Laporan ini membahas dua kegiatan sistematis penghitungan dan pencacahan pada kelas 9-12 yaitu Path's, Strings, and Combinations in Pascal's Triangle serta Combinations, Pascal's Triangle, and the Binomial Theorem. Kedua kegiatan ini bertujuan agar siswa dapat memahami konsep kombinasi dan hubungannya dengan segitiga Pascal secara lebih mendalam."
Discrete Mathematical Structures
Fundamentals of Logic
NAND, NOR COnnectives
Representing the given compound proposition in terms of only NAND and/or NOR connectives
The Bellman–Ford algorithm is an algorithm that computes shortest paths from a single source vertex to all of the other vertices in a weighted digraph. It is slower than Dijkstra's algorithm for the same problem, but more versatile, as it is capable of handling graphs in which some of the edge weights are negative numbers.
Discrete Mathematical Structures
Fundamentals of Logic
NAND, NOR COnnectives
Representing the given compound proposition in terms of only NAND and/or NOR connectives
The Bellman–Ford algorithm is an algorithm that computes shortest paths from a single source vertex to all of the other vertices in a weighted digraph. It is slower than Dijkstra's algorithm for the same problem, but more versatile, as it is capable of handling graphs in which some of the edge weights are negative numbers.
Bahan Ajar Persamaan Kuadrat SMP Kelas IX Kurikulum 2013Yoollan MW
Bahan ajar ini diharapkan dapat memudahkan siswa dalam memahami cara menentukan akar kuadrat dengan menggunakan 3 cara, yakni: 1) Metode Pemfaktoran 2) Metode Kuadrat Sempurna dan 3) Rumus ABC/ Kuadratik
Konten ini berisi Tugas Mata Kuliah Filsafat yang membahas bagaimana hubungan antara Filsafat,Ilmu dan juga Agama.
Semoga bermanfaat dan bisa digunakan sebagaimana mestinya. :)
Berisi teori tentang Pengelolaan Biaya Pendidikan dan Hasil Wawancara tentan Pengelolaan Biaya Pendidikan di SMA Srijaya Negara Palembang
Semoga bermanfaat :)
ppt profesionalisasi pendidikan Pai 9.pdfNur afiyah
Pembelajaran landasan pendidikan yang membahas tentang profesionalisasi pendidikan. Semoga dengan adanya materi ini dapat memudahkan kita untuk memahami dengan baik serta menambah pengetahuan kita tentang profesionalisasi pendidikan.
1. LAPORAN MATEMATIKA DISKRIT
SYSTEMATIC LISTING AND COUNTING
IN GRADE 9-12
Dosen Pembimbing :
Prof.Dr.Zulkardi,M.I.Komp,M.Sc
Meryansumayeka,S.Pd,M.Sc
Oleh :
Kelompok 7
1. Novi Sariani (06081381520047)
2. Novi Suryani (06081281520063)
3. Yuliana Novitasari (06081381520047)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
2017
2. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 2
DAFTAR ISI
Halaman Judul......................................................................................................................... 1
Daftar Isi.................................................................................................................................... 2
BAB I PENDAHULUAN.......................................................................................................... 3
BAB II PEMBAHASAN ........................................................................................................... 4
2.1. Kombinasi ........................................................................................................................ 4
2.2. Kegiatan pada Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 .................. 4
2.3. Path’s, Strings, and Combinations in Pascal’s Triangle .................................. 6
BAB III PENUTUP................................................................................................................... 13
3.1. Kesimpulan...................................................................................................................... 13
3.2. Saran................................................................................................................................... 14
LAMPIRAN................................................................................................................................ 15
Foto Kegiatan .......................................................................................................................... 16
Powerpoint............................................................................................................................... 21
LKPD........................................................................................................................................... 24
RPP.............................................................................................................................................. 34
Instrumen Penilaian............................................................................................................. 40
Modul/Bahan Ajar................................................................................................................. 42
Screenshot Video ................................................................................................................... 56
3. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 3
BAB I
PENDAHULUAN
Fokus utama pada kelas 9-12 adalah menggunakan notasi aljabar
dan penalaran yang semakin formal untuk memperluas, menjelaskan,
dan menghubungkan topik yang dibahas dalam kelas sebelumnya.
Sebagai contoh, siswa SMA harus mengeksplorasi dan menjelaskan
hubungan antara kombinasi, segitiga pascal, dan teorema binomial, dan
mereka harus dapat membuktikan sifat kombinasi dan permutasi aljabar
berdasarkan kombinasi dan dengan menggunakan penalaran
kombinatorial. Oleh karena itu, siswa juga harus belajar tentang
penyatuan formal untuk kombinasi dan permutasi, seperti C(n, k) dan
P(n, k) dan mereka seharusnya memahami sepenuhnya mengembangkan
dan menggunakan formula aljabar. Tujuan penting di kelas 9-12 adalah
agar siswa dapat memahami dan memecahkan empat tipe dasar dari
masalah penghitungan, seperti yang ditunjukkan oleh keempat sel pada
tabel 2.1. siswa harus mengerti bahwa pengulangan tidak diperbolehkan,
permutasi berlaku saat susunan masalah dan kombinasi berlaku saat
susunan tidak masalah. siswa di sekolah dasar dan SMP juga telah
mempelajari masalah tersebut, namun siswa di SMA menggunakan alat
tambahan formula aljabar dan penalaran formal dan bukti.
Dalam laporan ini, penulis menjelaskan tentang kegiatan yang
membahas mengenai materi Kombinasi yaitu Path’s, Strings, and
Combinations in Pascal’s Triangle dan Combinations, Pascal’s Triangle,
and the Binomial Theorem. Tujuannya agar siswa di kelas 9-12 lebih
memahami konsep kombinasi melalui kegiatan tersebut.
4. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 4
BAB II
PEMBAHASAN
2.1. Kombinasi
Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu
kumpulan tanpa memperhatikan urutannya. Karena tidak
memperhatikan urutan maka disinilah letak perbedaan antara kombinasi
dan permutasi. Pada kombinasi, susunan XY sama saja dengan
susunan YX ,sedangkan pada permutasi susunan XY dan YX dianggap
susunan yang berbeda.
Lambang notasi dari kombinasi adalah C. Jika disebutkan n
kombinasi r, maka dapat ditulis menjadi 𝐶𝑘
𝑛
. Rumus kombinasi adalah
sebagai berikut :
𝐶𝑘
𝑛
=
𝑛!
(𝑛 − 𝑘)! 𝑘!
2.2. Kegiatan pada Systematic Listing and Counting in Grade 9-12
Terdapat 2 kegiatan pada Bab ini yaitu Path’s, Strings, and Combinations
in Pascal’s Triangle dan Combinations, Pascal’s Triangle, and the
Binomial Theorem.
A. Path’s, Strings, and Combinations in Pascal’s Triangle
Path’s, Strings, and Combinations in Pascal’s Triangle atau Jalur, Deret
dan Kombinasi pada Segitiga Pascal merupakan suatu kegiatan yang
mendorong siswa untuk menemukan dan menjelaskan hubungan
antara jalur zigzag melalui susunan segitiga, binary strings, subset,
dan segitiga Pascal. Kegiatan ini memiliki tiga bagian, setiap bagian
terdiri dari beberapa masalah penghitungan. Bagian pertama yaitu
String Binner, bagian kedua yaitu Zig-Zag Paths and Binary String,
5. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 5
bagian ketiga yaitu Combinations and Subsets. Penyelidikan ini
memberi siswa pengenalan pada notasi untuk kombinasi dan
membantu mereka memahami gagasan dalam pengaturan nyata
tanpa menggunakan definisi formal dan formula teknis.
