..

1. Αστραπιαίοι
υπολογισµοί
Για να παίζετε τους αριθµούς
στα…δάκτυλα
∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

2. Οι αριθμητικές πράξεις δεν γίνονται μόνο όπως τις μάθατε στο
σχολείο γίνονται νοερά , με τα δάκτυλα , με άβακα αλλά και με το
κομπιουτεράκι.
Νοεροί υπολογισµοί για αρχάριους
• Προπαίδεια με τα δάκτυλα
Εντάξει όλοι ξέρετε την προπαίδεια .Δείτε και ένα άλλο εναλλακτικό τρόπο .Η προπαίδεια με τα δάκτυλα χρησιμοποιείται ακόμα
στην Ινδία,στο Ιράν στη Συρία στην Κίνα ακόμα και σε κάποιες πολύ κοντινές μας χώρες των Βαλκανίων όπως η Σερβία.
Έστω ότι θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε το 7 με το 9.
Μετράμε μέχρι το 7 στο αριστερό μας χέρι (αριστερόστροφα μέχρι το 5 με ανοικτά δάκτυλα και δεξιόστροφα από το 5 και μετά
με κλειστά δάκτυλα) και καταλήγουμε με 2 διπλωμένα δάκτυλα και 3 τεντωμένα. Στην συνέχεια μετράμε στο δεξί μας χέρι μέχρι το
9 (δεξιόστροφα μέχρι το 5 με τεντωμένα δάκτυλα και αριστερόστροφα από το 5 και μετά με κλειστά δάκτυλα ) και καταλήγουμε
με 4 διπλωμένα δάκτυλα και 1 τεντωμένο.
-Πολλαπλασιάζουμε με 10 το άθροισμα των
διπλωμένων δακτύλων 10(2+4)=10x6=60.
-Υπολογίζουμε το γινόμενο των ανοικτών
δακτύλων 3x1=3.
- Προσθέτουμε τα δυο αποτελέσματα:
60+3=63
Που είναι το γινόμενο 7x9.
Γιατί λειτούργει ο παραπάνω τρόπος υπολογισμού της προπαίδειας;
Ας αποδείξουμε την ταυτότητα:
Αν ,α β ∈ℝ τότε ισχύει :10[10-(α+β)]+αβ=(10-α)(10-β)
Πραγματικά
Α μέλος: 10[10-(α+β)]+αβ=100-10α-10β+αβ=10(10-α)-β(10-α)=(10-α)(10-β)
α : είναι το πλήθος των τεντωμένων δάκτυλων στο αριστερό χέρι. (α=3)
β: είναι το πλήθος των τεντωμένων δάκτυλων στο δεξί χέρι. (β=1)
10-(α+β) : είναι το συνολικό πλήθος των κλειστών δακτύλων.
Στον παρακάτω σύνδεσμο ακούστε τραγούδια για την προπαίδεια ,
δεν είναι και η Πάολα αλλά έχουν γέλιο.
https://www.youtube.com/channel/UCZEMCE0qHTo1SpkVOpX34vQ
http://mathhmagic.blogspot.gr/
Πινγκ Πονγκ αλγεβριστής στην
τοποθεσία Νοεροί υπολογισμοί
για αρχάριους

3. •Για να πολλαπλασιάσεις ένα αριθμό με το 125 πολλαπλασιάζεις
με το 1000 και κατόπιν διαιρείς με το 8:
33*125=(33*1000):8=(33000:2):4=16500:4=(16500:2):2=
8250:2=4125
• Εναλλακτικά για τον υπολογισμό του τετραγώνου κάθε διψήφιου
αριθμού. π.χ ο 27
2
.
1.Προσθέτουμε στον αριθμό το πλήθος των μονάδων του. 27+7=34
2.Πολλαπλασιάζουμε το άθροισμα με το 10. 10*30=340
3.Πολλαπλασιάζουμε το γινόμενο με το ψηφίο των δεκάδων του
αρχικού αριθμού. 2*340=680
4.Προσθέτουμε στο γινόμενο το τετράγωνο του ψηφίου των
μονάδων. 680 + 72= 680+ 49=729
•Για να υψώσεις στο τετράγωνο έναν διψήφιο αριθμό
απομνημονεύεις τον πίνακα με τα πρώτα 25 τετράγωνα
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
2
9
2
10
2
11
2
12
2
13
2
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169
14
2
15
2
16
2
17
2
18
2
19
2
20
2
21
2
22
2
23
2
24
2
25
2
196 225 256 289 324 361 400 441 484 529 576 625
-Για να υπολογίσεις τα τετράγωνο κάποιου ακέραιου αριθμού Α
από το 26 μέχρι το 50.Αφαίρεσε από το Α το 25,αν χ είναι το
αποτέλεσμα αφαίρεσε το από το 25 ,αν α είναι το αποτέλεσμα τότε
θα ισχύει Α
2
=α
2
+100χ
Για παράδειγμα, το τετράγωνο του Α=28
28-25=3 =χ 25-3=22=α τότε
28
2
=22
2
+100*3=484+300=784
-Για να υπολογίσεις τα τετράγωνο κάποιου ακέραιου αριθμού Α
από το 51 μέχρι το 99 .
Αν ο Α είναι ανάμεσα στο 50 και στο 100 τότε Α=50+x.Υπολόγισε το
α=50-κ.Τοτε Α
2
=α
2
+200x
Για παράδειγμα, το τετράγωνο του Α=68
Α=50+8 ,α=50-8=42
58
2
=42
2
+200*8=1764+1600=3364
•Για να αφαιρέσεις 5 από έναν αριθμό με τελευταίο ψηφίο
μικρότερο από 5 είναι πιο εύκολο να προσθέσεις 5 και κατόπιν να
αφορέσεις 5 :17-5=(17+5)-10=12
• Για να προσθέσεις 5 σε έναν αριθμό με τελευταίο ψηφίο
μεγαλύτερο από 5 είναι πιο εύκολο να αφαιρέσεις 5 και κατόπιν
να προσθέσεις 10 : 19+5=(19-5)+10=24
•Για να διαιρέσεις ένα αριθμό με το 5 πολλαπλασιάζεις με το 2 και
κατόπιν διαιρείς με το 10 :143:5=(143*2):10=286:10=28,6
•Για να πολλαπλασιάσεις ένα αριθμό με το 5 πολλαπλασιάζεις με
το 10 και κατόπιν διαιρείς με το 2:256*5=(256*10):2=2560:2=1280
•Για να διαιρέσεις (πολλαπλασιάσεις ) ένα αριθμό με το 4 διαιρείς
( πολλαπλασιάζεις) διαδοχικά δυο φορές με το 2 :
3458:4=(3458:2):2=1729:2=864,5
,3456*4=(3456*2)*2=6912*2=13824
•Για να πολλαπλασιάσεις ένα αριθμό με το 25 πολλαπλασιάζεις
με το 100 και κατόπιν διαιρείς με το 4:
256*25=(256*100):4=25600:4=(25600:2):2=12800:2=6400
•Για να πολλαπλασιάσεις ένα αριθμό με το 8 πολλαπλασιάζεις με
το 2 και κατόπιν με το 4:
567*8=(567*2)*4=1134*4=(1134*2)*2=2268*2=4536
• Πως να υψώσεις ένα οποιοδήποτε αριθμό στο τετράγωνο
Παράδειγμα τo 999 .
-Βρίσκεις πόσες μονάδες απέχει ο αριθμός από την
πλησιέστερη δύναμη του 10 .
Η διαφορά του 999 από το 1000 είναι: (1000-999=1).
-Προσθέτεις και αφαιρείς στον αρχικό αριθμό την
διαφορά , βρίσκεις το γινόμενο τους
(999-1)Χ(999+1)=998Χ1000=998000
-Προσθέτεις το τετράγωνο της διαφοράς
998000+1
2
=998001
Τελικά: 999
2
=998001
(χρησιμοποιούμε την ταυτότητα του 2 2
α β (α β)(α β)− = − + )
Άλλο παράδειγμα, το 920 .
