24. ประพจน์เชิงประกอบที่สร้างขึ้นจากประพจน์เชิงเดี่ยว ด้วยตัวเชื่อม
ตรรกศาสตร์มีดังต่อไปนี้
ประพจน์รวม (Conjunction) เป็นประพจน์ที่เกิดจากการเชื่อมประพจน์
เชิงเดี่ยวในลักษณะที่เป็นการยืนยันทั้งสองส่วน ด้วยตัวเชื่อม “และ” (and) ซึ่งใช้
สัญลักษณ์ “^”
ถ้าให้ p และ q แทนประพจน์เชิงเดี่ยว ประพจน์รวมของ p และ q เขียนแทนด้วย
สัญลักษณ์ p ^ q อ่านว่า “p และ q” โดยมีตารางค่าความจริง (truth - table)
ดังนี้
p q p ^ q
T T T
T F F
F T F
F F F
25. ประพจน์เชิงประกอบที่สร้างขึ้นจากประพจน์เชิงเดี่ยว ด้วยตัวเชื่อม
ตรรกศาสตร์มีดังต่อไปนี้
ประพจน์เลือก (Disjunction) เป็นประพจน์ที่เกิดจากการเชื่อมประพจน์เชิงเดี่ยวใน
ลักษณะการรับรองอย่างน้อยหนึ่งส่วน ด้วยตัวเชื่อม “หรือ” (or) ซึ่งใช้สัญลักษณ์ “ v ”
โดย “ หรือ ” ในความหมายเชิงตรรก หมายถึง เลือกอย่างใดอย่างหนึ่ง หรือทั้งสอง มี
ความหมาย เช่นเดียวกับ “หรือ/และ”
ถ้าให้ p และ q แทนประพจน์เชิงเดี่ยว ประพจน์เลือกของ p และ q เขียนแทนด้วย
สัญลักษณ์ p v q อ่านว่า “ p หรือ q ” โดยมีตารางค่าความจริง (truth - table)
ดังนี้
p q p v q
T T T
T F T
F T T
F F F
26. ประพจน์เชิงประกอบที่สร้างขึ้นจากประพจน์เชิงเดี่ยว ด้วยตัวเชื่อม
ตรรกศาสตร์มีดังต่อไปนี้
ประพจน์แบบเงื่อนไข (Condition) เป็นประพจน์ที่เกิดจากการเชื่อมประพจน์
เชิงเดี่ยว ในลักษณะแจ้งเหตุสู่ผล โดยแสดงเงื่อนไขหรือเหตุผล เชื่อมด้วยตัวเชื่อม
“ถ้า...แล้ว...” (if…then) ซึ่งใช้สัญลักษณ์ “ ”
ถ้าให้ p และ q แทนประพจน์เชิงเดี่ยว ประพจน์เงื่อนไขของ p และ q เขียนแทน
ด้วยสัญลักษณ์ p q อ่านว่า “ถ้า p แล้ว q ” โดยมีตารางค่าความจริง (truth
- table) ดังนี้
p q p q
T T T
T F F
F T T
F F T
27. ประพจน์เชิงประกอบที่สร้างขึ้นจากประพจน์เชิงเดี่ยว ด้วยตัวเชื่อม
ตรรกศาสตร์มีดังต่อไปนี้
ประพจน์เงื่อนไขสองทาง (Bicondition) เป็นประพจน์ที่เกิดจากการเชื่อม
ประพจน์เชิงเดี่ยว ด้วยตัวเชื่อม “...ก็ต่อเมื่อ...” (…if and only if…) ซึ่งใช้
สัญลักษณ์ “ ”
ถ้าให้ p และ q แทนประพจน์เชิงเดี่ยว ประพจน์เงื่อนไขสองทางของ p และ q
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ p q อ่านว่า “p ก็ต่อเมื่อ q” ซึ่งเป็นประพจน์ที่มี
ความหมายเหมือนกันกับ (p q)^(q p) โดยมีตารางค่าความจริง (truth
- table) ดังนี้
p q p q
T T T
T F F
F T F
F F T
28. ประพจน์เชิงประกอบที่สร้างขึ้นจากประพจน์เชิงเดี่ยว ด้วยตัวเชื่อม
ตรรกศาสตร์มีดังต่อไปนี้
ประพจน์นิเสธ (Negations) หรือปฏิเสธ คือ ประพจน์ที่แสดงค่าความจริง
ตรงกันข้ามกับประพจน์เดิมซึ่งจะใช้แทนด้วยคาว่า ไม่ (not) ใช้สัญลักษณ์ “~”
