Grafici trigonometrijskih funkcija_ii_deo

4,294 views

Published on

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
4,294
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
82
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Grafici trigonometrijskih funkcija_ii_deo

  1. 1. GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA (II deo)U prethodnom fajlu ( grafici trigonometrijskih funkcija I deo) smo proučili kako se crtaju grafici u zavisnosti odbrojeva a,b i c. Sada možemo sklopiti i ceo grafik funkcije y  a sin(bx  c) .POSTUPAK:i) Nacrtamo grafik funkcije y = sinx 2ii) Uočimo brojeve a,b i c , i nađemo periodu T  . Crtamo grafik y  sin bx . b ciii) Odredimo vrednost izraza i vršimo pomeranje po x osi, to jest crtamo grafik y  sin(bx  c) biv) Vrednost amplitude a nam pomaže da nacrtamo konačan grafik y  a sin(bx  c)Ovo je jedan način za crtanje grafika. Drugi način je direktno ispitivanje značajnih tačaka, a već smo vam pomenuli daovde morate znati rešavati trigonometrijske jednačine.( Imate taj fajl, pa se malo podsetite...)  primer 1. Nacrtaj grafik funkcije: y  3sin(2 x  ) 4RešenjeI način  Iz y  3sin(2 x  ) je a  3, b  2, c  4 4Crtamo prvo grafik osnovne funkcije y  sin x . y 1  3  2 2 slika 1. 2  3 2 0  2 2 x -1 y=sinx 2 2Nadjemo periodu : T  T   T  b 2 www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html 1
  2. 2. Dalje crtamo grafik funkcije y  sin 2 x y 1  3  3 2 4 2 2 3 0   2 slika 2.  2 4 2 x -1 y  sin 2 x  c c 4  Vrednost izraza je   . Vršimo pomeranje grafika y  sin 2 x za ulevo: b b 2 8 8 y 1  3  2 2  2  3   0  2 slika 3. 2  8 x -1  y  sin(2 x  ) 4I konačno, kako je amplituda a  3 , to nam govori na “razvučemo” grafik izmedju -3 i 3 duž y ose. y 3 2 1  3  3 2 4 2 2 3  0   2 slika 4.  2  8 4 2 x -1 -2 -3  y  3sin(2 x  ) 4II način 2Zapišemo vrednosti za a,b i c. Nadjemo periodu T  . bIspitujemo gde su nule funkcije.Tražimo tačke ekstremuma ( maksimum i minimum). www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html 2
  3. 3.  2 2a  3, b  2, c  i T T   T  4 b 2Nule funkcijeTo su mesta gde grafik seče x osu.y0 3sin(2 x  )0 4   sin(2 x  )  0  2x   0  2x   4 4 4 2x  0 4   2x    x Ovde sada dodamo periodu(T= ): x  k k Z 4 8 8 2x   4 3 3 32x   x  x  k k Z 4 8 8Ove tačke nalazimo na x osi .MaksimumKako je amplituda a  3 , funkcija će imati maksimalnu vrednost za y=3.y3 3sin(2 x  )3 4       sin(2 x  )  1  2x    2x    2x   x 4 4 2 2 4 4 8 I ovde moramo dodati periodu: x   k k Z 8MinimumFunkcija će imati minimalnu vrednost za y =-3y  3 3sin(2 x  )  3 4   3 3  5 5sin(2 x  )  1  2 x    2x    2x   x 4 4 2 2 4 4 8 5 Dodajemo periodu: x   k k Z 8 www.matematiranje.com 3
  4. 4. Sada sklopimo grafik: y 3 2 1  3  3 2 4 2 2 3   0  3  5 7  2  2  8 8 4 8 2 8 8 x -1 -2 -3  y  3sin(2 x  ) 4Vidite i sami da ovaj drugi način daje precizniji grafik, ali mora se vladati rešavanjem jednačina.Vi konstruišite grafik kako vaš profesor komanduje... 1 primer 2. Nacrtaj grafik funkcije: y  2sin( x  ) 2 6  1  2 2 c 6  c a  2, b  , c   T    4 , dakle T  4 i   , dakle  2 6 b 1 b 1 3 b 3 2 2 y 1  3 7  2 2 2 slika 1. 2  3 0  2 5 3 4 x 2 2 2 -1 y  sin x y 1  3 7  2 2 2 2 3 0  2 5 3 4 x slika 2.  2 2 2 -1 1 y  sin x 2 y 1  3 7  2 2 2 slika 3. 2  3   3 0  2 5 3 4 x 2 2 2 -1 1  y  sin( x  ) 2 6 y 2 1  3 7  2 2 2 slika 4. 2  3   3 0  2 5 3 4 x 2 2 2 -1 -2 1  y  2sin( x  ) 2 6 4
