Dokumen ini membahas berbagai ukuran statistik, termasuk rata-rata tertimbang, rata-rata geometrik, ragam, dan simpangan baku. Contoh-contoh disertakan untuk menghitung indeks prestasi, pertumbuhan suku bunga, dan ukuran penyebaran untuk data populasi dan sampel. Selain itu, juga dijelaskan mengenai koefisien ragam dan angka baku sebagai ukuran penyimpangan data dari rata-rata.

1. UKURAN STATISTIK
Rata-Rata Tertimbang (Weighted Mean)
Dalam beberapa kasus setiap nilai diberi beban, misalnya pada kasus perhitungan Indeks
Prestasi, Nilai Penjualan Barang, dll
n
∑
i =1
B ix i
xB = n
∑ B i
i=1
Di mana xB : rata-rata tertimbang
Bi : beban ke-i
xi: data ke-i
n: banyak data
Contoh 1 :
Berikut adalah Transkrip Akademik seorang mahasiswa
Mata Kuliah Nilai Angka Mutu SKS ( B i x i
Mutu (x i ) Bi )
Pancasila B 3 2 6
Teori Ekonomi A 4 4 16
Bahasa Inggris C 2 3 6
Manajemen A 4 3 12
Σ 14 12 40
n
∑ B ixi
40
i=1
Indeks Prestasi = x B = n = = 3.33
12
∑ i=1
B i
Rata-Rata Geometrik (Geometric Mean)
Rata-rata geometrik digunakan untuk menghitung rata-rata laju pertumbuhan (growth rate),
misalnya : pertumbuhan penduduk, penjualan, tingkat bunga dll.
G = n x1 × x 2 × x 3 × ⋅⋅⋅× x n
atau
lo g x 1 + lo g x 2 + lo g x 3 + ⋅ ⋅⋅ + lo g x n
lo g G =
n
ingat G = antilog (log G)
Di mana G : rata-rata geometrik
xi : data ke-i
n : banyak data
Contoh 2 :
Data pertumbuhan suku bunga dalam 5 hari kerja :
1.5 2.3 3.4 1.2 2.5 %
Ukuran Statistik 1

2. lo g x 1 + lo g x
+ lo g x 3 + lo g x 4 + lo g x
G = x1 × x 2 × x 3 × ⋅ ⋅⋅ × x
2 5
n = lo g G =
n
5
lo g 1 .5 + lo g 2 .3 + lo g 3 .4 + lo g 1 .2 + lo g 2 .5
=
5
0 . 1 7 6 . . . + 0 . 3 6 1 . . . + 0 .5 3 1 . . . + 0 . 0 7 9 . . . + 0 . 3 9 7 . . .
=
5
1 .5 4 6 4 . . .
= = 0.30928....
5
G = antilog 0.30928... = 2.03837....
Bandingkan dengan rata-rata hitung
n
∑
i=1
xi
=
1 .5 + 2 .3 + 3 .4 + 1 .2 + 2 .5
=
1 0 .9
= 2.18
x = 5 5
n
UKURAN PENYEBARAN
1 Ragam = Varians (Variance) dan Simpangan Baku = Standar Deviasi (Standard
Deviation)
a. Ragam dan Simpangan Baku untuk Ungrouped Data
POPULASI :
N N N
∑ ( xi − µ) 2
atau
N ∑ xi − (∑ xi)2
2
i=1 i =1 i =1
σ 2
= σ 2
=
Ν N 2
dan σ = σ 2
SAMPEL :
n n n
∑= 1 ( x i − x) 2
atau
n ∑
i=1
xi − (
2
∑ i=1
x i )2
s2 = i s2 =
n −1 n (n − 1)
dan s = s 2
xi: data ke-i
µ : rata-rata populasi x : rata-rata sampel
σ²: ragam populasi s²: ragam sampel
σ: simpangan baku populasi s: simpangan baku
Ukuran Statistik 2

