DOCUMENTO

1. ÁLGEBRA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual UNI
Docente: Jimmy Astupillo

2. ECUACIÓN
BICUADRADA Y
FRACCIONARIA
Semana 14

3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
En la Italia renacentista, los matemáticos Gerolamo Cardano y Niccolo
Fontana habían resuelto hasta la ecuación general de 4º grado. En el siglo
XVIII Jean le Rond D’Alembert enunció y Gauss demostró el teorema
fundamental del álgebra: toda ecuación de grado n tiene n raíces. En ese
punto creían que la ecuación general de grado n se tendría que resolver
con una fórmula general hasta de grado n. Pero para grados mayores que
cuatro todos los intentos fueron estériles. En 1822 Abel demostró que la
ecuación general de 5º grado no es resoluble por radicales de grado cinco
ni de ningún otro grado.
Diez años más tarde, en 1832, Galois fue más allá, y caracterizó las
ecuaciones que sí tenían solución. Para ello definió el ‘grupo de la
ecuación’, una estructura algebraica asociada a la expresión, que condensa
información relevante sobre la misma. A partir de esta idea, bastaba con
estudiar los tipos de grupos; según fueran, se podría determinar si la
ecuación era o no resoluble. Con esta innovación acaba el álgebra clásica,
entendida como el arte de resolver ecuaciones y comienza el álgebra
moderna: el estudio de las estructuras.
Niels H. Abel (1802-1829)
Evariste Galois (1811-1832)
HISTORIA

4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
OBJETIVOS
✓ Resolver las ecuaciones
bicuadradas.
✓ Aplicar las propiedades de las
ecuaciones bicuadradas.
✓ Resolver las ecuaciones
fraccionarias
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
= 0

5. ECUACIÓN
BICUADRADA

6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
ECUACIÓN BICUADRADA
Es una ecuación de cuarto grado que tiene la
forma:
𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0 ∧ 𝑎. 𝑏. 𝑐 ≠ 0
Ejemplos:
𝑎) 3𝑥4
− 7𝑥2
+ 8 = 0
𝑏) 𝑥4 + 5𝑥2 − 4 = 0
𝑐) 9𝑥4 − 2𝑥2 − 6 = 0
Ejercicio:
Si la ecuación
𝑎𝑥4 + 𝑎 − 2 𝑥3 + 𝑏 − 2 𝑥2 + 𝑏 − 3 𝑥 − 6 = 0
Es bicuadrada, calcule el valor de 𝑎. 𝑏
Resolución:
Como la ecuación es bicuadrada, entonces
(𝑎 − 2) = 0 ∧ 𝑏 − 3 = 0
𝑎 = 2 ∧ 𝑏 = 3
𝑎. 𝑏 = 6

7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Resolución de una ecuación bicuadrada
C U R S O D E Á L G E B R A
Para resolver una ecuación bicuadrada, de la
forma:
𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0 ∧ 𝑎. 𝑏. 𝑐 ≠ 0
Se puede realizar por:
1) Por factorización:
Ejemplo
Resolver 𝑥4
− 29𝑥2
+ 100 = 0
Resolución
Factorizando por aspa simple
𝑥4
− 29𝑥2
+ 100 = 0
𝑥2
𝑥2
−25
−4
𝑥2 − 25 𝑥2 − 4 = 0
𝑥2
− 25 = 0 ∨ 𝑥2 − 4 = 0
𝑥2
= 25 ∨ 𝑥2
= 4
𝑥 = ±5 ∨ 𝑥 = ±2
𝐶. 𝑆 = 2; −2; 5; −5

8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
2) Completando cuadrados:
Ejemplo
Resolver 𝑥4
− 4𝑥2
− 3 = 0
Resolución
Buscamos completar cuadrados
𝑥4 − 4𝑥2 − 3 = 0 𝑥2 − 4𝑥2 = 3
𝑥4
− 4𝑥2
= 3
Se busca un T.C.P
+4 +4
𝑥2
− 2 2 = 7
Teorema 𝑥2 = 𝑎 → 𝑥 = 𝑎 ∨ 𝑥 = 𝑎
𝑥2
− 2 2
= 7 𝑥2 − 2 = 7 ∨ 𝑥2 −2 = − 7
𝑥2
= 2 + 7 ∨ 𝑥2= 2 − 7
𝑥 = ± 2 + 7 ∨ 𝑥 = ± 2 − 7
Luego
𝑥1 = 2 + 7
𝑥2 = − 2 + 7
𝑥3 = 2 − 7
𝑥4 = − 2 − 7

