3. TÜREV KAVRAMI:
Tanım:f:A B , y=f(x) fonksiyonu ve a ∈ A sürekli olmak üzere,
f ( x) − f (a)
lim
x→ a x− a
limiti bir reel sayı ise;bu değere f fonksiyonunun
x=a noktasındaki türevi denir.
df
Bu f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevi, f (a) veya (a) '
dx
sembolleri ile gösterilir.
f ' (a)
Dolayısıyla f fonksiyonunun a noktasındaki türevi; ( h>0 )
f ( x) − f (a ) f ( a + h) − f ( a )
f ' (a) = lim = lim ‘dır
x→ a x− a h→ 0 h
4. ÖRNEK:f:R R f ( x) = x 2 fonksiyonunun x=2 noktasındaki
türevini bulalım.
ÇÖZÜM: f ( x) = x fonksiyonu x =2 de süreklidir.
2
f ( x) − f (2)
Türev tanımından, f (2) = lim
'
dir.
x→ 2 x−2
x2 − 4 ( x − 2)( x + 2)
f (2) = lim
'
= lim = 4 bulunur.
x→ 2 x − 2 x→ 2 x− 2
df
O halde, f ' ( 2) = ( 2) = 4 tür.
dx
5. SOLDAN VE SAĞDAN TÜREV:
Tanım:A ⊂ R,a ∈ A da sürekli ve f:A R fonksiyonunda:
f ( x) − f (a )
1. lim− limitinin bir reel sayı değeri varsa bu değere, f
x →a x−a
' −
fonksiyonunun a noktasındaki soldan türevi denir ve f (a ) şeklinde
gösterilir.
f ( x) − f (a )
2. lim+ limitinin bir reel sayı değeri varsa bu değere, f
x →a x−a
fonksiyonunun a noktasındaki sağdan türevi denir ve f ' (a + ) şeklinde
gösterilir.
f ' (a − ) = f ' (a + )
ise, f fonksiyonu a noktasında türevlidir ve
f ' (a − ) = f ' (a + ) = f ' (a) f ! (a − ) ≠ f ' (a + ) ise a noktasında türevi yoktur.
dır.
6. TÜREVİN SÜREKLİLİKLE İLİŞKİSİ:
Teorem:A⊂B ,a∈A olmak üzere; f:A B fonksiyonu a noktasında
türevli ise ,bu noktada süreklidir.Bu teoremin tersi olarak f fonksiyonu
a noktasında sürekli değilse,türevsizdir de diyebiliriz.
ÖRNEK: f ( x) = x 2 + 2 fonksiyonu hangi noktalarda türevsizdir?
x2 − x − 2
ÇÖZÜM:f fonksiyonu paydanın sıfır olduğu noktalarda tanımsız,
dolayısıyla süreksizdir.
x 2 − x − 2 = 0 ⇒ x = -1 ve x = 2 noktalarında süreksiz olduğundan
f fonksiyonu bu noktalarda türevsizdir.
7. TÜREV ALMA KURALLARI:
♦Sabit fonksiyonun türevi:A ⊂ B, f:A B, f(x) = c ile tanımlanan
sabit fonksiyonun türevi f ’(x) = 0 dır.Örneğin;
f (x) = 5 ise, f ‘(x) =0
f (x) = -3 ise, f ‘(x) = 0 dır.
♦ n ∈ N+ için f ( x) = x n Fonksiyonunun Türevi:
∀n ∈ N+ için f:R R , f ( x) = x n fonksiyonunun türevi;
f ' ( x ) =n.x n − dir.Bu kural n negatif olsa da geçerlidir.Örneğin;
1
f ( x) = x → f ' ( x) = 1 f ( x) = x 4 → f ' ( x) = 4 x 3 dır.
8. ♦Bir Sabitle Bir Fonksiyonun Çarpımının Türevi:
c ∈ R ve f fonksiyonu , x noktasında türevli bir fonksiyon ise ,
[ c. f ( x)] ' = c. f ' ( x) dır.Örneğin;
f ( x) = 5.x 2 → f ' ( x) = 5.2.x = 10 x
♦İki Fonksiyonun Toplamının Türevi:
f :R R, g :R R türevlenebilen iki fonksiyon ise f+g fonksiyonunun
türevi, [f(x) +g(x)] ’=f ’(x)+g’(x) dır.yani her fonksiyonun ayrı ayrı
türevi alınarak bulunur.Örneğin;
f ( x ) = 2 x 3 − 5 x 2 − 4 ise, f ' ( x) = 6 x 2 −10 x dır.
