Teks tersebut membahas tentang perbandingan investasi dengan sistem bunga tunggal dan bunga majemuk selama 5 tahun dengan modal awal Rp70 juta.

1. 3.7 Menganalisis pertumbuhan,
peluruhan, bunga dan anuitas
Oleh:
1. Lenny Marlina
2. Puspita Candra Sari
3. Rahman Nul Hakim

2. Pertumbuhan
&
Peluruhan

3.  Pertumbuhan merupakan kenaikan atau
pertambahan nilai suatu besaran terhadap besaran
sebelumnya. Peristiwa yang termasuk dalam
pertumbuhan adalah pertambahan penduduk dan
perhitungan bunga majemuk di bank.
 Peluruhan merupakan penurunan atau pengurangan
nilai suatu besaran terhadap nilai besaran
sebelumnya. Peristiwa yang termasuk dalam
peluruhan (penyusutan) di antaranya adalah
zat radioaktif dan penurunan harga barang.

4. Masalah 1
Seorang peneliti mengamati perkembangan koloni bakteri yang
terbentuk setiap jam. Apabila jumlag koloni bakteri mula-mula
100 dan setiap bakteri membelah menjadi dua setiap jam.
Peneliti ingin mengetahui jumlah koloni bakteri yang terbentuk
dalam waktu 50 jam dan buatlah grafik dari model persamaan
yang ditemukan!
Misalkan:
n = lamanya waktu (jam)
K(0) = jumlah koloni bakteri mula-mula
K(50) = jumlah koloni bakteri setelah 50 jam
K(n) = jumlah koloni bakteri setelah n jam

5. Tabel Perkembangan Koloni Bakteri
Waktu
(n)
Jumlah Koloni Bakteri
K(n)
Pola Bilangan
0 100 100 = 100 × 20
1 200 100 × 2 = 100 × 21
2 400 100 × 2 × 2 = 100 × 22
3 800 100 × 2 × 2 × 2 = 100 × 23
4 1600 100 × 2 × 2 × 2 × 2 = 100 × 24
5 3200 100 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 100 × 25
… … …
n … 100 × 2 × 2 × 2 × ⋯ × 2 = 100 × 2 𝑛
𝐾 𝑛 = 100 × 2 𝑛

6. Grafik
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
n
K(n)

7. Masalah 2
Misalnya, pertumbuhan
ekonomi suatu negara sebesar
5% per tahun artinya terjadi
pertambahan Produk Domestik
Bruto (PDB) sebesar 5% dari
PDB tahun sebelumnya.
Berdasarkan analisis,
ekonomi Indonesia akan
mengalami pertumbuhan
sebesar 6,5% per tahun selama
beberapa tahun ke depan.
Tentukan PDB pada tahun ke-n
dan tahun ketiga apabila pada
tahun ini PDB-nya sebesar 125
triliun rupiah!
Misalkan:
i = persentase pertumbuhan
per tahun
𝑃0 = PDB mula-mula
𝑃3 = PDB tahun ke-3
𝑃𝑛 = PDB tahun ke-n

8. Pertumbuhan ekonomi sebesar i per tahun artinya terjadi pertambahan PDB
sebesar i dari PDB tahun sebelumnya, maka:
PDB tahun ke-1 = PDB tahun sebelumnya + i dari PDB tahun sebelumnya
𝑃1 = 𝑃0 + 𝑖𝑃0 = 𝑃0(1 + 𝑖)
𝑃2 = 𝑃1 + 𝑖𝑃1 = 𝑃1 1 + 𝑖
= 𝑃0(1 + 𝑖) 1 + 𝑖
= 𝑃0 1 + 𝑖 2
𝑃3 = 𝑃2 + 𝑖𝑃2 = 𝑃2 1 + 𝑖
= 𝑃0 1 + 𝑖 2 1 + 𝑖
= 𝑃0 1 + 𝑖 3
Pertumbuhan ekonomi
setiap tahunnya
membentuk barisan
geometri
𝑃0, 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … , 𝑃𝑛
Sehingga
𝑃𝑛 = 𝑃0 1 + 𝑖 𝑛

9. Penyelesaian Masalah 1
i = 6,5%
𝑃0 = 125 triliun rupiah
𝑃𝑛 = 125.000.000.000.000 1 + 0,65 𝑛
𝑃3 = 𝑃0 1 + 𝑖 3
= 125.000.000.000.000 1 + 0,65 3
= 561.515.625.000.000
Jadi, PDB pada tahun ke-n adalah 125.000.000.000.000 1,65 𝑛
dan PDB pada tahun ketiga adalah 561.515.625.000.000.

