TÜREVİN UYGULAMALARI

2. Belirli integral kavramını kullanarak bazı problemlerin çözümü kolayca yapılabilir.
Örneğin; iki eğriyle sınırlı bölgelerin alanlarını, eğrilerle sınırlı bölgelerin bir eksen
etrafında döndürüldüğünde oluşan cisimlerin hacimlerinin veya yüzeylerinin hesabı,
bir eğrinin bir aralıktaki yay uzunluğunun hesabı, hız veya ivme denklemleri verilen
hareketli cisimlerinin yol denklemleri, bazı cisimlerin ağırlık merkezi veya kütle
merkezi vb. Şimdi bu uygulamalardan alan ve hacim hesaplarını inceleyelim.

3. Eğrilerle sınırlı düzlemsel bölgelerin alan hesabını yaparken, aşağıdaki teoremleri kullanacağız.
Teorem: f :[a,b] ok R , f (x) fonksiyonu pozitif ve integrallenebilen bir fonksiyon
olsun. y = f (x) eğrisi, x = a , y = 0 doğruları tarafından sınırlanan bölgenin alanı,
b
S= ∫ f ( x).dx
a
tir.

4. İspat: [a , b] nın bir bölüntüsü P = { a =}olsun. k {1 , 2 , ... , n} ve [ ] olmak
üzere, R (f , P ) = Riemann toplamını düşünelim.
y
S = lim R( f , P )
II P II 0
= lim (f (r1) . X1 + ... + f (rn) . Xn )
II P II 0
n
x
= lim ∑
k =1
f (rk) . Xk
II P II 0
Bölüntünün II P II normu, sıfıra yakınsarken taralı dikdörtgenlerin alanları eğri altında
kalan alana yaklaşır. Belirli integral tanımından bu alan, [a , b] kapalı aralığında f
fonksiyonunun belirli integral değerine eşit olur.

5. 1. Sonuç : f : [a , b] R , y = f (x) fonksiyonu y
[a , b ] aralığında negatif değerler alıyorsa, P bölüntüsünün
[xk-1 , xk-2] alt aralıklarındaki f (rk) değerleri negatif olduğun a b
x
dan, bu aralıktaki dikdörtgenlerin alanı - (f (rk) . xk dır.
Buna göre [a , b] aralığında y = f(x) eğrisi ile x ekseni
arasında kalan alan; f (x)
n b
S = lim ∑ ∫
( -f (rk) . Xk ) = - f ( x).dx
→ k =1 a
II P II 0

6. 2. Sonuç : f : [a , b] R , y = f (x) fonksiyonu, aralığın bir parçasında
negatif değerli, bir parçasında pozitif değerli ise, her iki parçadaki ayrı ayrı toplanır.
Bunu aşağıdaki şekille daha iyi görebiliriz. b
y
S1 = f ( x ).dx∫
a
c
S2 = − ∫ f ( x).dx
b
S1 S3 d
a b S2 c d x S3 =
∫ f ( x).dx
c
O halde, f (x) eğrisi ve x ekseniyle sınırlı alanlar toplamı;
d
S = S1 + S2 + S3 =
∫ If ( x) I .dx
a
d
O halde, aranan S alanı için; S = ∫ If ( x) I .dx
a

7. Örnek : f (x) = eğrisi ve x ekseniyle sınırlı aşağıda belirtilen aralıklardaki
alanları hesaplayalım.
a. [1 , 2]
Çözüm : F (x) in verilen aralıkta pozitif veya negatif değerlikli olup olmadığını
araştıralım:
Bunun için, f (x) işaretini incelemeliyiz.
F (x) = 0 3x2 - 3 = 0
Buna göre; f (x) ≥ 0 olduğundan, bu aralıktaki eğri altında kalan alan;
2 2
S=
∫ f ( x)dx =∫(3x−3)dx =4
1 1
2

8. 3. Sonuç : f : [a , b] R , g : [a , b] R integrallenebilen iki fonksiyon olsun.
f (x) f(x)
f(x)
g(x)
a b g(x)
g(x)
f (x) ve g (x) fonksiyonlarının her ikisi [a , b] aralığında pozitif, her ikisi de negatif
veya biri negatif, diğeri pozitif değerler alabilir. Şekillerde gösterilen üç durumda da iki
eğri arasında kalak alanı bulmak için aşağıdaki yol izlenir:
b
b
alan ∫ f ( x).dx , S = ∫ g ( x).dx
S1 =
a
b
2
a
olsun. Bu durumda alan, iki eğri arasında kalan
S = S - S = ∫ ( f ( x ) − g ( x )).dx
1 2
a

9. 4. Sonuç : eğer iki eğri arasında kapalı bir alan söz konu y
su ise, önce ortak çözümle eğrilerin kesim noktaları hesap
lanır, sonra ardışık kesim noktaları arasındaki alanlar teker f (x)
teker hesaplanarak toplanır. Örneğin; f (x) ve g (x) in
grafikleri yandaki gibi ise, f (x) = g (x) denkleminin g (x)
çözüm kümesi, { x1, x2, x3 } olsun.
x1 x2 x
[ x1, x2 ] nda f (x) > g (x), [ x2, x3] nda x3
g (x) > f (x) olduğundan;
X2 X3
S = S1 + S2 = ∫ ( f ( x) −g ( x)).dx + ∫( g ( x) − f ( x)).dx
X1 X2

10. 5. Sonuç : x = g (y) fonksiyonu [c, d] aralığında
negatif değerler alan integrallenebilen bir fonksiyon
olsun. Bu durumda; x = g (y) eğrisi , y = c d
y = d ve x = 0 doğruları ile sınırlı bölgenin alanı; x = g (y)
d c
S= −∫ g ( y ).dy
c

11. 6. Sonuç : Eğer x = g (y) fonksiyonu [c ,d]
x = g (y)
aralığında hem negatif hem de pozitif değerler
S2
alıyorsa, x = g (y) eğrisi, y = c , y = d ve
S1
x = 0 doğruları ile sınırlı bölgenin alanı,
d
S = S1 + S2 =
∫g ( y ).dy
c

12. 7. Sonuç : x = g (y) , x = f (y) eğrileri arasında
kalan y = c , y = d doğruları ile sınırlı alanın;
d ...........................
x = g (y) x = f (y)
d
c ..................................
S= ∫If ( y ) −g ( y ) Idy
c