6. Sonuç:
f:[a,b]→R fonksiyonu, (a,b) aralığında artan ve türevli ise,
fonksiyonun bu aralıktaki türevi pozitiftir
Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında artan bir fonksiyon ise
bu aralığın her elemanı için f’(x)>0’dır.
a b
f’(x) +++++
f(x) artan
7. Sonuç:
f:[a,b]→R, fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan ve türevli
ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi negatiftir.
Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan fonksiyon ise
bu aralığın her elemanı için, f’(x)<0’dır.
a b
f’(x) -----
f(x) azalan
9. Soru: f(x)=x2-2x fonksiyonunun artan veya
azalan olduğu aralıkları bulunuz?
Çözüm:
:
Fonksiyonunun, artan veya azalan olduğu aralıkları
bulabilmek için, türevinin işaretini incelemeliyiz.
-∞ 1 +∞
f(x)=x2-2x ⇒ f’(x)= 2x-2
f’(x) - +
2x-2=0 ⇒ x=1 olur.
f(x)
azalan artan
10. mx + 1
Soru: ∀×∈R-{-2} için, f(x)= x + 2
fonksiyonu-
nun daima artan olabilmesi için, m ne olmalıdır?
Çözüm
:
Fonksiyonun daima artan olabilmesi için, f’(x)>0 ol-
malıdır.
m.( x + 2) − 1.(mx + 1) mx + 2m − mx − 1 2m − 1
f’(x)= ( x + 2) 2
= ( x + 2) 2
= ( x + 2) 2
2m − 1
Buradan;
( x + 2) 2
〉0 ⇒ 2m − 1 〉 0 ⇒ m〉
1
2
bulunur.
11. Soru y
: Y=f(x)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun [-3,4] aralığındaki gra-
fiğini görmektesiniz.Bu grafiğe göre, f(x)’in türevinin
pozitif veya negatif olduğu aralıkları bulunuz?
12. Çözüm :
a) [-3,-1) aralığında,
Fonksiyon azalan olduğundan,f ’(x)< 0 ‘dır.
b) (-1,3) aralığında,
Fonksiyon artan olduğundan, f ‘(x) > 0’dır.
c) (3,4) aralığında,
Fonksiyon azalan olduğundan, f ’(x)< 0 ‘dır
13. Soru
:
y
Y=f’(x)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun, [-3,4] aralığında-
ki türevinin grafiğini görmektesiniz. Grafiğe ba-
karak, f(x)’in artan ve azalan olduğu aralıkları bu
lunuz?
14. y
Çözüm Y=f’
: (x)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
a) [-3,-2) aralığında: x
f’(x) > 0 olduğundan, f(x) bu aralıkta artan’dır.
b) (-2,0) aralığında:
f’(x) < 0 olduğundan, f(x) bu aralıkta azalan’dır.
c) (0,4] aralığında:
x=3 noktası hariç, f’(x) > 0 olduğundan,f(x) bu aralıkta
artan’dır.
16. 1. YEREL MAKSİMUM NOKTASI:
Tanım: f:[a,b]→R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x0∈(a,b) ve
ε > 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ε,xo+ ε) aralığında en büyük
değerini x0 noktasında alıyorsa, (x0,f(x0)) noktasında bir
yerel maksimumu vardır.
f(x0) değerine, fonksiyonun bir yerel maksimum değeri
denir.
a x0 b
f(x0)
f ’(x) + -
Y=f(x)
f(x) f(x0)
a b
x0- ε x0 x o+ ε
Maksimum
17. 2. YEREL MİNİMUM NOKTASI:
Tanım:f:[a,b]→R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x0∈(a,b) ve
ε > 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ε,xo+ ε) aralığında en küçük
değerini x0 noktasında alıyorsa, (x0,f(x0)) noktasında bir
yerel minimumu vardır.
f(x0) değerine, fonksiyonun bir yerel minimum degeri
denir.
