2. TÜREV KAVRAMI
TÜREV ALMA KURALLARI
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
TÜREVİN FİZİKSEL YORUMU
BİLEŞKE FONKSİYONUN TÜREVİ
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ
KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ
RASYONEL ÜSLÜ FONKSİYONLARIN TÜREVİ
TERS FONKSİYONLARIN TÜREVİ
TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ
LOGARİTMA FONKSİYONLARIN TÜREVİ
ÜSTEL FONKSİYONLARIN TÜREVİ
YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER
DİFERANSİYEL KAVRAMI
ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR
EXTREMUM NOKTALAR VE EXTREMUM DEĞERLER
İKİNCİ TÜREVİN YEREL EXTREMUM NOKTALARIYLA İLŞKİSİ
İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI
ROLLE VE ORTALAMA DEĞER TEOREMLERİ
L’’HOSPİTAL KURALI
3. TÜREV KAVRAMI
TANIM: f : A R , y=f(x) fonksiyonu ve a ∈ A da sürekli
olmak üzere
f ( x) − f (a)
lim
x→a x−a limiti bir reel sayı ise bu değere f fonksiyonunun
df
(a)
x=a noktasındaki türevi denir. f’(a) veya dx sembolleri ile
gösterilir. x → a ⇔ ( x − a) → 0
h > 0 olmak üzere, x=a+h ise x - a =h dır. ⇔h→0
f ( x) − f (a ) f ( a + h) − f ( a )
lim lim
x →a x−a h→0 h
= olur.
4. ÖRNEK: f: R →R , f(x)=x2 fonksiyonunun x=2 noktasındaki
türevini bulalım.
ÇÖZÜM= f(x)=x2 fonksiyonu x=2 de süreklidir
f ( x) − f (2)
f ′(2) = lim x →2
x−2
x2 − 4 ( x − 2)( x + 2)
f ′(2) = lim x →2 = lim x →2 =4
x−2 x−2
5. SOLDAN SAĞDAN TÜREV
TANIM: A ⊂ R, a ∈ A
1. lim x → a _ f ( x ) − f (a ) Limitinin bir reel sayıdeğeri varsa
x−a
bu değere f fonksiyonunun a noktasındaki soldan türevi denir ve
f’(a-) şeklinde gösterilir.
2. + f ( x) − f (a) Limitinin bir reel sayı değeri
lim x → a
x−a
varsa bu değere f fonksiyonu, a noktasındaki sağdan türevi denir
ve f’(a+) şeklinde gösterilir.
6. f’(a-)= f’(a+) ise , f fonksiyonu a noktasında türevlidir. Bu durumda f’(a-)
= f’(a+) = f’(a) dır.
≠
f’(a-) f’(a+) ise fonksiyonun a noktasında türev yoktur.
4 x − 2, x ≥ 2ise
ÖRNEK: f: R R , f(x)=
2 a)f’(2 -)=?
x + 2, x < 2ise b)f’(2+)=?
ÇÖZÜM: f(2) = 6 olduğundan fonksiyon x=22de süreklidir.
f ( x ) − f ( 2) − x −4
= lim x →2 ( x + 2)= 4
−
a) lim x →2 = lim x →2
x−2 x −2
+ 4 x −8
+ f ( x) − f (2) lim x→ lim 4 = 4
b) lim x →2
2
= x −2 =
x−2
7. TÜREVİN SÜREKLİLİKLE İLİŞKİSİ
Teorem: A ⊂ R, a ∈ A olmak üzere; f :A→R fonksiyonu a
noktasında türevli ise bu noktada süreklidir.
1. y=f(x) a A , da türevli ise x=a da süreklidir.
2.f '(a) =f(a) ve f(x) x=a da sürekli olmalıdır ki f(x) , x =a da türevli
olsun
3.Bir fonksiyonun kritik noktalarında türevi araştırılırken bu
noktalarda süreksiz ise türevsizdir. Sürekliyse sağdan ve soldan
türevlerini eşitliğine bakılır.
8. x −2
2
Örnek: f ( x) = 2 hangi noktalarda türevsizdir?
x −2−2
Çözüm: f fonksiyonu paydanın 0 olduğu noktalarda tanımsız dolayısıyla
süreksizdir.
x2 − 2
f ( x) = 2
x −2−2 x=-1 ve x=2 noktalarında
süreksiz dolayısıyla türevsizdir.
9. BİR ARALIKTA TÜREVLENEBİLME
TANIM: a,b∈ olmak üzere f : ( a, b) → R
fonksiyonunun (a,b) aralığının her noktasında türev varsa f
A⊂R
fonksiyonu (a,b) aralığında türevlidir. olmak üzere
f : A→ R fonksiyonu A tanım kümesinin her noktasında türevli
ise f fonksiyonu tanımlı kümesinde türevlidir.