B. Combinations, Pascal’s Triangle, and the Binomial Theorem.
Combinations, Pascal’s Triangle, and the Binomial Theorem atau
Kombinasi, Segitiga Pascal, dan Teorema Binomial merupakan suatu
kegiatan yang mengeksplorasi hubungan dengan segitiga pascal dan
kombinasi, dan menyelidiki peran kombinasi dalam teorema
binomial. Siswa dapat menyelesaikan penyelidikan ini harus
memerlukan pengetahuan sebelumnya. Siswa seharusnya sudah
mengerti kombinasi, bisa menghitung kombinasi dengan
menggunakan rumus faktorial berikut :
𝑪 𝒏, 𝒌 =
𝒏!
𝒌! 𝒏 − 𝒌 !
dan mampu melakukan manipulasi aljabar dengan notasi faktorial.
Siswa harus dapat memperluas ekspresi binomial dan tahu
Teorema Binomial
Kombinasi
C(n,k)
Segitiga pascal
6. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 6
bagaimana membangun segitiga pascal. Dalam penelitian ini, siswa
menyatukan pengetahuan mereka tentang kombinasi, ekspresi
binomial, dan segitiga pascal.
2.3. Path’s, Strings, and Combinations in Pascal’s Triangle
Kegiatan Path’s, Strings, and Combinations in Pascal’s Triangle atau
Jalur, Deret dan Kombinasi pada Segitiga Pascal ini dapat berfungsi
sebagai pengantar informal untuk kombinasi dan segitiga pascal.
Kegiatan ini sesuai untuk siswa di kelas 9-12, walaupun diantaranya
mungkin tepat untuk siswa di kelas tujuh dan delapan, tergantung pada
siswa dan kurikulumnya. Dalam proses menggunakan Binary strings
untuk menganalisis jalur katak melompat, siswa membangun
pemahaman tentang segitiga pascal dan menemukan cara menggunakan
segitiga ini untuk menjawab pertanyaan penghitungan mendasar, seperti
berapa banyak himpunan bagian yang ada? Siswa memecahkan masalah
ini, dan juga masalah penghitungan lainnya, tanpa menggunakan rumus,
malah menggunakan segitiga pascal dan penalaran kombinatorial.
Siswa dengan latar belakang matematika yang berbeda dapat
menikmati bekerja sama dalam kegiatan ini sambil memperluas
pengetahuan mereka tentang string biner, kombinasi, dan segitiga pascal.
Tujuan dari kegiatan ini yaitu menggunakan penalaran dan rumus
untuk memecahkan masalah penghitungan dimana pengulangan tidak
bolehkan dan urutan tidak diperhatikan ; mengerti, menerapkan, dan
menggambarkan hubungan antara segitiga dan kombinasi pascal ; serta
menggunakan penalaran kombinatorial. Alat dan bahan yang diperlukan
yaitu lembar kerja dan pensil warna.
Kegiatan ini bersifat eksploratif dan informal. Ini mendorong
siswa untuk menemukan dan menjelaskan hubungan antara jalur zig-zag
melalui susunan segitiga, binary strings, himpunan, dan segitiga pascal.
Siswa menggunakan notasi C(n,k) untuk mewakili bilangan pada baris n
7. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 7
pada k dalam segitiga pascal. Siswa tidak menggunakan definisi formal
pada kegiatan ini. Mereka hanya mengeksplorasi, membuat koneksi, dan
memberi penjelasan.
Kegiatan ini memiliki tiga bagian, setiap bagian terdiri dari
beberapa masalah penghitungan. Bagian pertama yaitu String Binner,
bagian kedua yaitu Zig-Zag Paths and Binary String, bagian ketiga yaitu
Combinations and Subsets.
String Binner
"String biner" memberi siswa beberapa aktivitas
pemanasan sehingga mereka bisa merasa nyaman dengan konsep
string biner sebelum mereka menangani aktivitas utama dalam
penyelidikan ini. Masalah 1 dan 2 tidak terkait, sehingga siswa dapat
melakukan salah satu atau keduanya, sesuai kebutuhan.
Dalam masalah 1, siswa mempertimbangkan representasi
biner dari berbagai jalur untuk Carl, yang harus melewati jembatan
atau terowongan tiga sungai untuk melakukan perjalanan dari titik
X ke titik Y (lihat pada gambar, yang menunjukkan jembatan dan
terowongan).
Dalam masalah 2, siswa memeriksa segmen garis yang
berbeda yang masing-masing terdiri dari empat titik pada garis
8. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 8
(lihat gambar), dan mereka menyelidiki penggunaan string biner
untuk mengidentifikasi mereka.
Zig-Zag Paths and Binary String
Pada bagian 2, para siswa mengeksplorasi beberapa pola
segitiga pascal dengan menjelajahi jalur zigzag seekor katak yang
melompat ke bawah melalui deretan landasan Lily pad (lihat
marginnya). Siswa mewakili jalur dengan menggunakan string biner,
dan mereka menghitung jumlah jalur zigzag dari atas segitiga ke
entri manapun. Mereka melihat bahwa jumlah di lokasi segitiga
pascal mewakili jumlah jalur zigzag yang berbeda dari atas segitiga
ke posisi di segitiga.
Dalam konteks kegiatan ini, "jalur zigzag" selalu bergerak
ke bawah, mengarah ke kiri atau ke kanan pada setiap langkah. Siswa
harus mengerti bahwa adalah mungkin jalur zigzag dalam aktivitas
ini bergerak selalu ke kiri atau selalu benar.
Sebelum siswa mulai mengerjakan kegiatan ini, Anda mungkin bisa
membantu mereka memahami konteksnya dengan melakukan
beberapa aktivitas pemanasan. Pilih lokasi tertentu di segitiga, dan
9. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 9
minta murid untuk menunjukkan beberapa jalur dari atas (START)
ke lokasi. Kemudian mintalah seorang siswa untuk menggambarkan
jalan dalam bentuk string biner dengan 0 yang mewakili sebuah hop
ke kiri dan sebuah 1 mewakili sebuah hop ke kanan. Beritahu siswa
Anda bahwa dalam aktivitas "kiri" dan "benar" selalu berhubungan
dengan "pandangan udara" segitiga - sudut pandang siswa sendiri
saat mereka bekerja di atas kertas dan bukan sudut pandang katak
saat ia melompat.
Untuk membuat bagian aktivitas ini sangat konkret dan
membantu murid menjadi terlibat, Anda bisa merekam sebagian
besar segitiga di lantai atau menunjukkannya pada transparansi di
atas kepala. Kemudian mintalah seorang siswa untuk berjalan atau
menelusuri jalan yang digambarkan oleh string biner tertentu dan
temukan titik akhirnya. Tunjukkan bahwa saat langkah-langkah
walker ke kiri, kelas melihat ini gerakan ke kanan, dan sebaliknya.
String biner menggambarkan pergerakan dari sudut pandang
pengamat.
Pastikan siswa memahami konvensi pelabelan untuk
aktivitas ini. Baris 1 adalah baris pertama setelah START (row0),
baris 2 adalah baris kedua, dan seterusnya. Dalam kegiatan ini, siswa
tidak perlu memberi label entri secara berurutan secara eksplisit.