a x0 b
f ’(x) - +
Y=f(x) f(x) f(x0)
x0- ε x0 x o+ ε
a b
Minimum
f(x0)
18. Sonuç:
Yerel f(b) y=f(x)
maksimum
f(c) +
++ - - +
a + - d +
+ c - + b
+ -
+ f(a) - +
- +
-
- +
f(d) Yerel minimum
f ’(x)>0 f ’(x)<0 f ’(x)>0
23. f:[a,b] →R fonksiyonu, (a,b) aralığında ikinci basamaktan
türevli olsun:
y=f(x)
B
A
α θ
a x1 x2 b
Eğrinin çukurluk yönü yukarı doğru bakmaktadır.
a’dan b’ye, teğetlerin eğim açılarının büyüdüğüne dikkat!
24. y=f(x)
B
A
α θ
a x1 x2 b
Bu teğetlerin eğimleri;
m1= tanα=f’(x1) ve m2=tanθ=f’(x2)
α<θ ⇒ tanα< tanθ ⇒ f’(x1) < f’(x2) ‘dir.
Yani;
x1< x2 için, f’(x1) < f’(x2) olduğundan, f’ fonksiyonu artan’dır.
f’ fonksiyonu artan olduğundan, türevi, f’’(x) > 0 ‘dır.
25. Şimdi de, eğrilik yönü aşağı doğru olan bir eğri inceleyelim:
B
A
α θ
a x1 x2 b
a’dan b’ye , teğetlerin eğim açılarının küçüldüğüne dikkat!
Bu teğetlerin eğimleri;
m1= tanα=f’(x1) ve m2= tanθ =f’(x2) ‘dir.
26. B
A
α θ
a x1 x2 b
α>θ ⇒ tanα> tanθ ⇒ f’(x1) > f’(x2) ‘dir.
Yani;
x1< x2 için, f’(x1) > f’(x2) olduğundan, f’ fonksiyonu azalan’dır.
f’ fonksiyonu azalan olduğundan, türevi, f’’(x) < 0 ‘dır.
27. SONUÇ:
Bir f fonksiyonu için, aralı- Bir f fonksiyonu için, aralı-
ğın her noktasında, f’’(x)< 0 ğın her noktasında, f’’(x)> 0
oluyorsa, f fonksiyonunun bu oluyorsa, f fonksiyonunun bu
aralıktaki grafiğinin çukurluk aralıktaki grafiğinin çukurluk
yönü aşağı doğrudur. yönü yukarı doğrudur.
f’’(x)< 0 ⇒Konkav(İç bükey) f’’(x)> 0 ⇒Konveks(Dış bükey)
29. Bir önceki örnekte görüldüğü gibi, fonksiyon eğrisi, eğrilik
yönünü bazı noktalarda değiştirmektedir:
Tanım
:
Bir f fonksiyonunun grafiğinin, çukurluğunun yön değiş-
tirdiği ve fonksiyonun sürekli olduğu noktaya,
Dönüm (büküm) noktası
denir.
30. Şekilleri dikkatle inceleyiniz!!!
f(x0)
f(x0)
a 0 x0 b 0 a x0 b
f ’’(x)<0 f ’’(x)>0 f ’’(x)>0 f ’’(x)<0
f ’’(x0)=0 f ’’(x0)=yok
Dönüm noktası Dönüm noktası
DİKKAT: İkinci türevin işaret değiştirdiği nokta DÖNÜM noktasıdır.
35. x=2 noktası, ikinci türevin kökü olduğu halde, dönüm
noktası değildir
Türev bu noktada, işaret değiştirmemektedir!
Yani; f’’(x0)=0 olması, x0 noktasının DÖNÜM noktası
olmasını gerektirmez!!!!
