1. Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
1. Πρόβλημα εφαπτομένης
2. Κλίση της τέμνουσας
3. Η εξίσωση της εφαπτομένης
καμπύλης
4. Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε
σημείο
5. Κατακόρυφη εφαπτομένη
6. Ερωτήσεις
7. Το πρόβλημα της στιγμιαίας
ταχύτητας
8. Παράγωγος Συνάρτηση
9. Ασκήσεις
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ
ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

2. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΕΦΑΠΤΟΜΈΝΗΣ
Είναι γνωστό από την Ευκλείδεια
Γεωμετρία ότι εφαπτομένη ενός
κύκλου σε ένα σημείο του Α
ονομάζουμε την ευθεία η οποία
έχει με τον κύκλο ένα μόνο κοινό
σημείο. Ο ορισμός αυτός δεν
μπορεί να γενικευτεί για
οποιαδήποτε καμπύλη, γιατί η
παραβολή θα είχε π.χ δύο
εφαπτομένες και η ψ=χ3 καμία στο
σημείο π.χ Α(1,1)
Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

3. Είναι γνωστό ότι μία ευθεία
εφάπτεται στη γραφική
παράσταση μιας παραβολής όταν
το σύστημα των εξισώσεων τους
έχει μία τουλάχιστον διπλή ρίζα
Παράδειγμα
Να αποδείξετε ότι η ευθεία ψ=4χ-4
εφάπτεται στη γραφική
παράσταση της f(x)=x2
Λύση: Για να εφάπτεται η ευθεία
στην γραφική παράσταση της
παραβολής αρκεί η εξίσωση f(x)=ψ
να έχει διπλή λύση.
x2 =4χ-4 (χ-2)2 =0  χ=2 διπλή
λύση. Αρα η ευθεία θα εφάπτεται
στην γραφική παράσταση της
παραβολής στο σημείο
Α(2,f(2))=(2,4)
Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

4. Εάν πάρουμε ένα ακόμη σημείο
Μ(χ,f(x)) στην παραπάνω
συνάρτηση f(x)=x2 και φέρουμε
την ευθεία ΑΜ παρατηρούμε ότι
όσο το χ πλησιάζει στο 2 η
τέμνουσα φαίνεται να παίρνει μια
οριακή θέση την εφαπτομένη στο
σημείο Α
Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

5. ΚΛΙΣΗ ΤΗΣ ΤΕΜΝΟΥΣΑΣ
Η κλίση της ευθείας ΑΜ
(τέμνουσας) είναι ίση με
(f(X)-f(Xo))/(X-Xo)
Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

6. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ
Η εφαπτομένη της γραφικής
παράστασης της συνάρτησης στο
σημείο Α(Χο,f(Xo)) θα έχει κλίση το
όριο για
χ->Χο, (f(X)-f(Xo))/(X-Xo)
Αν το παραπάνω όριο είναι
πραγματικός αριθμός λ. Τότε
ορίζεται ως εφαπτομένη της
γραφικής παράστασης της
συνάρτησης στο σημείο Α, η
ευθεία ε που διέρχεται από το Α
και έχει συντελεστή διεύθυνσης
λ.με εξίσωση ψ-ψο=λ(χ-χο)
Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

7. Παράδειγμα
Έστω η συνάρτηση f(x)=x2
και το σημείο Α(1,1). Επειδή
lim(f(x)-f(1))/(x-xo) για χ->1
=lim(x2 -1)/(x-1)=lim(x+1)=2.
Ορίζεται εφαπτομένη στο
σημείο Α(1,1). Η
εφαπτομένη αυτή έχει
συντελεστή διεύθυνσης λ=2
και εξίσωση ψ-1=2(χ-1)
Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

8. ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ
Έστω η συνάρτηση f:Α->R και το διάστημα Δ υποσύνολο του Α. Η
συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΧοεΔ, όταν υπάρχει το
lim(f(x)-f(Χο))/(x-xo) για χ->Χο και είναι πραγματικός αριθμός.
Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος αριθμός ή παράγωγος τιμή ή
απλώς παράγωγος της συνάρτησης f στο Χο και συμβολίζεται με
f΄(Χο).
Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

