1. 課題解説（その２）

2. 多次元信号処理
• 課題12 宇宙人にハイビジョンテレビの装置を説明
• 課題13 CTの原理（１次元-２次元フーリエ変換の関係）
（課題14から16は省略）

3. 課題１２
宇宙人とFirst Contactした人間は、最新の映像システムを備え
たテレビスタジオに案内。４Ｋテレビの装置を説明し、いかに忠
実、高精細な映像が撮影・放送・受信・表示できるかを説明しま
した。
しかし、宇宙人は首をかしげるだけで、テレビの映像が実物と
似ても似つかないものとしか見えませんでした。
これは、なぜでしょうか？

4. 課題12
• 色の表現
• 波長で表現(全生物共通)
• RGBで表現(人間のみ)
• 人間の目には紫の波長をみせても赤の
波長と青の波長が同程度含まれたもの
を見せても同じように見える
波長(周波数)で表現
• 宇宙人が同じように見えているとは限らない
• そもそも宇宙人の可視光の領域が同じである
とも限らない
• テレビはRGBの集合
で表現
• 宇宙人をごまかせる
のか？
テレビ画面の拡大図
RGBで表現

5. 課題12
• フレームレートの問題
• テレビのフレームレートは30fpsとか
• 1秒間に30枚のペースでコマ送り
• 宇宙人の目には遅すぎてコマ送りに見えるかもしれない．

6. 課題13
∞
𝐹 𝑢, 𝑣 =
𝑓 𝑥, 𝑦 exp −𝑗(𝑢𝑥 + 𝑣𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦
−∞
∞
𝑃𝑣 𝑢 =
−∞
𝑃 𝑦 (𝑥)𝑒 −𝑗𝑢𝑥 𝑑𝑥
𝑃𝑣 𝑢 = 𝐹(𝑢, 0)の関係が成り立つのは、ｘ軸上への投影だけで
はないこと、 つまり、ｘ軸とθの角度をなす直線上への投影につ
いても成り立つことを示しなさい。

7. t
課題13
y
x,y座標系からθだけ回転させたs,t座
標系へ変換→s軸へ投影
𝑥
cos 𝜃 sin 𝜃 𝑠
𝑦 = sin 𝜃 cos 𝜃 [ 𝑡 ]
s
𝜃
x
∞
𝑃𝑡 𝑠 =
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑡
−∞
これをフーリエ変換すると
(α, 𝛽座標系とする)
𝑃𝛽 𝛼 =
=
=
∞
𝑃 𝑡 (𝑠)𝑒 −𝑗𝛼𝑠
−∞
∞ ∞
𝑓 𝑥, 𝑦
−∞ −∞
∞ ∞
𝑓 𝑥, 𝑦
−∞ −∞
𝑑𝑠
𝑒 −𝑗𝛼𝑠 𝑑𝑠𝑑𝑡
exp[ −𝑗𝛼(𝑥 cos 𝜃 + 𝑦 sin 𝜃)] 𝑑𝑥𝑑𝑦
= 𝐹(𝛼 cos 𝜃 , 𝛼 sin 𝜃)
(証明終)

8. 課題13
• このようにして初めて360度どの方向からも投影できる
1
1
3
3
5
3
1
3
1
3
0
0
2
どこのピクセルを通ってるのか？
→ディジタル化の問題(課題１４)
2
1
2
2
2
2
これらの値から
フーリエ変換を
用いて元の画
像を推測する
etc…

9. 標本化
• 課題18 補間による誤差
• 課題19 音データのdown/up sampling
• 課題20 離散時間信号の周波数特性の定義域
• 課題21 標本化間隔が一定でない場合のフーリエ変換
(課題17は講義中資料参照)

10. 課題18
補間関数𝐶(𝑡)は𝑆𝑎(𝑡)の近似関数であるが，両者の誤差関数
を描きなさい．
sin 𝜋𝑡
𝑆𝑎 𝑡 =
𝜋𝑡
1 − 2 𝑡 2 + 𝑡 3 (0 ≤ |𝑡| ≤ 1)
𝐶 𝑡 = 4 − 8 𝑡 + 5 𝑡 2 − 𝑡 3 (1 ≤ |𝑡| ≤ 2)
0(2 ≤ |𝑡|)

11. 課題18
MATLABで描画してみた
t= -10:0.1:10;%tの値の定義
Sa(t)の描画
y1=sinc(t);%sinc関数に代入
subplot(3,1,1);
plot(t,y1);
C(t)の描画
I = find((0<=abs(t)&abs(t)<1));%tの値により条件分岐
J = find(1<=abs(t)&abs(t)<2);
y2=zeros(size(t));
y2(I)=1-2*abs(t(I)).^2+abs(t(I)).^3;%それぞれの場合について計算
y2(J)=4-8*abs(t(J))+5*abs(t(J)).^2-abs(t(J)).^3;
subplot(3,1,2);
plot(t,y2);
誤差関数の
描画
y3=abs(y1-y2); %2つの関数の差分をとり誤差関数の計算
subplot(3,1,3);
plot(t,y3)

12. 課題18
結果
𝑆𝑎(𝑡)
𝐶(𝑡)
誤差関数
0に近いところは
ほとんど誤差がない
→よく近似できている

13. 課題18
• 別の近似関数を使うならsinc関数を途中で切ったような関数
を使った方がいいのでは…?
と思ったのだが…
• sinc関数はx座標が0に近い時分母も分子も限りなく0に近づ
き（y座標の値は１に近づく）誤差が大きくなるので使わないと
のこと

