Dokumen tersebut membahas tentang konsep vektor pada bidang dan bangun ruang, termasuk definisi vektor, vektor posisi, vektor satuan, penjumlahan vektor, pengurangan vektor, dan hasil kali bilangan dengan vektor.
Dokumen tersebut membahas tentang ruang vektor dimensi 2 dan 3. Ruang vektor dimensi 2 dan 3 merupakan himpunan titik yang terdiri dari pasangan dan tripel bilangan riil yang masing-masing mewakili koordinat x dan y, serta x, y dan z. Ruang vektor ini memiliki sistem koordinat kartesius untuk menggambarkan letak titik-titiknya. Vektor merupakan besaran fisis yang memiliki nilai dan arah, yang dapat
1) Vektor adalah besaran yang memiliki besaran dan arah. Vektor dapat ditulis menggunakan huruf kecil yang dicetak tebal atau dibubuhi tanda panah.
2) Vektor dapat ada di ruang R1, R2, dan R3 yang masing-masing memiliki 1, 2, dan 3 sumbu koordinat. Vektor basis adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu koordinat.
3) Operasi vektor meliputi penjumlahan, pengurangan,
Dokumen tersebut membahas tentang ruang vektor dimensi 2 dan 3. Ruang vektor dimensi 2 dan 3 merupakan himpunan titik yang terdiri dari pasangan dan tripel bilangan riil yang masing-masing mewakili koordinat x dan y, serta x, y dan z. Ruang vektor ini memiliki sistem koordinat kartesius untuk menggambarkan letak titik-titiknya. Vektor merupakan besaran fisis yang memiliki nilai dan arah, yang dapat
1) Vektor adalah besaran yang memiliki besaran dan arah. Vektor dapat ditulis menggunakan huruf kecil yang dicetak tebal atau dibubuhi tanda panah.
2) Vektor dapat ada di ruang R1, R2, dan R3 yang masing-masing memiliki 1, 2, dan 3 sumbu koordinat. Vektor basis adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu koordinat.
3) Operasi vektor meliputi penjumlahan, pengurangan,
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang vektor, termasuk pengertian skalar dan vektor, operasi aljabar vektor seperti perkalian skalar dengan vektor, penjumlahan vektor, dan panjang vektor. Juga dijelaskan beberapa contoh soal untuk memahami konsep-konsep tersebut.
Vektor merupakan besaran yang memiliki besar dan arah. Dokumen menjelaskan pengertian vektor dan operasi-operasi vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dengan vektor, serta contoh-contoh penerapannya.
Dokumen tersebut membahas tentang penjumlahan vektor, termasuk karakteristik vektor, penggambaran vektor dan resultan vektor, serta rumus-rumus untuk menentukan besar dan arah resultan dua vektor menggunakan aturan sinus dan cosinus.
Makalah ini membahas tentang vektor bangun ruang dan cara penyelesaian masalah vektor dalam bangun ruang. Pembahasan dimulai dari pengertian vektor, vektor posisi, operasi vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian vektor dengan skalar dan vektor, serta pembagian ruas garis dalam bentuk vektor dan koordinat. Tujuan makalah ini adalah sebagai pelengkap tugas persentasi dan referensi bagi p
Dokumen ini membahas vektor pada bidang dengan pendekatan secara aljabra. Terdapat teorema-teorema dasar tentang operasi vektor seperti penjumlahan, perkalian skalar, dan proyeksi vektor. Diberikan juga contoh soal dan penyelesaiannya untuk mengaplikasikan teorema-teorema tersebut dalam menentukan panjang vektor, sudut antara dua vektor, dan kerja yang dilakukan gaya vektor.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang definisi vektor dan operasi-operasi dasar vektor seperti penjumlahan vektor, pengurangan vektor, modulus vektor, dan pembagian ruas garis. Diberikan pula contoh-contoh soal untuk mempraktikkan konsep-konsep tersebut. Ringkasan utamanya adalah definisi vektor sebagai besaran yang memiliki besar dan arah, serta cara merepresentasikan vektor secara geometris, aljabar
Dokumen tersebut membahas beberapa jenis fungsi khusus seperti fungsi konstan, fungsi identitas, fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi modulus, fungsi nilai bulat terbesar, fungsi genap, dan fungsi ganjil beserta contoh-contoh dan cara menggambarkan grafiknya.
SMAN 1 Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel
Kesalahan terbesar yang dibuat manusia dalam kehidupannya adalah terus-menerus merasa takut bahwa mereka akan melakukan kesalahan.
