TÜREVİN UYGULAMALARI

2. y
f:(a,b)==>R fonksiyonu
i)∀x1,x2∈(a,b)
ve x1≤x2 içi
a
b
f(x1)≤f(x2) ise f x1==>x2
fonksiyonu (a,b)
aralığında artandır.

3. y
ii) ∀x1,x2∈(a,b)
ve x1≥x2 için, f(x1)≥f(x2)
f(x1)
ise f fonksiyonu (a,b)
⇓
aralığında azalandır.
f(x2)
x
a x1===> x2 b
f:(a,b)==>R tanımı ve türevlenebilen bir fonksiyon ve ∀x∈(a,b)
olmak üzere;
i)f’(x)>0 isen fonksiyon artandır.
ii)f’(x)<0 ise fonksiyon azalandır.

4. Yani bir fonksiyon verilen aralıkta türevinin
işaretini incelediğimizde,türevinin pozitif olduğu
aralıkta fonksiyon artan,negatif olduğu aralıkta
azalandır.
f:(a,b) aralığında artan ise
∀x,x1∈(a,b) için x≥x1 ==> f(x) ≥f(x1)
olduğundan f(x)-f(x1)/x-x1≥0 olur.
Buradan lım f(x)-f(x1) =f’(x +)≥0
x x+1 x-x1 1
x≤x1==>f(x)≤f(x1) olduğundan f(x)-f(x1) ≥0 ve
lım f(x)-f(x1) x-x1
x x-1 =f’(x1-)≥0 Olduğundan türev mevcut olup
x-x1
f’(x1) ≥0 dır.

5. Bu teoremi başka bir şekilde açıklamak gerekirse
i)gerçekten şekildeki f
fonksiyonu (a,b) aralığında artan
olup bu aralığı her noktasında f(x)
çizilen teğetlerin ox ekseniyle
yaptığı açılar dar açılardır.Dar αa
açıların tanjantı pozitif b
olduğundan (a,b) aralığında her
noktasındaki türevi de pozitiftir.

6. ii)f fonksiyonu(a,b) y
aralığında azalan olup
bu aralığın her
noktasında çizilen
teğetlerin ox ekseni ile
yaptığı açılar geniş α x
açılardır.Geniş açıların b a
tanjantı negatif
olduğundan (a,b)
aralığının her
noktasındaki türevi de
negatiftir.
Bir fonksiyon belli aralıklarda
değil de daima artansa buna
monoton aratan daima azalansa
buna monoton azalan denir.

7. f(x)=x2-3x+2 fonksiyonunun artan ve
azalan olduğu aralıkları bulunuz.
Fonksiyonun türevinin işaretini
-∝ 3/2 +∝
inceleyelim. x
f’(x)=2x-3 f’(x) - +
f’(x)=2x-3=0 f(x)
x:3/2
o halde fonksiyon (-∝,3/2) aralığında
azalan (3/2,+∝) aralığında artandır.

8. F:(a,b)==>R fonksiyonu sürekli ve (a,b) aralığında birinci ve
ikinci türevleri mevcut olsun.
i)(a,b) aralığında f’’(x)>0 ise eğri yukarıya doğru konkav veya
eğrinin çukurluğu yukarı doğrudur.
ii)(a,b) aralığında f’’(x)<0 ise eğri aşağıya doğru konkav veya
eğrinin çukurluğu aşağıya doğrudur.

9. y
Gerçekten ;
i)şekilde görüldüğü gibi yukarıya
doğru konkav olan bir eğri
üzerinde apsisi daha büyük olan
bir noktada ki eğim açısı daha
büyüktür. α1 α
a x1 x2 b x
α2> α1 olup tan α2> tanα1 bunu f’(x2)> f’(x1) şeklinde de
yazabiliriz,bu durumda f’(x) fonksiyonu değişkeni ile aynı yönde
değiştiğinden artan fonksiyondur.Dolayısıyla bunu türevi de
pozitiftir,yani f’’(x) >0 dır.O halde ikinci türevi pozitif yapan x
değerleri için eğri yukarıya doğrum konkav olacaktır.