-Βρίσκεις πόσες μονάδες απέχει ο αριθμός από την
πλησιέστερη δύναμη του 10 .
Η διαφορά του 920 από το 1000 είναι: (1000-920=80).
-Προσθέτεις και αφαιρείς στον αρχικό αριθμό την
διαφορά , βρίσκεις το γινόμενο τους
(920-80)Χ(920+80)= (840)Χ1000=860000
-Προσθέτεις το τετράγωνο της διαφοράς
840000+80
2
=840000+6400=
Τελικά: 920
2
=846400
Νοεροί υπολογισµοί για αρχάριους
• Πως να υψώσεις στο τετράγωνο ένα αριθμό που
διαφέρει κατά μια μονάδα από ένα γνωστό σου
τετράγωνο
Παράδειγμα τo 121
2
.
Γνωρίζεις το τετράγωνο του 120 ( 120
2
υπολογίζεται εύκολα
είναι το τετράγωνο του 12 με δυο μηδενικά: 14400)
Σε αυτή την περίπτωση προσθέτεις στο τετράγωνο του 120
το 120 και το 121
Δηλαδή 121
2
=120
2
+120+121=14641
• Πως να υψώσεις στο τετράγωνο ένα αριθμό που έχει
τελευταίο ψηφίο το 5
Κάθε αριθμός Α που τελειώνει σε 5 γράφεται Α=10α+5 όπου
α έχει ένα λιγότερο ψηφίο από το Α .Για να υπολογίσεις το Α
2
αρκεί να «κολλήσεις» το 25 στο γινόμενο α(α+1).Δειτε:
Παράδειγμα τo 135
2
135=10*13+5 άρα α=13 υπολογίζουμε
13*14=13(13+1)=169+13=172
«Κολλάμε» στο τέλος του 172 τον 25 και έχουμε 17225
Άρα 135
2
=17225
http://mathhmagic.blogspot.gr/
Αυτό το «κολλάµε» είναι
εξαιρετικά αδόκιµο σαν
όρος
Αντιδραστικό
γοριλάκι
Το 9202
υπολογίζεται πιο
εύκολα αν βρούµε το
τετράγωνο του 92 και
προσθέσουµε µηδενικά.
Αντιδραστικό
γοριλάκι

4. Νοεροί υπολογισµοί για αρχάριους• Πώς να πολλαπλασιάσετε διαδοχικούς αριθμούς
Έστω ο πολλαπλασιασμός 13x14 Υψώνουμε τον πρώτο αριθμό
στο τετράγωνο και στην συνέχεια προσθέτουμε τον ίδιο τον αριθμό:
13x14 =13x(13+1) =13
2
+ 1x13 = 169 + 13 = 182
• Διαίρεση
Έστω ότι δίνεται η διαίρεση 432/18.Πολλαπλασιάζουμε το
διαιρέτη με πολλαπλάσια του 10 μέχρι να ξεπεράσουμε το
διαιρετέο.
10X18=180
20X18=360
30X18=540
Γυρίζουμε ένα βήμα πίσω, θυμόμαστε το 20, και αφαιρούμε
από το 432 το 360 : 432-360=72
Τώρα σκεπτόμαστε πόσες φορές «χωράει» το 18 στο 72
72/18=4.Αρα το αποτέλεσμα είναι 20+4=24.
http://mathhmagic.blogspot.gr/
• Πώς να πολλαπλασιάσετε δυο διψήφιους μικρότερους του 20.
Έστω το γινόμενο 19x13
Αρχικά προσθέτουμε στον πρώτο αριθμό τις μονάδες του
δευτέρου: 19+3=22
Βάζουμε ένα μηδενικό στο τέλος του αθροίσματος: 22->220
Πολλαπλασιάζουμε τα ψηφία των μονάδων: 9x3=27
Προσθέτουμε τα δυο αποτελέσματα : 220+27=247
• Πώς να πολλαπλασιάσετε δυο διψήφιους αριθμούς που
βρίσκονται σε απόσταση μέχρι 9 μονάδων από το 100.
Θα σας φανεί πολύπλοκο στην αρχή, αλλά με λίγη εξάσκηση
μπορεί να γίνει νοερά πολύ γρήγορα.
Έστω το γινόμενο 95x97
Αρχικά προσθέτουμε αριθμούς : 95+97=192
Σβήνουμε το ψηφίο της εκατοντάδας : 92
Βάζουμε δυο μηδενικά στο τέλος: 9200
Αφαιρούμε από το 100 τον καθένα από τους αρχικούς αριθμούς
και πολλαπλασιάζουμε:
(100-95)(100-97)=5*3=15
Προσθέτουμε τα δυο υπογραμμισμένα
αποτελέσματα:9200+15=9215
• Πολ/σμος κάθε διψήφιου αριθμού με το 11
Έστω ένας διψήφιος π.χ το 54.Χωρίζουμε τον αριθμό
νοερά αφήνοντας κενό ανάμεσα στο 5 και στο 4.
(5___4 )
Προσθέτουμε τους δυο αριθμούς: 5+4=9
Τοποθετούμε το αποτέλεσμα ανάμεσα στο 5 και στο 4
(5_9_4)
Τελικά: 54 Χ 11=594
● Αν το άθροισμα των δυο αριθμών είναι μεγαλύτερο του 10
προσθέτουμε το κρατούμενο στον πρώτο αριθμό ,για
παράδειγμα ο αριθμός 67.
(6___7 )
6+7=13
(7_3__7 )
67Χ 11=737
• Πολ/σμος κάθε αριθμού με το 11
Για παράδειγμα , 51236 Χ 11
-Στην αρχή γράφουμε τον αριθμό με ένα μηδενικό στην
αρχή σαν πρώτο ψηφίο
051236
-Τραβάμε μια γραμμή κάτω από τον αριθμό
0 5 1 2 3 6
Αφήνουμε το τελευταίο ψηφίο το 6 ως έχει ,και κινούμαστε
από τα αριστερά προς τα δεξιά προσθέτοντας ανά δυο
διαδοχικούς αριθμούς, κάθε αριθμό με το γείτονα του.Τα
αποτελέσματα τοποθετούνται διαδοχικά . Δηλαδή:
0 5 1 2 3 6
(0+5)(5+1)(1+2)(2+3) (3+6) 6
5 6 3 5 9 6
-Τελικά 51236 Χ 11=563596
• Πώς να πολλαπλασιάσετε δυο οποιουσδήποτε διψήφιους
αριθμούς αν η διαφορά τους είναι άρτιος
Βρίσκουμε το μέσο όρο τους Μ και το μισό της διαφοράς τους Α
τότε το γινόμενο θα είναι Μ
2
-Α
2
.
Έστω 28*24=;
Μ=(28+24)/2=26,Α=28-24=2
Έτσι: 28*24=26
2
-2
2
=676-4=672
Οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι έκαναν κάτι παρόμοιο, έβρισκαν την
διαφορά και το άθροισμα των δυο αριθμών αφαιρούσαν τα
τετράγωνα τους και διαιρούσαν με το 4.
28+24=52,28-24=4
28*24=(52
2
-4
2
)/4=(52
2
-4
2
)/4=(2704-16)/4=2688/4=(2688/2)/2=
=1344/2=672
ΤΩΡΑ ΑΥΤΟ ΕΙΝΑΙ ΠΙΟ
ΕΥΚΟΛΟ ΑΠ ΤΟ ΝΑ
ΤΟ ΚΑΝΩ ΣTΟ ΧΑΡΤΙ;
Αντιδραστικό
γοριλάκι

5. •Στα γρήγορα
Πολλαπλασιασμός με το 6:Πολλαπλασιαζουμε με το 3 και κατόπιν
με το 2.
Πολλαπλασιασμός με το 9:Πολλαπλασιαζουμε με το 10 και από το
αποτέλεσμα αφαιρούμε τον αρχικό αριθμό.
Πολλαπλασιασμός με το 12:Πολλαπλασιαζουμε με το 10 και στο
αποτέλεσμα προσθέτουμε τα διπλάσιο του αρχικού αριθμού.
