BELİRLİ İNTEGRAL 1

2,856 views

Published on

BELİRLİ İNTEGRAL

Published in: Education
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
2,856
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
199
Actions
Shares
0
Downloads
15
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

BELİRLİ İNTEGRAL 1

  1. 1. KONUNUN KONUNUN AŞAMALARI AŞAMALARIKAPALI ARALIĞINKAPALI ARALIĞINPARÇALANMASIPARÇALANMASIBELİRLİ İNTEGRAL VEBELİRLİ İNTEGRAL VEİNTEGRALLENEBİLİR FONKSİYONİNTEGRALLENEBİLİR FONKSİYONBELİRLİ İNTEGRALİNBELİRLİ İNTEGRALİNÖZELLİKLERİÖZELLİKLERİ
  2. 2. KAPALI ARALIĞINPARÇALANMASI a b • • • • • • • • x0 < x1<x2<x3<......<xk-1<xk<.......<xn-1<xn P={x0 ,x1,x2,x3,......,xk-1,xk, ......., xn-1,xn } [a,b] aralığının bir parçalanması [a,b] aralığının bir parçalanması (bölüntüsü) (bölüntüsü)
  3. 3. Her bir [x k-1 ,, x kk]] kapalı alt aralığı için;Her bir [x k-1 x kapalı alt aralığı için; ∆x kk= x kk –x k-1 sayısı ∆x = x –x k-1 sayısı[x k-1 ,, x kk]] kapalı alt aralığının uzunluğu[x k-1 x kapalı alt aralığının uzunluğu
  4. 4. ∆x 11= x 11 –x 00∆x = x –x ∆x 22= x 22 –x 11 ∆x = x –x Alt aralıkların Alt aralıkların ∆x 33= x 33 –x 22 ∆x = x –x uzunlukları olmak uzunlukları olmak üzere üzere .................... ∆x nn= x nn –x n-1 ∆x = x –x n-1 [a.b] aralığının [a.b] aralığının uzunluğu uzunluğu b-a = ∆x 11+ ∆x 22+ ∆x 33+..........+ ∆x nn b-a = ∆x + ∆x + ∆x +..........+ ∆x
  5. 5. ∆x 11= x 11 –x 00∆x = x –x ∆x 22= x 22 –x 11 ∆x = x –x Alt aralıklarının Alt aralıklarının ∆x 33= x 33 –x 22 ∆x = x –x uzunlukları uzunlukları birbirine eşitse birbirine eşitse .................... ∆x nn= x nn –x n-1 ∆x = x –x n-1 P P bölüntüsüne bölüntüsüne [a,b] aralığının [a,b] aralığının DÜZGÜN BÖLÜNTÜSÜ DÜZGÜN BÖLÜNTÜSÜ denir. denir.
  6. 6. P düzgün bir bölüntü ise;[a,b] aralığını, n eşit parçaya bölen P[a,b] aralığını, n eşit parçaya bölen Pbölüntüsü-nünbölüntüsü-nün herhangi herhangi bir bir alt alt aralığının aralığınınuzunluğu, P bölün- tüsünün normunu (aralıkuzunluğu, P bölün- tüsünün normunu (aralıkgenişliğini) verir.genişliğini) verir. b−a ∆x k = = P n
  7. 7. ÖRNEK [2,7] ARALIĞI [2,7] ARALIĞI İÇİN İÇİN: P={2,11/3,16/3,7} bölüntüsü, düzgün bir P={2,11/3,16/3,7} bölüntüsü, düzgün bir bölüntüdür. bölüntüdür. 11 5 16 11 5 16 5∆x 1 = −2= ∆x 2 = − = ∆x 3 = 7 − = 3 3 3 3 3 3 3 7−2 5 P = = 3 3
  8. 8. y y=f(x) m3 mn m4 m1 m2 ∆x1 ∆x2 ∆x3 ∆xk ∆xn 0 a=x 0 x 1 x 2 x 3....... x k-1 x k .......... x n-1 x n =b x ALT TOPLAM nA(f , P ) =∑ m k .Δxk = m1 .Δx1 + m 2 .Δx 2 + ...... + m n .Δxn k =1