ลงไปข้างหน้า
ถ้าให้ p แทนประพจน์เชิงเดี่ยว ประพจน์ปฏิเสธ หรือนิเสธของประพจน์ p เขียน
แทนด้วยสัญลักษณ์ ~ p อ่านว่า “นิเสธ p” โดยมีตารางค่าความจริง (truth -
table) ดังนี้
p ~ p
T F
F T
31. ตัวอย่างที่ 5 จงวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์
(~ p ^ q) v ~ r เมื่อกาหนดให้ p เป็นจริง q เป็นจริง r เป็นเท็จ
ขั้นที่ 1 ใส่ค่าความจริงของ p, q, r
ขั้นที่ 2 หาคาตอบความจริง ~p
และ ~r
ขั้นที่ 3 หาค่าความจริงของ ~p^q
ขั้นที่ 4 หาค่าความจริงของ
(~p^q)v~r
แสดงแผนภาพ
(~ p ^ q) v ~ r
F
~T T ~ F
F
T
T
32. ตัวอย่างที่ 6 จงวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์
(~ p v q) r
หมายเหตุ การวิเคราะห์ค่าความจริง
ของประพจน์เชิงประกอบโดยวิธีเขียน
แผนภาพ ดังในตัวอย่างที่ 6 อาจจะทา
ให้สั้นลง โดยเขียนค่าความจริงที่
วิเคราะห์ลงในบรรทัดเดียวกันดังนี้
(~ p v q) r
F
~T F T
F
F
T
(~ p v q) r
FF TTF F
เมื่อกำหนดให้ p เป็นจริง q เป็นเท็จ r เป็นจริง
33. ตัวอย่างที่ 7 กาหนดให้ ( p ^ ~q) v (r q) เป็นเท็จ จง
หาค่าความจริงของ p, q และ r
สรุป ได้ว่าค่าความจริงของ p, q และ r เป็น เท็จ, เท็จ และจริง
( p ^ ~q) v (r q)
F
F F
FF TT
36. 1. ถ้าประพจน์เชิงประกอบนั้นประกอบด้วยประพจน์เชิงเดี่ยว 1 ประพจน์ เช่น p v ~p,
p ~p, p^~p ค่าความจริงของประพจน์เหล่านี้ขึ้นอยู่กับค่าความจริงของ p ถ้า
ทราบค่าความจริงของ p แล้วสามารถหาค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบเหล่านี้ได้
ค่าความจริงของ p เป็นไปได้ 2 กรณีเท่านั้น คือ จริงหรือเท็จ ดังนั้นในตารางค่าความ
จริงจะวิเคราะห์ได้ 2 กรณี ดังนี้
ตัวอย่างที่ 8 จงหาค่าความจริงของประพจน์ p ~p
p ~p p ~p
T F F
F T T
37. 2. ถ้าประพจน์เชิงประกอบนั้นประกอบด้วยประพจน์เชิงเดี่ยว 2 ประพจน์ เช่น p^~q,
(p^q) p, (p v ~q) p ค่าความจริงของประพจน์เหล่านี้ขึ้นอยู่กับค่าความ
จริงของประพจน์ p กับ q ถ้าทราบค่าความจริงทั้ง 2 ประพจน์นี้ก็สามารถวิเคราะห์ค่า
ความจริงของประพจน์เชิงประกอบนี้ได้ ซึ่งค่าความจริงที่เป็นไปได้ของ p กับ q มี 4
กรณี ดังนี้
เขียนในรูปแผนภาพ มี 2 ประพจน์
p q
T
T
F
F
T
F
เขียนในรูปตาราง
p q
T T
T F
F T
F F
38. ตัวอย่างที่ 9 จงวิเคราะห์ค่าความจริงของ (p v ~q) ~p
p ~p q ~q p v ~q (p v ~q) ~p
T F T F T F
T F F T T F
F T T F F F
F T F T T T
39. ถ้าประพจน์เชิงประกอบนั้นประกอบด้วยประพจน์เชิงเดี่ยว 3 ประพจน์ เช่น
(p ^ q) r, (p v r) ~q ค่าความจริงที่เป็นไปได้ของ p, q และ r มี 8 กรณี
ดังนี้
เขียนในรูปแผนภาพ มี 3 ประพจน์
p q r
T
F
T
T
F T
F
T
F
T
F
F
T
F
เขียนในรูปตาราง