9. ♦İki Fonksiyonun Çarpımının Türevi:
f :R R, g :R R türevlenebilen iki fonksiyon ise f.g fonksiyonunun
türevi, [f(x).g(x)]‘ =f ‘(x).g(x)+g ‘(x).f(x) dır.Örneğin;
f : R → R; f ( x) = ( x 2 + 1)( x 3 − 1) fonksiyonu veriliyor.
f ' ( x) = 2 x.( x 3 −1) + 3 x 2 .( x 2 +1) = 5 x 4 + 3 x 2 − 2 x dır.
♦Ikı Fonksiyonun Bölümünün Türevi:
f :R R, g :R R türevlenebilen iki fonksiyon ve g≠0 ise f/g
′
fonksiyonunun türevi, f ( x) = f ' ( x).g ( x) − g ' ( x). f ( x) dır.
g ( x) [ g ( x)]
2
10. FONKSİYON TÜREVLERİ
♣Bileşke Fonksiyonun Türevi:
g ,x te türevlenebilen; f , g(x) te türevlenebilen birer fonksiyon olmak
üzere fog fonksiyonu x te türevlenebilir ve
( fog )′( x) = ( f ( g ( x ) ) )′ = f ′( g ( x ) ).g ′( x ) dır.
Bu işleme türevde zincir kuralı denir.Sonuç olarak,
f ( x) = [ g ( x)]
n
biçiminde verilen üslü fonksiyonun türevi, bileşke
f ′( x ) = n.[ g ( x ) ] .g ' ( x )
n −1
fonksiyonun türev kuralı uygulanarak
şeklinde bulunur.
11. ÖRNEK:
1- f ( x ) = ( x 3 − x 2 +1)
1998
fonksiyonunun türevini,
f ′( x ) = 1998.( x 3 − x 2 +1) .(3 x 2 − 2 x )
1997
şeklinde buluruz.
(
2-f ( x ) = x − 2 x −3
3 2
) 5
fonksiyonuna göre f ´(1) nedir?
( )(
f ′( x ) = 5. x 3 − 2 x 2 − 3 . 3 x 2 − 4 x ) türevinde x terine 1 yazarsak;
f ′(1) = −5.4 4 = −1280 buluruz.
12. ♣Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri:
f:R R ,f(x) = sin x fonksiyonunun türevi f´(x) = cos x dir.
f:R R ,f(x) = cos x fonksiyonunun türevi f´(x) = -sin x dir.
u x’e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;
f(x) = tan u ⇒ f ′ ( x) =
u′
= u′. sec 2 u = u′.(1 + tan 2 u ) dur.
cos 2 u
u′
f(x) = cot u ⇒ f ′ ( x) = − 2 = − u′. cos ec 2u = − u′.(1 + cot 2 u ) dur.
sin u
13. ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ
♠MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ:
f:A R , y=|f(x)| verilsin.a∈A , f(a)≠0 olmak üzere fonksiyonunun
türevi;
y`= f `(x)= -f `(x) , f(a) <0
f `(x) , f(a) >0
f(a)=0 ise ,fonksiyonun bu noktadaki türevi olmayabilir.Bunu
araştırmak için ,fonksiyonun sağdan ve soldan türevine
bakılır.Soldan ve sağdan türevler eşitse ,fonksiyon bu noktada
türevlidir.Aksi halde türevi yoktur.
14. ÖRNEK:
f ( x) = x 2 − 1 fonksiyonu veriliyor.
f``(-2) ve f``(1) değerleri varsa hesaplayalım.
ÇÖZÜM:
•x=-2 için fonksiyon sıfırdan büyük olduğundan aynen çıkar yani,
f ′( x) = 2 x ⇒ f ′(−2) = −4 dır.
•x=1 için fonksiyon sıfıra eşittir.Dolayısıyla sağdan ve soldan
türevlere bakılır.
f ′(1− ) ≠ f ′(1+ ) olduğundan f `(1) yoktur.
15. ♠ TAM DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ:
f:A R, y = f (x) verilsin.Eğer y = f (x) fonksiyonu a∈A
nokyasında sürekli ise ,fonksiyonun bu noktadaki türevi sıfırdır.