  9. 9. y y=f(x) M3 MK Mn M1 M2 ∆x1 ∆x2 ∆x3 ∆xk ∆xn 0 a=x 0 x 1 x 2 x 3....... x k-1 x k .......... x n-1 x n =b x ÜST TOPLAM nÜ(f , P ) =∑ M k .Δxk = M1 .Δx1 + M 2 .Δx 2 + ...... + M n .Δxn k =1
  10. 10. y y=f(x) f(t1) f(t2) f(tk) f(tn) 0 a=x0 t1 x1 t2 x2 xk-1 tk xk xn-1 tn xn x ∆x1 ∆x2 ∆xk ∆xn RİEMANN TOPLAMI nR(f , P ) =∑ f (t k ).Δxk = f (t1 ).Δx1 + f (t 2 ).Δx 2 + ...... + f (t n ).Δxn k =1
  11. 11. Bu toplamlar arasındaki sıralama n n ∑M n∑ mk .Δxk ≤ ∑ f (t k =1 k ).Δxk ≤ k =1 k .Δxkk =1Alt Toplam Rieman Üst Toplamı Toplam
  12. 12. ÖRNEK f:[0,2]→ R, f(x)=x 22 fonksiyonu f:[0,2]→ R, f(x)=x fonksiyonu için; için;: [0,2] aralığını, 4 eşit parçaya [0,2] aralığını, 4 eşit parçaya bölerek; bölerek; Alt toplamını Alt toplamını Üst toplamını Üst toplamını Riemann toplamını Riemann toplamını bulalım: bulalım:
  13. 13. P, düzgün bir bölüntü olduğundan b−a 2−0 1∆x 1 = ∆x 2 = ∆x 3 = ∆x 4 = = = 4 4 2 P={0, 1/2 , 1 , 3/2 , 2}
  14. 14. Alt toplamı Alt toplamı n y A(f , P ) = ∑m k =1 k .Δxky=x2 m11=f(0)=0 m =f(0)=0 m22=f(1/2)=1/4 m =f(1/2)=1/4 m33=f(1)=1 m =f(1)=1 m44=f(3/2)=9/4 m =f(3/2)=9/4 0 1/2 1 3/2 2 x nA(f , P ) = ∑ mk .Δxk = m1 .Δx1 + m 2 .Δx 2 + m 3 .Δx 3 + m 4 .Δx4 k =1 1 1 1 1 9 1 7 = 0⋅ + ⋅ +1⋅ + ⋅ = 2 4 2 2 4 2 4
  15. 15. Üst toplamı Üst toplamı n y Ü( f , P) =∑ M k . Δx k k =1y=x2 M11=f(1/2)=1/4 M =f(1/2)=1/4 M22=f(1)=1/4 M =f(1)=1/4 M33=f(3/2)=9/4 M =f(3/2)=9/4 M44=f(2)=4 M =f(2)=4 0 1/2 1 3/2 2 x nÜ( f , P) =∑M k . Δx k = M 1 .Δx 1 + M 2 .Δx 2 + M 3 .Δx 3 + M 4 .Δx 4 k =1 1 1 1 9 1 1 15 = ⋅ +1 ⋅ + ⋅ + 4 ⋅ = 4 2 2 4 2 2 4
  16. 16. Riemann toplamı: Riemann toplamı: n y R ( f , P) = ∑ f ( t k ). Δx k k =1y=x2 x k −1 + x k 1/2 1 3/2 2 x f(t k ) = 0 2 1 3 5 7 4 4 4 4 1 1 3 3 0+ +1 1+ +2 t1 = 2 = 1 t2 = 2 = 3 t3 = 2 = 5 t4 = 2 = 7 2 4 2 4 2 4 2 4
  17. 17. nÜ( f , P) = ∑M k . Δx k = M 1 .Δx 1 + M 2 .Δx 2 + M 3 .Δx 3 + M 4 .Δx 4 k =1 1 3 5 7 Ü( f , P) = f ( ). Δ 1 + f ( ). Δx 2 + f ( ). Δx 3 + f ( ). Δx 4 = 4 4 4 4 1 1 9 1 25 1 49 1 = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = 16 2 16 2 16 2 16 2 21 8
  18. 18. f:[a,b] → R sınırlı bir fonksiyon ve [a,b] aralığınınbir bölüntüsü P olsun. lim A ( f , P) = lim Ü( f , P) = s P →0 P →0ise, f fonksiyonu, [a,b] aralığındaİNTEGRALLENEBİ-LİR FONKSİYONDUR. Bu “s”sayısına da, f fonksiyo- nunun [a,b] aralığındakiBELİRLİ İNTEGRALİ denir. b ∫ f ( x ). d x a =s