9. Ειδικότερα:
Αν Α=[α,β], τότε f΄(α)=lim(f(x)-f(a))/(x-a) για χ->α+ και f΄(β)= lim(f(x)-
f(β))/(x-β) για χ->β-
Αν Α=[α,β]U(β,γ), τότε lim(f(x)-f(β))/(x-β) για χ->β- είναι ίσο με
lim(f(x)-f(β))/(x-β) για χ->β+
Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

10. Ορισμός
Η συνάρτηση f:Α->R παραγωγίζεται στο πεδίο ορισμού της Α, όταν
για κάθε Χο που ανήκει στο Α υπάρχει το lim(f(x)-
f(Χο))/(x-xo) για χ->Χο και είναι πραγματικός αριθμός.
Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

11. Διάφορες Μεθοδεύσεις
Αν μας ζητείται να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f
είναι παραγωγίσιμη στο Χο, τότε εργαζόμαστε
συνήθως ως εξής:
Σχηματίζουμε το πηλίκο διαφορών
(f(x)-f(xo))/(x-xo) με χ διάφορο του xo και ελέγχουμε
αν υπάρχει στο R το όριο του πηλίκου αυτού όταν
χ->χο.
Αν η συνάρτηση είναι πολλαπλού τύπου και το xo
είναι σημείο αλλαγής του τύπου, τότε βρίσκουμε τα
πλευρικά όρια του πηλίκου διαφορών.
Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

12. Παράδειγμα
{-x2 , x<0
Η συνάρτηση f(x)={
{x2 , x>=0 είναι παραγωγίσιμη στο 0 με
f΄(0)=0, αφού
lim
Για χ->0+ είναι 0 το ίδιο και όταν ο χ->0-
( ) (0)
0
f x f
x


Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

13. Παράδειγμα 1
Αν f(x)=1/x Να βρεθεί αν υπάρχει τον αριθμό f΄(1)
Λύση: Είναι lim(f(x)-f(1))/(x-1) για χ->1
lim[(1/x)-1]/(x-1)=lim(1-x)/x.(x-1) =-1 για χ->1
Παράδειγμα 2
Αν f(x)=x2 +1, τότε στο xo=1 έχουμε lim(f(x)-f(1)/(x-1)=
=lim(x2 -1)/(x-1)=lim(x+1)=2 για χ->1 Επομένως f΄(1)=2
Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

14. Παράδειγμα 3
Αν f(x)=
Παρατηρούμε ότι το f΄(5)=+
Αρα δεν υπάρχει (στοR) ο
αριθμός f΄(5). Η συνάρτηση
f δεν είναι παραγωγίσιμη
στο σημείο χο=5
5x 
Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03


15. ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΕΦΑΠΤΟΜΈΝΗ
Στο παραπάνω παράδειγμα
παρατηρούμε ότι η συνάρτηση
είναι συνεχής στο χο=5 ενώ
δεν είναι παραγωγίσιμη σε
αυτό. Παρατηρούμε όμως ότι
αν Μ(χ,f(x)), x διαφορετικό από
το 5 είναι ένα σημείο της
γραφικής παράστασης της f
τότε καθώς το χ τείνει στο 5, η
τέμνουσα ΟΜ φαίνεται να
παίρνει ως οριακή θέση την
κατακόρυφη ευθεία που
περνάει από το 5. Δηλ η χ=5.
Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

16. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ
Εστω η συνάρτηση f:Α->R. Aν υπάρχει ο αριθμός f΄(χο)εR, τότε ο χο
ανήκει στο Α
Εστω η συνάρτηση f:Α->R. Αν χο δεν ανήκει στο Α τότε η f δεν
παραγωγίζεται στο χο.
Έστω η συνάρτηση f:Α->R. Αν η f δεν παραγωγίζεται στο χο, τότε
χο δεν ανήκει στο Α.
Αν η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο χο και
lim(f(x)-f(xo))/(x-xo) = 4 για χ->χο+ τότε f΄(χο)=4
Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο
Α(1,f(1)) είναι παράλληλη στον άξονα χ΄χ τότε f΄(1)=0
Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

17. ΑΠΑΝΤΉΣΕΙΣ
Σ
Σ
Λ Ως αντιπαράδειγμα το παράδειγμα 3
Σ
Σ
Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

18. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ
Ας θεωρήσουμε ένα σώμα που κινείται κατά μήκος ενός
άξονα και ας υποθέσουμε ότι S=S(t) είναι η τετμημένη του
σώματος αυτού κατά τη χρονική στιγμή t. Η συνάρτηση
αυτή S λέγεται συνάρτηση θέσης του κινητού. Αν το
κινητό βρίσκεται στη θέση Α τη χρονική στιγμή to και
ύστερα από χρόνο h βρίσκεται στη θέση Β, τότε η
μετατόπιση του κινητού είναι ίση με S(t)-S(to) και η μέση
ταχύτητα U=μετατόπιση/χρόνος=(S(t)-S(to))/(t-to). Όσο το
t πλησιάζει πιο κοντά στο to τόσο η μέση ταχύτητα του
κινητού δίνει με καλύτερη προσέγγιση τον ρυθμό
αλλαγής της θέσης του ως προς τον αντίστοιχο χρόνο
που διανύθηκε το διάστημα αυτό. Ετσι αν θέλουμε να
βρούμε την ταχύτητα του κινητού στο σημείο Α,
(Στιγμιαία ταχύτητα) θα πρέπει να βρούμε το όριο για
t->to
U(to)=lim ( ) ( )S t S to
t to


Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

19. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Έστω η συνάρτηση f(x)=IxI.
Η f είναι συνεχής στο χο=0,
αλλά δεν είναι
παραγωγίσιμη σε αυτό
αφού για χ->0+
lim
=1 ενώ για χ->0- το όριο είναι
-1 .Παρατηρούμε δηλαδή
ότι μια συνάρτηση f μπορεί
να είναι συνεχής σε ένα
σημείο χο χωρίς να είναι
παραγωγίσιμη σε αυτό.Αν
όμως η f είναι
παραγωγίσιμη στο χο, τότε
θα είναι και συνεχής στο χο.
( ) ( )
0
f x f xo
x


Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

20. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ
Έστω f:Δ->R όπου Δ υποσύνολο
του πεδίου ορισμού και Δ1 σημεία
στα οποία η συνάρτηση είναι
παραγωγίσιμη. Εάν πάρουμε
σημείο Μ τέτοιο ώστε να έχει
τετμημένη την τετμημένη του
σημείου Α(χο,f(χο)) σημείου της
γραφικής παράστασης της f και
τεταγμένη την κλίση της
εφαπτομένης στο σημείο Α δηλ.
Μ(χο,f΄(χ0))ο γεωμετρικός τόπος
των σημείων αυτών μας δίνει την
γραφική παράσταση της
παραγώγου συνάρτησης.Δηλ
αντιστοιχίζουμε σε κάθε χ που
ανήκει στο Δ1 την f΄(χ) Η οποία
ονομάζεται πρώτη παράγωγος της
f.
Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

21. V-ΣΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΤΗΣ F
Αν υποθέσουμε συνάρτηση f με Δ1 το σύνολο των σημείων στα
οποία η f παραγωγίζεται και είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων,
τότε η παράγωγος της f΄, αν υπάρχει, λέγεται δεύτερη παράγωγος
της f και συμβολίζεται με f΄΄.
Επαγωγικά ορίζεται η νιοστή παράγωγος της f μεν> ή = του3 και
συμβολίζεται fν
Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

22. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03
Η Συνάρτηση της κλίσης της εφαπτομένης (Παράγωγος) για την
συνάρτηση f(x)=2ημ(χ)

23. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f(x)=συν2(χ-2) στο χο=2
2. Αν η συνάρτηση f:R->R είναι συνεχής στο χο=1, να αποδείξετε
ότι η συνάρτηση g(x)=(x2 -4x+3).f(x) είναι παραγωγίσιμη στο χο=1.
3. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:R->R. Αν f(x)=Ix-4I.g(x) και η
συνάρτηση g είναι συνεχής στο χο=4, να αποδείξετε ότι η
συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο χο=4 αν και μόνο αν η
εξίσωση g(x)=0 έχει ρίζα τον 4.
Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

24. Διάλειμμα