Dokumen tersebut membahas sistem persamaan linear tiga variabel, termasuk definisi, bentuk umum, dan metode penyelesaiannya seperti substitusi, eliminasi, dan determinan.
Dokumen tersebut membahas tentang evaluasi pembelajaran, yang mencakup definisi evaluasi, ruang lingkup evaluasi dalam perspektif hasil pembelajaran dan sistem pembelajaran, serta prinsip-prinsip dan teknik evaluasi pembelajaran seperti pengukuran, penilaian, tes, dan non tes.
Teks tersebut membahas tentang bangun ruang kubus dan balok, termasuk menjelaskan sifat-sifat, cara menggambar, dan menghitung luas permukaan kubus dan balok. Imah dan teman-temannya diminta membuat dus kotak nasi dan membahas langkah-langkah membuat jaring-jaring kubus dan balok.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang vektor, termasuk pengertian skalar dan vektor, operasi aljabar vektor seperti perkalian skalar dengan vektor, penjumlahan vektor, dan panjang vektor. Juga dijelaskan beberapa contoh soal untuk memahami konsep-konsep tersebut.
Vektor merupakan besaran yang memiliki besar dan arah. Dokumen menjelaskan pengertian vektor dan operasi-operasi vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dengan vektor, serta contoh-contoh penerapannya.
Dokumen tersebut membahas tentang penjumlahan vektor, termasuk karakteristik vektor, penggambaran vektor dan resultan vektor, serta rumus-rumus untuk menentukan besar dan arah resultan dua vektor menggunakan aturan sinus dan cosinus.
Makalah ini membahas tentang vektor bangun ruang dan cara penyelesaian masalah vektor dalam bangun ruang. Pembahasan dimulai dari pengertian vektor, vektor posisi, operasi vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian vektor dengan skalar dan vektor, serta pembagian ruas garis dalam bentuk vektor dan koordinat. Tujuan makalah ini adalah sebagai pelengkap tugas persentasi dan referensi bagi p
Dokumen ini membahas vektor pada bidang dengan pendekatan secara aljabra. Terdapat teorema-teorema dasar tentang operasi vektor seperti penjumlahan, perkalian skalar, dan proyeksi vektor. Diberikan juga contoh soal dan penyelesaiannya untuk mengaplikasikan teorema-teorema tersebut dalam menentukan panjang vektor, sudut antara dua vektor, dan kerja yang dilakukan gaya vektor.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang definisi vektor dan operasi-operasi dasar vektor seperti penjumlahan vektor, pengurangan vektor, modulus vektor, dan pembagian ruas garis. Diberikan pula contoh-contoh soal untuk mempraktikkan konsep-konsep tersebut. Ringkasan utamanya adalah definisi vektor sebagai besaran yang memiliki besar dan arah, serta cara merepresentasikan vektor secara geometris, aljabar
Dokumen tersebut membahas beberapa jenis fungsi khusus seperti fungsi konstan, fungsi identitas, fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi modulus, fungsi nilai bulat terbesar, fungsi genap, dan fungsi ganjil beserta contoh-contoh dan cara menggambarkan grafiknya.
SMAN 1 Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel
Kesalahan terbesar yang dibuat manusia dalam kehidupannya adalah terus-menerus merasa takut bahwa mereka akan melakukan kesalahan.
Dokumen tersebut membahas sistem persamaan linear tiga variabel, termasuk definisi, bentuk umum, dan metode penyelesaiannya seperti substitusi, eliminasi, dan determinan.
Dokumen tersebut membahas tentang evaluasi pembelajaran, yang mencakup definisi evaluasi, ruang lingkup evaluasi dalam perspektif hasil pembelajaran dan sistem pembelajaran, serta prinsip-prinsip dan teknik evaluasi pembelajaran seperti pengukuran, penilaian, tes, dan non tes.
Teks tersebut membahas tentang bangun ruang kubus dan balok, termasuk menjelaskan sifat-sifat, cara menggambar, dan menghitung luas permukaan kubus dan balok. Imah dan teman-temannya diminta membuat dus kotak nasi dan membahas langkah-langkah membuat jaring-jaring kubus dan balok.
Dokumen tersebut membahas tentang denah dan skala. Denah digunakan untuk menggambarkan letak ruangan pada suatu bangunan sebelum dibangun, sedangkan skala digunakan untuk menyesuaikan ukuran gambar dengan ukuran sebenarnya. Denah dan skala penting untuk merancang dan membangun suatu bangunan.