10. y
ii)Şekilde görüldüğü gibi aşağıya doğru
konkav olan bir eğri üzerinde apsisi daha
büyük olan bir noktada ki eğim açısı
daha küçüktür.
α2< α1 olup tan α2< tanα1 bunu
f’(x2)< f’(x1) şeklinde de yazabiliriz,bu
durumda f’(x) fonksiyonu değişkeni ile α2 α1 x
0 a x1 x2 b
ters yönde değiştiğinden azalan
fonksiyondur.Dolayısıyla bunu türevi de
negatiftir,yani f’’(x) <0 dır.O halde ikinci
türevi yapan negatif x değerleri için eğri
aşağıya doğru konkav olacaktır.

11. 1)f(x) fonksiyonu bir A(x0,y0) noktasındaki teğetinin
üst tarafında kalıyorsa yukarı doğru konkav ;
teğetinin alt tarafında kalıyorsa aşağıya doğru
konkav veya (kısaca konveks) adını alır.
2)Sürekli bir f(x) fonksiyonunun çukurluğunun yön değiştirdiği
noktaya fonksiyonun dönüm noktası denir.
y= f(x) denklemi ile verilen bir eğri üzerindeki bir (a,f(a))
noktasının büküm noktası olması için f’’(a)=0 ve f’’’(a)a≠0
olmalıdır.
3) f’(a)=0 ,f’’(a)=0,f’’’(a)=0 olaması hallerinde x=a için 0
olmayan ilk türev bulununcaya kadar türev almaya devam
edilir.Bu takdirde (a,f(a)) noktası;0 olamayan ilk türevin
derecesi tek ise bir büküm noktası çift ise ekstremum
noktasıdır.

12. f(x)=1/4.x4-6x2+8x-15 eğrisinin aşağı ve yukarı doğru
konkav olduğu aralıları belirtiniz.
f(x) fonksiyonunu ikinci türevinin işaretini
inceleyelim.
f’(x)=x3-12x+8
f’’(x)=3x2-12=3(x2-4)=0
x2=4 ==> x1=2 x2=-2
x -∝ -2 2 +∝
f’’(x) + - +

13. f(x)=x2+1/x fonksiyonun dönüm noktasını bulunuz.
f’(x)=2x-1/x2,f’’(x)=2+2/x3=0
ise 2/x3=-2 ise x3=-1 ise x=-1 dir.
f’’’(x)=-6/x4 ise f’’’(-1) ≠0 olduğundan x=-1 apsisli
nokta f(x) in dönüm noktasıdır.

14. Mutlak max
Yerel max
Yerel min
Mutlak min
p q k lm n t u
a -2 2 3 4 b
Yukarıda bir f(x) fonksiyonun (a,b) aralığında grafiği verilmiştir,
-2 noktasını içine alan (p,q) açık aralığındaki bütün x ler için ;
f(x)≤f(-2)=5 ve aynı şekilde 3∈(m.n) ve ∀x∈(m,n) için;
f(x)≤f(3)=4 ise f(x) fonksiyonunun x=-2 ve x=3 apsisli noktaları
yerel maksimum vardır ve bu maksimum noktalar A=(-2,5),C(3,4)
noktalarıdır.

15. Benzer şekilde
2∈(k.l) ve ∀x∈(k,l) için; f(x)≥f(2)=3
4∈(t.u) ve ∀x∈(t,u) için; f(x)≥f(4)=2
olduğundan f(x) fonksiyonunun x=2 ve x=4 apsisli noktalarda yerel
minumumu vardır ve bu noktalar B(2,3),D(4,2) noktalarıdır.
Bir fonksiyonun birden fazla max ve min noktaları
olabilir.
Yerel max ların en büyüğüne mutlak max veya
fonksiyonun en büyük değeri,
yerel minumumların en küçüğüne de mutlak min veya
fonksiyonun en küçük değeri denir.
Minımum ve maksimum değerlere kısaca
fonkasiyonun ekstremumları denir.