37. Tanım: f ve g , [b,c] aralığında sürekli ve (b,c) aralığında türevli iki,
fonksiyon olsun. f ve g fonksiyonları, a∈(b,c) olmak üzere, bir a
noktasında tü- revli ve g’(a)≠0 olsun.
f'(x)
lim f(x) = 0, lim g(x) = 0, ve lim varsa,
x →a x →a x→a g ( x)
'
f(x) f'(x)
lim = lim
x→a g( x) x→ a g'( x)
40. x 2 − 7 x + 10
1. lim 2 limitinin değerini bulunuz?
x →2 x − 3x + 2
Çözüm :
x 2 − 7 x + 10 0
lim 2 = belirsizliği var
x →2 x − 3x + 2 0
x 2 − 7 x + 10 2x − 7 2.2 − 7 −3
lim 2 lim
= x→2 2x − 3 = 2.2 − 3 = 1 = −3
x →2 x − 3x + 2
41. x+1−1
2. lim limitinin değerini bulunuz?
x→0 x
Çözüm :
x+1−1 0
lim = belirsizliği var
x→0 x 0
1
2 x +1 1
x+1−1 lim lim
lim = = x→ 0
2 x+1
x→0 x x→0 1
1 1
= 2 0 +1 = 2
42. 1 + cos x
3. lim limitinin değerini bulunuz?
x→ π sin x
Çözüm :
1 + cos x 0
lim = belirsizliği var
x→ π sin x 0
1 + cos x - sinx
lim = lim
x→ π sin x x→π cosx
− sinπ 0
= = 0
cosπ −1
43. ln( x + 1)
4. lim x limitinin değerini bulunuz?
x→∞ e + cos x
Çözüm :
ln( x + 1) ∞
lim x = belirsizliği var
x→∞ e + cos x ∞
1
ln( x + 1) 0
lim x lim x + 1
= x→∞ x
x→∞ e + cos x e - sinx ∞
0
44. ln(sin x )
5. lim limitinin değerini bulunuz?
x→0 ln(sin 2x )
Çözüm :
ln(sin x ) ∞
lim = belirsizliği var
x → 0 ln(sin 2x )
∞
ln(sin x ) cosx/sinx
lim = lim
x → 0 ln(sin 2x ) x→0 2cos2x/sin2x
cosx/sinx Cosx.sin2x
lim lim
= x→0
x→0 2cos2x/sin2x 2cos2x.sinx
46. 1
lim ⋅ e x limitinin değerini bulunuz?
6. x → ∞
x
Çözüm :
1
lim ⋅ e x = 0 •
x→∞ x
∞
1 ex ∞
lim ⋅ e x = lim =
x→∞ x x→∞ x ∞
ex
=∞ = ∞
ex e∞
lim = lim =
x→∞ x x→∞ 1 1 1
47. 7. lim x. sin
x→∞
( x)
2
limitinin değerini bulunuz?
Çözüm :
lim x. sin ( x ) = ∞ •0
2
x→∞
2
sin( )
lim x = 0
x →∞ 1 0
x
2 −2 2
sin( ) ⋅ cos
x lim x
2
x
lim = = lim 2. cos(2 / x ) = 2
x →∞ 1 x →∞ −1 x→ ∞
x x 2
48. 1 1
8. lim − limitinin değerini bulunuz?
x → 1 x − 1 ln x
Çözüm :
1 1
lim
x → 1 x − 1
− =
ln x
∞- ∞
1 1 ln x − x + 1 0
lim − = lim
ln x ⋅ ( x − 1) =
x → 1 x − 1 ln x x →1
0
49. 1
ln x − x + 1 −1
lim x
ln x ⋅ ( x − 1) =
lim
1
=
x →1
x →1
⋅ ( x − 1) + ln x
x
1 −x
x 1− x 0
lim = lim =
x →1
( x − 1) + x. ln x x → 1 ( x − 1) + x. ln x
0
x
Bu aşamada, L’Hospital kuralı bir kere daha uygulanır:
50. −1
lim
1− x
lim x2
x → 1 ( x − 1) + x. ln x
= =
x →1
1 1
+ 2
x x
−1
x2 −1 −1
lim = lim =
x→ x + 1
1 x→ x + 1
1 2
x2