Bab ini membahas tentang kecepatan dan debit. Kecepatan didefinisikan sebagai jarak yang ditempuh dalam satuan waktu tertentu. Debit adalah volume zat cair yang mengalir dalam satuan waktu. Contohnya debit air yang mengalir dari keran air. Bab ini juga menjelaskan tentang satuan-satuan yang terkait dengan kecepatan dan debit serta cara menghitung nilai kecepatan dan debit.
Ringkasan dokumen tersebut adalah:
1. Dokumen tersebut membahas tentang kurikulum 2013 dan implementasinya serta silabus dan RPP tahun 2019.
2. Terdapat biodata penulis dokumen beserta arah pengembangan SMK menurut Kemendikbud.
3. Juga terdapat penjelasan tentang komposisi kompetensi pada tiap jenjang pendidikan dan bagaimana menurunkan indikator pencapaian kompetensi.
Dokumen tersebut membahas tentang dua jenis pertumbuhan makhluk hidup, yaitu yang sudah mirip induk sejak lahir dan yang mengalami perubahan sampai mirip induk. Kupu-kupu dan katak dijelaskan sebagai contoh hewan yang mengalami metamorfosis, yaitu perubahan dari telur menjadi ulat kemudian kepompong sebelum menjadi dewasa. Proses serupa juga dialami ladybug dan kebanyakan serangga.
Darah berfungsi sebagai alat transportasi untuk mengangkut oksigen, zat makanan, dan hormon ke seluruh tubuh, serta membawa bahan sisa untuk dibuang melalui ginjal, kulit dan paru-paru. Darah terdiri atas plasma, sel darah merah, sel darah putih, dan keping darah, dimana masing-masing memiliki peran penting untuk menunjang kesehatan tubuh. Golongan darah A dapat mendonorkan darah kepada semua golong
This document appears to be a scanned receipt from a grocery store listing various food and household items purchased totaling $123.45. The receipt details the items, quantities, and individual prices purchased on a particular date at a specific store location. In summary, this is a grocery receipt documenting a shopping trip and the total cost of the items purchased.
2. SK : Menerapkan konsep vektor dalam pemecahan
masalah
KD : Menerapkan konsep vektor pada bidang datar
Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang
TUJUAN PELATIHAN :
Peserta memiliki kemampuan untuk
mengembangkan keterampilan siswa
dalam melakukan, menerapkan dan
memecahkan masalah dalam kehidupan
sehari-hari yang berkaitan dengan vektor.
Hal.: 2 Vektor Adaptif
3. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
BESARAN
VEKTOR
SKALAR
Tidak memiliki arah Memiliki arah
(panjang, masa,waktu,suhu dsb) (gaya, kecepatan,
Perpindahan dsb)
Hal.: 3 Vektor Adaptif
4. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
Pengalaman Belajar
1. Berapa besar resultan gaya pada sebuah katrol
yang ditunjukan seperti pada gambar di bawah ini!
600 P2 = 4 KN
P1 = 5 KN
Hal.: 4 Vektor Adaptif
5. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
PERHATIKAN RUAS-RUAS GARIS BERARAH BERIKUT
SETIAP RUAS GARIS BERARAH
MEWAKILI PERGESERAN
YANG SAMA:
4 KE KIRI
2 KE ATAS
LAM-
−
−
4
–– 4 44KE KIRI
KE KIRI
BANG:
22 22KE ATAS
KE ATAS
SETIAP RUAS GARIS BERARAH DI ATAS
− 4
–
MEWAKILI SE UAH VE T
B K OR
2
2
Hal.: 5 Vektor Adaptif
6. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
5 KE KIRI
4
K SETIAP RUAS GARIS BERARAH
E MEWAKILI PERGESERAN
B YANG SAMA:
A
LAM-
W
BANG:
A
H
− 4 5 KE KIRI
−4 5
−
– 54 5 KE KIRI
–5
–2
24
2
–4
4 KE BAWAH
KE BAWAH
−4
–5
SETIAP RUAS GARIS BERARAH DI ATAS
MEWAKILI SE UAH VE T
B K OR
–2
4
Hal.: 6 Vektor Adaptif
7. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
Soal
Lukislah ruas garis melalui titik A yang sejajar PQ dan
ruas garis melalui titik B yang tegak lurus PQ !