Sürekli değilse türevi yoktur.
y = f (x ) fonksiyonunda f(x)∉Z ise süreklidir ve türevi
sıfırdır.Fakat f(x)∈Z ise sürekli olup olmadığına bakılır.
Süreksizse türev yoktur.
16. ♠İŞARET FONKSİYONUNUN TÜREVİ:
f:A R ,y = sgn f(x) fonksiyonu verlsin.Eğer a ∈ A noktasında
sürekli ise ,bu noktada türevi sıfırdır.Süreksizse türevi yoktur.
y´= 0 ,f(a)≠0 ise
Yoktur , f(a)= ise dır.Örneğin;
f ( x) = sgn( x 2 − x − 6) fonksiyonu veriliyor.f´(1) değerini bulalım.
x=1 için x − x − 6
2
ifadesinin değeri -6 ≠0 olduğundan f´(1)=0
dır.
17. ♠KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ:
Tanım:x ve y değişken olmak üzere ,F(x,y)=0 denklemiyle verilen
Bağıntılara kapalı fonksiyon denir.Kapalı fonksiyonların türevi
hesaplanırken önce x sonra da y sabit alınarak türev bulunur.
dy Fx′( x, y ) bulunur.
Fx′( x, y ) + Fy′ ( x, y ). y′ = 0 ⇒ y′ = = −
dx Fy′ ( x, y )
18. ÖRNEK: F ( x, y ) = x + y − 2 x − 24 = 0 bağıntısı veriliyor.
2 2
Bunun türevini bulalım.
ÇÖZÜM:Bu bağıntının türevini bulurken önce x’e daha sonra da
y’ye göre türev alıp ,birbirine böleriz.
Fx′( x, y ) − 2 x + 2 1 − x
y′ = = = buluruz.
Fy′( x, y ) 2y y
19. ♠PARAMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ:
Bu tür fonksiyonlarda, x ile y birbirine t parametresi ile bağlıdır.
x=h(t) ve y=g(t) denklemlerinden t parametresi yok edilerek , x ile
y arasında y=f(x) bağıntısı elde edilir.Buradan y nin x e göre
türevi
bulunur. dy
dy
=
dy dt
= dt = g ′(t )
dx dt dx dx h′(t )
dt
20. ÖRNEK: x = t − 2 parametrik fonksiyonunun türevini bulalım.
y = t 2 −t + 3
dy
ÇÖZÜM: y ′ = dt = 2t − =2t −
1
1
dx 1
dt
x= t – 2 → t = x+2 değeri türevde yerine konulursa
y´= 2(x+2) – 1= 2x+3 bulunur.
21. ♠TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ:
u x e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;
u′ u′
1.(arcsin u )′ = 2.(arccos)′ = −
1− u 2
1− u2
u′ − u′
3.(arctan)′ = 4.(arc cot u )′ =
1+ u2 1+ u2
22. ♠LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TÜREVİ:
Bileşke fonksiyonda yazdığımız teoremden de yararlanarak
logaritmik fonksiyonlar için şu sonuca varabiliriz;
u,x’e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;
u′
1- f ( x ) = log a u ⇒ f ′( x ) = log a e
u
u′
2- f ( x ) = ln u ⇒ f ′( x ) =
u
23. ÖRNEK:
1-f(x)=ln(sin x) fonksiyonunun türevini bulunuz.
(sin x)′ cos x
Çözüm: ⇒ f ′( x) = = = cot x buluruz.
sin x sin x
2-ln(sin y)+ln(cos x)-1= 0 ise dy/dx değerini bulunuz.
− sin x
dy F ′x cos x = tan y = tan x. tan y
Çözüm: =− =− buluruz.
dx F ′y cos y cot y
sin y
24. ♠ÜSTEL FONKSİYONUN TÜREVİ:
u, x’e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;
1- f ( x) = a ⇒ f ′( x ) = a .u ′. ln u
u u
2- f ( x ) = e u ⇒ f ′( x ) = e u .u ′ Örneğin; f ( x) = 3tan x
fonksiyonunun türevini bulalım.
f ( x) = 3 tan x
⇒f ′( x) = 3tan x.(tan x )′. ln 3
⇒f ′( x) = 3tan x. sec 2 x. ln 3 bulunur.
25. A. Artan Ve Azalan Fonksiyonlar
1) Her x1, x2∈ A için, x1<x2 iken, f(x1)< f(x2) ise,
fonksiyonu, A kümesinde, artandır.