Πολλαπλασιασμός με το 13:Πολλαπλασιαζουμε με το 10 και
προσθέτουμε το τριπλάσιο του αρχικού αριθμού.
Πολλαπλασιασμός με το 14:Πολλαπλασιαζουμε με το 7 και κατόπιν
πολλαπλασιάζουμε με το 2.
Πολλαπλασιασμός με το 15:Πολλαπλασιαζουμε με το 10 και
κατόπιν προσθέτουμε το πενταπλάσιο του αρχικού αριθμού.
Πολλαπλασιασμός με το 16:Διπλασιαζουμε τον αριθμό τέσσερεις
φορές.
Πολλαπλασιασμός με το 17:Πολλαπλασιαζουμε με το 7 και
προσθέτουμε στο αποτέλεσμα το δεκαπλάσιο του αρχικού αριθμού.
Πολλαπλασιασμός με το 18:Πολλαπλασιαζουμε με το 20 και
αφαιρούμε το διπλάσιο του αρχικού αριθμού.
Πολλαπλασιασμός με το 19:Πολλαπλασιαζουμε με το 20 και
αφαιρούμε το αρχικό αριθμό.
Πολλαπλασιασμός με το 24:Πολλαπλασιαζουμε με το 8 και στην
συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με το 3.
Πολλαπλασιασμός με το 27:Πολλαπλασιαζουμε με το 30 και
αφαιρούμε το τριπλάσιο του αρχικού αριθμού.
Πολλαπλασιασμός με το 45:Πολλαπλασιαζουμε με το 50 και
αφαιρούμε το πενταπλάσιο του αρχικού αριθμού.
Πολλαπλασιασμός με το 98:Πολλαπλασιαζουμε με το 100 και
αφαιρούμε το διπλάσιο του αρχικού αριθμού.
Πολλαπλασιασμός με το 99:Πολλαπλασιαζουμε με το 100 και
αφαιρούμε τον αρχικό αριθμό.
• Εξαγωγή πέμπτης ρίζας
Ένα παλιό αριθμητικό τρικ γνωστό στους αριθμομνήμονες του
περασμένου αιώνα που επιτελούσαν επί σκηνής υπολογιστικά
θαύματα είναι η εξαγωγή της πέμπτης ρίζας ενός αριθμού.Παρ' οτι
φαντάζει πολύ δύσκολο είναι πολύ πιο εύκολο από τον υπολογισμό
ας πούμε της τετάρτης ρίζας. Βασίζεται στην ιδιότητα που έχει κάθε
αριθμός όταν υψωθεί στην πέμπτη δύναμη το αποτέλεσμα να έχει
το ίδιο τελευταίο ψηφίο με τον αρχικό αριθμό. Αρχικά θα πρέπει να
απομνημονεύσετε τον παρακάτω πινάκα:
Αριθμός Πέμπτη δύναμη
1 100.000
2 3.000.000
3 24.000.000
4 100.000.000
5 300.000.000
6 777.000.000
7 1.600.000.000
8 3.200.000.000
9 5.800.000.000
10 10.000.000.000
Ζητάτε από ένα φίλο σας να σκεφτεί έναν αριθμό από το 1 μέχρι το
100 και να τον υψώσει με ένα κομπιουτεράκι στην πέμπτη δύναμη
και να σας ανακοινώσει το αποτέλεσμα . Πχ 4.437.053.125 αμέσως
συμπεραίνετε ότι ο αριθμός που αναζητάτε έχει τελευταίο ψηφίο το
5 .Από τον παραπάνω πίνακα διαπιστώνετε ότι ο αριθμός
4.437.053.125 βρίσκεται ανάμεσα στo 8 και στο 9.επιλέγουμε τον
μικρότερο αριθμό το 8.Άρα η πέμπτη ρίζα είναι ο αριθμός 85.
Ένα παράδειγμα ακόμα, έστω ο αριθμός 371.293, το τελευταίο
ψηφίο είναι το 3 . Ο αριθμός βρίσκεται ανάμεσα στο 1 και στο 2 ,
επιλέγουμε τον μικρότερο το 1 άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι το
13.Αν δοθεί αριθμός κάτω από το 100.000 τότε ο αριθμός που
ψάχνουμε είναι μονοψήφιος και πιο συγκεκριμένα το τελευταίο
ψηφίο.Πχ αν δοθεί ο 59049 τότε είναι κάτω από 100000 άρα η
πέμπτη ρίζα του είναι το 9.
http://mathhmagic.blogspot.gr/
•Κανόνας του 72
Για να μπορείτε εύκολα να λύνετε προβλήματα
ανατοκισμού,ο κανόνας του 72 είναι ένα γρήγορο σημείο
αναφοράς, για να προσδιορίσετε πόσο καλή (ή όχι τόσο
καλή) μπορεί να είναι μια επένδυση. Ο κανόνας του 72
ορίζει ότι, για να βρείτε τον αριθμό των χρόνων που
χρειάζεται για να διπλασιάσετε τα χρήματά σας με ένα
δεδομένο επιτόκιο,μπορείτε απλώς να διαιρέσετε τον
αριθμό 72 με το επιτόκιο. Για παράδειγμα, αν θέλετε να
ξέρετε πόσο καιρό θα σας πάρει να διπλασιάσετε τα
χρήματά σας με 8% επιτόκιο, διαιρείτε 72 δια του 8 και
παίρνετε 9 χρόνια. Ο κανόνας του 72 είναι εξαιρετικά
ακριβής, αρκεί το επιτόκιο να είναι λιγότερο από είκοσι τοις
εκατό. Μπορείτε να κάνετε και το ανάποδο. Αν θέλετε να
διπλασιάσετε τα χρήματά σας σε έξι χρόνια, απλώς
διαιρέστε το 72 δια του 6, για να βρείτε ότι θα χρειαστεί ένα
επιτόκιο γύρω στα 12 %.
Νοεροί υπολογισµοί για αρχάριους
Ένα αριθμητικό τρικ με την ακολουθία Φιμπονάτσι
Ζητείστε από ένα φίλο σας (χωρίς εσείς να βλέπετε) σε ένα
φύλλο χαρτί,να γράψει δυο οποιοσδήποτε θετικούς
ακεραίους αριθμούς, τον ένα κάτω από τον άλλο,να τους
προσθέσει για να έχει ένα τρίτο αριθμό,να γράψει τον τρίτο
αριθμό κάτω από τον δεύτερο, να προσθέσει τους δυο
τελευταίους αριθμούς για να έχει έναν τέταρτο, και να
συνεχίσει με αυτόν τον τρόπο ώσπου να σχηματιστεί μια
στήλη με 10 αριθμούς. Ουσιαστικά γράφει τους 10 πρώτους
όρους μιας ακολουθίας Φιμπονάτσι, καθένας από τους
οποίους είναι το άθροισμα των δυο προηγούμενων του
αριθμών, με εξαίρεση τους δυο πρώτους οι όποιοι
επιλέγονται τυχαία. Στην συνέχεια τραβάτε μια γραμμή
στους αριθμούς που έγραψε και γράφετε αμέσως το
άθροισμα των 10 αριθμών αφήνοντας άναυδο το υποψήφιο
θύμα. Το μυστικό είναι να πολλαπλασιάσετε τον έβδομο
αριθμό με το 11.Για παράδειγμα, αν επιλεγούν αρχικά οι
αριθμοί 2 και 3.Τοποθετούνται ο ένας κάτω από τον άλλο:
1
ος
2
2
ος
3
3
ος
5=2+3
4
ος
8=5+3
5
ος
13=8+5
6
ος
21=8+13
7
ος
34=21+13
8
ος
55=21+34
9
ος
89=34+55
10
ος
144= 89+55 +
374
όμως 374 = 11x34(το 34 είναι ο έβδομος αριθμός )
Είναι αρκετά εντυπωσιακό αν επιλεγούν αρχικά διψήφιοι
αριθμοί.Γιατί συμβαίνει αυτό; Η απόδειξη του τρικ είναι
σχετικά απλή,αν θεωρήσουμε x ,y τους δυο αρχικούς
αριθμούς τότε η παραπάνω διαδικασία γίνεται:
1
ος
x
2
ος
y
3
ος
x + y
4
ος
x+2y
5
ος
2x+3y
6
ος
3x+5y
7
ος
5x+8y
8
ος
8x+13y
9
ος
13x+21y
10
ος
21x+33y +
55x+88y =11(5x+8y) , όπου 5x+8y είναι ο έβδομος όρος .