3. sampel
N: ukuran populasi n: ukuran sampel
Contoh 3 :
Data Usia 5 mahasiswa : 18 19 20 21 22 tahun
a. Hitunglah µ, σ² dan σ (anggap data sebagai data populasi)
b. Hitunglah x , s² dan s (data adalah data sampel)
Jawab :
xi µ atau x ( x i -µ) atau ( x i - x ) ( x i -µ)² atau ( x i - x )² x i
2
18 20 -2 4 324
19 20 -1 1 361
20 20 0 0 400
21 20 1 1 441
22 20 2 4 484
Σ 100 ------ ------- 10 2010
POPULASI :
100
N=5 µ = = 20
5
n
∑ (x i − µ) 2
=
10
=2
i =1
σ 2
= 5
Ν
N N
N ∑ xi − (∑ xi)2
2
=
(5 × 2 0 1 0 ) − 1 0 0 2
=
10050 −10000
=
50
=2
i =1 i =1
σ 2
= 2
52 25 25
N
σ = σ
= 2 = 1.414... 2
SAMPEL :
n
n=5 x =
100
=2 2 ∑ (xi − x )2
=
10
= 2.5
5 s = i =1
4
n − 1
n n
n ∑
i=1
xi2 − ( ∑
i =1
xi)2
=
(5 × 2 0 1 0 ) − 1 0 0 2
=
10050 −10000
=
50
= 2.5
s2 = 5 × 4 20 20
n(n − 1)
s = s 2 = 2 . 5 =1.581...
b. Ragam dan Simpangan Baku untuk Grouped Data
POPULASI :
Ukuran Statistik 3

4. k
∑= 1 fi × (xi − µ)2
dan σ = σ 2
σ 2
= i
Ν
SAMPEL :
k
∑ fi × ( xi − x )2
dan s = s 2
i=1
s = 2
n −1
xi: Titik Tengah Kelas ke-i
fi : frekuensi kelas ke-i
k : banyak kelas
x : rata-rata sampel
µ : rata-rata populasi
σ²: ragam populasi
s²: ragam sampel
σ: simpangan baku populasi
s: simpangan baku sampel
N: ukuran populasi
n: ukuran sampel
Contoh 4 :
1679
Rata -Rata (µ atau x ) = = 33.58
50
Kelas TTK Frek. fi x i µ atau ( x i -µ) atau ( ( x i -µ)² atau f i ( x i -µ)²
xi fi x x i -x ) ( x i - x )² atau
f i ( x i - x )²
16 - 23 19.5 10 195 33.58 -14.08 198.2464 1982.4640
24 - 31 27.5 17 467.5 33.58 -6.08 36.9664 628.4288
32 - 39 35.5 7 248.5 33.58 1.92 3.6864 25.8048
40 - 47 43.5 10 435 33.58 9.92 98.4064 984.0640
48 - 55 51.5 3 154.5 33.58 17.92 321.1264 963.3792
56 - 63 59.5 3 178.5 33.58 25.92 671.8464 2015.5392
Ukuran Statistik 4

5. Σ ----- 50 1679 ---- ---------- ----------- 6599.68
POPULASI : N = 50
k
∑ fi × (x i − µ)
2
=
6 5 9 9 .6 8
= 131.9936
σ 2
= i=1
50
Ν
σ = σ 2
= 1 3 1 . 9 9 3 6 = 11.4888....
SAMPEL :
k
∑
i =1
fi × (xi − x) 2
=
6 5 9 9 .6 8
= 134.6873....
s = 2 49
n −1
s = s 2
= 1 3 4 . 6 8 7 3 . . . = 11.6054....
2 Koefisien Ragam
Koefisien Ragam = Koefisien Varians
Semakin besar nilai Koefisien Ragam maka data semakin bervariasi, keragamannya data
makin tinggi.
σ
Untuk Populasi →Koefisien Ragam = ×100%
µ
s
Untuk Sampel →Koefisien Ragam = ×100%
x
Contoh :
x = 33.58 s = 11.6054
Koefisien Ragam =
s 1 1 .6 0 5 4
×100% = ×100% = 34.56 %
x 3 3 .5 8
Ukuran Statistik 5

6. 3 Angka Baku (z-score)
•Angka baku adalah ukuran penyimpangan data dari rata-rata populasi .
•z dapat bernilai nol (0), positif (+) atau negatif (-)
•z nol → data bernilai sama dengan rata-rata populasi
•z positif → data bernilai di atas rata-rata populasi
•z negatif → data bernilai di bawah rata-rata populasi
x − µ
z =
σ
z : Angka baku
x : nilai data
µ: rata-rata populasi
σ : simpangan baku populasi
Contoh 5 :
Rata-rata kecepatan lari atlet nasional = 20 km/jam dengan simpangan baku = 2.5 km
Hitung angka baku untuk kecepatan lari :
a. Ali = 25 km/jam b. Didi = 18 km/jam
x − µ 25 − 20 5
Jawab : a. z = = = =2
σ 2 .5 2 .5
x − µ 18 − 20 − 2
b. z = = = = -0.8
σ 2 .5 2 .5
Ukuran Statistik 6