  5. 5. Ako bi radili preko ispitivanja :Nule funkcijey0 1 2sin( x  )  0 2 6 1  1  1 sin( x  )  0  x   0  x    2 6 2 6 2 61    x 0 x  i kad dodamo periodu: x    4k2 6 3 31  5 5 x   x  kad dodamo periodu: x  4 k2 6 3 3Maksimumy2 1 2sin( x  )  2 2 6 1 sin( x  )  1 2 61  3 x 2 6 21 8 x2 6 8 8x dodamo periodu x +4k 3 3Minimumy  2 1 2sin( x  )  2 2 6 1 sin( x  )  1 2 61   x 2 6 21 2 x2 6 2 2x  x  4 k 3 3Da sklopimo grafik: www.matematiranje.com 5
  6. 6. y 2 1 2 3 2  3    0  5 2 8 3 11 4 x 3 3 3 3 2 -1 -2 1  y  2sin( x  ) 2 6 primer 3. Nacrtaj grafik funkcije: y  2 cos(2 x  ) 4Grafik ove funkcije se konstruiše na isti način kao i za sinusnu funkciju. Razlika je jedino u tome što jepočetni grafik y  cos x Za y  2 cos(2 x  ) je: 4 a  2, b  2, c  4 2 2T    T  b 2 c 4  c     b 2 8 b 8Krećemo od grafika y  cos x : y 1 3   3   2 2 2 2 x 2 0 2 -1Dalje crtamo grafik y  cos 2 x , to jest smanjujemo periodu na  . www.matematiranje.com 6
  7. 7. y 1 3   3   2 2 2 2 x 2 0 2 -1 y  cos 2 x c  Kako je  , vršimo pomeranje ovog grafika za udesno: b 8 8 y 1 3   3   2 2 2 2 x 2   3 0  2 8 -1  y  cos(2 x  ) 4Amplituda je a  2 , pa “ raširimo” grafik izmedju -2 i 2 po y osi. y 2 1 3   3   2 2 2 2 x 2  3 8 0 2 -1 -2  y  2 cos(2 x  ) 4Evo konačnog grafika.primer 4. Nacrtaj grafik funkcije: y  sin x  1Ovakvu situaciju do sada nismo imali... Ali smo nešto slično radili kod kvadratne funkcije ( pogledaj taj fajl).Broj « van » sinusa nam ustvari predstavlja pomeranje po y-osi!Ako je taj broj pozitivan grafik se pomera “na gore” a ako je taj broj negativan , grafik se za toliko pomera “na dole”. www.matematiranje.com 7
  8. 8. Ovde imamo +1, pa ćemo nacrtati grafik funkcije y  sin x i ceo grafik podići za 1 na gore. y y  sin x 1  3  2 2 2 3 0  2 x  2 2 -1 y y  sin x  1 2 1  3  2 2 2 3 0  2 x  2 2 -1primer 5. Nacrtaj grafik funkcije: y  cos x  2Crtamo grafik y  cos x pa ga “spustimo” za 2 na dole po y osi! y 1 3   3   2 2 2 2 x 2 0 2 -1 y 1 3   3   2 2 2 2 x 2 0 2 -1 -2 -3 y  cos x  2 www.matematiranje.com 8
  9. 9. primer 6. Nacrtaj grafik funkcije: y  sin x  3 cos xRešenje:Ovde nam je prvi posao da “ spakujemo” funkciju na oblik y  a sin(bx  c) ili y  a cos(bx  c) .Ovde moramo koristiti formulice iz trigonometrije, a ima i nekih trikova... 2y  sin x  3 cos x kao trik dodamo 2 2 2y  sin x  3 cos x  sad uzmemo 2 ispred zagrade 2 2 1 3  1  3y  2( sin x  cos x)  znamo da je cos  i sin  , zamenimo ... 2 2 3 2 3 2  y  2( cos  sin x  sin  cos x)  malo pretumbamo.... 3 3  y  2( sin x  cos  cos x  sin )  ovo u zagradi je formula sin( x  y )  sin x cos y  cos x sin y 3 3  y  2sin( x  ) 3 Znači, zadatu funkciju y  sin x  3 cos x smo sveli na oblik y  2sin( x  ) koji znamo da konstruišemo. 3Ostavljamo vama za trening da probate sami da je konstruišete.  3primer 7. Nacrtaj grafik funkcije: y  sin(2 x  )  cos(2 x  ) 4 4Rešenje:I ovde imamo zeznutu situaciju. Najpre moramo prebaciti kosinus u sinus preko formulice za vezu trigonometrijskihfunkcija u I kvadrantu: cos x  sin(  x) 2 www.matematiranje.com 9
  10. 10.  3y  sin(2 x  )  cos(2 x  ) 4 4   3y  sin(2 x  )  sin[  (2 x  )] 4 2 4   3y  sin(2 x  )  sin[  2 x  ] 4 2 4  5 x y x yy  sin(2 x  )  sin(  2 x)  dalje koristimo formulicu: sin x  sin y  2sin cos 4 4 2 2  5  5 2x    2x 2 x   (  2 x)y  2sin 4 4  cos 4 4 2 2  5  5 2x   2 x 2x    2xy  2sin 4 4  cos 4 4 2 2 3 4x   2  znamo da je sin   1y  2sin  cos 2 2 2 3 4xy  2 1  cos(  2 ) 2 2 3y  2  cos(2 x  ) 4I ovo je za trening...Ako se ne snalazite, pošaljite nam mejl pa ćemo probati da vam pomognemo, nekako. www.matematiranje.com 10

×