Αντιδραστικό
γοριλάκι
Είδες ο Φιµπονάτσι;

6. • Εξαγωγή κυβικής ρίζας
Πως θα σας φαινόταν να υπολογίζατε την κυβική ρίζα ενός
αριθμού σε λίγα δευτερόλεπτα.Αν μη τι άλλο θα ήταν
εξαιρετικά εντυπωσιακό. Παρ ότι μοιάζει εξαιρετικά
δύσκολο, δεν είναι.Αν το κάνετε μπροστά σε φίλους
,σίγουρα θα κλέψετε την παράσταση.
Ζητείστε από έναν φίλο σας να επιλέξει οποιονδήποτε
αριθμό από το 1 μέχρι το 100 χωρίς να σας τον αποκαλύψει
,στην συνέχεια να χρησιμοποιήσει την αριθμομηχανή του
κινητού του και να τον υψώσει στην τρίτη δύναμη. Να σας
ανακοινώσει το αποτέλεσμα και εσείς αμέσως να βρείτε τον
αριθμό.Την κυβική ρίζα του αποτελέσματος.
Δείτε πως θα το κάνετε , αρχικά θα πρέπει να μπορείτε να
απομνημονεύσετε όλους τους κύβους από το 1 μέχρι το 10.
1
3
1
2
3
8
3
3
27
4
3
64
5
3
125
6
3
216
7
3
343
8
3
512
9
3
729
10
3
1000
Παρατηρώντας τον παραπάνω πινάκα διαπιστώνουμε ότι
όλα τα τελικά ψηφία των κύβων είναι διαφορετικά άρα
σίγουρα γνωρίζουμε το τελευταίο ψηφίο της κυβικής ρίζας.
Παρατηρούμε επίσης ότι εξαιρώντας τα 2,3,7και 8 το
τελευταίο ψηφίο του κύβου και του αριθμού που ψάχνουμε
είναι το ίδιο.
Ας δούμε συγκεκριμένα παραδείγματα , παρακαλείτε ένα
φίλο σας να σκεφτεί έναν αριθμό από το 1 μέχρι το 100 , το
κάνει , στην συνέχεια τον υψώνει με το κομπιουτεράκι στην
τρίτη δύναμη και σας ανακοινώνει το αποτέλεσμα π.χ ο
αριθμός 250047 , το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι το 7
,κοιτάμε τον παραπάνω πίνακα και διαπιστώνουμε τότε το
τελευταίο ψηφίο της κυβικής του ρίζας είναι το 3. Στην
συνέχεια αγνοούμε από τον αριθμό τα τρία τελευταία
ψηφία,ο 250047 γίνεται 250 ,κοιτάμε ξανά τον παραπάνω
πινάκα το 250 βρίσκεται ανάμεσα στο 216 και το 343 άρα το
ψηφίο που μας ενδιαφέρει βρίσκεται ανάμεσα στο 6 και το
7.Πάντα επιλέγουμε το μικρότερο αριθμό εν προκειμένω το
6. Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι το 63.
Ένα παράδειγμα ακόμη.Να βρεθεί η κυβική ρίζα του
704969.Από το τελευταίο ψηφίο καταλαβαίνουμε ότι το
τελευταίο ψηφίο της κυβικής ρίζας είναι το 9.Αγνοούμε τα
τρία τελευταία ψηφία του 704969 άρα μένει 704 . Από τον
παραπάνω πίνακα το 704 βρίσκεται ανάμερα στο 8 και στο 9
,παίρνουμε το μικρότερο , άρα κυβική ρίζα είναι το 89.
Νοεροί υπολογισµοί για αρχάριους• Πολλαπλασιάζοντας τμηματικά
Χωρίζουμε τους μεγάλους αριθμούς που αποτελούν τους όρους
του γινομένου σε μικρότερα κομμάτια και στην συνέχεια
πολλαπλασιάζουμε από αριστερά προς τα δεξιά «σταυρωτά». Για
παράδειγμα το γινόμενο 326Χ28 μετατρέπεται σε
(300+20+6)Χ(20+8)και συνεχίζουμε όπως στο σχήμα:
Φαίνεται πολύπλοκο, όμως μετά από κάθε βήμα μόνο ένας
παράγοντας πρέπει να κρατηθεί στην μνήμη για την συνέχεια .
Σύμφωνα με τον Μάρτιν Γκαρντνερ στο Πανηγύρι των μαθηματικών
του,την παραπάνω μέθοδο χρησιμοποιούσε επί σκηνής ο
αριθμομνήμονας G.P.Bidder.Είναι εντυπωσιακό το γεγονός ,ότι ο
Bidder άρχισε τις εμφανίσεις του επί σκηνής από την ηλικία των 9
ετών με την συνοδεία του πάτερα του. Ο Γκαρντνερ αναφέρει
χαρακτηριστικά ότι των ρωτούσαν ερωτήσεις του τύπου: Αν το
φεγγάρι απείχε 123256 μίλια και ο ήχος ταξιδεύει με ταχύτητα 4
μιλίων το λεπτό , σε πόσο χρόνο θα ακούγαμε στην γη-αν ήταν
δυνατόν-έναν ήχο από το φεγγάρι; Ο Bidder σε λιγότερο από ένα
λεπτό απαντουσε:21 ημέρες,9 ώρες ,34 λεπτά!
http://mathhmagic.blogspot.gr/
Ποσοστά…
● Για να βρούμε το 15% ενός αριθμού , τον διαιρούμε με το
10 και στο αποτέλεσμα προσθέτουμε το μισό του πηλίκου.
Παράδειγμα: 15% του 20 ,20/10=2 ,2+2/2=2+1=3
● Για να βρούμε το 20% ενός αριθμού , τον διαιρούμε με το
10 και διπλασιάζουμε το αποτέλεσμα.
Παράδειγμα: 20% του 400,400/10=40 , 2Χ40=80
● Για να βρούμε το 5% ενός αριθμού , τον διαιρούμε με το
10 και στην συνέχεια διαιρούμε το αποτέλεσμα με το 2.
Παράδειγμα: 5% του 500 , 500/10=50 , 50/2=25
326Χ28
326=300+20+6
28=20+8
300 + 20 + 6
20 + 8
1. 20Χ300=6000
2.6000+(20Χ20)=6400
3.6400+(20Χ6)=6520
4.6520+(8Χ300)=8920
5.8920+(20Χ8)=9080
6.9080+(6Χ8)=9128
Αυτό το «κολλάµε» είναι
εξαιρετικά αδόκιµο σαν
όρος
Αντιδραστικό
γοριλάκι

7. •Εύρεση του τελευταίου ψηφίου ενός πολύ μεγάλου αριθμού
Ένα πολύ γνωστό αριθμητικό τρικ αστραπιαίου υπολογισμού από
αυτά που έκαναν επί σκηνής αριθμομνήμονες του παρελθόντος
είναι η εύρεση του τελευταίου ψηφίου ενός πολύ μεγάλου
αριθμού, χωρίς υπολογιστή τσέπης και σε μερικά δευτερόλεπτα.
Για παράδειγμα, ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού της
μορφής:
2345436267748089
46836537836488
Ζητάτε από ένα φίλο ή φίλη σας να σας πει ένα μεγάλο αριθμό
της παραπάνω μορφής
α
β
όπου α,β θετικοί ακέραιοι.
▪ Αν ο αριθμός α έχει τελευταίο ψηφίο 0,1,5 και 6 τότε απαντάτε
άμεσα ότι το τελευταίο ψηφίο είναι το ίδιο με του αριθμού α
β
ανεξάρτητα από το β.