10. TÜREV ALMA KURALLARI
1) f(x)= c f’(x) = 0
2) f(x) = xn f’(x) = n . xn-1
3) (c . f (x) )’ = c . f’(x)
4) [ f ( x ) + g ( x ) ]′ = f ′( x) + g ′( x)
′
5)
[ f ( x).g ( x)] = f ′( x).g ( x) + g ′( x). f ( x)
′
6) f ( x) = f ′( x).g ( x) − g ′( x). f ( x)
g ( x)
[ g ( x)] 2
12. BC f ( a + h) − f ( a ) f ( a + h) − f ( a )
mAB=tan α = = =
AC ( a + h) − a h
AB kirişinin eğimi h → 0 için AT teğetinin eğimine eşit olacağından
f ( a + h) − f ( a ) f ' ( a )
mAT = lim h→0 =
( a + h) − a
O halde y= f(x) fonksiyonunun grafiğini x=a noktasındaki teğetinin
eğimi f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevine eşittir. B noktası,
B(a-h , f(a-h)) şeklinde alınarak da yukarıdaki yorum yapılabilir.
14. A (a, f(a)) noktasından çizilen teğet denklemini
bulmak için önce eğim bulunur. Fonksiyonun bu
noktadaki türevi eğimi vereceğinden
y-f(a) =f'(a) . (x- a) teğet denklemi bulunur.
1 1
m t .m n = −1 mn = − =−
mt f ' (a )
Anoktasındaki
normal denklemi ise
şöyle olur: 1 . (x-a)
y − f (a ) = −
f ' (a )
15. Örnek: f(x) -x2 +2x -3 parabolünün x=3 apsisli noktasındaki
teğetinin ve normalinin denklemini bulalım.
Çözüm: x=3, y=-6 olur. f '(x)= -2x +2 olduğundan
teğetin eğimi: mı =f'(3)=-2 . 3+2 =-4
1 1 1
normalin eğimi : mn = − =− =
mt f ' (3) 4
teğet denklemi: y-(6)=-4(x-3) y=-4x +6
normal denklemi : y-(6)=1/4(x-3) y=x/4- 27/4
20. ÖRNEK:|x2-9| x=3 deki türevi nedir?
ÇÖZÜM: -3 +3
+ | - | +
x2-9 | 9-x2 | x2 -9
türevi 2x | -2x | 2x
x= 3 de sürekli f'(3) =6 f'(3)=-6 türevsiz.
Kritik noktayı araştıdık ve sağdan türevinin soldan türevine eşit
olmadığını dolayısıyla x=3 de tüğrevsiz olduğunu gördük.
21. TAM KISIM FONKSİYONUN TÜREVİ
f: A R y=||f(x)|| fonksiyonu için ;
sürekli olduğu noktalarda sonucu sayı çıktığından türevi 0 dır.
Süreksiz olduğu noktalarda ise türevsizdir.
ÖRNEK: f(x)=||x/ 2 -3|| fonksiyonunda f '(1) değerini bulalım.
ÇÖZÜM: x=1 için tamdeğerin içi -5/2 çıkar. Bu da dışarı -3 olarak
çıkar. Bu da bir tamsayı olduğu için türevi 0 dır. Yani f '(1)=0 olur.
Eğer sonuç tamsayı çıksaydı. Türevsiz olurdu, çünkü sağdan ve soldan
türevleri birbirine eşit olmazdı.
22. İŞARET FONKSİYONUNUN TÜREVİ
f: A → R , y=sgn (f(x) )fonksiyonunda içini 0 yapan değerler
türevsizdir. (soldan (+) sağdan (-) çıkar.) diğer durumlarda
tamsayı çıkacağından türevin sonucu 0 olur.
ÖRNEK: f(x)=sgn ( x2-x-6) fonksiyonunun türevsiz olduğu
değerleri bulun.
ÇÖZÜM: Türevsiz olduğu noktalar içini 0 yapan değerler olduğu
için, içinin kökleri bulunur.
(x2-x-6)=(x-3)(x+2) , olduğundan cevap : x1=3 , x2=-2 dir.
23. KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ
TANIM:x ve y değişken olmak üzere F(x,y)=0 denklemiyle verilen
bağıntılara kapalı fonksiyon denir.
