1. BİR NOKTADA SÜREKLİLİK
SOLDAN VE SAĞDAN SÜREKLİLİK
KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİLİK
TANIM KÜMESİNDEKİ SÜREKLİLİK
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN SÜREKLİLİĞİ
SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ
KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİ BİR FONKSİYONUN
ÖZELLİKLERİ
2. BİR NOKTADA SÜREKLİLİK
Tanım:A⊂R,a∈A olmak üzere f:A→R ye tanımlanan f(x)
fonksiyonunda lim f(x)=f(a) ise,f fonksiyonu x=a
noktasında süreklidir,denir.
Bu tanıma göre,f fonksiyonunun x=a noktasında
sürekli olması için:
1.f fonksiyonu,x=a da tanımlı olmalıdır.
2.f fonksiyonunun x=a için reel bir limiti olmalıdır.
3.f fonksiyonunun a noktasındaki limiti,fonksiyonun
x=a noktasındaki görüntüsüne eşit olmalıdır.
3. Bu üç koşuldan biri gerçeklenmezse,f fonksiyonu x=a
noktasında süreksizdir,denir.
SOLDAN VE SAĞDAN SÜREKLİLİK
Tanım:A⊂R,a∈A olmak üzere f:A→R fonksiyonunda:
1.lim f(x)=f(a) ise,f fonksiyonu x=a noktasında soldan
süreklidir,denir.
2.lim f(x)=f(a) ise,f fonksiyonu x=a noktasında sağdan
süreklidir,fenir.
4. ÖRNEK:f:R→R,f(x)= x2+1,x<1 ise
2x-1,x≥1 ise
fonksiyonun x=1 de soldan sağdan sürekliliğini
inceleyelim.
ÇÖZÜM:
lim f(x)=lim (x 2+1)=2
x→1- x→1-
lim f(x)=lim(2x-1)=1
x→1
+ x →1
+
f(1)=2.1-1=1
5. KAPALI BİR ARALIKTA
SÜREKLİLİK
Tanım: f:[a,b] R fonksiyonu sürekli ise ;
f: fonksiyonunun bu aralıkta minimum ve
maximum değeri vardır.
Örnek: f:R R , f(x) = 2 cosx +3
fonksiyonu sınırlımıdır?
Çözüm: f: R R f(x) = 2 cos x +3
fonksiyonu sürekli olduğundan sınırlı bir
fonksiyondur.
6. Diziler Yardımı ile Limit
Tanım: f:A R fonksiyonu verilmiş olsun terimleri
A kümesinin elemanı olan bir Xn dizisi için Xn
dizisinin f fonksiyonuna görüntü dizisi denir.
(Xn) = (X1 , X2..........) dizisi için f(Xn) görüntü
dizisidir.
7. BİR FONKSİYONUN LİMİTİ
Tanım:f:A R ya da f: A-{a} R fonksiyonu
verilmiş olsun.Terimleri A-{a} kümesinde
bulunan ve a ya yakınsayan her (Xn) dizisi için
(f(Xn))dizileri bir L sayısına yakınsıyorsa ;x,a ya
giderken f(x) in limiti L dir,denir ve aşağıdaki
biçimde gösterilir.
lim f(x)=L
8. LİMİTİN OLMAMASI
Terimleri A-{a} kümesine ait ve a ya
yakınsayan en az 2 (xn) ve (xn1) dizileri
için ,
Lim f(xn)=lim f (xn1) ise,x a için,f
fonksiyonunun limiti yoktur.
9. SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT
TANIM 1:x değerleri a dan küçük
değerlerle artarak a ya yaklaşırken
,f(x) ler de bir L1 reel sayısına
yaklaşıyorsa L1 reel sayısına f
fonksiyonunun a noktasındaki
soldan limiti denir ve limf(x)=L1
10. TANIM 2: x değerleri a dan büyük
değerlerle azalarak a ya yaklaşırken
f(x) ler de L2 reel sayısına
yaklaşıyorsa ; L2 reel sayısına ,f
fonksiyonunun a noktasındaki sağdan
limiti denir ve limf(x)=L2 biçiminde
gösterilir.
11. ARALIĞIN UÇ NOKTALARINDAKİ LİMİTİ
A.f:[a,b] R , y=f(x) fonksiyonunun
tanım aralığının uç noktalarındaki
limiti araştırılırken
i. a noktasındaki limit ,sadece sağdan
limitle belirlenir.
ii. b noktasındaki limit ,sadece soldan
limitle belirlenir .
12. B.F:(a,b) R, y=f(x) fonksiyonun
tanım aralığının uç noktalarındaki
limiti araştırılırken :
i.a noktasındaki limit sadece sağdan
limitle belirlenir.
ii.b noktasındaki limit sadece soldan
limitle belirlenir .