Για παράδειγμα το τελευταίο ψηφίο του αριθμού
89754687476476
457604937067654466464
είναι το 6.
(http://www.wolframalpha.com/input/?i=89754687476476^4576
04937067654466464)
▪ Αν το τελευταίο ψηφίο του α δεν είναι 0,1,5 και 6 τότε από τον
αριθμό α
β
αποκόπτουμε νοερά το τελευταίο ψηφίο (το ψηφίο
των μονάδων) του α και τα δυο τελευταία ψηφία ( μονάδων,
δεκάδων) του β.
Για τον αριθμό που τέθηκε στην αρχή θα είχαμε:
2345436267748089
46836537836488
->9
88
Το επόμενο βήμα είναι να εξετάσουμε τον έκθετη (88) ,αν είναι
πολλαπλάσιο του 4 αρκεί να υψώσουμε τον αριθμό 9 στην
τέταρτη δύναμη, το τελευταίο ψηφίο του αποτελέσματος είναι το
ζητούμενο.
9
88
->9
4
Το να υψώσουμε ένα αριθμό στην τετάρτη όταν μας αφορά
μόνο το τελευταίο ψηφίο του αποτελέσματος δεν είναι τόσο
δύσκολο όσο ακούγεται,υψώνουμε στο τετράγωνο και κατόπιν
υψώνουμε πάλι στο τετράγωνο μόνο το τελευταίο ψηφίο του
αποτελέσματος και καταλήγουμε το αποτέλεσμα .
9
2
=81 1
2
=1
άρα το τελευταίο ψηφίο του αριθμού
2345436267748089
46836537836488
είναι το 1.
(http://www.wolframalpha.com/input/?i=2345436267748089^46
836537836488 )
▪ Αν ο έκθετης δεν είναι πολλαπλάσιο του 4 απλά αφαιρούμε από
αυτόν το πλησιέστερο πολλαπλάσιο του 4 και υψώνουμε στον
αριθμό που προκύπτει .Για παράδειγμα ο αριθμός
767866546354896365933578397423
47235920848473875007527
->3
27
27-24=3 (24 το πλησιέστερο πολλαπλάσιο του 4) 3
27
->3
3
=27
άρα το τελευταίο ψηφίο του αριθμού
767866546354896365933578397423
47235920848473875007527
είναι το 7.
(http://www.wolframalpha.com/input/?i=7678665463548963659
33578397423^47235920848473875007527)
Μερικά παραδείγματα
▪ 7894378909763478
97367639076097837897563760789037
->8
37
37-36=1 άρα 8
1
=8 άρα τελευταίο ψηφίο το 8
▪908675894064
76539076307895607073774573747
->4
47
47-44=3 4
3
=64 άρα τελευταίο ψηφίο το 4
http://mathhmagic.blogspot.gr/
Νοεροί υπολογισµοί για αρχάριους
•Ένα και ένα και ένα….
«Μπορείς να κανείς πρόσθεση;» ρώτησε η Λευκή βασίλισσα.
«Τι δίνει ένα και ένα και ένα και ένα και ένα και ένα και ένα
και ένα και ένα και ένα;»
«Δεν ξέρω»,είπε η Αλίκη, «Έχασα το μέτρημα».
Λιούις Κάρολ,Μέσα στον καθρέπτη
Μπορούμε να κάνουμε αφαίρεση προσθέτοντας; Η
απάντηση είναι καταφατική.Δείτε πως γίνεται. Θέλουμε να
εκτελέσουμε την αφαίρεση 123-34.Προσθέτουμε στο 123
τον αριθμό 99-34=65(τον αριθμό που προκύπτει από το
συμπλήρωμα κάθε ψηφίου του 34 με το 9)Στο άθροισμα 188
αποκόπτουμε από το ψηφίο των εκατοντάδων 1 μονάδα και
την προσθέτουμε στο ψηφίο των μονάδων 8 (σχήμα) με
τελικό αποτέλεσμα το 89 που είναι και η διαφορά 123-34.
Γιατί δουλεύει η παραπάνω διαδικασία;
Η μέθοδος δουλεύει διότι αν έχουμε τον αριθμό Ν με ν
ψηφία τότε το συμπλήρωμα του αριθμού Ν ως προς στο 9
είναι v
(10 1) N− − .Στο δεύτερο βήμα της μεθόδου
αφαιρούμε 1 από το πρώτο από αριστερά ψηφίο του
αριθμού και το προσθέτουμε
στο τελευταίο ψηφίο από αριστερά.
Αν συμβολίσουμε με Μ τον αφαιρετέο τότε για να βρούμε
την διαφορά Μ-Ν. Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα
v
M N M (10 1 N) 10 1ν
− = + − − − +
Η μέθοδος ουσιαστικά είναι βήμα–βήμα από αριστερά προς
τα δεξιά η εκτέλεση πράξεων του Β μέλους.
1+8=9
89
123
+ 65
188
Σχετικά βιβλία
1.Το πανηγύρι των μαθηματικών, Μάρτιν Γκάρντνερ
2.Secrets of Mental Math: The Mathemagician's Guide to Lightning
Calculation and Amazing Math Tricks», Arthur Benjamin
3.Arithmetricks: 50 Easy Ways to Add, Subtract, Multiply, and Divide
Without a Calculator, Edward H. Julius
-Μπορείτε να επαληθεύετε τα αποτελέσματα σας στον ιστότοπο
http://www.wolframalpha.com/
Περισσότερα τρικ υπολογισμών στον ιστότοπο:
http://mathforum.org/k12/mathtips/beatcalc.html
-Για όσους κάνουν πρωταθλητισμό η ηλεκτρονική διεύθυνση του
παγκοσμίου πρωταθλήματος αστραπιαίων υπολογισμών .
http://www.recordholders.org/en/events/worldcup/index.htmlΑντιδραστικό
γοριλάκι
Καλά αυτό το κάνω
και εγώ!!
123
-34
??

8. Νοεροί υπολογισµοί για αρχάριους
Chisanbop, ένας δακτυλικός άβακας
Chisanbop στα Κορεατικά σημαίνει δακτυλικός υπολογισμός. Μια μέθοδος που
χρησιμοποιούνται τα δάκτυλα των χεριών ως άβακας για να την εκτέλεση αριθμητικών
υπολογισμών και επινοήθηκε την δεκαετία του 50 από τον μαθηματικό Sung Jin Pai,
εξέχουσα μαθηματική φυσιογνωμία στην Κορέα. Ο γιος του, Hang Young Pai, το 1976,
μετανάστευσε στις Ηνωμένες Πολιτείες, αναμόρφωσε την μέθοδο και άρχισε να την
διδάσκει σε Αμερικανό-Κορεατικά σχολεία στην Νέα Υόρκη. Η μέθοδος έγινε γνωστή
μετά την επανειλημμένη παρουσίαση της, στη δημοφιλή αμερικανική τηλεοπτική
εκπομπή The Tonight Show του J.Carson. Ο Carson παρουσίασε παιδιά του δημοτικού να εκτελούν αστραπιαία προσθέσεις
τετραψήφιων και πενταψήφιων αριθμών, πιο γρήγορα και από έναν καθηγητή μαθηματικών που χρησιμοποιούσε υπολογιστή
τσέπης και είχε κληθεί επί τούτου στο τηλεοπτικό πλατό. Η μέθοδος Chisanbop συνίσταται στον αντιστοίχηση δακτύλων των δυο
χεριών σε συγκεκριμένους αριθμούς ώστε να μπορεί να αποδοθεί οποιοσδήποτε αριθμός από το 1 μέχρι το 99.Ειδικότερα:Στο
αριστερό χέρι σε κάθε δάκτυλο πλην του αντίχειρα αποδίδεται η τιμή 10,στον αντίχειρα η τιμή 50.Στο δεξί χέρι στον αντίχειρα
αποδίδεται η τιμή 5 και σε καθένα από τα υπόλοιπα τέσσερα δάκτυλα η τιμή 1.(δείτε σχήμα)
Πως κάνουμε πράξεις;
Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να προσθέσουμε τους αριθμούς 18 και 16.Καταρχήν για να παραστήσουμε το 18 αρκεί να κατεβάσουμε
ένα δάκτυλο από το αριστερό χέρι (10), τον αντίχειρα στο δεξί (5) και τρία δάκτυλα από το δεξί χέρι(3).
