Özel tanımlı fonksi̇yonlar

9. Tanım:
f(x) , f(x)>0
If(x)I= 0 , f(x)=0
-f(x) , f(x)<0

13. f: R { -1,0,1 }
= 1 , g(x)>0
F(x)= sgn(g(x)) = 0 , g(x)=0
= -1 , g(x)<0
Biçiminde tanımlanan f(x) fonksiyonuna g(x9 in işaret
fonksiyonu denir ve sgn(g(x)) şeklinde gösterilir.

16. x € R olsun, x’den küçük olan en büyük tamsayıya tamdeğer x
denir.

20. Sağdan ve Soldan limit
Diziler yardımıyla limit
Epsilon tekniği ile
limit
Mutlak değer fonksiyonunda limit
İşaret (sgn) fonksiyonunda limit
Tamdeğer fonksiyonunun limiti
Trigonometrik fonksiyonların limiti

21. Limit f(x)’sağdan incelersek elde ettiğimiz değer ile,soldan
incelediğimizde elde edeceğimiz değer eşit olmalı ki limit olsun
2
1
Limit olması için sağ ve sol limitler eşit olmalıdır.
Limit varsa tektir.
Sağ ve sol limitler eşit değilse limit yoktur.
Bir noktada limit olması için fonksiyonun o noktada
Tanımlı olması gerekmez.

22. Tanım:A ⊂ üzere,f:A
R Olmak R fonksiyonu verilmiş olsun.
Terimleri A kümesinin elemanı olan bir ( xndizisinin f fonk-
)
siyonuna göre görüntü dizisi denir.
( xn ) = x( x1 , x2 , x3 ,...xn ,...) dizisiiçin, ( f ( xn )) görüntüsü
( f ( xn )) = ( f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 ),..., f ( xn ),...)dir.

23. Tanım:A ⊂ R,f:A R bir fonksiyon a ∈R,L ∈ R, ∀ε ∈ R +
olmak üzere x − a < δ ⇒ f ( x) − L < ε önermesine uyan ε a bağlı
∃δ ∈ R + varsa x, a ya yakınsarken f nin limiti L dir, denir ve
lim f ( x) = L biçminde yazılır.
x→a
Yani x ler a ayısına yaklaşırken , x lerin ordinatları olan f(/x) ler
L reelsayısına yaklaşıyora,”x ler a ya yakınsarken f(x)ler L ye
yakınsar.” denir. lim f ( x) = L şeklinde gösterilir.
x→ a

25. ÖRNEK

26. ÖRNEK

28. ÖRNEKLER:

29. ÖRNEKLER

30. BİR NOKTADA SÜREKLİLİK
SOLDAN VE SAĞDAN SÜREKLİLİK
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN
SÜREKLİLİĞİ
EKSTREMUM DEĞERİ

31. Tanım:A ⊂ R , a ∈ A olmak üzere f : A → R ye tanımlanan f(x)
fonksiyonunda, lim x →a f(x) = f(a) ise, f fonksiyonu x=a noktasında
süreklidir, denir.
Bu tanıma göre, f fonksiyonunun x=a noktasında sürekli olması için:
1. f fonksiyonu x= a’da tanımlı olmalıdır.
2. f fonksiyonunun x=a için reel bir limiti olmalıdır.
3. f fonksiyonunun a noktasındaki limiti, fonksiyonun x=a
noktasındaki görüntüsüne eşit olmalıdır.
Bu üç koşuldan biri gerçekleşmez ise f fonksiyonu x=a noktasında
süreksizdir denir.

32. Tanım: A ⊂ R , a ∈ A olmak üzere f : A → R
fonksiyonunda:
1. lim x →a - f(x) = f(a) ise f fonksiyonu x= a noktasında soldan
süreklidir, denir.
2. lim x → a + f(x) = f(a) ise f fonksiyonu x=a noktasında sağdan
süreklidir, denir.

33. y
1. f(x) = sinx için; f(x) = sinx
lim x → a f ( x ) = lim x → a sin x = f (a ) = sin a 1
olduğundan, sinx fonksiyonu −
∏
2 ∏
R’de süreklidir. Yandaki grafiğin −∏
hiçbir noktada kesilme ve sıçrama 0 ∏ x
2
yapmadığı görülmektedir.
-1
2. f(x) = cosx ∀ x ∈ R için;
y
olduğundan, cosx fonksiyonu
1
R’de süreklidir. Grafiği inceleyiniz.
−∏ ∏ x
−
∏ 0 ∏
2 2
f(x) =cosx

34. sinx cos x
f(x) = +
1 - cosx 2 + sinx
Fonksiyonunun sürekliliğini hesaplayınız.
f(x) fonksiyonunda paydaları 0 yapan noktalarda
fonksiyon süreksizdir.
1 − cosx = 0 ⇒ cosx = 1 ⇒ Ç1 = { x : x = 2kπ , k ∈ Z}
2 + sinx = 0 ⇒ sinx = -2 ⇒ Ç 2 = 0
Ç = Ç1 ∪ Ç 2 olduğundan = { x : x = 2kπ , k ∈ Z}
Ç
kümesinde fonksiyon süreksizdir.
O halde R - { x : x = 2kπ , k ∈ Z} kümesinde
fonksiyon süreksizdir.

35. f : [ a, b] → R fonksiyonu sürekli ise f fonksiyonunun bu aralıkta
bir en küçük (minimum), bir en büyük (maksimum) değeri vardır.
•Teoreme göre f([ a, b] ) = [ m, M ] olacak biçimde m ve M sayıları
vardır. F fonksiyonunun [ a, b ] aralığında aldığı en küçük
(minimum) değer m, en büyük (maksimum) değer M’dir. m ve M
değerlerine, fonksiyonun [ a, b ] aralığında ekstremum değerleri
denir. y max
M
f(a)
f(b)
m
min
x
0 a x1 x2 b