1. YÖNTEM: örnek olarak F(x,y)=x2+y2-2x-24=0 ise dy/dx=?
dy 2x +2 1 − x
2x+2y(dy / dx)-2-0=0 Buradan y'= =− = bulunur.
dx 2y y
dy F ' x ( x, y )
II.YÖNTEM: y'= =− förmülü ile soınuca gidilir.
dx F ' y ( x, y )
ÖRNEK: 3xy-x+y-5=0 ise dy/dx=?
dy F ' x ( x, y ) 1 − 3y
ÇÖZÜM: =− =−
dx F ' y ( x, y ) 3x + 1
24. RASYONEL ÜSLÜ FONKSİYONLARIN TÜREVİ
1
TEOREM: x ∈R ve n ∈ N +
olmak üzere y= x n
1
1 n −1
fonksiyonunun türevi y' = x
n
PARAMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ
y=f(x) fonksiyonunda x ve y değişkenleri t R olmak üzere t
parametresine bağlı olarak x=h(t) biçiminde tanımlanırsa
y=g(t)
bu fonksiyona parametrik fonksiyon denir.
dy dy dt g ' (t )
= . =
dx dt dx h' (t )
25. ÖRNEK: x=t-2 } parametrik fonlksiyonu veriliyor. y'=?
y=t2 -t +3
dy
dy dt 2t − 1
ÇÖZÜM y' = = = = 2t − 1
dx dx 1
dt
x=t-2 ise t=x+2 olur ve y'=2(x+2) -1 =2x+3 olur.
26. TERS FONKSİYONUN TÜREVİ
1 1
KURAL:f’(x) ≠ 0 ise =
f ' ( x) f ' ( f −1 ( y ))
ÖRNEK: f(x)=x3-1 , (f-1)’(-9)=?
ÇÖZÜM: y=-9 , x=-2
1 1 1
= 2 =
f ' (−2) 3 x 12
27. TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ
u'
1.(arcsinu)'=
1− u 2
− u'
2.(arccosu)'=
1− u 2
u'
3.(arctanu)'=
1+ u 2
u'
4.(arccotu)'= −
1+u 2
30. LOGARİTMİK TÜREV ALMA
y=xx
ıny=ınxx
ıny= x . Inx
y' 1
= ln x + .x
y x
y’= (lnx+1).y
y’= (lnx+1).xx
31. YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER
dny dn f
y (n)
= f ( x) = n = n
(n) Fonksiyonunun n.
dx dx Mertebeden türevi
y=x -x+4
y'=2x-1 (1.Mertebeden türev)
y''=2 (2.Mertebeden türev)
y'''=0 (3.Mertebeden türev)
32. DİFERANSİYEL KAVRAMI
TEOREM: A ⊂ R , f: A R , y=f(x) fonksiyonu A da
türevlenebilen bir fonksiyon olsun. X deki değişimi ∆ x buna
karşılık gelen y deki değişimi∆ y ile gösterelim. X in
diferansiyeli dx= ∆ x olmak üzere y nin diferansiyeli
dy= f’(x).dx
33. ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR
a b a b a b
azalan ⇔
artan sabit
f(a,b) fonksiyonu sürekli ve türevli ise
f’(x)>0 ⇔ f(x) , (a,b) aralığında artandır.
f’(x)<0 ⇔ f(x) , (a,b) aralığında azalandır.
f’(x)=0 ⇔ f(x) , (a,b) aralığında sabit fonksiyondur.
34. EXTREMUM NOKTALAR VE EXTREMUM DEĞERLER
Mutlak Extremum Noktası ve Değeri
TANIM(a,b) aralığında f(b)
büyük değerdir.
≥ f(x) ise f(b) mutlak maximum veya en
(a,b) aralığında f(b) ≤f(x) ise f(b) mutlak minumum veya en küçük
değerdir.
1
x.ınx + x. − 1
x 0 ınx f ( x) f ' ( x)
lim x →1 = = lim x →1 ⇒ lim x →a = lim x→ a
1
ınx + ( x − 1) 0
x
ınx + 1 − g ( x)
a,c mutlak min
g ' ( x)
b, mutlak max
a c b
35. ÖRNEK f(x)=x3-9x2+24x-7 fonksiyonunun artan veya azalan olup
olmadığını inceleyelim.
ÇÖZÜM:f’(x)=3x2-18x+24 f’(x)=0 , x1=2 x2=4
x - ∞ 2 4 ∞
f’(x) + - +
∞
f(x) f(2) f(4)
artan azalan artan
36. EXT NOKTASI İLE TÜREVİN İLİŞKİSİ
TANIM: Yerel ext noktalarında f’(x)=0 dır.fakat türevi 0 olan her
nokta ext noktası değildir;olması için f’(x) in işaret
değiştirmesi(artandan azalana geçmesi) gerekir. Fonksiyonun türevinin
0 olduğu veya türevinin olmadığı noktalara kritik noktalar denir. Yerel
ext değerleri k.n.ların içindedir.