Jika subjek muncul, jelaskan bahwa Siswa harus mulai dengan 0
untuk memberi label entri berturut-turut yaitu, entri 0 di setiap baris
adalah tepi kiri, entri 1 adalah entri berikutnya ke kanan, dan
seterusnya. Pelabelan ini diperlukan untuk membuat hubungan
dengan kombinasi C(n, k) dalam aktivitas selanjutnya
Dalam masalah 1 sampai 5, para siswa mempertimbangkan
jalur zigzag yang mungkin diambil oleh katak saat melompati barisan
bantalan lily segitiga, dan mewakili jalur sebagai string biner. Di
10. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 10
lokasi masing-masing lily pad, mereka merekam senar biner yang
mewakili semua jalur zigzag dari atas segitiga ke lokasi itu.
Dalam masalah 6 sampai 10, para siswa menganggap
segitiga Pascal (lihat marginnya) dan hubungannya dengan segitiga
lily-pad. ingatkan murid-murid Anda bahwa penomoran baris dalam
segitiga Pascal dan negara-negara di setiap baris dimulai dengan 0,
pada masalah 7, mereka menemukan dan menjelaskan hubungan
antara segitiga pascal dan segitiga lily-pad. (masing-masing nomor
dalam segitiga pascal adalah jumlah string biner di lokasi yang sesuai
di segitiga lily-pad), jumlah itu adalah jumlah jalur zigzag dari
puncak segitiga ke lokasi itu). Secara khusus, siswa menjelaskan
aturan tambahan untuk segitiga pascal yaitu, hitung setiap entri
dengan menambahkan entri di atasnya ke kiri dan kanan dalam hal
string biner dan jalur zigzag. Dengan demikian, aktivitas ini
memberikan interpretasi konkret tentang apa yang seharusnya
menjadi aturan abstrak.
Dalam masalah 8 dan 9, siswa mengeksplorasi
penghitungan masalah yang berkaitan dengan koneksi antara
segitiga lily pad dan segitiga pascal, seperti menghitung semua jalur
zigzag dengan panjang tertentu atau menentukan jumlah string biner
dengan panjang tetap yang berisi angka tertentu. Dalam masalah 10,
mereka mengeksplorasi dan menjelaskan garis simetris segitiga
pascal tentang jalur zigzag.
Combinations and Subsets
11. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 11
Bagian 3 memperkenalkan notasi baru, C (n, k), untuk
menggambarkan lokasi bilangan dalam segitiga pascal (lihat
beberapa baris pertama di margin). Lokasi ini tentu saja merupakan
notasi untuk kombinasi, dan pekerjaan dalam aktivitas ini berkaitan
dengan kombinasi. Namun alih-alih memberikan definisi formal
tentang kombinasi atau menggunakannya secara formal, bagian
aktivitas ini menggunakan notasi C (n, k) untuk mewakili bilangan di
baris n, entri k, segitiga pascal. maka siswa menafsirkan C (n, k)
dalam hal jalur zigzag, string biner, himpunan bagian, dan memilih
digit k menjadi 1s dalam string biner n digit, bagian penyelidikan ini
secara informal mendorong siswa untuk mengetahui kombinasi
dalam syarat memilih. Penyelidikan berikutnya memperlakukan
kombinasi secara lebih formal.
Siswa menggunakan dan membandingkan tiga
representasi segitiga pascal yang berbeda pada bagian 3 - segitiga
"biner" dari bagian 2, nilai numerik segitiga yang disajikan kemudian
di bagian aktivitas tersebut, dan representasi menggunakan C(n, k )
notasi yang muncul pada awal bagian 3. Siswa harus mengacu pada
ketiga representasi saat mereka mengerjakan bagian akhir
penyelidikan ini.
Pada masalah 1, siswa menggunakan notasi C(n, k) untuk
melengkapi baris 6 segitiga. Dalam masalah 2, mereka menyelidiki C
(n, k) adalah jumlah jalur zigzag yang masuk k pada baris n, atau
ekuivalen, jumlah jalur panjang n yang memiliki tanda ke zag kanan
atau (n, k) ke kiri .
Dalam masalah 3, mereka menyelidiki C(n, k) dalam hal
string biner. mereka belajar bahwa C(n, k) adalah jumlah string
dengan panjang n yang mencakup k.
12. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 12
Masalah 4 mengenalkan terminologi "pilih" untuk nomor
C(n, k).
Dalam masalah 5, siswa mengeksplorasi angka C(n, k)
dan menjelaskan dua pola dasar yang juga merupakan pola dasar
segitiga pascal. Yang pertama dari pola ini adalah C(n, k) = C(n, k),
yang menunjukkan simetri garis vertikal segitiga pascal, dan yang
kedua adalah C(n, k) = C(n-1, k-1 ) + C(n-1, k), yang merupakan
aturan konstruksi dasar segitiga pascal.
Dalam masalah 6, siswa belajar tentang hubungan
mendasar antara C(n, k) dan subset, menemukan bahwa C(n, k)
adalah jumlah subset dari elemen k yang diambil dari himpunan
dengan n elemen.
Masalah 7, memperkenalkan kombinasi istilah, dan siswa
memecahkan masalah penerapan terkait yang melibatkan topping
pizza.
Masalah 8, membawa siswa ke konteks lain, mengundang
mereka untuk memecahkan masalah terapan tentang tim sepak bola
dengan delapan anggota, hanya enam di antaranya dapat bermain
dalam satu waktu. para siswa harus mengemukakan kembali
masalah tersebut dalam kaitannya dengan berbagai representasi
yang telah mereka gunakan.
Akhirnya, masalah 9 adalah tugas ringkasan, di mana
siswa menggambarkan hubungan antara jalur zigzag, string biner,
subset, C(n, k) dan segitiga Pascal.
13. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 13
BAB III
PENUTUP
3.1. Kesimpulan
Adapun kesimpulan dari kegiatan Path’s, Strings, and
Combinations in Pascal’s Triangle atau Jalur, Deret dan Kombinasi pada
Segitiga Pascal ini, siswa melihat bahwa setiap angka dalam segitiga
Pascal adalah jumlah jalur zigzag dari atas segitiga ke angka tersebut.
Juga, jumlah di baris n dan entri k adalah jumlah himpunan bagian yang
mengandung elemen k dari himpunan dengan n elemen, dan itu adalah
kombinasi bilangan dari objek k yang dipilih dari n elemen. Dengan
demikian, jumlah baris n dan entri k segitiga Pascal adalah C(n, k). Notasi
C(n, k) dapat mengekspresikan aturan konstruksi dasar untuk segitiga
Pascal, yang diilustrasikan pada gambar 2.1, sebagai identitas
kombinatorial dasar :
𝑪 𝒏, 𝒌 = 𝑪 𝒏 − 𝟏, 𝒌 − 𝟏 + 𝑪 𝒏 − 𝟏, 𝒌
untuk bilangan bulat n dan k dengan 0 < 𝑘 < 𝑛 .
Identitas C(n, k) = C(n, n-k) menunjukkan simetri garis vertikal
segitiga pascal untuk bilangan bulat n dan k dengan 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛. Siswa
secara informal mengeksplorasi kedua pola penting ini dalam kegiatan
ini. Mereka mempelajari kombinasi ini secara lebih luas dalam kegiatan
Path’s, Strings, and Combinations in Pascal’s Triangle.
14. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 14
3.2. Saran
Adapun saran pada saat presentasi kegiatan Path’s, Strings, and
Combinations in Pascal’s Triangle ini yaitu :
1. Pada saat membagikan LKPD ada baiknya kalimatnya disusun lebih
baku lagi, agar siswa tidak bingung dalam menelaah maksud
kegiatan tersebut. (Fitriyah)
2. Di akhir kegitan ada baiknya diberikan kesimpulan yang jelas
tentang materi kombinasi tersebut. (Shely Maulinda)
24. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 24
LKPD (LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK)
LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD)
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/ Semester : X/1
Materi : Kombinasi
Alokasi Waktu : 60 Menit
A. PETUNJUK BELAJAR
- Cermati informasi pendukung yang diberikan
- Ingat kembali materi tentang peluang
- Kerjakan semua soal latihan secara berkelompok
B. KOMPETENSI DASAR
3.8. Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam
pemecahan masalah.
C. INDIKATOR
3.8.1. Menentukan aturan kombinasi dalam pemecahan masalah.
3.8.2. Menyelesaikan soal-soal mengenai penggunaan aturan/sifat
kombinasi.
D. INFORMASI PENDUKUNG
Kombinasi adalah suatu teknik yang menyatakan banyaknya cara dalam menyusun
beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan. Dengan demikian jika ada
objek yang hanya berbeda urutan, maka tidak diperbolehkan atau akan dianggap sama
objeknya.
Permutasi adalah suatu teknik yang menyatakan banyaknya cara dalam menyusun
beberapa objek dari suatu grup dengan memperhatikan urutan. Di dalam permutasi,
urutan diperhatikan,dengan demikian kita dapat membentuk sekumpulan objek
walaupun objek tersebut hanya bertukar posisi.
Peluang suatu kejadian yang diinginkan adalah perbandingan banyaknya titik sampel
kejadian yang diinginkan itu dengan banyaknya anggota ruang sampel kejadian tersebut.
Peluang disebut juga dengan nilai kemungkinan.
25. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 25
E. AKTIVITAS
Perhatikan gambar di bawah ini!
Anggaplah seekor katak melompat ke bawah dari START melalui
deretan segitiga daun teratai. Katak itu bisa melompat hanya ke daun
teratai yang ada tepat di bawahnya, jadi katak itu melompat ke kanan
atau ke kiri dengan gaya zigzag. Kamu dapat kode jalannya sebagai string
biner (deret biner) 0 dan 1. Gunakan angka 0 untuk menunjukkan
sebuah lompatan ke bawah dan ke kiri dari sudut pandang kamu dan 1
untuk menunjukkan sebuah lompatan ke bawah dan ke kanan. Misalnya
katak dapat menggunakan salah satu dari empat jalur zigzag untuk
melompat dari START ke lokasi F.
Jalur ini dicatat pada gambar di lokasi F sebagai empat string
biner : 0111, 1011, 1101, dan 1110. Tanggapi pertanyaan di bawah ini,
26. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 26
dengan menggunakan lembar terpisah dari kertas, jika perlu, untuk
deskripsi, penjelasan, atau daftar.
1. Angka tersebut menunjukkan semua string biner untuk baris 1 dan 2.
Artinya, untuk setiap lokasi pada baris 1 dan 2, gambar menunjukkan
string biner yang mewakili semua jalur dari MULAI ke lokasi itu
(Baris 1 adalah baris pertama setelah
MULAI, baris 2 adalah baris kedua setelah MULAI, dan seterusnya.
MULAI adalah baris 0.) Pertimbangkan baris 3.
A. Melacak jalan yang ditunjukkan oleh 010.
B. Gunakan warna yang berbeda untuk melacak jalur dari
MULAI ke lokasi C. Mewakili jalan sebagai string biner.
C. Catat semua string biner untuk setiap lokasi di baris 3.
D. Mengapa semua string biner di baris 3 memiliki tepat tiga digit?
E. Tuliskan semua senar di baris 3. Daftarkan mereka secara sistematis,
dan jelaskan urutan yang Anda gunakan.
2. Jelaskan mengapa hanya ada satu string deret di setiap lokasi “luar”
dari segitiga.
3. Dibaris 4, pertimbangkan lokasi D dan F.
A. Apakah kamu berpikir bahwa jumlah deret dilokasi D akan sama
sebagai jumlah deret dilokasi F? Jelaskan pemikiran Anda.
B. Buat daftar string biner untuk semua jalur zigzag dari MULAI ke
lokasi D.
C. Bandingkan deret untuk lokasi D dengan lokasi di F. Apakah mereka
memiliki kesamaan? Bagaimana mereka berbeda? Jelaskan.
27. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 27
4. Pertimbangkan semua lokasi di baris 4.
A. Berapa banyak deret yang kamu perlukan untuk kode semua jalur
zigzag ke E? Daftar mereka.
B. Temukan semua deret biner untuk setiap lokasi di baris 4 (Kamu
telah memiliki banyak dari mereka, jadi hanya baris 4 yang lengkap).
5. Pertimbangkan lokasi E, F, dan G.
A. Deret untuk lokasi G mewakili jalur zigzag dari MULAI ke G.
Temukan beberapa deret untuk lokasi G.
B. Pelajari jalur zigzag ke G di segitiga. Jalur yang mengarahdari MULAI
ke G harus melakukan perjalanan melalui E atau F. Gunakan deret
dilokasi E dan F untuk menentukan semua deret untuk G.
Sejauh ini, kamu telah menemukan deret biner untuk setiap lokasi di
segitiga. Sekarang perhatikan jumlah deret di setiap lkasi. Berapa banyak
jalur zigzag yang bisa diambil katak dari MULAI untuk masing-masing?
Array berikut dapat membantu kamu menjawab pertanyaan ini. Nama
array adalah Segitiga Pascal.
28. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 28
Anda dapat menghitung angka dalam array dengan menggunakan aturan
berikut:
Baris 1 terdiri dari dua 1.
Setiap baris dimulai dan diakhiri dengan 1.
Untuk menghitung nomor lain dalam deretan apapun, tambahkan
dua angka di atas ke kiri dan ke kanan. (Ini adalah "aturan
tambahan" untuk segitiga Pascal).
6. Lengkapi baris 10 dari segitiga Pascal.
7. Bandingkan segitiga Pascal dengan segitiga dari lokasi daun teratai.
A. Dalam masalah 4, kamu menemukan semua deret biner untuk setiap
lokasi di baris 4 dari segitiga daun teratai.
Bandingkan deret biner dengan angka dibaris 4 dari segitiga
Pascal.
Jelaskan hubungan antara baris 4 dari segitiga daun teratai dan
baris 4 dari segitiga Pascal.
B. Dalam masalah 5, kamu mempertimbangkan bagaimana kamu dapat
menentukan deret untuk lokasi G dari deret untuk E dan F.
Menggarisbawahi entri di segitiga Pascal yang sesuai dengan
lokasi E, F, dan G.
Jelaskan bagaiamana tiga angka yang telah di garisbawahi
berkaitan dengan jumlah deret di lokasi E, F, dan G.
Aturan penambahan untuk segitiga Pascal, yang terakhir dari
tiga aturan bulet yang dicetak tebal diatas, jelaskan bagaimana
tiga angka dilokasi E, F, dan G saling terkait. Jelaskan mengapa
29. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 29
hubungan penambahan ini masuk akal dalam hal jalur ke E, F,
dan G di segitiga daun teratai.
C. Jelaskan aturan tambahan untuk segitiga Pascal dalam hal jalur
zigzag.
D. Nyatakan hubungan antara jumlah deret biner di setiap lokasi
segitiga daun teratai dan nomor yang sesuai dalam segitiga Pascal.