16. F:(a,b)=>Rye tanımlı ve türevlenebilen bir fonksiyon verilmiş olsun.
İ)f(x) fonksiyonu bir x=c noktasının solunda artan sağında azalan ise
x=c f(x) in bir maksimum noktadsıdır.
-∝ c +∝
X
Y’ + -
y f(c)
C

17. (c,f(c) maksimum noktadır.
ii) F(x) fonksiyonu bir x=c noktasının solunda azalan ,
sağında artan ise x=c noktası f(x) in bir minimum noktasıdır
y
x -∝ c +∝
- +
- + f ’(x) - +
c
x - + f(x) f(c)
(c, f(c) ) minimum noktadır.

18. NOT: Türevlenebilen bir fonksiyonunun birinci türevinin kökleri yerel
maksimum veya yerel minimum noktalarının apsisleridir.Bu noktalar
esas fonksiyonda yerine yazılarak ordinatları da bulunabilir.
x -∝ x1 x2 +∝
f ‘(x) + - +
f (x) f(x1) f(x2)
(x1 , f (x1) ) noktası yerel maksimum noktadır.
(x2 , f(x2) ) noktası yerel minimum noktadır.
UYARI: Türevlenebilen bir fonksiyonun yerel ekstremum noktasının
Olabilmesi için türevinin bu noktada işaret değiştirmesi gerekir.

19. ÖRNEK: 18
f:R→ R f(x) = x3 – 3x2 +5 fonksiyonunun yerel ekstremum
(max , min) noktalarını bulunuz?
ÇÖZÜM:
f ‘(x) = 3x2 – 6x x -∝ 0 2 +∝
3x2 –6x = 0 y’ + - +
3x (x –2 ) = 0 y 5 1
x1 = 0 x2 = 2
f(0) = 5 , ( 0 , 5) max noktadır.
f(2)= 1 , (2 , 1) min noktadır.

20. f : [ a , b ] → R fonksiyonun c ∈ ( a , b) noktasında bir yerel minimumu
veya yerel maksimumu varsa ve f fonksiyonu c noktasında türevli ise
f ‘ (c) = 0 dır.
Bu teoremin karşıtı doğru değildir, yani f fonksiyonunun f ‘ (c) = 0 olduğu
halde fonksiyonun c noktasında yerel ekstremumu olmayabilir.
ÖRNEK : 22
f(x) = x3 – mx2 + nx + 5 fonksiyonunun x = 1 apsisli noktadaki yerel
ekstremum değeri 7 olduğuna göre m + n = ?
ÇÖZÜM :
f(x) ‘in x = 1 de bir yerel ekstremumu olduğuna göre f ‘ (1) = 0 dır.Buna göre,
f ’(x) =3x2 - 2mx +n
f ‘(1) = 3 -2m +n=0 -2m +n = -3 ayrıca x =1 de f (1) =7 olduğundan f(1) =
1-m+n+5 =7 -m+n =1 dir. Bu iki denklemi ortak çözdüğümüzde
2m-n =3 m =4
ise m +n =9 bulunur. -m +n =1 n =5

21. İKİNCİ TÜREVDEN YARARLANARAK YEREL
EKSTREMUM VE DÖNÜM (BÜKÜM)
NOKTALARININ BULUNMASI
f(x) fonksiyonu (a , b) aralığında türevli ve f ‘ (x) ve f “ (x) türevleri
mevcut olsun. f ‘(x) = 0 denkleminin x1, x2 ,x3 kökleri bulunsun.Bu kökleri
ikinci türevde yazdığımızda sonuç negatifse maksimum, pozitifse minimum,
sıfır ise dönüm ( büküm ) noktası vardır. f ‘(x) = 0
denkleminin x1, x2 ,x3 kökleri bulunsun.
i) f “ (x1) > 0 ise (x1 , f(x1) ) noktası minimum noktadır.
ii) f “ (x2) < 0 ise (x2 , f(x2) ) noktası maksimum noktadır.
iii) f “ (x3) = 0 ise (x3 , f(x3) ) noktası dönüm ( büküm) noktasıdır.
y C (x2 , f (x2 )
B(x3, f(x3) )
x1 x3 x2
A (x1 ,f(x1))