p q r
T T T
T T F
T F T
T F F
F T T
F T F
F F T
F F F
40. ตัวอย่างที่ 10 จงวิเคราะห์ค่าความจริงของ (p v q) ~r
p q r p v q ~r (p v q) ~r
T T T T F F
T T F T T T
T F T T F F
T F F T T T
F T T T F F
F T F T T T
F F T F F T
F F F F T T
42. การสร้างตารางค่าความจริง
ตัวอย่างที่ 11 จงทดสอบว่า (p v ~ p) ~(~p ^ p) หรือไม่
ดังนั้น (p v ~p) สมมูลกับ ~(~p ^ p) หรือ (p v ~p) ~(~p ^ p)
p ~p (p v ~ p) (~p ^ p) ~(~p ^ p)
T F T F T
F T T F T
43. การใช้สมบัติสมมูล
ประพจน์ที่สมมูลกันได้แก่
1. ~( ~p) p
2. p q ~p v q
3. p q ~q ~p
4. p v p p
5. p ^ p p
6. p v q q v p
7. p ^ q q ^ p
8. p ^ (q v r) (p ^ q) ^ r
9. p v (q v r) (p v q) v r
10. p ^ (q v r) (p ^ q) v (p ^ r)
11. p v (q ^ r) (p v q) ^ (p v r)
12. ~(p v q) ~p ^ ~q
13. ~(p ^ q) ~p v ~q
14. p q (p q)^(q p)
46. การสร้างตารางค่าความจริง
ตัวอย่างที่ 13 จงทดสอบประพจน์ [(p ~q) ^ q] ~p เป็นสัจนิรันดร์
หรือไม่
ดังนั้น [(p ~q) ^ q] ~p เป็นสัจนิรันดร์
p q ~q p
~q
[(p ~q)
^ q]
~p [(p ~q)
^ q] ~p
T T F F F F T
T F T T F F T
F T F T T T T
F F T T F T T
48. ตัวอย่างที่ 14 จงทดสอบประพจน์ [(p ~q) ^ q] ~p เป็นสัจนิรันดร์
หรือไม่
วิธีทา [(p ~q) ^ q] ~p
ดังนั้น มีข้อขัดแย้ง สรุปว่าประพจน์ [(p ~q) ^ q] ~p เป็นสัจนิรันดร์
จะได้ p เป็น T
q เป็น T
F
T F
TT
T F
F
49. ในกรณีที่ตัวเชื่อมของประพจน์เป็น ทดสอบโดยใช้สมบัติของสมมูล
เช่น โดยที่ แทนประพจน์ใด ๆ
ถ้าทดสอบได้ว่า ดังนั้น เป็นสัจนิรันดร์
ตัวอย่างของสัจนิรันดร์ที่ใช้บ่อย ๆ ในคณิตศาสตร์
1. p v ~p
2. p p v q
3. p v q p
p ^ q q
4. p ^ (q q) q
5. [(p q) ^ ~q] ~p
6. [(p q) ^ (q r)] (p r)
7. [~p (q ^ ~q)] p
8. [(p r) ^ (q r)] [(p v q)
r]
9. [(p v q) ^ ~p] q
10. (p q) ^ (p r) (p q) ^ r
50. ตัวอย่างที่ 15 จงทดสอบว่าประพจน์ ~(~p ^ ~q) (~q p)
เป็นสัจนิรันดร์ หรือไม่
วิธีทา ~(~p ^ ~q) ~(~p) v ~(~q) (ข้อ 13)
~(~p) v ~(~q) p v q (ข้อ 1)
p v q ~p q (ข้อ 2)
~p q ~q p (ข้อ 3)
ดังนั้น ~(~p ^ ~q) ( ~q p)
สรุปได้ว่า ~(~p ^ ~q) (~q p) เป็นสัจนิรันดร์
58. ทดสอบความเป็นสัจนิรันดร์ โดยการสร้างตารางค่าความจริง
จากตารางพบว่าประพจน์ดังกล่าวเป็นสัจนิรันดร์ ดังนั้นการให้เหตุผลนี้
สมเหตุสมผล
ในกรณีที่เหตุประกอบด้วยข้อความหลายข้อความ และแต่ละข้อความมีประพจน์
ประกอบหลาย ๆ ประพจน์ ให้ใช้เป็นกฎสาหรับการอนุมาน ในการตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของการให้เหตุผล
p q pq (pq) ^p [(p q) ^ p] q
T T T T T
T F F F T
F T T F T
F F T F T