10. Contoh Soal
Penduduk suatu kota metropolitan tercatat
3,25 juta jiwa pada tahun 2008, diperkirakan
menjadi 4,5 jiwa pada tahun 2013. Jika
tahun 2008 dianggap tahun dasar, berapa
persen pertumbuhannya? Berapa jumlah
penduduknya pada tahun 2015?

11. Alternatif Penyelesaian
𝑃7 = 𝑃0 1 + 𝑖 7
= 3,25 1 + 0,0673 7
= 3,25 1,577632 7
= 5,13
Jadi, jumlah penduduk
kota metropolitan pada
tahun 2015 sebanyak
5,13 juta jiwa.
𝑃0 = 3,25 juta jiwa
𝑃5 = 4,5 juta jiwa
𝑃𝑛 = 𝑃0 1 + 𝑖 𝑛
𝑃5 = 𝑃0 1 + 𝑖 5
4,5 = 3,25 1 + 𝑖 5
4,5
3,25
= 1 + 𝑖 5
1,3846
1
5 = 1 + 𝑖
𝑖 = 6,73%
Jadi, pertumbuhan
penduduknya 6,73%.

12. Masalah 3
Suatu neutron dapat pecah
mendadak menjadi suatu
proton dan elektron dan ini
terjadi sedemikian sehingga
jika kita memiliki 1.000.000
neutron, kira-kira 5% dari
padanya akan berubah pada
akhir satu menit.
Berapa neutron yang masih ada
setelah n menit dan 10 menit?
Misalkan:
i = persentase
peluruhan/penyusutan
per menit
𝑃0 = banyak neutron
mula-mula
𝑃10 = banyak neutron setelah
10 menit
𝑃𝑛 = banyak neutron setelah
n menit

13. 5% dari 1.000.000 neutron akan berubah pada akhir satu menit,
maka:
Banyak neutron setelah satu menit
= banyak neutron sebelumnya ˗ i dari banyak neutron sebelumnya
𝑃1 = 𝑃0 − 𝑖𝑃0 = 𝑃0(1 − 𝑖)
𝑃2 = 𝑃1 − 𝑖𝑃1 = 𝑃1 1 − 𝑖
= 𝑃0(1 − 𝑖) 1 − 𝑖
= 𝑃0 −𝑖 2
𝑃3 = 𝑃2 − 𝑖𝑃2 = 𝑃2 1 − 𝑖
= 𝑃0 1 − 𝑖 2 1 − 𝑖
= 𝑃0 1 − 𝑖 3
Banyak neutron setiap
menitnya
membentuk barisan
geometri
𝑃0, 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … , 𝑃𝑛
Sehingga
𝑃𝑛 = 𝑃0 1 − 𝑖 𝑛

14. Penyelesaian Masalah 2
i = 5%
𝑃0 = 1.000.000
𝑃𝑛 = 1.000.000 1 − 0,05 𝑛
𝑃10 = 1.000.000 1 − 0,05 10
= 1.000.000 0,95 10
= 598.412
Jadi, banyak neutron setelah n menit adalah 1.000.000 0,95 𝑛 dan banyak
neutron setelah 10 menit adalah 598.412.

15. Contoh Soal
Harga sebuah mesin pembut roti pada saat pembelian
adalah Rp 15.000.000,00. Jika setiap tahun harganya
menyusut 5%, berapa harga mesin tersebut pada tahun
ke-5?

16. Alternatif Penyelesaian
𝑃0 = 15.000.000
𝑖 = 5%
𝑃𝑛 = 𝑃0 1 − 𝑖 𝑛
𝑃5 = 15.000.000 1 − 0,05 5
= 15.000.000 0,95 5
= 15.000.000 0,7737809375
= 11.606.714
Jadi, harga mesin roti setelah 5 tahun adalah
Rp11.606.714

17. Latihan
Kultur jaringan terhadap 1.500
bakteri yang diuji di
laboratorium menunjukkan
bahwa satu bakteri dapat
membelah diri dalam waktu 2
jam.
a. Tentukan apakah ini
termasuk masalah
pertumbuhan atau
peluruhan, berikan
alasanmu?
b. Tentukan banyak bakteri
setelah 20 jam.
c. Tentukan banyak bakteri
setelah n jam.
Sebuah mobil seharga
Rp600.000.00,00 mengalami
penyusuta n harga setiap tahun
membentuk barisan geometri
dengan rasionya adalah
1
3
.
Hitunglah harga mobl pada tahun
ke-5!
Berdasarkan analisis, ekonomi
Indonesia akan mengalami inflasi
sebesar 8% per tahun selama 5
tahun mendatang. Apabila harga
emas sekarang ini adalah
Rp200.000,00 per gram, tentukan
harga emas tersebut empat tahun
lagi!