22. ÖRNEK: 25
f (x) = x3 -3x2 +12 eğrisinin minimum noktasının ordinatı nedir?
ÇÖZÜM:
Fonksiyonun birinci türevinin kökleri maksimum ve minimum noktalarının apsisleridir.
Buna göre
f ‘ (x) = 3x2 -6x ise 3x2-6x = 0
3x ( x-2) = 0
x1 = 0 ve x2 = 2
Bu kökleri ikinci türevde yerine yazalım.
f “(x) = 6x -6
x1 = 0 ise f “ ( 0) = 6 .0 -6 = -6 < 0

23. MAKSİMUM VE MİNİMUM PROBLEMLERİ
Değişken bir ifadenin maksimum ve minimum değerleri, uygulama
alanı çok olan değerlerdir.Bir merminin ulaşabileceği en büyük
yüksekliğin bulunması, verilen bir hacimde depo yapılabilmesi için
minimum miktarda malzemeye ihtiyaç duyulması, bir küre içine
yerleştirilecek en büyük hacimli silindirin boyutlarının bulunması gibi
sorulara verilecek cevaplar bu gibi problemlerin çözümü ile elde
edilecektir.
Maksimum ve minimum problemleri çözebilmek için evvela
maksimum ve minimum olması istenilen büyüklüğün yalnız bir değişken
cinsinden ifade edilip, sonra bunun türevi sıfıra eşitlenerek elde edilen
denklem çözülür.Bu denklemin kökleri esas fonksiyonda yerlerine
yazılarak maksimum ve minimum değerleri bulunur.

24. Toplamları 10 olan iki pozitif sayının kareleri toplamı enfazla
kaç olur?
Bu sayılardan birine x dersek diğeri 10-x olur. Kareleri toplamı bir
fonksiyon şeklinde ifade edecek olursak;
f(x) = x2 + (10-x)2 = x2 + 102 - 20x + x2 = 2x2 - 20x + 100
f:[1,9] R şeklinde tanımlanan f(x) fonksiyonunun maksimum u
bulmak istiyoruz, fonksiyon bir parabol belirtir.
f '(x) = 4x - 20 = 0 x=5
x -... 5 +...
y' - +
y
min

25. f(1) = 12 + 92 = 82 O halde sayıların toplamı en fazla 82
f(5) = 52 + 52 = 50 olur.
f(9) = 92 +12 = 82
f fonksiyonu [a , b aralığında sürekli ve bu aralığın iç kısmında yani
(a , b) de türevlenebilir olsun ,eğer f(a) = f(b) ise en az öyle bir c ∈
(a,b) vardır ki F fonksiyonunun bu c noktasında türevi 0 dır. Yani f, (c) =
0 dır.

26. yukardaki şekilde rolle teoremi geometrik olarak anlatılmaktadır. Yani
f fonksiyonu .
- [a , b] aralığında sürekli
- (a , b) aralığında türevlenebilir.
- f(a) = f(b) dir.
grafik rolle teoreminin üç şartını da gerçekler ve (a , b) aralığında
x0 , x‘0 , x'‘0 olmak üzere üç noktada türev sıfırdır. Yani bu noktalarda
grafiğin yatay teğetleri vardır.
f(x) fonksiyonuna [2 , ] aralığında Rolle teoremini
uygulayınız.

27. f(x) fonksiyonu [2 , 4] aralığında sürekli ve (2,4) aralığında
türevlenebilir.
f(2) = f(4) = e olduğundan rolle teoreminin şartlarını sağlar. O halde
[2 , 4]aralığını en az bir c noktasında türev sıfırdır.
f ‘(x) = 2 (x-3) . e(x-3)2 ise
f ‘(c) = 2 (c-3) . e(c-3)2 = 0 dır .
. e(x-3)2 ≠ 0 olduğundan c-3 = 0 olmalı.burdan c=3 bulunur
3 ∈ [2 , 4] ve f ‘(3) = 0 dır