Q
B
P
A
Hal.: 7 Vektor Adaptif
8. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
Penyelesaian:
Q E
3
3
C B 1
P 3 3 D
1
A 1 1
AC // PQ
BD atau BE tegak lurus PQ
Hal.: 8 Vektor Adaptif
9. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
VEKTOR POSISI
Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang Kartesius maka vektor =
x
OP = p = 1
y
1
P (x1,y1 )
Jika koordinat titik P(x1, y1) maka vektor
p posisi dari titik P adalah:
y1
x1
y disebut komponen vektor p
X1 1
Vektor Satuan Adalah vektor yang panjangnya satu satuan
→ 1
Vektor satuan dengan arah sumbu X, disebut dengan i =
0
Vektor satuan dengan arah sumbu Y, disebut dengan → 0
j =
1
Hal.: 9 Vektor Adaptif
10. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
VEKTOR DALAM BENTUK KOMBINASI LINEAR
Perhatikan vektor p pada gambar berikut:
P (x1,y1)
X
Bila titik P(x1,y1) maka OP = OQ + QP
Maka dapat dinyatakan dengan vektor basis:
p = x1 i + y1 j
x1 dan y1 disebut komponen-komponen vektor p
Hal.: 10 Vektor Adaptif
11. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
PANJANG VEKTOR
Besar atau panjang suatu vektor apabila digambarkan dengan
garis berarah adalah panjang ruas garis berarah itu.
P(x1,y1)
p OP = OQ + QP 2 2
o
Q
x1
Jadi bila p =
y
1
Maka panjang vektor
2
+y
2
p adalah p = x 1 1
Hal.: 11 Vektor Adaptif
12. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
Contoh soal
1. Nyatakan vektor posisi titik A (5,3) sebagai vektor basis
(kombinasi linier dari i dan j)
Jawab: vektor a atau OA = 5 i + 3 j
2. Nyatakan vektor posisi titik A (3,2,- 4) sebagai vektor
basis (kombinasi linier dari i, j dan k)
Jawab: vektor a atau OA = 3 i + 2 j – 4 k
3. Nyatakan vektor AB sebagai vektor basis (kombinasi
linier dari i dan j) jika titik A (5,-3) dan B (3,2)
Jawab: AB = ....
Hal.: 12 Vektor Adaptif
13. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
Penjumlahan Vektor
Jika vektor a dijumlahkan dengan vektor b menghasilkan
vektor c di tulis → → →
a +b =c
Bagaimana caranya
cara segitiga
cara jajaran genjang
Hal.: 13 Vektor Adaptif
14. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
cara segitiga
Memindahkan vektor b sehingga
Pangkalnya berhimpitan dengan
C
ujung vektor a
b
B = c
a +b
a
A B
c=a + b AC = AB + BC
Hal.: 14 Vektor Adaptif
15. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
Cara Jajaran Genjang
Memindahkan vektor b sehingga pangkalnya
berhimpitan dengan pangkal vektor a
ac
b=
a+
b
b
a
Hal.: 15 Vektor Adaptif
16. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
CONTOH SOAL
Jabarkan vektor AE dalam bentuk vektor u dan v ?
→ → →
AE = AD + DE
→ 1→ 1→ →
= v + u = u+ v
2 2
Bagaimana dengan vektor EF ?
Hal.: 16 Vektor Adaptif
17. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
D E
C
→
v
F
→
A u B
→ → →
EF = EC + CF
1→ 1→
= U − V
2 2
Hal.: 17 Vektor Adaptif
18. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
Pengurangan Vektor
Selisih vektor a dengan vektor b adalah vektor c yang
diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor a dengan
lawan vektor b
a - b = a + ( -b) a – b = a + (-b)
= (-b) +a
R = PS + ST
= PT
= RQ
b
b
P Q
a
-b
a
S a T
Hal.: 18 Vektor Adaptif
19. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah vektor yang
panjangnya |k| kali panjang vektor a dan arahnya adalah:
sama dengan arah vektor a jika k > 0
berlawanan dengan arah vektor a jika k < 0
sama dengan nol jika k = 0
Hal.: 19 Vektor Adaptif
20. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
Jika vektor
→ 1 → 1 2
a = , maka 2 a = 2 =
− 2 − 2
− 4
Dalam bentuk ruas garis
→
→ 2a
a
Hal.: 20 Vektor Adaptif
21. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
Jika vektor
2 2 6
→ →
a = 3 , maka 3 a = 3 3 = 9
Dalam bentuk ruas garis
→
3a
→
a
Hal.: 21 Vektor Adaptif
22. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
→ →
u dan v tampak pada gambar
→
v
→
u
→ →
Tunjukkan dengan gambar vektor 2 u + v
→ →
→ 2u + v
v
→
2u
Hal.: 22 Vektor Adaptif
23. VEKTOR DALAM BANGUN RUANG
VEKTOR . . . ?
