1. Tehtävä
Määritä paraabelin y = –x2 – 10x – 7 huippu.

2. Määritetään paraabelin y = –x2 – 10x – 7 huipun x- ja y-koordinaatit.

3. Määritetään paraabelin y = –x2 – 10x – 7 huipun x- ja y-koordinaatit.
Eli toisin sanoen tutkitaan funktion f(x) = –x2 – 10x – 7 kuvaajaparaabelia.

4. Määritetään paraabelin y = –x2 – 10x – 7 huipun x- ja y-koordinaatit. 20
Eli toisin sanoen tutkitaan funktion f(x) = –x2 – 10x – 7 kuvaajaparaabelia. 10
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
-10
-20
Kuva paraabelista

5. Määritetään paraabelin y = –x2 – 10x – 7 huipun x- ja y-koordinaatit. 20
Eli toisin sanoen tutkitaan funktion f(x) = –x2 – 10x – 7 kuvaajaparaabelia. 10
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
1. Derivoidaan funktio f -10
-20
Kuva paraabelista

6. Määritetään paraabelin y = –x2 – 10x – 7 huipun x- ja y-koordinaatit. 20
Eli toisin sanoen tutkitaan funktion f(x) = –x2 – 10x – 7 kuvaajaparaabelia. 10
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
1. Derivoidaan funktio f -10
f’(x) = –2x – 10 • 1 – 0
-20
Kuva paraabelista

7. Määritetään paraabelin y = –x2 – 10x – 7 huipun x- ja y-koordinaatit. 20
Eli toisin sanoen tutkitaan funktion f(x) = –x2 – 10x – 7 kuvaajaparaabelia. 10
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
1. Derivoidaan funktio f -10
f’(x) = –2x – 10 • 1 – 0
-20
= –2x – 10 Kuva paraabelista

8. Määritetään paraabelin y = –x2 – 10x – 7 huipun x- ja y-koordinaatit. 20
Eli toisin sanoen tutkitaan funktion f(x) = –x2 – 10x – 7 kuvaajaparaabelia. 10
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
1. Derivoidaan funktio f -10
f’(x) = –2x – 10 • 1 – 0
-20
= –2x – 10 Kuva paraabelista
2. Lasketaan derivaatan nollakohta (=huipun x-koordinaatti)

9. Määritetään paraabelin y = –x2 – 10x – 7 huipun x- ja y-koordinaatit. 20
Eli toisin sanoen tutkitaan funktion f(x) = –x2 – 10x – 7 kuvaajaparaabelia. 10
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
1. Derivoidaan funktio f -10
f’(x) = –2x – 10 • 1 – 0
-20
= –2x – 10 Kuva paraabelista
2. Lasketaan derivaatan nollakohta (=huipun x-koordinaatti)
–2x – 10 = 0

10. Määritetään paraabelin y = –x2 – 10x – 7 huipun x- ja y-koordinaatit. 20
Eli toisin sanoen tutkitaan funktion f(x) = –x2 – 10x – 7 kuvaajaparaabelia. 10
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
1. Derivoidaan funktio f -10
f’(x) = –2x – 10 • 1 – 0
-20
= –2x – 10 Kuva paraabelista
2. Lasketaan derivaatan nollakohta (=huipun x-koordinaatti)
–2x – 10 = 0 Siirretään –10 vasemmalta oikealle: etumerkki vaihtuu!

11. Määritetään paraabelin y = –x2 – 10x – 7 huipun x- ja y-koordinaatit. 20
Eli toisin sanoen tutkitaan funktion f(x) = –x2 – 10x – 7 kuvaajaparaabelia. 10
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
1. Derivoidaan funktio f -10
f’(x) = –2x – 10 • 1 – 0
-20
= –2x – 10 Kuva paraabelista
2. Lasketaan derivaatan nollakohta (=huipun x-koordinaatti)
–2x – 10 = 0 Siirretään –10 vasemmalta oikealle: etumerkki vaihtuu!
–2x = 0 + 10

12. Määritetään paraabelin y = –x2 – 10x – 7 huipun x- ja y-koordinaatit. 20
Eli toisin sanoen tutkitaan funktion f(x) = –x2 – 10x – 7 kuvaajaparaabelia. 10
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
1. Derivoidaan funktio f -10
f’(x) = –2x – 10 • 1 – 0
-20
= –2x – 10 Kuva paraabelista
2. Lasketaan derivaatan nollakohta (=huipun x-koordinaatti)
–2x – 10 = 0 Siirretään –10 vasemmalta oikealle: etumerkki vaihtuu!
–2x = 0 + 10 Jaetaan puolittain x:n kertoimella –2.

13. Määritetään paraabelin y = –x2 – 10x – 7 huipun x- ja y-koordinaatit. 20
Eli toisin sanoen tutkitaan funktion f(x) = –x2 – 10x – 7 kuvaajaparaabelia. 10
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
1. Derivoidaan funktio f -10
f’(x) = –2x – 10 • 1 – 0
-20
= –2x – 10 Kuva paraabelista
2. Lasketaan derivaatan nollakohta (=huipun x-koordinaatti)
–2x – 10 = 0 Siirretään –10 vasemmalta oikealle: etumerkki vaihtuu!
–2x = 0 + 10 Jaetaan puolittain x:n kertoimella –2.
x = –5

14. Määritetään paraabelin y = –x2 – 10x – 7 huipun x- ja y-koordinaatit. 20
Eli toisin sanoen tutkitaan funktion f(x) = –x2 – 10x – 7 kuvaajaparaabelia. 10
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
1. Derivoidaan funktio f -10
f’(x) = –2x – 10 • 1 – 0
-20
= –2x – 10 Kuva paraabelista
2. Lasketaan derivaatan nollakohta (=huipun x-koordinaatti)
–2x – 10 = 0 Siirretään –10 vasemmalta oikealle: etumerkki vaihtuu!
–2x = 0 + 10 Jaetaan puolittain x:n kertoimella –2.
x = –5
Paraabelin huipun x-koordinaatti on –5.