18. Bunga
 Bunga (interest) adalah tambahan uang sebagai jasa
atas sejumlah modal yang ditanam atau kelebihan
pembayaran dari yang seharusnya. Bunga biasanya
dinyatakan dalam bentuk persen(%) terhadap modal
awal dan diperhitungan untuk setiap jangka waktu
tertentu dan disebut suku bunga. Bunga terbagi
menjadi dua yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk
 Bunga terbagi menjadi dua yaitu bunga tunggal dan
bunga majemuk

19. Bunga tunggal
 Bunga tunggal adalah bunga yang timbul pada setiap
akhir jangka waktu tertentu yang tidak memengaruhi
besarnya modal (besarnya modal tetap). Besarnya
bunga memiliki perbandingan yang senilai dengan
presentase dan lama waktunya.

20. Bunga Majemuk
 Bunga majemuk adalah bunga yang timbul pada
setiap akhir jangka waktu tertentu (bulan/tahun)
yang memengaruhi besarnya modal dan bunga
pada setiap jangka waktunya. Modal dan bunga
semakin bertambah pada setiap jangka waktunya.

21. Contoh Soal
Ahya memiliki uang sebesar Rp100.000,00. Uang tersebut ia tabung di
Bank dengan bunga tunggal 10 % per tahun. Berapakah besar bunga
yang didapat Ani setelah satu tahun?
Penyelesaian:
Modal (M)= Rp100.000,00
Persentase(P) = 10%
Lamanya = 1 tahun
Bunga = M x P x 1= Rp100.000,00 x 10 % x 1 = Rp10.000,00
Jadi besar bunga yang didapat Ani setelah satu tahun adalah
Rp48.000,00

22. Contoh Soal
Tiga bulan lalu Nasir menyimpan uangnya di Bank sebesar Rp3.000.000,00.
Berapa jumlah uangnya saat ini jika Bank memberikan bunga tunggal sebesar
8 % per tahun?
Penyelesaian:
Modal (M)= Rp3.000.000,00
Persentase(P) = 8 %
Lamanya (n) = 3 bulan
Bunga = M x P x n= Rp3.000.000,00 x 8% x 3/12 = Rp60.000,00
Uang satya sekarang = Rp3000.000,00 + Rp60.000,00 = Rp3.060.000,0
Jadi besar Uang satya sekarang adalah Rp3.060.000,00

23. Contoh Soal (BM)
Seorang anak menginvestasikan uang sebesar Rp1000.000,00 dengan bunga majemuk
sebesar 20% pertahun. Tentukanlah jumlah investasinya selama lima tahun!
Penyelesaian:
Modal Awal (M) = Rp1000.000,00
Persentase bunga pertahun(P) = 20%
Periode / lamanya investasi(n) = 5
Ditanya : Tabungan Akhir (MT )= ….
Jadi, besarnya investasi anak tersebut
selama 5 tahun sebesar Rp2.488.320,00

24. Contoh Soal (BM)
Seorang anak menabung di bank sebesar Rp. 1000.000,- dengan bunga majemuk
20% pertahun. Berapa tahunkah uang tersebut ditabung agar uangnya menjadi
Rp2.488.320,00 ?
Penyelesaian:
Modal Awal (M) = Rp1.000.000,00
Modal Akhir (MT )= Rp2.488.320,00
Persentase bunga majemuk(P) = 20%
Lamanya tabungan(n) = …. ?
Jadi, lama tabungan tersebut disimpan adalah
5 tahun.

25. Soal HOTS
No. KD Materi Stimulus Indikator No.
Soal
Bentuk soal
1. Menganalisis
pertumbuhan,
peluruhan, bunga
dan anuitas
Bunga Bunga
tunggal dan
bunga
majemuk
Siswa dapat
menaksir lama
menabung agar
total investasi
yang diinginkan
tercapai
1 Uraian

26. Utuh menerima uang warisan sebesar Rp70.000.000,00 dari orang tuanya dan berniat
untuk untuk menginvestasikan dalam bentuk tabungan di bank selama 5 tahun. Dia
menjajaki dua bank yang memiliki sistem pembungaan yang berbeda. Bank BCL
menggunakan bunga tunggal sebesar 10% per tahun dan Bank PHP menggunakan
bunga majemuk sebesar 9% per tahun. Dari hasil perhitungan pihak bank ia
memperoleh ilustrasi investasi sebagai berikut.
BANK BCL BANK PHP
Tahun Bunga Saldo Uang Tahun Bunga Saldo Uang
0 0 Rp70.000.000,00 0 0 Rp70.000.000,00
1 Rp7.000.000,00 Rp77.000.000,00 1 Rp6.300.000,00 Rp76.300.000,00
2 Rp7.000.000,00 Rp84.000.000,00 2 Rp6.867.000,00 Rp83.167.000,00
3 Rp7.000.000,00 Rp91.000.000,00 3 Rp7.485.030,00 Rp90.652.030,00
4 Rp7.000.000,00 Rp98.000.000,00 4 Rp8.158.682,00 Rp98.810.712,00
5 Rp7.000.000,00 Rp105.000.000,00 5 Rp8.892.964,00 Rp107.703.676,00
Kemudian Utuh ingin menabung sampai jumlah uang nya berkisar antara
Rp200.000.000,00-Rp250.000.000,00. Utuh mendapat gajih sebesar Rp5.000.000,00
kemudian gajih tersebut ditambahkan dengan uang warisan untuk diinvestasikan ke
bank, Berapa lama utuh harus menabung agar uang yang diinginkan nya tercapai?