Για να προσθέσουμε το 16 αρκεί να προσθέσουμε 10 μετά 5 και κατόπιν 1.Προσθέτουμε το 10 διπλώνοντας ένα δάκτυλο από το
αριστερό χέρι. Για να προσθέσουμε 5 σηκώνουμε τον αντίχειρα από το δεξί (-5) και κατεβάζουμε ένα δάκτυλο(10) από αριστερό χέρι
,τέλος για να προσθέσουμε 1 κατεβάζουμε ένα δάκτυλο από το δεξί χέρι. Αρκεί τώρα να διαβάσουμε την
απάντηση, κοιτώντας τα δυο μας χέρια.
Ένα σχετικό βιβλίο:
http://archive.computerhistory.org/resources/access/text/2010/03/500004045.05.01.acc.pdf
Με τα δάχτυλα του
ενός χεριού
μπορούμε να
μετρήσουμε στο
δυαδικό μέχρι το
31.(cartoon)
34

9. • Πολλαπλασιασμός των Μάγια
Στο διαδίκτυο,τα τελευταία χρόνια κυκλοφορεί
ένα μικρό βίντεο με πολύ μεγάλη
επισκεψιμότητα που περιγράφει τον
πολλαπλασιασμό δυο αριθμών
χρησιμοποιώντας ευθείες και τα σημεία τομής
τους. Αποκαλεί τον πολλαπλασιασμό Κινέζικο ή
Ινδικό. Σύμφωνα όμως, με τα βιβλίο του Miquel
Alberti El Mundo es matematico, ο
πολλαπλασιασμός αυτός χρησιμοποιούνταν από
τους Μάγια.
Τι έκαναν λοιπόν οι Μάγια;
Για να πολλαπλασιάσουν δυο αριθμούς
χρησιμοποιούσαν ξεχωριστές ομάδες
παράλληλων ευθειών που αντιπροσωπεύουν τις
εκατοντάδες ,τις δεκάδες και τις μονάδες κάθε
αριθμού. Οι γραμμές της πρώτης ομάδας ήταν
έτσι κατανεμημένες ώστε να τέμνουν τις
γραμμές της δεύτερης ,στην συνέχεια
μετρούσαν τα αντίστοιχα σημεία τομής
κατέβαζαν τα πλήθη των σημείων τομής και
μετέφεραν τα κρατούμενα στον επόμενο αριθμό
από αριστερά. Πρόκειται για οπτική
αναπαράσταση του κοινού πολλαπλασιασμού.
Για παράδειγμα αν θέλουμε να
πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς
213 επί 43.
Σχετικά βιβλία
1.Το πανηγύρι των μαθηματικών, Μάρτιν Γκάρντνερ
2.Secrets of Mental Math: The Mathemagician's Guide
to Lightning Calculation and Amazing Math Tricks»,
Arthur Benjamin
3.Arithmetricks: 50 Easy Ways to Add, Subtract,
Multiply, and Divide Without a Calculator, Edward H.
Julius
-Μπορείτε να επαληθεύετε τα αποτελέσματα σας
στον ιστότοπο http://www.wolframalpha.com/
Περισσότερα τρικ υπολογισμών στον ιστότοπο:
http://mathforum.org/k12/mathtips/beatcalc.html
-Για όσους κάνουν πρωταθλητισμό η ηλεκτρονική
διεύθυνση του παγκοσμίου πρωταθλήματος
αστραπιαίων υπολογισμών .
http://www.recordholders.org/en/events/worldcup/i
ndex.html
Το βίντεο με τον πολλαπλασιασμό στον
σύνδεσμο με του ακολούθου qr code:
213 x 43
http://mathhmagic.blogspot.gr/
Πολλαπλασιασμός αλά Μάγια
Με μεγαλύτερα νούμερα
δύσκολα γίνεται!
2
1
3
4
3
213
43
2
1
3
4
3
8+1
9
3+12=156+4=108
5
0+1
9 1
213 Χ 43=9159

10. ΑΡΙΘΜΟΜΝΗΜΟΝΕΣ
Shakuntala Devi
Η Shakuntala Devi γεννήθηκε το 1939 στο
Bangalore της Ινδίας.Παρ ότι οι γονείς της
δεν διέθεταν μόρφωση εκδήλωσε έντονο
ενδιαφέρον για τους αριθμούς από την ηλικία
των 3 ετών.Δυο χρόνια αργότερα έδειξε τo
ταλέντο της σε μια συγκέντρωση των
σπουδαστών και των καθηγητών του
Πανεπιστημίου του Mysore στην Ινδία.
Κάτοχος ρεκόρ Γκίνες για τα υπολογιστικά επιτεύγματα της.
Ενδεικτικά αναφέρουμε:
Το 1977 στο πανεπιστήμιο Southern Methodist των Η.Π.Α εξήγαγε
την 23η ρίζα ενός ακέραιου με 201 ψηφία σε μόλις 50
δευτερόλεπτα.
Το 1980 στο Imperial College στην μεγάλη Βρετανία
πολλαπλασίασε τους αριθμούς 7686369774870,2465099745779
υπολογίζοντας το εικοσαεξαψήφιο γινόμενο τους σε μόλις 28
δευτερόλεπτα. Οι αριθμοί που της δόθηκαν επελέγησαν τυχαία
από πρόγραμμα υπολογιστή στο τμήμα υπολογιστών του
πανεπιστήμιου.Το 1988 στο πανεπιστήμιο Stanford των Η.Π.Α :
-εξήγαγε την κυβική ρίζα του 95443993,το 457 σε 2 δευτερόλεπτα.
-υπολόγισε την κυβική ρίζα του 2373927704,το 1334 σε 10
δευτερόλεπτα.
-υπολόγισε την 8η ρίζα του 20047612231936 ,το 46 σε 10
δευτερόλεπτα.
Μπορούσε σε λίγα δευτερόλεπτα για οποιαδήποτε ημερομηνία του
προηγουμένου αιώνα να πει σε λίγα δεύτερα ποια μέρα έπεφτε.
Αντιπαθούσε τον χαρακτηρισμό που της απέδιδαν ανθρώπινος
υπολογιστής και ισχυριζόταν ότι όφειλε την εξαιρετική ταχύτητα
στις αριθμητικές πράξεις στα Βεδικά μαθηματικά (Vedic Maths) ένα
σύστημα εκτέλεσης αριθμητικών υπολογισμών το όποιο κατά την
ίδια είναι 10 με 15 φόρες ταχύτερο από συμβατικό που
χρησιμοποιούμε.
Τζωρτζ Μπίντερ
Στις αρχές του δέκατου ένατου αιώνα, η φήμη
του παιδιού θαύματος Τζωρτζ Μπίντερ (George
Parker Bidder),γιου ενός τεχνίτη από το
Devonshire ,έφτασε στα αυτιά της Βασίλισσας
της Αγγλίας Σάρλοτ. Κάλεσε το αγόρι στα
ανάκτορα και του έθεσε την ερώτηση:
«Από την Κορνουάλλη, μέχρι το Φάρετ
στη Σκωτία, η απόσταση είναι 838 μίλια.
Αν ένα σαλιγκάρι σέρνεται με ταχύτητα
8 πόδια την ημέρα, σε πόσο χρόνο θα
καλύψει την απόσταση;» (1 μίλι=6.080 πόδια).