9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
3) Por cambio de variable:
Ejemplo
Resolver 𝑥4
− 2𝑥2
− 4 = 0
Resolución
Como no se puede factorizar por aspa simple,
realizamos un cambio de variable
Sea 𝑥2
= 𝑡 𝑥4
= 𝑡2
Luego
𝑥4
− 2𝑥2
− 4 = 0
𝑡2 −2𝑡 −4 = 0
Por fórmula general, tenemos
𝑡 =
−(−2) ± −2 2 − 4(1)(−4)
2(1)
=
2 ± 2 5
2
= 1 ± 5
𝑡 = 1 + 5 ∨ 𝑡 = 1 − 5
Pero 𝑥2
= 𝑡 entonces
𝑥2 = 1 + 5 ∨ 𝑥2 = 1 − 5
𝑥 = ± 1 + 5 ∨ 𝑥 = ± 1 − 5
Luego
𝑥1 = 1 + 5
𝑥2 = − 1 + 5
𝑥3 = 1 − 5
𝑥4 = − 1 − 5
∨
∨

10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Propiedades de una ecuación bicuadrada
Toda ecuación bicuadrada tiene la forma:
𝑎𝑥4
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐 = 0 ∧ 𝑎. 𝑏. 𝑐 ≠ 0
Luego de resolverla, sus raíces tienen la forma:
𝛼2
+ 𝛽2
= −
𝑏
𝑎
; 𝑥2 = −𝛼 ; 𝑥3 = 𝛽 ; 𝑥4 = −𝛽
Esto es:
𝐶. 𝑆 = 𝛼; −𝛼; 𝛽; −𝛽
Se cumple:
𝛼2
. 𝛽2
=
𝑐
𝑎
𝑥1 = 𝛼
Ejemplo 1
Al resolver la ecuación: 2𝑥4
− 3𝑥2
− 4 = 0
se obtiene como 𝐶. 𝑆 = 𝛼; −𝛼; 𝛽; −𝛽 entonces
Se cumple:
𝛼2
. 𝛽2
=
𝑐
𝑎
= −
(−3)
2
=
3
2
=
(−4)
2
= −2
𝛼2 + 𝛽2 = −
𝑏
𝑎
𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0

11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝛼2
+ 𝛽2
= −
𝑏
𝑎
Ejemplo 2
Al resolver la ecuación: 3𝑥4
+ 5𝑥2
+ 7 = 0
se obtiene como 𝐶. 𝑆 = 𝛼; −𝛼; 𝛽; −𝛽 entonces
Se cumple:
𝛼2. 𝛽2 =
𝑐
𝑎
= −
(5)
3
= −
5
3
=
7
3
𝑎𝑥4
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐 = 0
𝛼2
+ 𝛽2
= −
𝑏
𝑎
Ejemplo 3
Al resolver la ecuación: 5𝑥4
− 𝑛𝑥2
+ (𝑛 − 1) = 0
se obtiene como 𝐶. 𝑆 = 𝛼; −𝛼; 𝛽; −𝛽 entonces
Se cumple:
𝛼2. 𝛽2 =
𝑐
𝑎
= −
(−𝑛)
5
=
𝑛
5
=
𝑛 − 1
5
𝑎𝑥4
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐 = 0

12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
TEOREMA La ecuación bicuadrada:
𝑎𝑥4
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐 = 0 ∧ 𝑎. 𝑏. 𝑐 ≠ 0
Al resolverla, sus raíces tienen la forma:
; 𝑥2 = −𝛼 ; 𝑥3 = 𝛽 ; 𝑥4 = −𝛽
Se cumple:
𝑥1
𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 + 𝑥2
𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 + 𝑥3
𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 + 𝑥4
𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 = 0
𝑥1 = 𝛼
Ejemplo
Si 𝑥1; 𝑥2; 𝑥3; 𝑥4 son raíces de la ecuación
3𝑥4
− 5𝑥2
− 7 = 0
Encuentre el valor de
𝑀 = 𝑥1
2
+ 𝑥2
2
+ 𝑥3
2
+ 𝑥4
2
+ 𝑥1
3
+ 𝑥2
3
+ 𝑥3
3
+ 𝑥4
3
Resolución
Por teorema sabemos que 𝛼2
+ 𝛽2
= −
𝑏
𝑎
= −
−5
3
=
5
3
Además:
𝑥1 = 𝛼
𝑥2 = −𝛼
𝑥3 = 𝛽
𝑥4 = −𝛽
𝑥1
2 = 𝛼2
𝑥2
2 = 𝛼2
𝑥3
2 = 𝛽2
𝑥4
2 = 𝛽2
𝑥1
3
= 𝛼3
𝑥2
3
= −𝛼3
𝑥3
3 = 𝛽3
𝑥4
3
= −𝛽3
Luego:
𝑀 = 𝑥1
2
+ 𝑥2
2
+ 𝑥3
2
+ 𝑥4
2
+ 𝑥1
3
+ 𝑥2
3
+ 𝑥3
3
+ 𝑥4
3
= 2 𝛼2 + 𝛽2 = 0
𝑀 = 2
5
3
=
10
3

13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
TEOREMA Si la ecuación bicuadrada:
𝑎𝑥4
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐 = 0 ∧ 𝑎. 𝑏. 𝑐 ≠ 0
Sus raíces se encuentran en progresión aritmética
; 𝑥2 = −𝛼 ; 𝑥3 = 𝛼 ; 𝑥4 = −3𝛼
𝑥1 = −3𝛼
Entonces las raíces son:
Ejemplo
Las raíces de una ecuación bicuadrada tienen la
forma: 𝛼; −𝛼; 𝛽; −𝛽 ordenando tenemos
−𝛽; −𝛼; 𝛼; 𝛽
𝑟 𝑟 𝑟
𝑟 = 𝛽 − 𝛼 = 𝛼 − (−𝛼) = 2𝛼 𝛽 = 3𝛼
𝐶. 𝑆 = −3𝛼; −𝛼; 𝛼; 3𝛼
Si las raíces de la ecuación bicuadrada
2𝑥4
− 20𝑥2
+ 𝑛 = 0
se encuentran en progresión aritmética. Calcule 𝑛
Resolución
Prueba
Como las raíces se encuentran en progresión
aritmética, estas tienen la forma:
𝐶. 𝑆 = −3𝛼; −𝛼; 𝛼; 3𝛼
Por teorema, tenemos:
𝛼2
+ 3𝛼 2
= −
−20
2
10𝛼2 = 10 𝛼2
= 1
𝛼2
. 3𝛼 2
=
𝑛
2
𝛼2
. 9𝛼2
=
𝑛
2
𝑛 = 18

14. ECUACIÓN
FRACCIONARIA

15. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
ECUACIÓN FRACCIONARIA
Tienen la forma:
𝑃 𝑥
𝑄 𝑥
= 0; 𝑄 𝑥 ≠ 0
Donde:
𝑃 𝑥 es un polinomio no nulo
𝑄 𝑥 es un polinomio, donde ° 𝑄 𝑥 ≥ 1
Ejemplos
𝑎)
2𝑥 − 1
𝑥2 − 2𝑥 − 3
= 0 𝑏)
𝑥3 − 3𝑥 + 2
4𝑥 − 1
= 0
Se resuelve de la siguiente forma:
𝑃 𝑥
𝑄 𝑥
= 0 ↔ 𝑃 𝑥 = 0 ∧ 𝑄 𝑥 ≠ 0
Ejemplo
𝑥2
− 1
𝑥 + 1
= 0
↔ 𝑥2 = 1 ∧ 𝑥 + 1 ≠ 0
( 𝑥 ≠ −1)
↔ 𝑥 = 1
(𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = −1)
𝐶. 𝑆 = 1
↔ 𝑥2 − 1 = 0 ∧ 𝑥 + 1 ≠ 0
Resolver:
𝑥2 − 1
𝑥 + 1
= 0
Resolución de ecuación fraccionaria

16. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejemplo
Resolver:
2𝑥 − 1
𝑥 + 1
2
− 4
2𝑥 − 1
𝑥 + 1
+ 3 = 0
Resolución
Usamos cambio de variable, sea:
2𝑥 − 1
𝑥 + 1
= 𝑡
2𝑥 − 1
𝑥 + 1
2
= 𝑡2
Reemplazando:
2𝑥 − 1
𝑥 + 1
2
− 4
2𝑥 − 1
𝑥 + 1
+ 3 = 0
𝑡2 𝑡
Nos queda:
𝑡2 − 4𝑡 + 3 = 0
𝑡
𝑡
−3
−1
𝑡 − 3 𝑡 − 1 = 0
𝑡 − 3 = 0 ∨ 𝑡 − 1 = 0
𝑡 = 3 ∨ 𝑡 = 1
Como
2𝑥 − 1
𝑥 + 1
= 𝑡 entonces
2𝑥 − 1
𝑥 + 1
= 3 ∨
2𝑥 − 1
𝑥 + 1
= 1
2𝑥 − 1 = 3𝑥 + 3 ∨ 2𝑥 − 1 = 𝑥 + 1
𝑥 = −4 ∨ 𝑥 = 2
𝐶. 𝑆 = .4; 2

17. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
1
𝑎
+
1
𝑏
=
4
𝑎 + 𝑏
TEOREMA
Si 𝑎 = 𝑏
PRUEBA
1
𝑎
+
1
𝑏
=
4
𝑎 + 𝑏
Como
operando
𝑎 + 𝑏
𝑎𝑏
=
4
𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏 2 = 4𝑎𝑏 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏 = 4𝑎𝑏
𝑎2
+ 𝑏2
− 2𝑎𝑏 = 0
𝑎 − 𝑏 2
𝑎 = 𝑏
Ejemplo
1
𝑥 + 3
+
1
3𝑥 − 2
=
4
4𝑥 + 1
Resolver
Resolución
Tenemos
1
𝑥 + 3
+
1
3𝑥 − 2
=
4
4𝑥 + 1
𝑎 𝑏 𝑎 + 𝑏
1
𝑎
+
1
𝑏
=
4
𝑎 + 𝑏
Si 𝑎 = 𝑏
𝑥 + 3 = 3𝑥 − 2 2𝑥 = 5
𝑥 =
5
2
∴ 𝐶. 𝑆 =
5
2

18. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Ejemplo
Resolver:
1
𝑥 + 1 𝑥 + 2
+
2
𝑥 + 2 𝑥 + 4
=
𝑥 + 3
𝑥 + 4
Resolución
C U R S O D E Á L G E B R A
Lema:
𝑏 − 𝑎
𝑎𝑏
=
𝑏
𝑎𝑏
−
𝑎
𝑎𝑏
=
1
𝑎
−
1
𝑏
𝑏 − 𝑎
𝑎𝑏
=
1
𝑎
−
1
𝑏
Tenemos:
1
𝑥 + 1 𝑥 + 2
+
2
𝑥 + 2 𝑥 + 4
=
𝑥 + 3
𝑥 + 4
𝑥 + 2 − 𝑥 + 1 𝑥 + 4 − 𝑥 + 2
Tenemos por el lema:
1
𝑥 + 1
−
1
𝑥 + 2
+
1
𝑥 + 2
−
1
𝑥 + 4
=
𝑥 + 3
𝑥 + 4
1
𝑥 + 1
−
1
𝑥 + 4
=
𝑥 + 3
𝑥 + 4
1
𝑥 + 1
=
1
𝑥 + 4
+
𝑥 + 3
𝑥 + 4
1
𝑥 + 1
=
𝑥 + 4
𝑥 + 4
= 1
1
𝑥 + 1
= 1 𝑥 + 1 = 1
𝑥 = 0 𝐶. 𝑆 = 0

19. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e