  19. 19. P → 0 olması ne demektir?[a,b] aralığının, [x k-1 ,x k ] alt aralıklarınınuzunlukla-rının SIFIRA yaklaşması demektir.Bu durumda, alt ve üst toplamlarda elde edilenBu durumda, alt ve üst toplamlarda elde edilendik- dörtgenlerin taban uzunlukları küçülecek vedik- dörtgenlerin taban uzunlukları küçülecek vedolayısıdolayısı ile, ile, alt alt ve ve üst üst toplam toplam birbirine birbirineyaklaşacaktır.yaklaşacaktır.
  20. 20. P parçalanması, düzgün bir parçalanma olduğundan; P →0 ⇔n→∞ b  n  lim  ∑ f ( t k ). Δx k  = ∫ f ( x ). dx n →∞    k =1  a
  21. 21. ÖRNEK:3∫0 x 2 dx belirli integralini, tanıma göre hesaplayalım: [0,3] aralığını, n eşit parçaya [0,3] aralığını, n eşit parçaya bölersek; bölersek; b−a 3−0 3 k∈{0,1,2,....,n} k∈{0,1,2,....,n} P = Δx k = = = n n n için, için, t k = a + k . Δx k olarak seçilirse;
  22. 22. 3 3k tk = 0 +k. = n n 3  n 3k 3  ∫ x dx = lim∞ k∑ f ( n ). n  = 2 P→   0  =1   n 9k 2 3   27 n 2 lim  ∑ 2 ⋅  = lim  3 ⋅ ∑k P →∞  k =1 n n  P →∞ n   k =1    27 n .( n + 1 ).( 2 n + 1 )  lim  3 ⋅ = P →0 n  6 
  23. 23.  27 .(2 n 3 + 3 n 2 + n ) lim  =n →∞  6n 3   27 . 2 =9 6 3 ∫x 2 dx = 9 0
  24. 24. İNTEGRAL HESABIN TEMEL İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMİ TEOREMİf: [a,b] → R fonksiyonu, [a,b] aralığında integralle-nebilen bir fonksiyon olsun. F:[a,b] → R fonksiyonu(a,b) aralığında türevli ve ∀ x∈(a,b) için, F’(x)=f(x)ise, b b ∫ f ( x)dx = F( x) a a = F(b ) − F(a ) dır .
  25. 25. ÖRNEK: 2 ∫ (3x + 4)dx belirli integralini bulalım : 1 3x 2 ∫ (3x + 4)dx = 2 + 4x + c 3.2 2 3.1 2 11 F( 2) = + 4.2 = 14 F(1) = + 4.1 = 2 2 2 2 11 17 ∫ (3x + 4)dx = F(2) − F(1) = 14 − 2 = 2 1
  26. 26. f ve g fonksiyonları, [a,b] aralığındaintegralle-nebilir iki fonksiyon ve a,b,c R ise; ∈ b b b ∫[f ( x)  g( x )]dx = ∫f ( x)dx  ∫g( x)dx a a a π π π ∫ ( 3 . sin x + cos x ) dx = ∫ 3 . sin xdx + ∫ cos xdxπ/ 2 π/ 2 π/ 2 π π = 3(- + sinx cosx) π/ π/ 2 2
  27. 27. π π 3(- + sinx cosx) π/ π/ 2 2-3.[(cosπ - cos(π/2)] + [sin π - sin (π/2)] [-3.((-1)+3.0)] + (0-1) 2
  28. 28. b b∫c. f ( x)dx = c. ∫f ( x )dxa a8 8∫ − 4 . ln x .dx = − 4 .∫ ln x .dx3 3 5 5 ∫ −1 5 . x 3 .dx = 5 . ∫ x 3 .dx −1 6 6 3 .dx dx ∫ 2 x = 3 .∫ 2 x
  29. 29. a∫f ( x )dxa =03∫ ln x .dx = 03 −1 ∫ −1 x 3 .dx = 0 2 dx ∫ x =0 2
  30. 30. b a ∫f ( x )dx a = ∫ ( x )dx − f b 5 1 ∫ 1 3 x 2 dx = −∫ 3 x 2 dx 5 x3 53. = 5 3 − 1 3 = 125 − 1 = 124 3 1 x3 1 − 3. = − ( 1 3 − 5 3 ) = − ( 1 − 125 ) = − ( − 124 ) = 124 3 5
  31. 31. [a,c] aralığında integrallenebilir bir f fonksiyonu için, a<b<c ise;c b c∫ f ( x) dxa =∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx a b

×