8. Pertimbangkan jalur zigzag dari puncak (S) segitiga ke garis bawah 35.
A. Sebuah deret biner yang menggambarkan satu jalur seperti itu
adalah 0010011. Buatlah sketsa jalan ini.
B. Tuliskan deret biner untuk dua jalur lain dari S ke garis bawah 35.
C. Berapa panjang masing-masing deret biner yang mewakili jalur dari
S ke garis bawah 35? Berapa panjang deret yang mewakili?
D. Berapa banyak 1 dalam setiap string yang sesuai dengan jalur dari S
ke garis bawah 35? Berapa 0 dalam setiap deret yang sesuai dengan
jalur dari S ke garis bawah 35? Jelaskan jumlah 1 dan 0 dalam hal
jalur zigzag.
E. Pertimbangkan semua jalur zigzag dengan panjang 7.
Jika kamu menganggap bahwa semua jalan sama-sama mungkin, apa
yang dimaksud dengan kemungkinan bahwa jalan seperti itu
berhenti pada garis bawah 35?
30. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 30
9. Pertimbangkan jalur zigzag ke lokasi di baris 9.
A. Apa yang biasa terjadi pada setiap jalan dari S ke garis bawah 84 di
segitiga?
B. Berapa lama jalan manapun dari S ke lokasi manapun di baris 9?
C. Berapa banyak jalur sembilan langkah dari S berisi empat langkah ke
bawah ke kanan?Jelaskan bagaimana Anda menentukan jawaban
Anda.
D. Berapa banyak string dengan panjang 9 berisi tiga digit yaitu 1?
Jelaskan jawaban Anda dalam hal jalur zigzag.
Tuliskan dua senar tersebut, dan tandai jalan yang mereka wakili
dalam segitiga.
10. Segitiga Pascal memiliki simetri kiri-kanan. Jelaskan alasan simetri kanan
kiri ini dalam hal jalur zigzag.
34. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 34
RPP (RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN)
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
Nama Sekolah : SMA YPI Tunas Bangsa Palembang
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : X/1
Materi Pokok : Kombinasi
Alokasi Waktu : 1 pertemuan (1 x 80 menit)
A. Kompetensi Dasar dan Indikator
KOMPETENSI DASAR INDIKATOR
3.8. Menggunakan aturan perkalian,
permutasi, dan kombinasi dalam
pemecahan masalah.
3.8.1.Menentukan aturan kombinasi
dalam pemecahan masalah.
3.8.2.Menyelesaikan soal-soal
mengenai penggunaan
aturan/sifat kombinasi.
4.8. Menyelesaikan yang berkaitan
dengan aturan perkalian,
permutasi, dan kombinasi dalam
pemecahan masalah.
4.8.1.Menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan kombinasi.
B. Tujuan Pembelajaran
NO. INDIKATOR TUJUAN PEMBELAJARAN
3.8.1 Siswa dapat menentukan aturan kombinasi dalam
pemecahan masalah.
3.8.2 Siswa dapat menyelesaikan soal-soal mengenai
penggunaan aturan/sifat kombinasi.
35. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 35
C. Materi Pembelajaran
NO STRUKTUR ISI YANG ADA DALAM PEMBELAJARAN
1 Fakta Simbol kombinasi.
2 Konsep Pengertian kombinasi .
3 Prinsip dan Aturan Sifat-sifat kombinasi.
4 Prosedur Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan
kombinasi.
D. Metode Pembelajaran
a. Pendekatan Pembelajaran : Saintifik
b. Model Pembelajaran : Kooperatif (Discovery Learning)
c. Metode Pembelajaran : Tanya jawab, diskusi kelompok,
presentasi, dan pemberian tugas.
E. Media Pembelajaran
Power Point
Buku NCTM Matematika
F. Sumber Belajar
Lembar Kerja Siswa (LKPD)
Erick W.Hart, Margareth J.Kenney, Valerie A.DeBellis, and Joseph
G.Rosenstein. Navigating through Discrete Mathematics in Grade 6-
12. Reston, Va.: National Council of Teachers of Mathematics, 2008.
36. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 36
G. Langkah-Langkah Pembelajaran
TAHAP FASE KEGIATAN
Kegiatan
Pendahuluan
(5 menit)
- Dengan tanya jawab siswa
diingatkan tentang peluang.
- Guru menjelaskan manfaat materi
kombinasi dalam kehidupan sehari-
hari.
- Guru menyampaikan tujuan
pembelajaran.
- Guru memberikan beberapa soal
tentang peluang yang merupakan
prasyarat untuk mempelajari
barisan aritmatika.
Kegiatan Inti
(25 menit)
Fase 1 :
Penyajian
Informasi
Fase 2 :
Mengorganisir
siswa kedalam
beberapa
kelompok
- Siswa diajak untuk mengamati
contoh-contoh yang berkaitan
dengan konsep kombinasi yang ada
pada buku siswa halaman 37.
- Siswa diminta memberikan contoh
yang lain
- Siswa dikelompokkan menjadi
beberapa kelompok.
- Guru membagikan Lembar Kegiatan
Peserta Didik (LKPD) yang
berisikan masalah dan langkah-
langkah pemecahan serta meminta
siswa berkolaborasi untuk
menyelesaikan masalah.
- Guru berkeliling mencermati siswa
bekerja, mencermati dan
menemukan berbagai kesulitan
yang dialami siswa, serta
memberikan kesempatan kepada
siswa untuk bertanya hal-hal yang
belum dipahami.
- Guru memberi bantuan
(scaffolding) berkaitan kesulitan
yang dialami siswa secara individu,
kelompok, atau klasikal.
- Meminta siswa bekerja sama untuk
menghimpun berbagai konsep dan
aturan matematika yang sudah
37. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 37
Fase 3 :
Membimbing
kerja kelompok
dan belajar
Fase 4 :
Mengevaluasi
dipelajari serta memikirkan secara
cermat strategi pemecahan yang
berguna untuk pemecahan masalah.
- Mendorong siswa agar bekerja
sama dalam kelompok.
- Meminta siswa melihat hubungan-
hubungan berdasarkan
informasi/data terkait membangun.
- Guru meminta siswa melakukan
eksperimen dengan media yang
disediakan untuk menyelesaikan
masalah yang ada dalam LKPD.
- Guru meminta siswa
mendiskusikan cara yang
digunakan untuk menemukan
semua kemungkinan dari masalah
yang ada dalam lembar kegiatan
siswa. Bila siswa belum mampu
menjawabnya, guru memberi
scaffolding dengan mengingatkan
siswa mengenai cara mereka
menentukan penyelesaiannya.
- Guru meminta semua kelompok
bermusyawarah untuk menentukan
satu kelompok yang
mempresentasikan
(mengkomunikasikan) hasil
diskusinya di depan kelas secara
runtun, sistematis, santun, dan
hemat waktu.
- Guru memberi kesempatan kepada
siswa dari kelompok penyaji untuk
memberikan penjelasan tambahan
dengan baik.
- Guru memberi kesempatan kepada
siswa dari kelompok lain untuk
memberikan tanggapan terhadap
hasil diskusi kelompok penyaji
dengan sopan.
- Guru melibatkan siswa
38. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 38
Fase 5 :
Memberikan
penghargaan
mengevaluasi jawaban kelompok
penyaji serta masukan dari siswa
yang lain dan membuat
kesepakatan, bila jawaban yang
disampaikan siswa sudah benar.