Η απάντηση δόθηκε αυτόματα από τον μικρό Μπίντερ και είναι
553080 ημέρες .Μνημονεύεται στο δημοφιλές βιβλίο της εποχής
«Συνοπτικός απολογισμός του Τζωρτζ Μπίντερ , διακεκριμένου
ανθρώπινου υπολογιστή: με μια ποικιλία από τα πιο δύσκολα
ερωτήματα που του τεθήκαν στις μεγαλύτερες πόλεις της
Βρετανίας και οι αστραπιαίες απαντήσεις που έδωσε». Μικρός
τίτλος ε; Στις σελίδες του βιβλίου καταγράφονται τα απίστευτα
αριθμητικά κατορθώματα του Μπίντερ, ερωτήματα όπως «Ποια
είναι η τετραγωνική ρίζα του 119550669121;» Ο Μπίντερ απάντησε
ορθά 345761 σε λιγότερο από μισό λεπτό.Ορισμένοι άνθρωποι
είχαν ευλογηθεί με πραγματικά εκπληκτικές αριθμητικές
ικανότητες.
http://mathhmagic.blogspot.gr/
George Bidder
(1806 -1878)
Alexis Lemaire
Στις 30 Ιουλίου 2007,ο Γάλλος Alexis Lemaire
υπολόγισε την 13
η
ρίζα ενός 200-ψηφιου αριθμού χωρίς
την χρήση υπολογιστή ή άλλου μέσου μόλις σε 77
δευτερόλεπτα.
Ο 200-ψηφιος αριθμός ήταν ο 85877066894718045
6025491448501585992027712477489608780231513903
1428428446584279837329024282657182315304503030
0932591615405929429773640895967991430381763526
613357308674592650724521841103664923661204223.
Η 13
η
ρίζα του είναι ο 45792573.
Ο Alexis Lemaire είναι κάτοχος του παγκοσμίου ρεκόρ
Γκίνες για την συντομότερη εξαγωγή 13
ης
ρίζας σε 100-
ψηφιο και 200-ψηφιο αριθμό.Το νοητικό κατόρθωμα
του Lemaire μπορεί να επισκιάσει αντίστοιχα του
παρελθόντος;Ο Alex Bellos γνωστός και μη
εξαιρετέος,μαθηματικός-συγγραφέας παρατηρεί ότι
,όταν αναζητούμε την 13
η
ρίζα ενός αριθμού
αναζητούμε ένα δεκαεξαψήφιο αριθμό x που όταν
πολλαπλασιαστεί 13 φορές με τον εαυτό παράγει το
αρχικό. Το 13 δεν είναι τυχαίος αριθμός, καθένα από τα
ψηφία 2,3,4,5,6,7,8,9 αν πολλαπλασιαστεί 13 φορές με
τον εαυτό του προκύπτει αριθμός που λήγει στο ίδιο
ψηφίο. Άρα, ο Lemaire αναζητά την 13
η
ρίζα ενός
αριθμού α αναζητά έναν δεκαεξαψήφιο αριθμό που το
τελευταίο ψηφίο του είναι το ίδιο με το τελευταίο
ψηφίο του α.
Alexander Aitken.
Ο ανθρωπινός υπολογιστής
O Alexander Aitken
γεννήθηκε στο Dunedin το 1895.
Διακεκριμένος μαθηματικός,
υπήρξε καθηγητής στο
πανεπιστήμιο του Εδιμβούργου. Το μοναδικό ταλέντο
στους από μνήμης υπολογισμούς τον κατατάσσει στις
πρώτες θέσεις των αριθμομνημόνων καθώς τα
κατορθώματα του είναι καταγεγραμμένα με μαρτυρίες.
Το 1920 κατά την διάρκεια ενός ψυχομετρικού τεστ
εκτέλεσε τον πολλαπλασιασμό 987,654,321
x123,456,789 σε μόλις 30 δευτερόλεπτα .Στο ίδιο τεστ
του ζητήθηκε να μετατρέψει το κλάσμα 4/47 σε
δεκαδικό και σε 4 δευτερόλεπτα απάντησε
0.8510638297872340425531914 .Ο Aitken ήταν σε θέση
να παραθέσει από μνήμης 100 ψηφία του π. Πέθανε το
1967 σε ηλικία 72 ετών.
Αντιδραστικό
γοριλάκι
Μυαλά που δουλεύουν
στο κόκκινο!!

11. Αραβικός πολλαπλασιασμός
Οι άραβες έκαναν διαφορετικά τον πολλαπλασιασμό. Δείτε:
Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να κάνουμε τον πολλαπλασιασμό 349 x37 .
Τοποθετούμε τους αριθμούς 349,37 στον παρακάτω πίνακα ως εξής:
Τοποθετούμε τους δυο όρους του γινομένου (349,37) τον έναν οριζόντια και τον άλλο κάθετα στον παραπάνω πίνακα.Χωρίζουμε με
μια διαγώνια γραμμή τα έξι κελιά που ορίζουν οι όροι του γινομένου.Πολλαπλασιάζουμε κάθε ψηφίο του οριζοντίου όρου(349) με
κάθε ψηφίο του κάθετου όρου(37).Το αποτέλεσμα θα είναι ένας αριθμός που θα καταχωρηθεί στο αντίστοιχο κελί ανά ψηφίο στα
δυο μέρη του αντίστοιχου κελιού. (Δείτε το σχήμα)
Αφού συμπληρωθεί ο πίνακας αθροίζουμε διαγώνια.
http://mathhmagic.blogspot.gr/
Tελικά, 349x37=12913.

12. Αιγυπτιακός πολλαπλασιασμός
Τεχνική πολλαπλασιασμού που χρησιμοποιούνταν από Ρώσους χωρικούς πριν από 200 χρόνια,τώρα τον χρησιμοποιούν οι
προγραμματιστές στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές.Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς 25 και 42.
Γράφουμε τους δυο αριθμούς σε δυο στήλες. Επιλέγουμε μια στήλη ας πούμε την αριστερή και διαιρούμε διαδοχικά τον αριθμό δια
του 2 αψηφώντας το υπόλοιπο ,ωσότου να φτάσουμε στην μονάδα. Στην δεξιά στήλη διπλασιάζουμε διαδοχικώς τις ποσότητες έτσι
ώστε οι αριθμοί στις δυο στήλες να σχηματίζουν γραμμές.
25 42
12 84
6 168
3 336
1 672
Υπογραμμίζουμε τους αριθμούς της αριστερής στήλης που είναι περιττοί.
25 42
12 84
6 168
3 336
1 672
Προσθέτουμε όλους τους αριθμούς της δεύτερης στήλης που βρίσκονται δίπλα σε υπογραμμισμένο αριθμό.
42+336+672=1050.Ο αριθμός 1050 είναι το ζητούμενο γινόμενο.
http://mathhmagic.blogspot.gr/
Ρώσικος πολλαπλασιασμός
Στον πάπυρο Ρίντ,την πλουσιότερη πηγή που διαθέτουμε για τα αιγυπτιακά μαθηματικά υπάρχει σαφής αναφορά για τον τρόπο
με τον οποίο πολλαπλασίαζαν οι αρχαίοι Αιγύπτιοι.Έστω ότι θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς 31x42 ,σύμφωνα με
τους αρχαίους Αιγύπτιους γράφουμε την μονάδα σε μια στήλη και σε μια άλλη,διπλανή στήλη τον ένα από τους δυο παράγοντες του
πολλαπλασιασμού.Κατόπιν χωρίζουμε τις δυο στήλες με καθετή γραμμή.
Δηλαδή:
1 31
Στην συνέχεια διπλασιάζουμε διαδοχικά τους δυο αριθμούς,
μέχρις ότου ο μικρότερος αριθμός (αυτός δηλαδή από την στήλη
που ξεκινά με την μονάδα) να είναι μεγαλύτερος από τον
δεύτερο παράγοντα (το 42 δηλαδή)
1 31
2 62
4 124
8 248
16 496
32 992
64 1984
Στην αριστερή στήλη, και από κάτω προς τα πάνω, αθροίζουμε τους πρώτους αριθμούς που το άθροισμα τους να είναι 42 (στο
παράδειγμα 32+8+2).Ακολούθως, αθροίζουμε όλους τους αριθμούς της δεξιάς στήλης που βρίσκονταν στην ιδία γραμμή με τους
προηγούμενους αριθμούς.Στην περίπτωση μας θα ήταν:62+992+248=1302, που όντως είναι το γινόμενο του πολλαπλασιασμού
31x42.
