Dokumen tersebut membahas tentang interpolasi linier, kuadratik, dan Lagrange untuk memperkirakan nilai fungsi berdasarkan beberapa titik data. Metode interpolasi kuadratik menggunakan polinomial derajat dua untuk meminimalisir kesalahan dibandingkan interpolasi linier. Interpolasi Lagrange memudahkan penyelesaian polinomial derajat tinggi dengan rumus umum yang dapat diimplementasikan untuk setiap derajat polinomial.

1. 1
22/09/2013
Matematika Teknik Kimia II
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM

2. 2
22/09/2013
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
• Kesalahan yg terjadi dlm interpolasi linier adalah krn kurva dr fungsi didekati dg garis lurus.
•Untuk mengurangi kesalahan yg terjadi maka perkiraan dilakukan dg menggunakan garis lengkung. Apabila garis lengkung terdapat 3 titik data  order 2 (Interpolasi Quadratic)

3. Dipakai untuk bentuk polinomial
order 2 (kuadratik/parabolik).
f(x)=b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)(x-x1)
Dijabarkan lebih lanjut:
f(x)=b0+b1x-b1x0+b2x2-b2xx1-b2xx0+b2x0x1
=(b0-b1x0+b2x0x1)+(b1-b2x1-b2x0)x+b2x2
=a0+a1x+a2x2
3
22/09/2013
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II

4.  Cara menghitung koefisien2 pada
persamaan:
 b0→pada x=x0:f(x0)=b0+0+0→b0=f(x0)
 b1→nilai b0 disubstitusikan ke
persamaan pada x=x1:f(x1)=f(x0)+b1(x1
-x0 )+0
4
1 0
1 0
1 x x
f(x ) f(x )
b



22/09/2013 Matematika Teknik Kimia II
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM

5.  b2→nilai b0 & b1 disubstitusikan ke persamaan pada x=x2:
 Dengan manipulasi matematis:
5
(x x ) b (x x )(x x )
x x
f(x ) f(x )
f(x ) f(x ) 2 0 2 2 0 2 1
1 0
1 0
2 0    


 
2 0
1 0
1 0
2 1
2 1
2 x x
x x
f(x ) f(x )
x x
f(x ) f(x )
b







22/09/2013
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II

6. Contoh :
Dengan menggunakan formula interpolasi kuadratik(polinomial orde 2), tentukan nilai ln(2) pada data f(x)=ln(x) yg melalui titik2 data:x0=1,f(x0)=0 ; x1=4,f(x1)=1.3862944 ; x2=6,f(x2)=1.7917595.
Bila nilai sesungguhnya ln(2)=0.69314718, maka kesalahan relatif dgn data (x0,x1)=33.3%. (lht Cth 1.1)
6
22/09/2013
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II

7.  Contoh 1.2 (lanjutan):
Mencari koefisien persamaan:
b0=f(x0)=0
7
0.462098
x x
f(x ) f(x )
b f(x , x )
1 0
1 0
1 1 0 


 
0.05187309
x x
f(x , x )
x x
f(x ) f(x )
x x
f(x , x ) f(x , x )
b f(x , x , x )
2 0
1 0
2 1
2 1
2 0
2 1 1 0
2 2 1 0  







 
22/09/2013
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II

8.  Contoh 1.2 (lanjutan):
f(x)=0.462098(x-1)-0.05187309(x-1)(x-4)
f(2)=0.56584418
Kesalahan relatif=
8
x100% 18.3659%
0.69314718
0.56584418 0.69314718


22/09/2013
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II

9.  Interpolasi dgn polynomial Lagrange digunakan untuk
memudahkan penyelesaian polynomial Newton, terutama
dgn order>2.
 Persamaan yg mendasari:
9
i j
j
0
i
n
i 0
n i i x x
x x
f (x) L (x) f(x ) dengan L (x)


 


 
n
j i
j 
22/09/2013
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Tanda π menunjukkan “hasil kali dari”

10.  Contoh utk versi linier (n=1), maka:
 Utk versi order-2
10
f (x )
(x x )
(x - x )
f(x )
(x x )
(x - x )
f (x) 1
1 0
0
0
0 1
1
1 



f(x )
(x x )(x x )
(x - x )(x - x )
f (x )
(x x )(x x )
(x - x )(x - x )
f(x )
(x x )(x x )
(x - x )(x - x )
f (x) 2
2 0 2 1
0 1
1
1 0 1 2
0 2
0
0 1 0 2
1 2
2  

 

 

22/09/2013
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II

11. Utk versi orde 3
11
22/09/2013
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II

12. Sehingga untuk versi orde 3
12
22/09/2013
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II

13. Penyelesaian:
13
22/09/2013
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
(1.3862944) 0.462098
(4 1)
(2-1)
(0)
(1 4)
(2- 4)
f (2) 1 




Matematika Teknik Kimia II
(1.7917595)
(6 1)(6 4)
(2-1)(2- 4)
(1.3862944)
(4 1)(4 6)
(2-1)(2-6)
(0)
(1 4)(1 6)
(2- 4)(2-6)
f (2) 2  

 

 

f (2) 0,56584437 2 
Contoh:
Diketahui f(x)=ln(x)
xo =1 f(1) = 0
x1 =4 f(4) = 1.3862944
x2 =6 f(6) = 0.69314718
Ditanya : x=2, f(x)=?
Untuk orde 1 (linier):
Untuk versi order-2

14. 14
22/09/2013
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Contoh:
Diketahui log 654 = 2.8156
log 659 = 2,8189
log 661 = 2,8202