14. 課題19
1
ある音データに対して、1/2のdownsamplingおよび2倍の
upsamplingを行ったものをそのまま音として聞くとどのようになる
かを調べなさい．
（音再生ソフトは再生する音データのサンプリング周波数が
固定あるいは可変になっている．）
2
通常のNTSC規格のビデオ映像(640x480画素)をハイビジョンテレ
ビ(1920x1080画素)で映す場合およびその逆の場合は，どのよう
な処理をすればよいか考えなさい．

15. 課題19-1
元波形
アップサンプリング
ダウンサンプリング
間に０を補間する
値を間引く

16. 課題19-1
clear all
close all
%音声の読み込み
[in,Fs] = audioread(‘sample.wav’)
l_in = length(in);
l_out1 = floor(l_in/2);
out1 = zeros(1,l_out1);
%ダウンサンプリング
%入力を1個おきに出力へ代入する
for i= 1:l_out1
out1(i) = in(2*i);
end
%出力
wavwrite(out1,Fs/2,'down.wav');
l_out2 = l_in*2;
out2 = zeros(1,l_out2);
%アップサンプリング
%1個おきに０を代入しながら、
入力を出力へ代入する
for i= 1:l_in
out2(i*2) = in(i);
end
%折り返しの部分が入るのでFs
以上の部分はカット
%LPFをかける
h1=fir1(40,(Fs/2)/Fs,'low');
out2=conv(out2,h1);
out2=out2(1:l_out2);
wavwrite(out2,Fs*2,'up.wav');

17. 課題19-1
スペクトログラムの違い
元波形
ダウンサンプリング
アップサンプリング

18. 課題19-1
• ダウンサンプリングをすると使用できる周波数は元の周波数
の2分の1になるので高音域がカットされる
• 音がこもって聞こえる
• アップサンプリングをしても一見何も変わらないように思える
が…
• 使用できる周波数が2倍になったので高音域の補間が可能
• 実際にアップサンプリング→高周波数の補間により音質をよくするという
ソフトや機器がある

19. 課題19-2
• NTSC規格のビデオ映像とハイビジョンテレビの違いから
ビデオ映像
ハイビジョン
画素数
640x480
1920x1080
アスペクト比
4:3
16:9
垂直同期周波数
（フレームレート的な？）
59.94Hz
60Hz
→これら３つの違いについて補間方法などを考える

20. 課題19-2
１．周波数変換
• おおよそ1000:1001なので1000枚に１枚補間する必要がある
• 1000枚に一回は前フレームと同じ画像を入れる
• できるだけ動きの少ないところ，シーンチェンジなどに入れるとさらに良い
２．画素の補間
• 講義中に出てきた最近傍補間，線形補間，双三次補間などを
行う

21. 課題19-2
• 実際に補間してみる（画像を３倍にした場合）
img=imread('lenasmall.jpg');
img=rgb2gray(img);
imgA=imresize(img,3,'nearest'); %最近傍補間
imgB=imresize(img,3,'bilinear'); %線形補間
imgC=imresize(img,3,'bicubic'); %双３次補間
subplot(1,3,1);imshow(imgA)
subplot(1,3,2);imshow(imgB);
subplot(1,3,3);imshow(imgC)

22. 課題19-2
最近傍補間
線形補間
双三次補間
最近傍補間は画像が荒く見えるのに対して線形補間や双３次補間は
補間され滑らかになっているように見える

23. 課題19-2
4:3の画像
３．アス比の修正
16:9の動画
上下カット方式
→幅をそろえる
サイドパネル方式
→高さをそろえる
アナモフィック方式
→横に引き伸ばす
通常はデータの欠損，変形の生じないサイドパネル方式が使用される

24. 課題20
連続時間信号の周波数特性は−∞ < 𝜔 < ∞で表現されるのに
対して，離散時間信号の周波数特性が−𝜋 < Ω < 𝜋(or 0 <
Ω < 2𝜋)で定義される．この理由を説明しなさい．

25. 課題20
• 離散時間信号をフーリエ変換すると，サンプリング周波数を周
期とした周期関数となる
切り出された信号
（信号の切り出し方は後々出てくる）
T𝜔 =
2𝜋𝑓
よりサンプリング周波数で2𝜋となる
𝑓𝑠
−𝜋 < Ω < 𝜋での定義で良い

26. 課題20
実際に𝑥 𝑛 = cos 𝜔𝑛のとき角周波数が2𝜋大きくなると…?
cos 𝜔 + 2𝜋 𝑛
= cos(𝜔𝑛 + 2𝜋𝑛)
= cos 𝜔𝑛
= 𝑥 𝑛
…となるので数式の上では周期２𝜋になっている
図で見ると…（図では周期は４倍になっているが）

27. 課題21
標本化間隔が以下の図のように… , 𝑇, 2𝑇, 𝑇, 2𝑇, …と変化するデ
ルタ関数𝛿 𝑇−2𝑇 𝑡 を用いて連続時間信号𝑥(𝑡)を標本化した信
号を𝑥 𝑑 𝑡 とする．このとき，𝑥 𝑑 𝑡 のフーリエ変換𝑋 𝑑 𝜔 を𝑥 𝑡
のフーリエ変換𝑋(𝜔)を用いて表しなさい．

28. 課題21
• 分解して考える
-
=
𝛿T−2T
𝛿𝑇
𝛿3T
周期Tの離散信号から周期3Tの離散信号を引けばよい
ω = 2𝜋/𝑇であることを考慮して定義式から…
𝑥 𝑑 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝛿 𝑇−2𝑇 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝛿 𝑇 𝑡 − 𝑥(𝑡)𝛿3𝑇 (𝑡)
∞
∞
1
1
𝑛𝜔 𝑠
𝑋𝑑 𝜔 =
𝑋(𝜔 − 𝑛𝜔 𝑠 ) −
𝑋(𝜔 −
)
𝑇
3𝑇
3
𝑛=−∞
𝑛=−∞