X ∞ 0 1 ∞
f’(x) - - +
∞
f(x)
Yerel min
37. TÜREVİN EXT İLE İLİŞKİSİ
İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI
DÖNÜM (BÜKÜM) NOKTASI
KONVEKS KONKAV
(DIŞBÜKEY) (İÇBÜKEY)
f’’(x)=0 ın dönüm noktası olması için
Konveks Geçiş
konkav
38. Max (f’) ÖRNEK:f(x)=3x4-4x3-1 fonksiyonunun
DN larını inceleyelim.
ÇÖZÜM:f’(x)=12x3-12x2
d.n
f’(x)=0 için x1=0 ,x2=1
ext adayları
f’’(x)=36x2-24x
min (f’) f’’(x)=0 için
x1= 0 x2=2/3
x 0 1
NOT: 0 DN larından biri olduğu için
ext noktası olamaz. Ext noktası olarak f’’(x) + - +
sadece 1 vardır.f’’(1) > 0 olduğu için 1
apsisli nokta min ext noktasıdır. f(x) dn dn
39. MAX MİN PROBLEMLERİ
Problemin denklemi kurulur.türevi 0 a eşitlenir. Çıkan kök f(x) de
yerine konulur. İstenilen değer bulunur.
Örnek: 3X +6 MAX ALAN?
6-X
ÇÖZÜM:A(x)=(3x +6 ) (6-x) A’(x)=12-6x
A(x)=18x+36-3x2-6x x=2
A(2)=48
40. ROLLE TEOREMİ
TANIM:f:[a,b] → R fonksiyonu [a,b aralığında sürekli ve
(a,b) aralığında türevlenebilir olsun.
Eğer f(a)=f(b) ise X0 (a,b) için f ‘(X0)=0 dır.
ORTALAMA DEĞER TEOREMİ
f:[a,b] → R fonk [a,b] aralığında sürekli, (a,b) aralığında türevli
olsun. Bu durumda en az bir X0 ∈(a,b) için f ‘ (X0)= f (b) − f (a ) dır.
b− a
41. L’ HOSPİTAL KURALI
0 ∞ f ( x) f ' ( x)
lim x→ a f ( x).g ( x) = 0.∞ = veya = ⇒ lim x→ a = lim x→ a
0 ∞ g ( x) g ' ( x)
0. ∞ Veya ∞ -∞ belirsizlikleri 0 veya ∞ a çevrilir.
0 ∞
Örnek : 2x 2x
lim x →2 =4 lim x →2 =4
1 1
42. 0. ∞ BELİRSİZLİĞİ
∞ 0
lim x →a f ( x).g ( x) = 0.∞ veya a çevrilir.
∞ 0
Örnek : 5 sin 5 / 2 x 5
lim x→∞ x. sin( ) = lim x→∞ =
2x 1/ x 2
∞ 0
∞ - ∞ BELİRSİZLİĞİ
veya a çevrilir.
∞ 0
x 1 x.ınx − x + 1 0
Örnek : lim x→1 − = lim x→1 =0
x − 1 ınx ( x − 1)ınx
1
x.ınx + x. − 1
x 0 ınx 0 1/ x 1
lim x →1 = ⇒ lim x →1 = ⇒ lim x →1 =
1 0 1 0 1/ x + 1/ x2 2
ınx + ( x − 1) ınx + 1 −
x x
43. 0∞, 1∞,∞ ∞ BELİRSİZLİKLERİ
Her iki tarafin e tabanlı logaritması alınır. 0. ∞ belirsizliğine
dönüşmüş olur.sonra her iki tarafın limiti alınır.
Örnek:
limx 0
(x )= 0
x 0
y = xx ln y = x. ln x
ln x = ∞
limx 0 (ln y ) = 0. ∞ ⇒ limx 0 (ln y ) = limx 0
1 ∞
x
1/ x
limx 0 (ln y ) = limx 0 = limx (− x ) = 0
−1 / x
2 0
limx 0
(ln y ) = limx 0 (y ) = e0 ⇒ lim
x 0
(x )=1
x
44. FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
Bir fonksiyonunun grafiği, bir doğru veya eğridir. Bir fonksiyonun
grafiği, fonksiyonun kuralını sağlayan bütün noktaların koordinat
düzlemine işaretlenmesiyle elde edilir. Fakat bir fonksiyon sonsuz
çoklukta noktadan oluşabilir. Bu sonsuz boşluktaki noktanın
koordinat düzleminde işaretlenmesi mümkün değildir. Bu nedenle
eğrinin karakterini belirten bazı özel noktalarını ve bazı özelliklerini
bulursak, bunlardan faydalanarak eğriyi aslına uygun bir biçimde
çizebiliriz.. Grafiğe ait özel noktalar; grafiğin eksenleri kestiği
noktalar, ekstremum noktaları ve dönüm noktalarıdır. Grafiiğn
karakterini belirleyen özellikler ise; artan ya da azalan olması,
çukurluğun yönü, sonsuza uzanabilen kolunun bir doğru ya da
eğriye asimptot olmasıdır.