28. MENURUT KBBI ANUITAS ADALAH
RANGKAIAN PEMBAYARAN ATAU
PENERIMAAN YANG SAMA
JUMLAHNYA, YANG HARUS
DIBAYARKAN ATAU YANG HARUS
DITERIMA PADA TIAP AKHIR
PERIODE YANG SAMA JANGKA
WAKTUNYA UNTUK SEJUMLAH
TAHUN TERTENTU.
PENGERTIAN

29. Anuitas pasti yaitu anuitas yang
tanggal pembayarannya mulai dan
terakhirnya pasti. Contoh: Tabungan,
KPR, kredit bank, kredit mobil, dll.
Anuitas tidak pasti, yaitu anuitas yang
jangka pembayarannya tidak pasti.
Contohnya pembayaran santunan
asuransi kecelakaan.
Jenis-jenis
anuitas

30. Misalkan modal sebesar 𝑀 dipinjamkan tunai (cash),
dengan suku bunga 𝑖 per periode waktu dan harus
dilunasi dalam 𝑛 anuitas setiap periode waktu. Sebagai
catatan, besarnya anuitas selalu tetap. Bagaimana cara
menentukan besar anuitas?
MENEMUKAN RUMUS
ANUITAS

31.  𝑀 : Modal yang dipinjamkan secara tunai
 𝑖 : Suku bunga (dalam persentase)
 𝐴 : Anuitas
 𝑛 : Periode waktu

33. 𝑀3 =
𝐴
(1 + 𝑖)
+
𝐴
(1 + 𝑖)2
+
𝐴
(1 + 𝑖)3
𝑀2 =
𝐴
(1 + 𝑖)
+
𝐴
(1 + 𝑖)2
𝑀1 =
𝐴
(1 + 𝑖)
𝑀 𝑛 =
𝐴
(1 + 𝑖)
+
𝐴
(1 + 𝑖)2
+
𝐴
(1 + 𝑖)3
+ ⋯ +
𝐴
1 + 𝑖 𝑛
= 𝐴
1
(1 + 𝑖)
+
1
(1 + 𝑖)2
+
1
(1 + 𝑖)3
+ ⋯ +
1
1 + 𝑖 𝑛

34. 1
(1 + 𝑖)
+
1
(1 + 𝑖)2
+
1
(1 + 𝑖)3
+ ⋯ +
1
1 + 𝑖 𝑛
Misal:
𝑥 =
1
(1 + 𝑖)
= (1 + 𝑖)−1
Diperoleh: 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥 𝑛, dimana 𝑥 < 1
𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥 𝑛 =
𝑥 (1 − 𝑥 𝑛
)
(1 − 𝑥)
=
(1 − 𝑥 𝑛
)
1
𝑥
− 1
=
1 − ((1 + 𝑖)−1) 𝑛
1
(1 + 𝑖)−1 − 1

35. =
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
1 + 𝑖 − 1
=
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
Sehingga:
𝑀 𝑛 = 𝐴 .
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
𝐴 = 𝑀 .
𝑖
1 − (1 + 𝑖)−𝑛

36. CONTOHSOAL
Ibu Depi membeli sebuah
sepeda motor dari dealer yang
menggunakan sistem anuitas
pada pembayaran kreditnya.
Harga motor tersebut adalah
Rp10.000.000,00 dengan
menggunakan tingkat suku
bunga 4% per tahun. Ibu Depi
berencana melunaskan

37. Dari masalah tersebut dapat diketahui :
M = Rp10.000.000,00 ; i = 4% = 0,04 ; n = 6
Maka besar anuitasnya:
𝐴 = 10.000.000
0,04
1 − (1 + 0,04)−6
=
400.000
1 − (1,04)−6
=
400.000
0.20968547427
= 1.907.619,00
Maka besar anuitas yang dibayarkan tiap pembayarannya sebesar
Rp1.907.619,00.