
Aplikasi Hukum Gauss: Elemen Volume DIferensial
24
• Integrasi permukaan tertutup pada balok persegi kecil dilakukan dengan
memecahnya menjadi enam integral, satu untuk setiap sisi balok, yaitu:

25. • Elemen permukaan sedemikian kecilnya
sehingga 𝐃 dianggap konstan untuk seluruh
permukaan balok kecil Gauss, dan
Aplikasi Hukum Gauss: Elemen Volume DIferensial
25
• Integrasi di sisi belakang.

26. Aplikasi Hukum Gauss: Elemen Volume DIferensial
26
• Dijumlahkan,
• Dengan cara yang sama, diperoleh:
• Dan juga

27. Aplikasi Hukum Gauss: Elemen Volume DIferensial
27
• Mengumpulkan semua hasil-hasil integrasi, maka
diperoleh:
atau
• Persamaan di atas membuahkan hasi pendekatan, atau aproksimasi,
yang akan menjadi lebih akurat jika ∆𝑣 semakin kecil. Pada kuliah
selanjutnya akan dibahas kondisi dimana ∆𝑣 mendekati nol. Untuk saat
ini penerapan hukum Gauss pada permukaan tertutup yang
menyelungkupi elemen volume ∆𝑣 terbatas pada hasil aproksimasi
dinyatakan sebagai berikut:

28. Contoh
28
3. Jika medan 𝐃 = 𝑒−𝑥
sin 𝑦 𝐚𝑥 − 𝑒−𝑥
cos 𝑦 𝐚𝑦 + 2𝑧𝐚𝑧 C/m2
, hitung nilai
perkiraan muatan total 𝑄 di dalam elemen volume sebesar 10−9
m3
yang berada di pusat koordinat.
Jawab:
Dari persamaan aproksimasi Gauss,
Di titik pusat 𝑂 0, 0, 0 ,

29. Selesai
29