26. 2) Her x1, x2∈ A için, x1<x2 iken, f(x1)> f(x2) ise,
f fonksiyonu, A kümesinde, azalandır.
27. SONUÇ:
f:[a,b]→R fonksiyonu, (a,b) aralığında artan ve türevli ise,
fonksiyonun bu aralıktaki türevi pozitiftir
Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında artan bir fonksiyon ise bu
aralığın her elemanı için f’(x)>0’dır.
a b
f’(x) +++++
f(x) artan
28. Sonuç:
f:[a,b]→R, fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan ve türevli ise,
fonksiyonun bu aralıktaki türevi negatiftir.
Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan fonksiyon ise bu
aralığın her elemanı için, f’(x)<0’dır.
a b
f’(x) -----
f(x) azalan
29. B) YEREL MAKSİMUM NOKTASI:
Tanım: f:[a,b]→R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x0∈(a,b) ve
ε > 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ε,xo+ ε) aralığında en büyük
değerini x0 noktasında alıyorsa, (x0,f(x0)) noktasında bir yerel
maksimumu vardır.
f(x0) değerine, fonksiyonun bir yerel maksimum değeri denir.
a x0 b
f(x0)
f ’(x) + -
Y=f(x)
f(x) f(x0)
a b
x0- ε x0 xo+ ε
Maksimum
30. C)YEREL MİNİMUM NOKTASI:
Tanım:f:[a,b]→R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x0∈(a,b) ve
ε > 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ε,xo+ ε) aralığında en küçük değerini
x0 noktasında alıyorsa, (x0,f(x0)) noktasında bir yerel minimumu
vardır.
f(x0) değerine, fonksiyonun bir yerel minimum değeri denir.
a x0 b
f ’(x) - +
Y=f(x) f(x) f(x0)
x0- ε x0 xo+ ε
a b
Minimum
f(x0)
31. SONUÇ:
Yerel f(b) y=f(x)
maksimum
f(c) +
++ - - +
a + - d +
+ c - + b
+ -
+ f(a) - - +
- +
- +
f(d) Yerel minimum
f ’(x)>0 f ’(x)<0 f ’(x)>0
32. f:[a,b] →R fonksiyonu, (a,b) aralığında ikinci basamaktan türevli
olsun:
y=f(x)
B
A
α θ
a x1 x2 b
Eğrinin çukurluk yönü yukarı doğru bakmaktadır.
a’dan b’ye, teğetlerin eğim açılarının büyüdüğüne dikkat edelim.
33. y=f(x)
B
A
α θ
a x1 x2 b
Bu teğetlerin eğimleri;
m1= tanα=f’(x1) ve m2=tanθ=f’(x2)
α<θ ⇒ tanα< tanθ ⇒ f’(x1) < f’(x2) ‘dir. Yani;
x1< x2 için, f’(x1) < f’(x2) olduğundan, f’ fonksiyonu artan’dır. f’
fonksiyonu artan olduğundan, türevi, f’’(x) > 0 ‘dır.
34. Şimdi de, eğrilik yönü aşağı doğru olan bir eğri inceleyelim:
B
A
α θ
a x1 x2 b
a’dan b’ye , teğetlerin eğim açılarının küçüldüğüne dikkat!
Bu teğetlerin eğimleri;
m1= tanα=f’(x1) ve m2= tanθ =f’(x2) ‘dir.
35. B
A
α θ
a x1 x2 b
α>θ ⇒ tanα> tanθ ⇒ f’(x1) > f’(x2) ‘dir.
Yani;
x1< x2 için, f’(x1) > f’(x2) olduğundan, f’ fonksiyonu azalan’dır. f’
fonksiyonu azalan olduğundan, türevi, f’’(x) < 0 ‘dır.
36. SONUÇ:
Bir f fonksiyonu için, aralığın Bir f fonksiyonu için, aralığın
her noktasında, f’’(x)<0 her noktasında, f’’(x)>0
oluyorsa, f fonksiyonunun bu oluyorsa, f fonksiyonunun bu
aralıktaki grafiğinin çukurluk aralıktaki grafiğinin çukurluk
yönü aşağı doğrudur. yönü yukarı doğrudur.
f’’(x)< 0 ⇒Konkav(İç bükey) f’’(x)> 0 ⇒Konveks(Dış bükey)