- Guru memberi kesempatan kepada
kelompok lain yang mempunyai
jawaban berbeda dari kelompok
penyaji pertama untuk
mengkomunikasikan hasil diskusi
kelompoknya secara runtun,
sistematis, santun, dan hemat
waktu. Apabila ada lebih dari satu
kelompok, maka guru meminta
siswa bermusyawarah menentukan
urutan penyajian.
- Guru mengumpulkan semua hasuil
diskusi tiap kelompok.
- Dengan tanya jawab, guru
mengarahkan semua siswa pada
kesimpulan mengenai
permasalahan tersebut.
- Guru memberikan kuis individu
kepada siswa untuk mengetahui
pemahaman siswa setelah
pembelajaran tentang kombinasi.
- Siswa menjawab kuis yang telah
diberikan guru dengan jujur.
- Guru mengumumkan kelompok
terbaik berdasarkan poin kuis yang
didapatkan setiap siswa pada
kelompok tersebut dan kelompok
terbaik mendapatkan
penghargaaan.
Penutup
(10 menit)
- Siswa menyimpulkan tentang
bagaimana cara menentukan hasil
operasi dari kombinasi.
- Guru memberikan tugas PR
beberapa soal mengenai kombinasi.
- Guru mengakhiri kegiatan belajar
dengan memberikan pesan untuk
tetap belajar.
39. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 39
H. Instrumen Penilaian
a) Afektif
Teknik : Tes
Instrumen : Terlampir
b) Kognitif
Teknik : Tes
Instrumen : Terlampir
c) Psikomotorik
Teknik : Tes
Instrumen : Terlampir
40. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 40
INSTRUMEN PENILAIAN
LEMBAR PENGAMATAN PENILAIAN KOGNITIF
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : X/1
Tahun Pelajaran : 2017/2018
Waktu Pengamatan : 1 x 80 menit
Tujuan :
Lembar Penilian Aspek Kognitif digunakan oleh guru untuk
mengakses (mendapatkan informasi) tentang pengetahuan dan
kemampuan siswa pada saat proses dan/atau setelah pembelajaran
berlangsung.
Bentuk Soal :
Essay
Petunjuk :
A. Baca dan pahamilah soal di bawah ini
B. Berikan jawaban sesuai dengan pertanyaan
C. Tidak diizinkan membuka buku atau sumber belajar selama tes
Soal :
Menjelang arisan keluarga di rumah, Bu Darni belanja ke pasar untuk
membeli 2 ekor ayam dan 2 ekor itik dari seorang pedagang yang
memiliki 5 ekor ayam dan 5 ekor itik. Hitunglah banyak cara yang
dapat dilakukan oleh Bu Darni dalam memilih ternak-ternak yang
diinginkannya !
41. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 41
Rubrik Penilaian Soal :
Nomor
soal
Kunci Jawaban Skor
1 Untuk pemilihan ayam
n = 5 , menyatakan jumlah ayam yang tersedia
k = 2 , menyatakan jumlah ayam yang akan dibeli
𝐶 5,2 =
5!
(5 − 2)! ∙ 2!
=
5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 !
3! ∙ 2!
=
5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 !
3 ∙ 2 ∙ 1 ! ∙ 2 ∙ 1 !
=
20
2
= 10
Untuk pemilihan itik
n = 5 , menyatakan jumlah itik yang tersedia
k = 2 , menyatakan jumlah itik yang akan dibeli
𝐶 5,2 =
5!
(5 − 2)! ∙ 2!
=
5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 !
3! ∙ 2!
=
5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 !
3 ∙ 2 ∙ 1 ! ∙ 2 ∙ 1 !
=
20
2
= 10
Banyak cara = 10 x 10 = 100
∴ Jadi, bu Darni memiliki 100 cara dalam memilih
ternak-ternak yang diinginkannya.
5
40
5
40
5
5
TOTAL SKOR 100
42. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 42
MODUL/BAHAN AJAR
BAB 12
KOMBINASI
Novi Suryani, Novi Sariani, Yuliana Novitasari
Leonardo da Pisa atau Leonardo Pisano, lebih dikenal dengan sebutan
Fibonacci, adalah matematikawan Italia yang dikenal sebagai penemu
bilangan Fibonacci. Leonardo berperan dalam mengenalkan sistem
penulisan dan perhitungan bilangan Arab ke dunia Eropa. Bapak dari
Leonardo, Guilielmo (William) mempunyai nama panggilan Bonacci yang
artinya “bersifat baik” atau “sederhana”. Setelah meninggal, Leonardo sering
disebut dengan nama Fibonacci (dari kata filius Bonacci, anak dari Bonacci).
William memimpin sebuah pos perdagangan (beberapa catatan
menyebutkan beliau adalah perwakilan dagang untuk Pisa) di Bugia, Afrika
Utara (sekarang Bejaia, Aljazair). Sebagai anak muda, Leonardo berkelana ke
sana untuk menolong ayahnya. Di sanalah Leonardo belajar tentang sistem
bilangan Arab. Melihat sistem bilangan Arab lebih sederhana dan efisien
dibandingkan bilangan Romawi, Fibonacci kemudian berkelana ke penjuru
daerah Mediterania untuk belajar kepada matematikawan Arab yang
terkenal pada masa itu. Leonardo baru pulang kembali sekitar tahun 1200-
an. Pada tahun 1202, di usia 27, ia menuliskan apa yang telah dipelajari
dalam buku Liber Abaci, atau Buku Perhitungan. Buku ini menunjukkan
kepraktisan sistem bilangan Arab dengan cara menerapkannya ke dalam
pembukuan dagang, konversi berbagai ukuran dan berat, perhitungan bunga,
pertukaran uang dan berbagai aplikasi lainnya. Buku ini disambut baik oleh
kaum terpelajar Eropa, dan menghasilkan dampak yang penting kepada
pemikiran Eropa, meski penggunaannya baru menyebar luas setelah
ditemukannya percetakan sekitar tiga abad berikutnya.
43. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 43
Hikmah yang bisa diambil :
1) Sebelum orang mengenal angka Arab yang kita gunakan, orang zaman
dulu sudah mengenal sistem bilangannya sendiri. Kelemahan sistem-
sistem bilangan yang ditemukan zaman dulu adalah susah untuk
dioperasikan dan tidak efisien dalam penulisan. Dengan diperkenalkannya
sistem bilangan arab yang kita gunakan hingga sekarang, orang lebih
mudah untuk melakukan perhitungan matematika dan lebih efisien dalam
penulisan.
2) Mari mencontoh sikap Leonardo yang giat untuk mempelajari tentang
ilmu hitung sistem bilangan Arab hingga jauh meninggalkan tempat
tinggalnya. Leonardo dikenal banyak orang hingga sekarang karena dia
bisa memberikan manfaat kepada orang banyak, yang masih kita rasakan
hingga saat ini.
Setelah mempelajari materi BAB 12 ini, kalian diharapkan dapat
memahami tentang konsep kombinasi dan permutasi. Secara lebih terperinci,
kalian diharapkan dapat :
1. Menyelesaikan soal-soal mengenai penggunaan aturan/sifat
permutasi.
2. Menyelesaikan soal-soal mengenai penggunaan aturan/sifat
kombinasi.
3. Menyelesaikan latihan soal-soal mengenai penggunaan aturan/sifat
pada permutasi.
4. Menyelesaikan latihan soal-soal mengenai penggunaan aturan/sifat
pada kombinasi.
Untuk mencapai tujuan di atas, kalian dituntut untuk membaca setiap
materi dengan cermat, mencatat kata-kata kuncinya, serta mengerjakan
latihan dan tes formatif secara disiplin. Dengan mengikuti petunjuk ini,
mudah-mudahan mempelajari modul akan menjadi pekerjaan yang
menyenangkan bagi kalian dan kesuksesan menanti kalian.
44. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 44
Sub BAB 1
PERMUTASI
A. Memahami Konsep Permutasi
Pernahkah Anda tersesat di jalanan? Apakah Anda bingung, ada
berapa banyak jalan terpendek dari A ke B ? (lihat Gambar 1). Atau,
pernahkah Anda terlibat dalam kepanitiaan suatu kejuaraan di lingkungan
sekitar Anda? Mungkin kejuaraan sepakbola, basket, volley, atau lainnya?
Gambar 1.
Seringkali kita temui dalam kehidupan sehari-hari, berbagai
persoalan yang menuntut kita untuk menyusun atau mengurutkan benda-
benda. Seperti pada Gambar 8.1.1 di atas, seringkali kita kebingungan
menentukan jalan mana yang harus ditempuh untuk segera sampai ke
tempat tujuan karena begitu banyaknya pilihan jalan yang harus
ditempuh. Atau andaikan saja Anda ditunjuk untuk menjadi panitia
pertandingan volley pada peringatan HUT RI, yang lebih dikenal dengan
istilah “Agustusan”.
Andaikan saja dalam 1 kelurahan terdapat 8 RW, dan masing-
masing RW mengirimkan 1 tim volley yang siap berlaga. Ini berarti
terdaftar 8 tim yang akan segera dipertandingkan. Setiap 2 tim akan
45. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 45
berhadapan 2 kali, sekali main kandang, dan sekali main tandang. Suatu
persoalan yang muncul dan harus dijawab adalah, “Berapa kali
pertandingan dalam kejuaraan ini?”
Untuk lebih memudahkan, 8 tim itu kita beri inisial: A, B, C, D. E, F,
G, dan H. Sedangkan pasangan terurut AB berarti pertandingan antara A
dan B dikandang A, dan BA berarti pertandingan antara A dan B dikandang
B. Sehingga banyaknya pertandingan sama dengan banyaknya pasangan
terurut kedelapan unsur (tim) tadi. Untuk menyelesaikan persoalan
terakhir ini kita tetapkan lebih dahulu unsur pertama pasangan terurut
itu. Dalam hal ini kita mempunyai 8 kemungkinan. Kemudian setelah
unsur pertama kita tetapkan (dipilih) maka ada 7 unsur yang bisa kita
ambil sebagai unsur kedua pasangan terurut itu. Jadi seluruhnya kita akan
memperolch (8 × 7) = 56 pasangan terurut, sehingga terdapat 56
perlandingan dalam kejuaran tersebut. Untuk lebih jelasnya perhatikan
diagram pada Gambr 8.1.2 di bawah ini.
Unsur pertama Unsur kedua Pasangan terurut Banyak pasangan
A B AB 7
C AC
D AD
E AE
F AF
G AG
H AH
46. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 46
B A BA 7
C BC
D BD
. . . . . . . . .
dan seterusnya.
Banyak pasangan 8 × 7 = 56.
Terdapat 8 benda atau unsur, yaitu: A, B, C, D, E, F, G, dan H, dalam
setiap pasangan hanya digunakan 2 unsur saja. Masing-masing pasangan ini
disebut permutasi 2 dari 8 unsur tersebut. Banyaknya seluruh permutasi ini
ditulis P8,2 Jadi P8,2 = 8 × 7 = 56, P9,2 = 9 x 8 = 72. Kita dapat juga membuat
susunan terdiri dari 3 unsur dari 8 unsur tadi. Masing-masing susunan itu
disebut permutasi 3 dari 8 unsur. Secara umum permutasi dapat ditentukan
sebagai berikut.
B. Memahami definisi Permutasi
Susunan terurut yang terdiri dari r unsur berbeda yang diambil
dari n unsur berbeda (r n) disebut permutasi r dari n unsur.
Jika kita memiliki 8 unsur dan akan disusun secara terurut terdiri
dari 8 unsur, berapa banyak susunan seluruhnya yang hisa kita buat?
Dengan kata lain, berapa P8,8? Untuk menjawabnya, kita pilih unsur
pertama, untuk ini kita mempunyai 8 pilihan. Kemudian setelah unsur
pertama kita tetapkan, kita pilih unsur kedua, untuk ini kita mempunyai 7
pilihan. Setelah unsur pertama dan kedua kita tetapkan, kita pilih unsur
ketiga, untuk ini kita punya 6 pilihan. proses ini kita lanjutkan sampai
47. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 47
unsur ke 8 dari susunan dan untuk yang terakhir ini kita hanya punya 1
pilihan. Jadi banyak susunan yang peroleh adalah:
8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × l
Jadi P8,8 = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × l = 8!
n! dibaca n faktorial, yang nilainya n! = n × (n – 1 × … × 3 × 2 × l .
Dengan demikian, kita peroleh sebagai berikut,
Pn = n × (n – 1 × … × 3 × 2 × l = n!
C. Memahami Definisi Faktorial
n faktorial ditulis n! = n × (n – 1 × … × 3 × 2 × l
dengan n bilangan asli, dan 0! = 1 = 1!
Contoh :
Terdapat 6 mahasiswa yg memenuhi syarat dan bersedia menjadi
pengurus Kerohanian Islam (Rohis). Jika pengurus Rohis tersebut terdiri
dari ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara, ada berapa macam
susunan pengurus Rohis yang mungkin terbentuk?
Jawaban:
Persoalan ini termasuk dalam persoalan mencari banyak susunan terdiri
dari 4 unsur yang diambil dari 6 unsur. Oleh karena itu, yang akan kita
tentukan adalah P6,4. Untuk itu, perlu dijelaskan/dilakukan hal-hal
berikut.
48. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 48
Ada 6 mahasiswa yang dipilih sebagai ketua. Seandainya ketua telah
dipilih, maka 5 pilihan untuk wakil ketua. Jika ketua dan wakil ketua telah
terpilih, maka ada 4 pilihan untuk sekretaris. Jika ketua dan sekretaris
telah dipilih, maka tinggal 3 mahasiswa yang bisa dipilih untuk bendahara.
Jadi banyaknya susunan pengurus yang mungkin 6 × 5 × 4 × 3 = 360.
Perkalian 6 × 5 × 4 × 3 dapat diubah menjadi bentuk faktorial sebagai
berikut.
)!46(
!6
!2
!6
12
123456
3456
Dengan demikian,
)!46(
!6
4,6
P
D. Banyaknya Permutasi
Banyaknya permutasi r benda berbeda diambil dari n benda adalah
)!(
!
,
rn
n
P rn
Kini kita akan mendalami kasus lain dari permutasi. Jika pada
permutasi di atas kita mempunyai n benda yang berbeda. Sekarang kita
akan melihat bila diantara n benda itu ada yang sama. Yaitu misalkan di
antara n benda ada n1 buah benda yang sama (n1 n). Maka di antara Pn,n1
permutasi, setiap n1! di antaranya adalah adalah sama, sehingga
!
!
1
, 1
n
n
P nn
Misalnya 3 unsur a1, a2, dan b. Maka macam permutasinya adalah:
49. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 49
Pertama: a1 a2 b dan a2 a1 b
Kedua: a1 b a2 dan a2 b a1
Ketiga: b a1 a2 dan b a2 a1
Setiap 2 permutasinya sama, sehingga 3
!2
!3
1, nnP .