15. Määritetään paraabelin y = –x2 – 10x – 7 huipun x- ja y-koordinaatit. 20
Eli toisin sanoen tutkitaan funktion f(x) = –x2 – 10x – 7 kuvaajaparaabelia. 10
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
1. Derivoidaan funktio f -10
f’(x) = –2x – 10 • 1 – 0
-20
= –2x – 10 Kuva paraabelista
2. Lasketaan derivaatan nollakohta (=huipun x-koordinaatti)
–2x – 10 = 0 Siirretään –10 vasemmalta oikealle: etumerkki vaihtuu!
–2x = 0 + 10 Jaetaan puolittain x:n kertoimella –2.
x = –5
Paraabelin huipun x-koordinaatti on –5.
3. Lasketaan huipun y-koordinaatti

16. Määritetään paraabelin y = –x2 – 10x – 7 huipun x- ja y-koordinaatit. 20
Eli toisin sanoen tutkitaan funktion f(x) = –x2 – 10x – 7 kuvaajaparaabelia. 10
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
1. Derivoidaan funktio f -10
f’(x) = –2x – 10 • 1 – 0
-20
= –2x – 10 Kuva paraabelista
2. Lasketaan derivaatan nollakohta (=huipun x-koordinaatti)
–2x – 10 = 0 Siirretään –10 vasemmalta oikealle: etumerkki vaihtuu!
–2x = 0 + 10 Jaetaan puolittain x:n kertoimella –2.
x = –5
Paraabelin huipun x-koordinaatti on –5.
3. Lasketaan huipun y-koordinaatti
y-koordinaatti saadaan sijoittamalla x = –5 paraabelin lausekkeeseen y = –x2 – 10x – 7

17. Määritetään paraabelin y = –x2 – 10x – 7 huipun x- ja y-koordinaatit. 20
Eli toisin sanoen tutkitaan funktion f(x) = –x2 – 10x – 7 kuvaajaparaabelia. 10
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
1. Derivoidaan funktio f -10
f’(x) = –2x – 10 • 1 – 0
-20
= –2x – 10 Kuva paraabelista
2. Lasketaan derivaatan nollakohta (=huipun x-koordinaatti)
–2x – 10 = 0 Siirretään –10 vasemmalta oikealle: etumerkki vaihtuu!
–2x = 0 + 10 Jaetaan puolittain x:n kertoimella –2.
x = –5
Paraabelin huipun x-koordinaatti on –5.
3. Lasketaan huipun y-koordinaatti
y-koordinaatti saadaan sijoittamalla x = –5 paraabelin lausekkeeseen y = –x2 – 10x – 7
y = –(–5)2 – 10 • (–5) – 7 = –25 + 50 – 7 = 18

18. Määritetään paraabelin y = –x2 – 10x – 7 huipun x- ja y-koordinaatit. 20
Eli toisin sanoen tutkitaan funktion f(x) = –x2 – 10x – 7 kuvaajaparaabelia. 10
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
1. Derivoidaan funktio f -10
f’(x) = –2x – 10 • 1 – 0
-20
= –2x – 10 Kuva paraabelista
2. Lasketaan derivaatan nollakohta (=huipun x-koordinaatti)
–2x – 10 = 0 Siirretään –10 vasemmalta oikealle: etumerkki vaihtuu!
–2x = 0 + 10 Jaetaan puolittain x:n kertoimella –2.
x = –5
Paraabelin huipun x-koordinaatti on –5.
3. Lasketaan huipun y-koordinaatti
y-koordinaatti saadaan sijoittamalla x = –5 paraabelin lausekkeeseen y = –x2 – 10x – 7
y = –(–5)2 – 10 • (–5) – 7 = –25 + 50 – 7 = 18
4. Ilmoitetaan vastaus

19. Määritetään paraabelin y = –x2 – 10x – 7 huipun x- ja y-koordinaatit. 20
Eli toisin sanoen tutkitaan funktion f(x) = –x2 – 10x – 7 kuvaajaparaabelia. 10
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
1. Derivoidaan funktio f -10
f’(x) = –2x – 10 • 1 – 0
-20
= –2x – 10 Kuva paraabelista
2. Lasketaan derivaatan nollakohta (=huipun x-koordinaatti)
–2x – 10 = 0 Siirretään –10 vasemmalta oikealle: etumerkki vaihtuu!
–2x = 0 + 10 Jaetaan puolittain x:n kertoimella –2.
x = –5
Paraabelin huipun x-koordinaatti on –5.
3. Lasketaan huipun y-koordinaatti
y-koordinaatti saadaan sijoittamalla x = –5 paraabelin lausekkeeseen y = –x2 – 10x – 7
y = –(–5)2 – 10 • (–5) – 7 = –25 + 50 – 7 = 18
4. Ilmoitetaan vastaus
Paraabelin huippu on pisteessä (–5,18). Tämä vastaa ylälaidassa olevaa kuvaa.

20. 20
10
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
-10
-20

21. 20
10
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
-10
-20

22. (–5,18)
20
10
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
-10
-20