31x42
25x42

13. Νοεροί υπολογισµοί για αρχάριους
Ένα μαγικό τρικ με λίγη άλγεβρα
Ξεκινάτε με μια εισαγωγή για τις καταπληκτικές
τηλεπαθητικές ικανότητες σας και προτίθεστε να κάνετε μια
μικρή επίδειξη.Πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον τρεις
παρευρισκόμενοι.Ζητείστε από το υποψήφιο θύμα τρία
αντικείμενα, δεν έχει σημασία ποια, αρκεί να προσέξετε ο
αριθμός των γραμμάτων του ονόματος του κάθε
αντικειμένου να είναι διαφορετικός. Αν το θύμα επιλέξει
αντικείμενα με τον ίδιο αριθμό γραμμάτων πρέπει
τεχνηέντως με κάποια πρόφαση να τον πείσετε να αλλάξει
επιλογή. Μια καλή επιλογή είναι ρολόι (5 γράμματα),ευρώ
(4 γράμματα), κλειδιά (7 γράμματα). Κατόπιν του ζητάτε να
σκεφτεί έντονα ένα από τα τρία αντικείμενα, και νοητά να το
συλλαβίσει μετρώντας τα γράμματα.Να πολλαπλασιάσει -
πάντα νοερά- τον αριθμό με το 5.Ας υποθέσουμε ότι
διαλέγει το ρολόι τότε θα πολλαπλασιάσει 5x5=25.
Στην συνέχεια με μια πρόφαση του τύπου «έχω δοκιμάσει το
κόλπο στο παρελθόν μόνο τρεις φορές ,πρόσθεσε στο
γινόμενο το 3».Αυτο τότε κάνει 25+3=28.Μετά του ζητάτε να
διπλασιάσει το γινόμενο:28x2=56.
Προτρέπετε το θύμα να επιλέξει τυχαία ένα
παρευρισκόμενο και αυτός να του ψιθυρίσει στο αυτί το
τελευταίο ψηφίο της αστυνομικής του ταυτότητας, αν είναι
ανήλικος απλά έναν αριθμό από το 1 μέχρι το 9.Θα πρέπει
τώρα να προσθέσει το ψηφίο στο παραπάνω γινόμενο. Αν
ψιθυρίσει το 9 τότε θα πρέπει πάλι νοερά να κάνει 56+9=66.
Του ζητάτε να αποκαλύψει τον αριθμό που βρήκε
τονίζοντας ότι το τελικό αποτέλεσμα είναι τελείως τυχαίο με
τις αρχική του επιλογή αντικειμένου.
Εσείς, τότε από τον αριθμό που θα ανακοινώσει θα
αφαιρέσετε 6: 65-6=59, ο αριθμός που προκύψει μας δίνει
το πρώτο του ψηφίο το πλήθος των γραμμάτων του
αντικειμένου ενώ το δεύτερο ψηφίο το τελευταίο ψηφίο της
αστυνομική ταυτότητας και με στόμφο κατονομάζεις ρολόι
και 9.
Γιατί δουλεύει το τρικ; Στοιχειώδης άλγεβρα. Αν Χ είναι ο
αριθμός των γραμμάτων που επιλέγει το θύμα και Υ το
τελευταίο ψηφίο της αστυνομικής ταυτότητας τότε η σειρά
των πράξεων που εκτελούνται δίνει:
2(5Χ+3)+Υ=10Χ+6+Υ
Αφαιρούμε το 6, έτσι 10Χ+Υ
Η διαδικασία με εξάσκηση μπορεί να ολοκληρωθεί νοερά σε
λίγα δευτερόλεπτα.
Hans Bethe
Ο Ριτσαρντ Φάινμαν στο βιβλίο του «Σίγουρα θα
αστειεύεστε,κύριε Φάινμαν» αναφέρει μεταξύ άλλων και
το εξής περιστατικό:
…. Όταν βρισκόμουν το Λος Άλαμος, είχα διαπιστώσει ότι ο
Hans Bethe έκανε πράξεις με το νου του σαν υπολογιστής.
Για παράδειγμα, μια φορά αντικαθιστούσαμε τις
αριθμητικές τιμές των μεγεθών σε έναν τύπο, και
έφτασα στο τετράγωνο του 48. Πήγα λοιπόν στη μηχανή
Marchant γιανα το βρω, αλλά αυτός με έκοψε:
«Άστο, είναι 2300».Άρχισα να πατώ τα κουμπιά, και αυτός
συμπλήρωσε: «Αν το θέλεις ακριβώς είναι 2304».
Η μηχανή έγραψε 2304. «Μπράβο! Πως έτσι;» απόρησα.
«Δεν ξέρεις πώς να βρίσκεις το τετράγωνο αριθμών κοντά
στο 50;Βρίσκεις το τετράγωνο του 50 και αφαιρείς το
εκατονταπλάσιο της διαφοράς του αριθμού σου από το 50
(στην προκειμένη περίπτωση το 2), οπότε2500 – 200 = 2300
Αν θέλεις ακριβώς τον αριθμό, βρίσκεις το τετράγωνο της
διαφοράς και το προσθέτεις (2300+4=2304)»…..
Παγκόσμιο κύπελλο αστραπιαίων νοητικών υπολογισμών
Το Παγκόσμιο κύπελλο αστραπιαίων νοητικών
υπολογισμών( Mental Calculation World Cup) ιδρύθηκε το
2004, από τον Γερμανό επιστήμονα των υπολογιστών Ralf
Laue, και λαμβάνει χώρα κάθε δύο χρόνια στο
πανεπιστήμιο της Λειψίας, στην Γερμάνια. Το διαδίκτυο
βοήθησε τον Laue δίνοντας του τη δυνατότητα να
επικοινωνήσει ανά τον κόσμο με ανθρώπους
προικισμένους στην αστραπιαία εκτέλεση πολύπλοκων
αριθμητικών πράξεων,ιδιαιτέρους ανθρώπους που σε
γενικές γραμμές δεν είναι και πολύ..εξωστρεφείς. Η
παγκόσμια κοινότητα των ανθρώπων αριθμομηχανών,
εκπροσωπείται στη Λειψία, με διαγωνιζόμενους από μια
πανσπερμία χώρων όπως το Περού,το Ιράν, την Αλγερία
και την Αυστραλία. Πώς γίνεται η μέτρηση των
αστραπιαίων νοερών αριθμητικών δεξιοτήτων; Ο Laue
θέσπισε τις κατηγορίες των αγωνισμάτων:
πολλαπλασιασμός δύο οκταψήφιων αριθμών, πρόσθεση
δεκαψήφιων αριθμών, εξαγωγή τετραγωνικής ρίζας
εξαψήφιου αριθμού με προσέγγιση οκτώ δεκαδικών, και
τέλος την εύρεση της ημέρας της εβδομάδας
οποιασδήποτε ημερομηνίας μεταξύ 1600 και 2100. Η
τελευταία δοκιμασία είναι μια αναβίωση των
παραστάσεων που έδιναν επί σκηνής οι αριθμομνήμονες
του παρελθόντος καθώς ζητούσαν από κάποιο θεατή στο
ακροατήριο την ημερομηνία γέννησης του και αμέσως
ονόμαζαν την ημέρα.
Δείτε τον ιστότοπο
https://en.wikipedia.org/wiki/Mental_Calculation_World
_Cup
Και φυσικά δείτε και ΤΟΝ ιστότοπο
http://mathhmagic.blogspot.gr/
Ένα αριθμητικό τρικ με το 12345679
Γράψτε τον αριθμό 12345679,επιλέξτε ένα ψηφίο από το 1
μέχρι το 9.Παρατηρήστε ότι λείπει το 8.Πολλαπλασιάσετε
το, με το 4 και το γινόμενο με τον αριθμό 9 . Θα
διαπιστώσετε ότι το αποτέλεσμα αποτελείται μόνο από το
ψηφίο αυτό.
Για παράδειγμα αν επιλέξετε το 4, τότε
4x9=36
12345679x36=444444444