45. Düşey Asimptot
Tanım: y=f(x) fonksiyonunun x=a noktasındaki soldan ya da sağdan
limitlerinde en az biri +∞ ya da - ∞ ise , x=a doğrusuna, y=f(x)
fonksiyonunun bir düşey asimptotudur.
y
P
H
x
a
y=f(x)
Örnek: fonksiyonunun düşey asimptotunun x=2 doğrusu
olduğunu
gösterelim.
3x − 4 3x − 4 2
Çözüm: f ( x) = lim x→2 = − = −∞
x−2 x−2 0
46. Yatay Asimptot
Tanım: y=f(x) fonksiyonu için lim x→−∞ f ( x) = b veya lim x→+∞ f ( x) = b ise
y=b doğrusuna, y=f(x) fonksiyonunun yatay asimptotu denir.
y
b H
P
x
y=f(x)
47. Örnek: 3 x − 2 fonksiyonunun yatay asimptotunun y=3 doğrusu olduğunu
y=
x +1
gösterelim.
3x − 2 3x − 2
Çözüm: lim x→−∞ = = 3 veya lim x→+∞ = = 3 olduğundan,
x +1 x +1
y=3 doğrusu yatay asimptottur.
48. Eğik ve Eğri Asimptot
Tanım: y=f(x) eğrisi ve y=g(x) doğrusu verilsin. lim x→ − ∞ [ f ( x) − g ( x ) ] = 0 Veya
lim x→ +∞ [ f ( x) − g ( x ) ] = 0 ise, y=g(x) doğrusuna, eğrinin eğik asimptotu denir.
y = f (x)
y = f (x)
y = g (x)
y = g (x)
Eğer, y=g(x) in grafiği bir eğri ise; buna, eğrinin eğri asimptotu denir.
49. P( x)
y = f ( x) = biçiminde rasyonel fonksiyon verilsin. (P(x) ve Q(x) polinom
Q( x)
fonksiyonudur.)
C
1. Payın derecesi paydanın derecesinden 1 fazla ise; y=f(x)=mx+n+
Q (x)
C
biçiminde yazılabilir. Bu durumda, lim x→−∞[ f ( x) − ( mx + n ) ] = lim x→∞ =0
Q( x)
olacağından, y=mx+n doğrusu fonksiyonun eğik asimptotu olur.
K ( x)
2. Payın derecesi paydanın derecesinden 2 fazla ise; f ( x ) = ax + bx + c +
2
Q( x )
der[K(x)]<der[Q(x)] şeklinde yazılabilir.
[ ( )]
K ( x)
lim x→ ∞ f ( x ) − ax 2 + bx + c = lim x→ ∞
=0
Q( x) Olacağından, y=ax 2 + bx+c
fonksiyonunun grafiği eğri asimptotu olur.
O halde, eğik veya eğri asimptotları bulmak için; pay, paydaya bölünür ve bölüm
asimptot denklemi olarak alınır.
50. 3x − 2 x +1 fonksiyonun eğik asimptotunu bulalım.
2
Örnek: f (x ) =
x +1
Çözüm:
6
f (x ) = 3x − 5 + olarak yazılır.
x +1
O halde; eğik asimptot, y= 3x-5 doğrusudur.
52. 2
-1 2x − 4
1
b
y' = = 0)vey2 = − a + ( x + )
− 3 2 x − 4x + 3
2
0 2a
3
≥
-2
53. RASYONEL FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
DÜŞEY ASİMTOTLARI VARDIR, YATAY ASİMPTOT
OLMAYABİLİR.PERİYODİK DEĞİLDİR.
x +1
1. f(x)=
x−2
2. T . K. =R- (-2)
3.pay için. (D. A.) , x-2=0 x=2
4.payda için (Y. A. ) ,paydanın derecesi payın derecesinden büyük
eşit olduğu için Y.A. vardır. Dereceler eşit olduğu için
YA=katsayılar oranı=1 der(payda) > der(pay) olduğu durumlarda
ise YA=0 olur.
5.(0,-1/2) , (-1,0)