Secara aljabar, vektor dalam dimensi dua (R2) adalah
pasangan terurut dari bilangan real [x, y], dengan x dan y
adalah komponen-komponen vektor tersebut dan dalam
dimensi tiga (R3) vektor adalah pasangan terurut dari
bilangan real [x, y, z], dengan x, y dan z adalah
komponen-komponen vektor tersebut.
Secara geometri, vektor merupakan himpunan ruas garis
berarah. Panjang ruas garis berarah menandakan ukuran
besarnya, sedangkan arah anak panah menunjukkan
arah vektor yang bersangkutan
Hal.: 23 Vektor Adaptif
24. VEKTOR PADA BANGUN RUANG
VEKTOR POSISI x1
Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang Kartesius maka vektor = OP = p = y1
Z 1
P (x1,y1 )
Jika koordinat titik P(x1, y1,Z1) maka
p
y1 vektor posisi dari titik P adalah:
x1
y
X1 1 disebut komponen vektor p
Z 1
Vektor Satuan Adalah vektor yang panjangnya satu satuan
1
→
i =0
Vektor satuan dengan arah sumbu X, disebut dengan
0
Hal.: 24 Vektor Adaptif
25. VEKTOR PADA BANGUN RUANG
0
j = 1
Vektor satuan dengan arah sumbu Y, disebut dengan →
0
0
k = 0
→
Vektor satuan searah dengan sumbu z disebut dengan
1
Hal.: 25 Vektor Adaptif
26. VEKTOR PADA BANGUN RUANG
PANJANG VEKTOR
x1
Jadi bila p = y1
Maka panjang vektor p adalah
z
1 2 2 2
p = x 1 +y
1 +z
1
Jika diketahui dua titik yaitu A (x1, y1,z1) dan B (x2, y2, z2)
Didalam ruang maka panjang AB dirumuskan sebagai berikut :
AB = ( X 2 − X 1 ) 2 + (Y2 − Y1 ) 2 + ( Z 2 − Z1 ) 2
Hal.: 26 Vektor Adaptif
27. VEKTOR PADA BANGUN RUANG
RUMUS PEMBAGIAN
B Jika titik P terletak pada ruas garis AB
n maka dapat dinyatakan:
b P
Dalam Bentuk Vektor
p
m
O a A mb + n a
p=
m +n
Dalam Bentuk Koordinat
mxB + nx A myB + ny A mzB + nz A
xP = yP = zP =
m+n m+n m+n
Hal.: 27 Vektor Adaptif
28. VEKTOR DALAM BANGUN RUANG
Perkalian skalar dari dua Vektor
2
x1 x
Jika a = y dan b = y2
1
z z
1 2
Hasil kali skalar dua vektor a dan b adalah
a.b = x1.x2 + y1. y2 + z1.z2
Hal.: 28 Vektor Adaptif
29. VEKTOR DALAM BANGUN RUANG
Hasil kali skalar dua vektor a dan b jika keduanya membentuk sudut
tertentu didefinisikan:
a.b = a b Cos θ
dimana θ :sudut yang diapit oleh kedua vektor a dan b
Besar sudut antara vektor a dan vektor b dapat ditentukan dengan:
a.b a .b + a .b + a .b
cos θ = = 1 1 2 2 3 3
a .b a 2 + a 2 + a 2. b 2 + b 2 + b 2
1 2 3 1 2 3
Hal.: 29 Vektor Adaptif
30. VEKTOR DALAM BANGUN RUANG
Perkalian Silang Dua Vektor
Hasil perkalian silang dua vektor a dan b didefinisikan : axb b
θ
a xb = a . b . sin Θ a
bxa
Bila Vektor a = x1i + y1 j + z1k dan Vektor b = x2 i + y2 j + z 2 k
Maka perkalian silang dua vektor dirumuskan sebagai berikut :
axb = ( y1 z2 − y2 z1 ) i + ( x2 z1 − x1 z2 ) j + ( x1 y2 − x2 y1 ) k
Perkalian silang dua matriks bisa juga diselesaikan menggunakan
Determinan 3x3 dengan cara Sarrus
Hal.: 30 Vektor Adaptif