Sekarang, andaikan kita terdapat n benda yang terdiri dari k
kelompok, dan setiap kelompok terdiri dari benda yang sama. Kelompok 1
beranggot n1, kelompok 2 beranggota n2, dan seterusnya hingga kelompok
k beranggota nk. Jadi, jumlah n = n1 + n2 + nk.
E. Banyak Permutasi dengan Beberapa Unsurnya Sama
Banyaknya permutasi dari n benda terdiri k kelompok yang setiap
kelompok ke-i (1 i k) mempunyai anggota yang sama sebanyak ni
adalah:
!...!!!
!
321
,
k
nn
nnnn
n
P i
Contoh :
Tentukan banyak susunan 4 huruf yang diambil dari kata "MANA"
Jawaban:
Diketahui n = 4, banyak huruf M = n1, = 1, banyak huruf A = n2 = 2, dan
banyak huruf N = n3 = 1, sehingga 12
!1!2!1
!4
,
innP .
Dengan demikian, banyak cara menyusun (permutasi) huruf pada
kata “MANA” adalah 12 cara.
50. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 50
Sub BAB 2
KOMBINASI
Pada permutasi urutan unsur pada susunan diperhatikan yaitu sebagai
contoh permutasi “BCA” tidak sama dengan “ABC”. Akan tetapi, jika
urutannya tidak diperhatikan maka permutasi itu disebut kombinasi
(kelompok benda yang urutannya tidak diperhatikan). Jadi pada kombinasi
“BCA” sama dengan “ABC”.
Contoh :
Sebuah buku terdiri dari 5 bab. Anda hanya ingin membaca 3 bab saja. Ada
berapa banyak cara yang bisa dilakukan untuk membaca buku tersebut?
Jawaban:
Persoalan ini termasuk dalam persoalan kombinasi yaitu mencari banyak
susunan 3 unsur dari 5 unsur berbeda tanpa memperhatikan urutannya.
Misalkan bab yang akan dibaca tersebut adalah A, B, C, D dan E, kombinasi
itu dapat diperoleh dengan cara berikut.
Pertama kita pilih A sebagai unsur pertama, B sebagai unsur kedua dan untuk
unsurke tiga ada tiga pilihan yaitu C, D atau E. Kemudian A sebagai unsur
pertama, C sebagai unsur kedua, dan untuk unsur ketiga ada 2 pilihan yaitu D
atau E. Selanjutnya A sebagai unsur pertama D sebagai unsur kedua dan E
sebagai unsur ketiga. Berikutnya B kita pilih sebagai unsur pertama C kedua
dan D atau E ketiga. Selanjutnya C sebagai unsur pertama, D unsur kedua dan
E atau A unsur ketiga.
Sehingga kita memperoleh susunan (kombinasi) sebanyak 3 + 2 + 1 + 2 + 2
= 10. Susunan yang lain dapat diperoleh dari 10 susunan ini dengan
mengubah urutannya. Jadi jika urutan tidak diperhatikan maka kita
51. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 51
memperoleh 10 susunan (kombinasi) tersebut. Untuk lebih jelasnya
perhatikan Gambar 6.1.3 berikut ini.
Soal di atas dapat juga diselesaikan sebagai berikut. Banyaknya permutasi
terdiri dari 3 unsur diambil dari 5 unsur berbeda adalah
)!35(
!5
3,5
P .
Akan tetapi permutasi ini dapat dikelompokkan menjadi 3! = 6
kelompok yang setiap kelompok memiliki anggota yang urutannya saja yang
berbeda. Jadi setiap 3! permutasi merupakan satu kombinasi saja. Sehingga
banyak kombinasi 3 dari 5 unsur itu yang diberi simbol C5,3 adalah
10
12312
12345
!33)!(5
5!
3,5
C .
52. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 52
Banyak Kombinasi r Unsur Diambil dari n Unsur Berbeda
Banyak cara memilih r benda dari n benda yang berbeda tanpa
memperhatikan urutannya yaitu banyaknya kombinasi r unsur diambil
dari n unsur berbeda adalah :
!nr)!(n
n!
,
rnC
Didefinisikan 0 ! = 1.
Contoh :
Dalam mengadakan suatu pemilihan dengan menggunakan obyek 4
orang pedagang kaki lima untuk diwawancarai, maka untuk memilih 3
orang untuk satu kelompok. Ada berapa cara kita dapat menyusunnya?
Jawab :
𝐶3
4
=
4!
4 − 3 ! 3!
=
4 ∙ 3!
1 ! 3!
= 4
Jadi, ada 4 cara untuk menyusun pedagang kaki lima yang ingin
diwawancarai.
53. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 53
TES FORMATIF
Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi ini, jawablah
pertanyaan-pertanyaan berikut.
Pilih satu jawaban yang kalian anggap paling tepat !
1. Hitung banyak cara apabila 4 orang remaja (w,x, y, z) menempati tempat
duduk yang akan disusun dalam suatu susunan yang teratur...
a. 24 cara
b. 23 cara
c. 22 cara
d. 21 cara
e. 20 cara
2. Suatu kelompok belajar yang beranggotakan empat orang (A, B, C dan D)
akan memilih ketua dan wakil ketua kelompok. Banyak cara alternatif
susunan ketua dan wakil ketua yang dapat dipilih adalah ....
a. 36 cara
b. 12 cara
c. 16 cara
d. 8 cara
e. 32 cara
3. Banyak cara memilih 4 pengurus dari 6 calon, yang ada yaitu ....
a. 11 cara
b. 12 cara
c. 13 cara
d. 14 cara
e. 15 cara
54. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 54
4. Seorang peternak akan membeli 3 ekor ayam dan 2 ekor kambing dari
seorang pedagang yang memiliki 6 ekor ayam dan 4 ekor kambing. Banyak
cara peternak tersebut dapat memilih ternak-ternak yang di inginkannya
adalah ....
a. 110 cara
b. 120 cara
c. 130 cara
d. 140 cara
e. 150 cara
5. Dari 11 calon Kapolda akan dipilih 4 orang sebagai Kapolda untuk
ditempatkan di empat provinsi. Banyak cara pemilihan yang mungkin
adalah….
A. 44
B. 256
C. 330
D. 7.920
E. 10.000
6. Pada suatu tes penerimaan pegawai, seorang pelamar wajib mengerjakan
6 soal di antara 14 soal. Soal nomor 1 sampai 3 harus dikerjakan. Banyak
cara pilihan soal yang harus dilakukan adalah ….
A. 2.002
B. 990
C. 336
D. 165
E. 120
55. Systematic Listing and Counting in Grade 9-12 55
UMPAN BALIK DAN TINDAK LANJUT
Kalian dengan kunci jawaban tes formatif yang terdapat pada bagian akhir
unit ini, Kemudian hitunglah jumlah jawaban Kalian yang benar. Gunakan
rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Kalian terhadap materi
ini.
Rumus:
Tingkat penguasaan =
jumlah jawaban kalian yang benar
… … … … … … … … … … … … … … … .
× 100%
Arti tingkat penguasaan yang Kalian capai:
90% − 100% = baik sekali
80% − 89% = baik
70% − 79% = cukup
< 70% = kurang
Bila tingkat penguasaan Kalian mencapai 80% ke atas, Bagus Kalian dapat
melanjutkan dengan mempelajari materi pada unit berikutnya. Tetapi, bila
tingkat penguasaan Kalian kurang dari 80%, Kalian harus membaca kembali
uraian materi Sub Bab 1,2,3 dan 4, terutama pada bagian yang belum Kalian
kuasai.
